Содержание

Часть вторая. Зазеркальная логика

• Глава 6. Двенадцатый вопрос
• Глава 7. Траляля или Труляля?
• Глава 8. И это самое прекрасное в ней!
• Глава 9. Что не мог точно вспомнить Белый Рыцарь
• Глава 10. Зазеркальная логика
• Глава 11. Теория Черного Короля
• Глава 12. Какая Алиса?

Глава 6. Двенадцатый вопрос

День рождения Тони был в конце лета, и мы с женой успели вернуться как раз к празднику.

– Как насчет новых задач про Алису из Страны Чудес? – поинтересовалась Алиса.

– А как насчет задач про Алису из Зазеркалья? – в тон ей спросил я.

– По мне, так любые задачки про Алису хороши! – согласилась Алиса.

Остальные ребята также выразили желание послушать какие угодно задачи про Алису, и я рассказал им следующие историй.

– Думаю, самое время устроить ребенку еще один экзамен, Ваше Величество, – сказала Черная Королева Белой Королеве.

– Безусловно! – ответила Белая Королева.

Алиса не могла взять в толк, почему так необходимо устраивать ей еще один экзамен, и сама идея Черной Королевы пришлась ей не очень-то по вкусу, но она ничего не сказала.

– Считать умеешь? – спросила Черная Королева.

– Умею, – ответила Алиса.

– Прекрасно! Сейчас посмотрим, действительно ли ты умеешь считать. Ты готова?

– Готова, – ответила Алиса.

– Почтовый дилижанс о шестью пассажирами выехал из Лондона в Харвич. Как, по-твоему, это ты можешь запомнить?

– Конечно, могу, – ответила Алиса. – Тут и помнить нечего!

– Прекрасно! – сказала Черная Королева. – На остановке два пассажира сошли, а пять новых сели. Понятно?

– Да, – кивнула Алиса, подсчитывая, сколько пассажиров осталось в дилижансе.

– Дилижанс поехал дальше, и на следующей остановке сошли три пассажира. Успеваешь следить?

– Да, – сказала Алиса, которая и в самом деле неустанно вела счет пассажирам.

– Дилижанс отправился дальше, и на очередной остановке два пассажира сошли, а два других сели.

– Получилось то же самое, как если бы Дилижанс вовсе не останавливался! – заметила Алиса.

– Прошу не прерывать меня все время! – закричала Черная Королева. – Это сбивает меня с мысли!

– Я вовсе не прерывала вас все время, – вполне здраво возразила Алиса. – Я прервала вас только один раз, а для того, чтобы вы могли утверждать, будто кто-то прерывает вас все время, этот «кто-то» должен был бы прервать вас по крайней мере два раза.

– Правильно, – согласилась Черная Королева, – но экзамен принимаю я, а не ты!

– Но вернемся к задаче, – продолжала Королева. – Дилижанс поехал дальше, и на следующей остановке три пассажира сошли, а пять пассажиров сели. Ты все еще считаешь?

– Да, – кратко ответила Алиса.

– Затем дилижанс прибыл в Харвич, и на конечной остановке сошли все пассажиры. Сколько остановок сделал дилижанс в пути?

– Не знаю, – в растерянности воскликнула Алиса. – Остановки я не считала!

– Считать не умеет, – торжествующе сказала Черная Королева.

– Ничуточки! – подтвердила Белая Королева.

– Ты никогда не сдашь экзамена, пока не научишься считать! – заметила Черная Королева.

– Да умею я считать! – взмолилась несчастная Алиса. – Просто я считала не то!

– Это не оправдание! – отрезала Черная Королева. – Считать нужно все потому, что все идет в счет.

Алиса попыталась было разобраться в том, что сказала ей Черная Королева, но та продолжала:

– А теперь слушай правила, по которым проводится экзамен. Мы зададим двенадцать вопросов. Для того чтобы успешно сдать экзамен, ты можешь дать неверный ответ не более трех раз.

И экзамен начался.

52. Первый вопрос

– Знаешь ли ты деление? – спросила Черная Королева.

– Конечно! – уверенно ответила Алиса.

– Прекрасно! Предположим, что ты делишь одиннадцать тысяч одиннадцать сотен и одиннадцать на три. Чему равен остаток от деления? Если угодно, можешь воспользоваться карандашом и бумагой.

Алиса принялась за работу и произвела необходимые вычисления.

– У меня получилось в остатке два, – сказала она.

– Неправильно! – торжествующе закричала Черная Королева. – Деления ты не знаешь!

– Ничуточки! – подтвердила Белая Королева.

Почему бы и вам не взять карандаш и бумагу и не проверить, правильный ли ответ получила Алиса? На всякий случай загляните в решение, приведенное в конце книги.

53. Еще одна задача на деление

– Попробуй решить еще одну задачу на деление, – предложила Черная Королева. – Сколько получится, если миллион разделить на четверть?

– Четверть миллиона! – быстро ответила Алиса, – или, иными словами, двести пятьдесят тысяч. Нет, что я говорю, – спохватилась Алиса, – Я хотела сказать…

– Поздно передумывать! – прервала ее Черная Королева.

Правильно ли ответила Алиса на этот вопрос?

54. Задача на сложение и вычитание

– Деления она совсем не знает! – повторила Черная Королева. – Задам-ка я ей задачу на сложение и вычитание.

– Прекрасная мысль! – одобрила Белая Королева.

– Тогда приступим, – сказала Черная Королева. – Бутылка вина стоит тридцать шиллингов. Вино стоит на двадцать шесть шиллингов больше, чем бутылка.

Сколько стоит бутылка?

Алиса успешно справилась с этой задачей. Сумеете ли вы получить правильный ответ?

55. Во сне или наяву?

– Перейдем теперь к логическим вопросам, – предложила Белая Королева. – Когда Черный Король спит, то обо всем судит превратно. Иначе говоря, все, что Черный Король считает во сне истинным, на самом деле ложно, и наоборот. С другой стороны, наяву Черный Король обо всем судит здраво, то есть считает истинное истинным, а ложное ложным. Вчера вечером ровно в десять часов Черный Король считал, что он и Черная Королева уже почивали в это время.

Спала или бодрствовала Черная Королева накануне в десять часов вечера?

– Такого просто не может быть! – подумала Алиса, как вдруг поняла, что ничего невозможного в условиях задачи нет, и сумела правильно ответить на вопрос.

Итак, спала или бодрствовала Черная Королева вчера в десять часов вечера?

56. Во сне или наяву?

– Я, как и Черный Король, – призналась Черная Королева, – во сне обо всем сужу превратно, а наяву здраво. Вчера вечером незадолго до одиннадцати часов Черный Король думал, что я сплю. Я же в это самое время либо думала, что он спит, либо думала, что он бодрствует.

Что я думала?

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над этой задачей, но наконец ей удалось найти правильное решение.

Что думала Черная Королева?

57. Сколько погремушек?

– От последней задачи у меня разболелась голова, – пожаловалась Белая Королева. – Давайте вернемся к арифметическим задачам. Ты знакома с Траляля и Труляля?

– Конечно! – обрадовалась Алиса.

– Прекрасно! Так вот, однажды Траляля и Труляля поспорили на пари.

– А о чем он» заключили пари? – спросила Алиса.

– Спор вышел из-за страшного ворона. Траляля считал, что ворон непременно прилетит на следующий день, а Труляля думал, что ворон не прилетит. Вот они и решили поспорить на пари.

– А на что они спорили?

– Ты, должно быть, знаешь, что оба братца Траляля и Труляля собирают коллекции погремушек.

– Я знаю, – ответила Алиса, – что у Труляля была погремушка и что он утверждал, будто Траляля сломал ее, но я не знала, что и Траляля собирает погремушки.

– Они оба собирают погремушки, – подтвердила Королева. – У каждого есть по нескольку штук. Так вот, пари они заключили на одну погремушку.

– Вот смешные! – засмеялась Алиса. – А сколько погремушек у каждого?

– Именно это ты и должна узнать! – ответила Королева. – В этом и состоит задача. Траляля знает, что если он проиграет пари, то у него будет столько же погремушек, сколько и у Труляля, а если он выиграет пари, то у него будет вдвое больше погремушек, чем у Труляля.

Сколько погремушек у Траляля и сколько у Труляля?

Обычно эту задачу решают с помощью алгебры, но Алиса еще не проходила алгебру в школе. К счастью, она кое-чему научилась у Грифона и сумела благополучно справиться с задачей.

Так сколько же погремушек у Траляля и Труляля?

58. Сколько братьев и сестер?

– Вот еще одна задача, – сказала Черная Королева. – У одной девочки по имени Алиса был брат по имени Тони…

– Но у меня нет брата по имени Тони, – перебила ее Алиса.

– Я говорю не о тебе, – резко оборвала ее Черная Королева, – а совсем о другой Алисе!

– О, простите, Ваше Величество, – смутилась Алиса.

– Я была бы весьма признательна тебе, если бы ты меня не прерывала все время, – продолжала Королева. – Так вот, у этой Алисы и Тони были и другие братья и сестры.

– Простите, пожалуйста, – прервала меня Алиса (не Алиса из Зазеркалья, а моя знакомая Алиса, у которой я был в гостях). – У меня и Тони нет других братьев и сестер!

– Черная Королева говорила вовсе не о тебе, – ответил я, – а о какой-то другой Алисе.

– Ах так! – воскликнула Алиса.

– Так вот, – продолжала Черная Королева. – У Тони братьев было столько же, сколько сестер. У Алисы братьев было вдвое больше, чем сестер.

Сколько мальчиков и девочек было в их семье? Алиса успешно решила и эту задачу.

59. Не по адресу

– Я хочу предложить тебе одну задачку, – сказала Белая Королева. – То, о чем я расскажу, – подлинное происшествие, приключившееся недавно со мной. Однажды мне понадобилось отправить по почте четыре письма. Я написала четыре письма, надписала адреса на конвертах и по рассеянности вложила часть писем не в те конверты, в которые следовало. В каждый конверт я вложила ровно по одному письму. Получилось так, что я могла либо ровно три письма отправить по правильному адресу, либо ровно два письма отправить по правильному адресу, либо ровно одно письмо отправить по неправильному адресу.

Сколько писем я отправила по правильному адресу?

60. Много ли земли?

– Посмотрим, сильна ли ты в практической арифметике, – сказала Черная Королева. – У одного мелкого фермера не было денег, чтобы уплатить налоги. В погашение долга королевский сборщик налогов отрезал от принадлежавшей фермеру земли одну десятую, после чего у фермера осталось десять акров земли.

Много ли земли было у него сначала?

Алиса чуть было не сказала неверный ответ, но вовремя спохватилась, немного подумала и нашла правильный ответ.

Много ли земли было у фермера?

61. Еще одна задача об участке земли

– А вот еще задача, – сказала Черная Королева. – У другого фермера также был участок земли. На одной трети своего участка он разводил тыквы, на одной четвертой выращивал горох, на одной пятой сеял фасоль, а остальные двадцать шесть акров отводил под кукурузу.

Сколько акров земли было у фермера? И на этот вопрос Алиса сумела ответить правильно. А вы? (Пользоваться алгеброй совсем не обязательно!)

62. Часы бьют двенадцать

– Дедушкины часы отбивают шесть ударов за тридцать секунд. За сколько секунд они пробьют двенадцать ударов? – спросила Черная Королева.

– Конечно, за шестьдесят секунд! – воскликнула Алиса. – Ох нет! – поправилась она. – Я сказала неправильно. Подождите, пожалуйста, я сейчас дам правильный ответ!

– Слишком поздно! – торжествующе произнесла Черная Королева. – Сказанного не воротишь!

Какой ответ правильный?

63. Двенадцатый и последний

– Наш экзамен подходит к концу, – объявила Черная Королева. – На три вопроса ты уже ответила неправильно. Нам осталось задать тебе лишь один вопрос. Выдержишь ли ты экзамен или провалишься, будет зависеть исключительно от того, сумеешь ли ты правильно ответить на следующий вопрос! Понимаешь ли ты это?

– Понимаю, – ответила Алиса не без дрожи в голосе.

– А вот дрожать совсем ни к чему, – заметила Королева. – Делу этим ничуть не поможешь!

– Я это понимаю, – сказала Алиса с еще большей дрожью в голосе.

– А теперь, дитя мое, я хочу задать тебе последний вопрос. Напоминаю, что все зависит только от того, сумеешь ли ты правильно ответить на него или нет!

– Помню! Я помню об этом! – закричала Алиса.

– А вопрос вот какой: выдержишь ли ты этот экзамен?

– Откуда я знаю? – ответила Алиса, сама удивляясь своей дерзости.

– Ну это не ответ! – возмутилась Черная Королева. – Ответ должен быть ясным и четким – да или нет. Ответишь правильно – выдержишь экзамен, ответишь неправильно – провалишься! Все очень просто!

Алисе казалось, что все далеко не так просто. Чем больше она размышляла над двенадцатым вопросом, тем более головоломным он ей казался. И тут Алису осенило: все дело в том, как отвечать на последний вопрос! Можно, конечно, предоставить Черной Королеве по своему усмотрению оценивать ответ и определять, провалилась ты на экзамене или выдержала его. Но можно построить ответ так, что Королева волей-неволей просто не сможет сказать, выдержала ты экзамен или провалилась, не вступая в противоречие с собственными правилами!

Поскольку Алиса была больше заинтересована не в том, чтобы выдержать экзамен, а в том, чтобы не провалиться на нем, она избрала вторую альтернативу. Ответ ее лишил Черную Королеву возможности действовать по своему усмотрению: та оказалась буквально связанной по рукам и ногам!

Что ответила Алиса на последний вопрос Черной Королевы?

Глава 7. Траляля или Труляля?

Следующее приключение Алисы было гораздо более приятным.

– Терпеть не могу эти экзамены, – сказала про себя Алиса, вскоре после того как она рассталась с Королевами. – Они так напоминают мне о школе!

И тут Алиса чуть не налетела на Траляля и Труляля. Братцы ухмыляясь глядели на нее из-под дерева, которое росло рядом с их домиком. Алиса внимательно посмотрела на их воротнички: на одном из них должно было быть вышито «TPA», а на другом – «ТРУ», но на воротничках никакой вышивки не было.

– Боюсь, что без вышитых воротничков я не сумею вас различить, – заметила вслух Алиса.

– Воспользуйся логикой, – посоветовал один из братцев, держа другого в крепких объятиях. – Мы знали, что ты заглянешь в наши края, и приготовили для тебя несколько интересных логических игр. Ты ведь любишь логические игры?

– А что это за игры? – спросила Алиса.

– Мы знаем две игры. Первая называется «Кто из нас Труляля и кто Траляля?». Вторая называется «Кто из нас Траляля и кто Труляля?». С какой игры ты хотела бы начать?

– Оба названия звучат очень похоже, – заметила Алиса. – Их нетрудно спутать!

– Звучат они, может быть, и похоже, – согласился один из собеседников Алисы, – но это еще не значит, что они похожи. Ни в коем разе!

– И задом наперед – совсем наоборот! – добавил другой. – Если бы они были похожи, то не были бы похожи, а если бы они не были похожи, то могли бы быть похожи. Следовательно, они не похожи. Такова логика!

Алиса задумалась.

– Если тебя смущают эти названия, – сказал первый братец, – то должен тебя обрадовать: у каждой из игр есть еще и другое название. Первая игра называется также «Красное и черное», а вторая – «Оранжевое и пурпурное».

– А как играют в эти игры? – спросила Алиса.

– Каждая игра проводится в шесть раундов, – пояснил первый братец. – Сыграем сначала в первую игру – в «Красное и черное».

С этими словами он вынул из кармана игральную карту (это была Королева Бубен) и показал ее Алисе.

– Видишь, эта карта красной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду. Тот, у кого карта черной масти, лжет. У моего братца (собеседник Алисы указал на своего соседа) в кармане также карта либо красной, либо черной масти. Он скажет одну фразу. Если у него в кармане карта красной масти, то он выскажет истинное утверждение. Если же у него в кармане карта черной масти, то он выскажет ложное утверждение. Ты должна узнать, кто он – Тру ляля или Траляля.

– Звучит очень заманчиво! – сказала Алиса. – Хотела бы я сыграть в эту игру!

– После того как ты определишь, кто он, тебе еще понадобится определить, кто я! Всенепременно!

– Но это же глупо/ – возмутилась Алиса, рассмеявшись. – Ведь совершенно ясно, что если он Труляля, то вы Траляля, а если он Траляля, то вы просто обязаны быть Труляля. Это вам и последний глупец скажет!

– Совершенно верно! – согласился первый братец. – А теперь за игру!

Первая игра – «Красное и черное»

64. Первый раунд

– Позвольте представиться: Траляля, – заговорил вдруг второй братец. – У меня в кармане карта черной масти.

Алиса без труда определила, кем он был на самом деле. Кем?

– Поздравляем! – сказали одновременно оба братца, пожимая Алисе один правую, а другой левую руку. – Первый раунд ты выиграла!

– Перед каждым из следующих четырех раундов. – сказал первый братец, – мы будем заходить к себе в домик, где у нас лежит колода карт. Мы ее хорошенько перетасуем, а затем один из нас вытянет одну карту, спрячет ее в карман и, выйдя из домика, выскажет какое-нибудь утверждение, а ты должна будешь определить, кто из нас перед тобой.

– А у того, кто будет говорить, карта в кармане той же масти, что и в предыдущем раунде? – спросила Алиса.

– Не обязательно, – последовал ответ. – Ведь каждый раз, когда мы заходим в домик, игра начинается заново, и мы вольны выбрать себе карту любой масти.

– Понятно, – кивнула Алиса.

65. Второй раунд

Оба братца зашли в домик. Вскоре один из них вышел с картой в кармане и заявил:

– Если я Траляля, то у меня в кармане карта не черной масти.

Кто это был?

Эта задача показалась Алисе гораздо более трудной, чем первая, но в конце концов она решила и вторую задачу.

Итак, кто это был?

66. Третий раунд

В этом раунде один сказал:

– Либо я Траляля, черной масти.

Кто это был?

67. Четвертый раунд

В этом раунде один из братцев, выйдя из домика, заявил:

– Либо я Траляля с картой черной масти в кармане, либо я Труляля с картой красной масти в кармане.

Кто это был?

68. Пятый раунд

На этот раз один из братцев, выйдя из домика, заявил:

– У Траляля в кармане карта черной масти. Кто это был?

– Прекрасно! – заявил он, обращаясь к Алисе. – Ты великолепно справилась с задачей пятого раунда.

Но последний раунд нашей игры еще труднее. Сейчас я из братцев, выйдя из домика, либо у меня в кармане карта войду в домик, перетасую всю колоду, после чего мои братец и я выберем себе по одной карте красной или черной масти и вдвоем выйдем из домика. Карты у нас могут быть и одной масти, и различных мастей. Затем каждый из нас выскажет по одному утверждению, а ты по этим двум утверждениям должна будешь определить, кто из нас Траляля и кто Труляля.

– Эта задача потруднее! – сказала Алиса.

– Вдвое труднее, – подтвердил Труляля.

69. Шестой раунд

Труляля зашел в домик, откуда вскоре вышли оба братца.

«До чего же они похожи!» – подумала Алиса.

Один из братцев (назовем его первым) встал слева от Алисы, а другой (назовем его вторым) – справа, после чего они высказали следующие утверждения:

Первый братец. Моего братца зовут Труляля, и у него карта черной масти.

Второй братец. Моего братца зовут Траляля, и у него карта красной масти.

Кто из братцев Траляля и кто Труляля?

Вторая игра – «Оранжевое и пурпурное»

– Поздравляем! – закричали оба братца. – Ты великолепно выиграла все раунды!

– Переходим к следующей игре, – сообщил Траляля. – Она еще интереснее и также проводится в шесть раундов! Перед каждым раундом мы с братцем зайдем в свой домик, где у нас есть еще одна колода игральных карт. Только масть у них не обычная красная и черная, а оранжевая и пурпурная.

– А где вы достали такие карты? – спросила Алиса.

– Мы изготовили их сами, – ответил Траляля, – специально для этого случая.

Алису очень тронула такая забота. Подумать только, столько трудов и все ради какого-то одного случая!

– Должен сказать, – добавил Траляля, – что карты очень красивые и делать их было одно удовольствие.

Вдвоем или поодиночке мы будем выходить из домика и высказывать какие-то утверждения, а ты должна будешь определить, кто из нас Траляля и кто Труляля.

– Минуточку, – попросила Алиса, – вы ничего не сказали о том, что означают столь необычные масти. Может быть, одна из мастей означает ложь, а другая истину? Если да, то какая из мастей что означает?

– Так ведь это самое интересное во второй игре! – вскричал Траляля. – Если у меня карта оранжевой масти, то это означает, что я говорю правду, а если у меня карта пурпурной масти, то это означает, что я лгу!

– И задом наперед – совсем наоборот! – вмешался Труляля. – Если у меня карта оранжевой масти, то это означает, что я лгу, а если у меня карта пурпурной масти, то это означает, что я говорю правду!

– Все это так сложно! – вздохнула Алиса.

– Ничуть! – успокоил ее Траляля. – Это только сначала так кажется, а потом ничего, привыкнешь! Так как? Начнем игру?

– Да-а, – согласилась Алиса не без сомнения.

70. Первый раунд

Оба братца вошли в свой домик. Вскоре один из них вышел и заявил:

– У меня карта пурпурной масти.

Решить задачу оказалось проще, чем ожидала Алиса.

Кто вышел из домика?

71. Второй раунд

В следующем (втором) раунде из домика вышли оба братца и высказали следующие утверждения:

Первый братец. Меня зовут Траляля.

Второй братец. Меня зовут Траляля.

Первый братец. У моего братца карта оранжевой масти.

Кто из братцев Траляля?

72. Третий раунд

В этом раунде братцы заявили следующее: Первый братец. Труляля – это я. Второй братец. Траляля – это я. Первый братец. Карты у нас одной масти.

Кто есть кто?

73. Четвертый раунд

Алисе этот раунд показался особенно интересным. Первый братец. Обе карты у нас пурпурной масти. Второй братец. Это неправда! Кто есть кто?

74. Пятый раунд

На этот раз братцы высказали следующие утверждения:

Первый братец. По крайней мере одна из наших карт пурпурной масти. Второй братец. Это правда. Первый братец. Меня зовут Траляля. Кто есть кто?

75. Шестой раунд

– В этом раунде, – сказал один из братцев, – правила остаются теми же, а вопрос, на который ты должна ответить, звучит иначе. Вместо того чтобы определять, кто из нас Труляля и кто Траляля, ты должна узнать, кто из нас лжет и кто говорит правду.

Оба братца вошли в дом, а когда вышли, заявили следующее:

Первый братец. Карты у нас одной масти.

Второй братец. Карты у нас не одной масти. Кто из братцев говорит правду?

Третья игра – два дополнительных раунда

Оба братца тепло поздравили Алису: ведь она выиграла подряд все раунды до единого!

– Прежде чем ты отправишься дальше, – сказал с лукавой улыбкой Труляля, – мы с братцем хотим предложить тебе две сверхнеобыкновенные игры, каждая по одному раунду. Карты нам больше не понадобятся, мы будем играть знаками. Играть будем так. Мы с братцем заходим в домик. Потом один из нас выходит первым, а второй – немного погодя с большим знаком (вроде дорожного), на котором вопрос будет написан такими крупными буквами, что и ты и тот, кто вышел первым, легко разберете его издали. Прочитав вопрос, тот из нас, кто вышел первым, отвечает знаком, рисуя в воздухе квадрат или круг. Один из этих знаков означает «да», другой – «нет», но, какой из знаков что означает, мы тебе не скажем. Знак, означающий «да», нарисован на оборотной стороне того знака с вопросом, но мы не покажем тебе ее, пока ты не скажешь, кто из нас Труляля и кто Траляля. Разумеется, тот из нас, кто вышел первым (ему предстоит отвечать на вопрос), видел, что нарисовано на оборотной стороне знака, и поэтому знает, какой знак означает «да», а какой «нет». Но, отвечая на вопрос на языке знаков, он может не только говорить правду, но и лгать!

– Боюсь, что я не совсем вас понимаю, – сказала Алиса.

– Я имею в виду, что если, например, круг означает «да», то тот из нас, кто говорит правду, в ответ на вопрос нарисует в воздухе круг, а тот, кто лжет, нарисует квадрат.

– Вот теперь все понятно! – обрадовалась Алиса.

– Прекрасно! Тогда начнем! Да, хочу предупредить тебя еще вот о чем. Мы с братцем договорились, что если на вопрос отвечает Траляля, то он лжет, а если Труляля, то он говорит правду.

76. Кто есть кто?

Оба братца зашли в домик. Почти сразу же один вышел и молча встал рядом с Алисой. Вскоре из домика появился и второй братец со «знаком», на котором было написано:

Братец, стоявший рядом с Алисой, в ответ нарисовал в воздухе круг.

Кто из братцев Траляля?

77. О чем спросила Алиса?

– Поздравляем! – закричали братцы. – Ты опять выиграла.

– А теперь самая интересная из всех игр! – сказал Труляля. – Выиграешь ее – получишь специальный приз!

– На этот раз, – продолжал он, – мы не договорились между собой, кто из нас лжет и кто говорит правду. Поэтому мы поступим так. Мы оба войдем в домик и оба выйдем. У каждого из нас в кармане будет по карте красной или черной масти. Тот, у кого карта красной масти, говорит правду. Тот, у кого карта черной масти, лжет. Кроме того, у одного из нас в другом кармане припрятан специальный приз. Угадаешь, у кого из нас приз, получишь его. Кто из нас Труляля и кто Траляля, на этот раз неважно. Твое дело угадать, у кого приз. Когда мы выйдем из домика, ты укажешь на одного из нас и задашь ему вопрос, только такой, чтобы на него можно было ответить «да» или «нет». Тот, кому ты задашь вопрос, ответит тебе знаком. Он нарисует в воздухе квадрат или круг. Но вот что важно: если приз у него, то квадрат означает «да», а круг означает «нет». Если же приз не у него, то квадрат означает «нет», а круг означает «да». К тому же он может либо говорить правду, либо лгать – в зависимости от того, какой масти у него карта – красной или черной.

– А какой вопрос я должна ему задать? – поинтересовалась Алиса.

– А это уж тебе знать лучше! – торжествующе ответил Труляля. – Выбрать правильный вопрос – самое трудное в?той игре. Сумеешь придумать правильный вопрос – получишь приз. Непременно!

– Боюсь, что без карандаша и бумаги на этот раз не обойтись, – заметила Алиса. – Кроме того, отправляясь в Зазеркалье, я забыла взять с собой мою записную книжку.

Труляля быстро сбегал в дом и принес блокнот и карандаш.

– Мы с братцем побудем в домике, пока ты придумаешь свой вопрос. Когда у тебя все будет готово, ты нас позовешь и мы выйдем. Времени у тебя предостаточно – думай, сколько хочешь.

Братцы отправились к себе в домик, а Алиса принялась напряженно размышлять над задачей. Наконец она закричала:

– Готово!

Братцы вышли из домика, Алиса задала одному из них свой вопрос, и тот ответил, нарисовав в воздухе либо квадрат, либо круг. Тогда Алиса указала пальцем на одного из братцев и сказала:

– Приз у вас!

Приз действительно оказался у него. Какой вопрос, позволивший сразу определить, у кого находится приз, придумала Алиса?

– Прими еще раз наши поздравления! – сказали оба братца. – Ты безусловно заслужила свой приз!

С этими словами они вручили Алисе приз, изящно упакованный в бумагу и перевязанный ленточкой. Алиса принялась разворачивать упаковку, но напрасно: чем больше она разворачивала, тем плотнее становилась упаковка!

– Разве ты забыла, что находишься в Зазеркалье? – спросил один из братцев.

– Ах да! – вспомнила Алиса и принялась заворачивать сверток в упаковочную бумагу и завязывать ленточку. Правильный подход не замедлил сказаться: словно по волшебству, сверток сам собой развернулся!

Призом были карандаш и новенькая очень красивая записная книжка.

Глава 8. И это самое прекрасное в ней!

«Вот это действительно было интересно! – сказала про себя Алиса вскоре после того, как она рассталась с Траляля и Труляля. – Гораздо лучше, чем сдавать эти противные скучные экзамены! И записная книжечка такая красивая! Как раз то, что мне нужно!»

Подумав так, Алиса присела на пенек и некоторое время занималась тем, что заносила в свою новенькую записную книжку различные приключения, которые ей хотелось запомнить, в особенности логические игры, в которые она играла с Траляля и Труляля. Заметок оказалось так много, что Алиса исписала целых девять страничек.

«А теперь в путь, – подумала Алиса, поднимаясь с пенька. – Интересно, встречу ли я Белого Рыцаря? Мне бы очень хотелось повидаться с ним. Мне так много нужно ему рассказать!»

Вскоре Алиса увидела Шалтая-Болтая. Он сидел на том же самом месте на той же самой стене. Увидев Алису, он ухмыльнулся во весь рот – от уха до уха.

– Чистая работа! Чисто сделано! – сказал он.

– Что чисто сделано? – спросила Алиса.

– Как что? Ловко ты одурачила этих Королев с их двенадцатым вопросом! Поделом им! Нечего приставать к тебе с этим дурацким экзаменом!

– Как, вы об этом знаете? – удивилась Алиса.

– Должен заметить, однако, – начал Шалтай-Болтай, – что если бы я устроил тебе экзамен, то…

– Пожалуйста, не нужно никаких экзаменов! – поспешно перебила его Алиса.

– Если бы я устроил тебе экзамен, – повторил Шалтай-Болтай, – то… Как ты думаешь, что бы я сделал?

– Не имею ни малейшего представления, – ответила Алиса с некоторым беспокойством.

– Так знай же, дитя мое, что если бы я вздумал устроить тебе экзамен (заметь, что я и не думаю делать этого!), но если бы я все же вздумал устроить тебе экзамен, то задавал бы тебе только такие вопросы, на которые нет ответа! Такие вопросы лучше всего, уж поверь мне!

– А какой смысл задавать вопросы, на которые нет ответа? – спросила Алиса.

– Именно такие вопросы и заставляют думать, – ответил Шалтай-Болтай.

– Думать о чем? – спросила Алиса.

– О том, каким мог бы быть ответ! – ответил Шалтай-Болтай.

– Но вы же сами сказали, если мне не послышалось, что ответов на эти вопросы нет.

– Нет, – подтвердил Шалтай-Болтай, – и это самое прекрасное в них!

Алиса немного подумала, но, как она ни старалась, не смогла придать хоть какой-нибудь смысл словам Шалтая-Болтая.

– А вы не могли бы привести хоть один пример такого вопроса? – попросила Алиса.

– Вот теперь ты говоришь как разумный ребенок, – похвалил ее Шалтай-Болтай. – Почему же не могу? Хочешь, я, не сходя с места, придумаю тебе два примера? С какого ты предпочла бы начать?

– Откуда я знаю? – сказала Алиса. – Я же не знаю, какие примеры вы придумаете. Как же я могу сказать, с какого примера лучше начать?

– Ты абсолютно права! – просиял Шалтай-Болтай. – Вот это то, что я называю логически мыслящим ребенком! Я приведу сейчас замечательный пример вопроса, на который нет ответа. Вот как он звучит:

– Можно ли считать «нет» правильным ответом на этот вопрос?

– На какой вопрос? – спросила Алиса.

– На вопрос, который я только что задал! – пояснил Шалтай-Болтай.

Алиса немного подумала.

– Нет, – сказала она, – конечно же, нет!

– Вот ты и попалась! – с гордостью заявил Шалтай-Болтай.

– Как? – не поверила Алиса.

– Суди сама, дитя мое! На мой вопрос ты ответила «нет», правильно?

– Правильно! – согласилась Алиса.

– А разве ты ответила правильно? – спросил Шалтай-Болтай.

– Конечно! – уверенно ответила Алиса. – Какие могут быть сомнения?

– Вот тут-то ты и попалась! – заявил Шалтай-Болтай. – Так как ты ответила «нет» и ответила правильно, то на заданный вопрос правильного ответа не существует!

– Именно это я и утверждаю! – сказала Алиса.

– Не совсем так! Если «нет» – правильный ответ, то когда я спрашиваю тебя, можно ли считать его правильным, ты должна была бы ответить «да», а не «нет»!

Алиса задумалась, и внезапно ей все стало ясно.

– Ну конечно же! – закричала она. – Вы абсолютно правы! Я должна была бы ответить «да», а не «нет»!

– Вот ты и опять попалась! – торжествующе заметил Шалтай-Болтай.

– Почему? – в изумлении воскликнула Алиса.

– Конечно, попалась, дитя мое! – «Да» не может быть правильным ответом!

– Почему? – спросила Алиса, удивленная еще больше, чем прежде.

– Ответить «да» – значит утверждать, что «нет» – правильный ответ. Но если «нет» – правильный ответ, то ты должна была бы дать его вместо того, чтобы давать неправильный ответ «да»!

– Ах так! – сказала Алиса, окончательно запутавшись. – Выходит, я правильно ответила в первый раз. Значит, на ваш вопрос мне все же следовало ответить «нет».

– Вовсе не следовало! – резко оборвал ее Шалтай-Болтай. – Я же доказал тебе это!

– Сдаюсь! – устало сказала Алиса. – А какой ответ правильный?

– Правильного ответа не существует, – торжествующе заявил Шалтай-Болтай, – и это – самое прекрасное в таких вопросах!

– А откуда вы берете эти головоломные вопросы? – спросила Алиса.

– Я придумываю их сам! – с гордостью ответил Шалтай-Болтай.

– Разве я не прав?

– Правы в чем? – спросила Алиса.

– Разве такие вопросы не заставляют думать?

– Еще как заставляют! – призналась Алиса. – У меня от вашего вопроса чуть не разболелась голова! Уж не парадокс ли ваш вопрос?

– Вот именно, дитя мое! Великолепный пример парадокса, и это – самое прекрасное в нем! Я сам его придумал!

– Знаю, – подтвердила Алиса. – Вы повторили это уже дважды.

– Не совсем! – возразил Шалтай-Болтай. – Я сказал это дважды, а повторил только один раз.

– Но дело не в этом, – продолжал он. – Обычно парадоксам придают форму утверждений, а не вопросов. Мой же парадокс (и в этом его новизна) облечен в форму вопроса, а не утверждения. В основе его та же замечательная идея, которая заложена в знаменитом утверждении, утверждающем, что оно ложно!

– А что это за утверждение? – спросила Алиса.

– Это очень известное утверждение. Если хочешь, могу записать тебе его на память.

Алиса протянула Шалтаю-Болтаю карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай просмотрел первые девять страниц.

– Очень интересно, – заметил он, – но ты забыла пронумеровать страницы. Не забывай, что страницы нужно непременно нумеровать. Иначе как ты узнаешь, какая страница за какой следует?

– Но ведь странички не вырваны из записной книжки, – возразила Алиса, – а переплетены вместе, поэтому сразу видно, какая страничка за какой следует!

– Все равно страницы нужно нумеровать! – настаивал Шалтай-Болтай. – Я их тебе сейчас перенумерую.

Он перенумеровал первые девять страниц, а затем еще чистые десятую и одиннадцатую страницы. Затем на десятой странице он написал

и отдал записную книжку Алисе.

– Что ты теперь скажешь? – спросил Шалтай-Болтай. – Истинно или ложно утверждение на странице 10 твоей записной книжки?

– На этот вопрос невозможно ответить, – сказала Алиса, немного подумав. – Оно может быть и истинным, и ложным.

– Неправильно! – воскликнул Шалтай-Болтай. – Неправильно, что оно может быть и истинным, и ложным. Оно не может быть ни истинным, ни ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– Сейчас объясню, дитя мое. Как, по-твоему, может ли это утверждение быть истинным?

– А почему бы нет? – удивилась Алиса.

– Хорошо, будь по-твоему. Предположим, что это утверждение истинно. Тогда то, что в нем говорится, должно соответствовать действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Следовательно, в действительности оно должно быть ложно. Значит, если оно истинно, то оно ложно. Но одно и то же утверждение не может быть одновременно и истинным, и ложным. Следовательно, оно не может быть истинным.

– Совершенно верно! – сказала Алиса. – А раз оно не может быть истинным, то должно быть ложным.

– Опять неправильно! – торжествующе сказал Шалтай-Болтай. – Оно не может быть и ложным!

– А почему? – спросила Алиса.

– А вот почему. Предположим, что оно ложно. Тогда то, что в нем говорится, не соответствует действительности. Но в нем говорится, что оно ложно. Поскольку то, что в нем говорится, не соответствует действительности, оно в действительности не ложно. Значит, в действительности оно истинно. Следовательно, если оно ложно, то оно истинно, и мы опять приходим к противоречию. Значит, это утверждение не может быть ложным. Вот тебе и весь сказ!

– Как же быть? – огорченно сказала Алиса. – Я опять в таком же затруднительном положении, как с вашей первой задачей!

– Совершенно верно! – согласился Шалтай-Болтай. И это самое прекрасное.

– Припоминаю, – продолжала Алиса, – что мне приходилось слышать о похожем парадоксе и раньше – историю о древнегреческом философе Эпимениде Критском. По преданию, он сказал:

«Все критяне лжецы». Если Эпименид говорит правду, то он лжет, а если Эпименид лжет, то он говорит правду. Это и есть парадокс.

– Неправильно! – решительно возразил Шалтай-Болтай. – Это не парадокс, а распространенная логическая ошибка. Одна из таких ошибок, которые только выглядят как парадокс, а на самом деле никакой это не парадокс!

– Не могли бы вы объяснить это мне подробнее? – попросила Алиса.

– Прежде всего выясним, кого ты называешь лжецом – того, кто все время лжет, или того, кто лжет время от времени?

– Я никогда не задумывалась над этим раньше, – призналась Алиса, – но, полагаю, что даже того, кто лжет время от времени, следовало бы называть лжецом.

– Тогда то, о чем ты говоришь, заведомо не парадокс, – ответил Шалтай-Болтай. – Утверждение Эпименида вполне может быть истинным, если понимать слово «лжец» по-твоему. Оно означает лишь, что все критяне время от времени лгут. Сам Эпименид, будучи критянином, также время от времени лжет, но это отнюдь не означает, что высказанное им вполне определенное утверждение о критянах (а нас интересует именно такое утверждение – о том, что все критяне лжецы) ложно. Как видишь, никакого парадокса тут нет.

– Вижу, – сказала Алиса. – Наверное, мне нужно было иначе определить, что такое лжец? По-видимому, лжец – это человек, который всегда лжет. Может быть, тут мы придем к парадоксу?

– Нет, и тогда никакого парадокса не возникло бы, – уверил ее Шалтай-Болтай. – Если определить лжеца так, как ты теперь предлагаешь, то утверждение Эпименида не может быть истинным. Действительно, если все критяне всегда лгут, то и Эпименид, будучи критянином, также всегда лжет. Следовательно, он лгал и тогда, когда высказывал свое утверждение. Таким образом, если бы оно было истинным, то должно было бы быть ложным, и мы приходим к противоречию.

– Да ведь это парадокс! – сказала Алиса.

– Нет! – возразил Шалтай-Болтай. – Противоречие возникает только в том случае, если мы предположим, что утверждение истинно. Если считать, что утверждение ложно, то никакого противоречия не возникает!

– Объясните, пожалуйста, а то мне не совсем понятно, – попросила Алиса.

– Охотно, – согласился Шалтай-Болтай. – Что мы имеем в виду, когда говорим, что утверждение Эпименида ложно? Очевидно, следующее: неверно, что все критяне лжецы. Иначе говоря, по крайней мере один критянин время от времени говорит правду. Значит, из утверждения Эпименида следует лишь, что он лжет и что по крайней мере один критянин время от времени говорит правду, а это совсем не парадокс!

– Как интересно! – воскликнула Алиса.

– Кстати сказать, – заметил Шалтай-Болтай, – если мы примем дополнительно два допущения о том, что Эпименид – единственный критянин и что высказанное им утверждение – единственное утверждение, когда-либо сделанное им за всю жизнь, то действительно получим парадокс! Он будет в точности таким же, как то утверждение, которое я написал на листке из твоей записной книжки. Помнишь, в нем говорилось о том, что оно ложно?

– Поразмысли над этим, – посоветовал Шалтай-Болтай, – а я хочу предложить тебе провести еще один опыт. Не дашь ли ты мне еще раз свою записную книжку?

Алиса с готовностью протянула ему карандаш и записную книжку. Шалтай-Болтай что-то написал в ней и, вернув записную книжку, сказал:

– Взгляни на страницу 11. Истинно написанное там утверждение или ложно?

Алиса открыла записную книжку на странице 11 и прочитала:

Алиса немного подумала и ответила:

– Я ничего не могу сказать. Мне кажется, что оно может быть и истинным, и ложным. Если оно истинно, то никакого противоречия не возникает. Если же оно ложно, то никакого противоречия также не возникает.

– На этот раз ты абсолютно права! – согласился Шалтай-Болтай.

– Да ты, я вижу, хамелеонная девочка!

– Что вы имеете в виду? – удивилась Алиса.

– А то, что ты говоришь то неправильно, то правильно, совсем как хамелеон, который меняет свою окраску: то он одного цвета, то другого.

Такое употребление слова «хамелеонный» показалось Алисе весьма странным. Впрочем, у Шалтая-Болтая (как она вспомнила) слова означали только то, что он хотел, не больше и не меньше.

– Я хотел бы провести еще один опыт, – сказал Шалтай-Болтай. – Дай-ка мне еще раз твою записную книжку.

Взяв у Алисы ее записную книжку, Шалтай-Болтай стер номера 10-й и 11-й страниц и вместо 10 написал 11, а там, где стоял номер 11, написал 10, после чего странички стали выглядеть так:

— 10 —	— 11 —
Утверждение на странице 10 ложно	Утверждение на странице 11 истинно

– Как, по-твоему, – спросил Шалтай-Болтай, – ложно или истинно утверждение на странице 11?

Алиса задумалась, как вдруг ей в голову пришло решение.

– Утверждение на странице 11 не может быть ни ложным, ни истинным, – сказала она. – Это еще один парадокс!

– Правильно! – сказал Шалтай-Болтай. – Но как это доказать?

– Очень просто, – сказала Алиса. – В утверждении на странице 11 в действительности говорится только не прямо, а косвенно, что оно ложно: в нем говорится, что истинно утверждение на странице 10, в котором говорится, что утверждение на странице 11 ложно. Следовательно, если утверждение на странице 11 истинно, то оно должно быть ложно, а если оно ложно, то должно быть истинно, и мы снова получаем парадокс.

– Ты растешь прямо на глазах! – воскликнул Шалтай-Болтай, очень довольный своей ученицей.

– Вы знаете, есть один парадокс, который мне так и не удалось решить, сколько я ни старалась, – сказала Алиса. – Может быть, вы сможете мне чем-нибудь помочь?

– Буду очень рад, – ответил Шалтай-Болтай, которому очень польстила просьба Алисы. – Я перерешал все задачи, которые когда-либо были изобретены, и еще больше задач, которые никогда не были изобретены. Так в чем твоя задача?

– В ней говорится о брадобрее, – сказала Алиса. – В одном небольшом городе жил брадобрей, который брил всех жителей города, которые не брились сами. Брился ли сам брадобрей или не брился?

– Это очень старая и очень легкая задача! – засмеялся Шалтай-Балтай.

– Но я не вижу ни одного приемлемого решения! – сказала Алиса. – Я думала над этой задачей довольно долго, но ничего путного так и не придумала. Если брадобрей бреется сам, то он нарушает свое правило, по которому он бреет только тех жителей, которые сами не бреются. Если же брадобрей сам не бреется, то он принадлежит к числу тех жителей города, которые сами не бреются, а так как таких жителей он бреет, то должен брить и самого себя. Таким образом, бреется брадобрей сам не бреется, мы приходим к противоречию! Разрешить его, сказав: «Утверждение о том, что брадобрей бреется сам, не истинно и не ложно», – мы не можем, так как он либо бреется сам, либо не бреется, поэтому утверждение должно быть либо истинным, либо ложным.

– Кто бреется сам? – спросил Шалтай-Болтай.

– Как это кто? Брадобрей!

– Какой брадобрей? – допытывался Шалтай-Болтай.

– Брадобрей из истории о брадобрее! – ответила Алиса чуточку нетерпеливо.

– Ах вот кто! – протянул Шалтай-Болтай. – А кто сказал, что эта история правдива?

Алиса немного подумала.

– Послушайте, – сказала она. – Дано, что брадобрей ведет себя так, как об этом говорится в истории. Когда вы решаете задачу, разве можно отрицать то, что дано в ее условиях?

– А разве нельзя? – удивился Шалтай-Болтай. – Даже если то, что дано, внутренне противоречиво?

Такая идея не приходила Алисе в голову.

– В действительности, – продолжал Шалтай-Болтай, – такого брадобрея нет, не было и не будет. Такого брадобрея просто не могло быть потому, что, если бы он был, возникло бы противоречие.

Алисе объяснение Шалтая-Болтая показалось не очень убедительным.

– Подумай сама, – настаивал Шалтай-Болтай не без раздражения. – Предположим, я скажу тебе, что был на свете человек ростом шесть футов, а человек не был ростом шесть футов. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого человека не было, – ответила Алиса.

– Хорошо! А предположим, я скажу тебе, что был на свете брадобрей, который сам ни брился, ни не брился. Что ты на это скажешь?

– Скажу, что такого брадобрея на свете не было, – ответила Алиса.

– Прекрасно! Именно о таком брадобрее и идет речь в твоей истории! Ведь твой брадобрей не мог бы ни бриться сам, ни не бриться сам! Следовательно, такого брадобрея на свете не было. Вот тебе логика!

На этот раз объяснения Шалтая-Болтая полностью убедили Алису.

– Существует близкая задача, которая позволяет яснее представить себе всю проблему, – продолжал Шалтай-Болтай. – В некотором городе живут два брадобрея. Назовем их брадобрей A и брадобрей B. Дано, что брадобрей A бреет всех жителей города, которые не бреются сами, но не дано, что он не бреет еще каких-нибудь жителей города. Относительно брадобрея B известно, что он не бреет ни одного жителя города, который бреется сам, но не обязательно бреет всех жителей города, которые не бреются сами. В этом случае вполне возможно, что брадобреи A и B существуют. Такое предположение ничему не противоречит.

– А в чем задача? – спросила Алиса.

– Задача состоит из двух частей. Бреет ли себя или не бреет брадобрей A? И бреет ли себя или не бреет брадобрей B?

Алиса немного подумала.

– Брадобрей A бреется сам, а брадобрей B сам не бреется, – ответила она, необычайно гордая своей сообразительностью.

– Хорошо! Очень хорошо! – похвалил ее Шалтай-Болтай. – А не можешь ли ты объяснить мне, почему?

– Потому, – начала весьма уверенно Алиса, – что если бы брадобрей A не брился сам, то он был бы одним из тех, кто не бреется сам, а поскольку всех таких жителей города он бреет, то должен был бы брить и самого себя, и мы приходим к противоречию. Следовательно, брадобрей A не бреется сам. Относительно брадобрея B можно сказать, что если бы он брился сам, то брил бы жителя города, который бреется сам, чего он никогда не делает. Значит, брадобрей B не может брить самого себя.

– Ты растешь просто на глазах! – сказал Шалтай-Болтай. – Тебе необычайно повезло, что у тебя такой прекрасный учитель!

Алиса не знала, что сказать на это. С одной стороны, уроки логики, которые преподал ей Шалтай-Болтай, действительно были весьма поучительными! И все же ее не покидало ощущение, что он чуточку хвастает!

– Вы сказали, что это позволяет по-новому взглянуть на задачу о брадобрее, – напомнила Алиса. – Какая же связь существует между задачей об одном брадобрее и задачей о двух брадобреях?

– Я очень рад, что ты спросила об этом, – оживился Шалтай-Болтай. – Видишь ли, на свете вполне мог бы быть такой брадобрей, как A, и он должен был бы бриться сам. На свете вполне мог бы быть и такой брадобрей, как B, только он не мог бы бриться сам. Но ни один брадобрей не мог бы быть одновременно и брадобреем A, и брадобреем B. Между тем в исходной задаче речь шла об одном брадобрее, который совмещал в себе отличительные особенности и брадобрея A, и брадобрея B, а именно это и невозможно!

– Понятно! – воскликнула Алиса. – Как интересно!

– Есть у меня еще одна задачка для тебя, – сказал Шалтай-Болтай. – В отличие от предыдущей она допускает вполне определенное решение. Слышала ли ты что-нибудь о «Клубе Червей»?

– Ничего! Терпеть не могу червей, – ответила Алиса, – да еще свернувшихся в клуб! Нет, о клубе червей я ничего не слышала!

– Прекрасно! – продолжал Шалтай-Болтай. – Тогда тебе досталось то, что надо!

– А что надо?

– Как что? Разумеется, та самая задача, которую я хочу тебе задать. Ведь я спросил тебя, что ты знаешь о «Клубе Червей», а ты ответила, что не знаешь ничего. Значит, и про задачу о «Клубе Червей» ты ничего не знаешь!

– Правильно! – согласилась Алиса. – Но как вы узнали, что мне надо?

– Очень просто! Я сам придумал эту задачу и никому ее еще не рассказывал.

– А что это за задача о «Клубе Червей»? – спросила Алиса.

– Видишь ли, жители одного города очень любили создавать различные клубы. Один клуб получил название «Клуб Червей». О нем нам известно следующее:

Первое. Любая жительница города, если она не состоит членом всех клубов, состоит членом «Клуба Червей». Второе. Ни один житель города не состоит членом «Клуба Червей», если не существует по крайней мере еще один клуб, членом которого он не состоит. Третье. Какой бы из клубов мы ни выбрали, все мужское население города, не состоящее членами этого клуба, влюблено в каждую жительницу города, состоящую членом «Клуба Червей».

Лиллиан живет в этом городе, – продолжал Шалтай-Болтай. – Неизвестно, однако, состоит ли она членом «Клуба Червей». Ричард также живет в этом городе. Относительно него также неизвестно, состоит ли он членом «Клуба Червей».

Спрашивается, можно ли определить, любит ли Ричард Лиллиан?

– Я не знаю даже, как подступиться к этой задаче! – призналась Алиса.

– Это все от того, что ты не думаешь! – строго сказал Шалтай-Болтай. – Между тем задача вполне разрешима. Дело в том… Нет, ты ни за что не поверишь, если я тебе сейчас скажу… Тебе это покажется просто невероятным! Я хочу тебе сказать, что в городе, о котором говорится в задаче, все мужчины должны быть влюблены во всех женщин!

Поразмыслив, Алиса сказала:

– Я все еще не понимаю почему.

– Видишь ли, дитя мое, из первой посылки следует, что каждая женщина в городе должна состоять членом «Клуба Червей». Почему? Давай рассуждать. Выберем наугад любую жительницу города. Она либо состоит членом всех клубов, либо не состоит членом всех клубов. В первом случае она должна состоять членом «Клуба Червей», а во втором заведомо состоит членом этого клуба, так как «Клуб Червей» – один из существующих в городе клубов. Следовательно, и в том и в другом случае любая жительница города состоит членом «Клуба Червей». Тем самым доказано, что все жительницы города состоят членами «Клуба Червей».

– Понятно, – сказала Алиса.

– Прекрасно, – одобрительно заметил Шалтай-Болтай, – пойдем дальше. Из второй посылки следует, что не каждый житель города состоит членом всех клубов. Почему? Да потому, что если бы некий житель состоял членом всех клубов, то он состоял бы, в частности, и членом «Клуба Червей», между тем как ни один житель города, состоящий членом всех клубов, не может быть членом «Клуба Червей». Следовательно, ни один житель города не состоит членом всех клубов.

– Понятно, – сказала Алиса.

– Это означает, – продолжал Шалтай-Болтай, – что каждый житель города не состоит членом по крайней мере одного клуба, но любой житель города, не состоящий членом любого клуба, влюблен во всех жительниц города, состоящих членами «Клуба Червей». Следовательно, все мужское население города влюблено во всех жительниц города, состоящих членами «Клуба Червей», а, поскольку все жительницы города состоят членами этого клуба, мы заключаем, что все жители города влюблены во всех жительниц города.

– Необыкновенно интересно! – сказала Алиса. – Не могли бы вы рассказать мне еще какую-нибудь историю?

– Хорошо, – согласился Шалтай-Болтай. – Поверишь ли ты, если я тебе скажу, что у меня есть сыночек?

– А почему бы и нет? – удивилась Алиса.

– А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что все любят моего сыночка?

– А почему бы и нет? – спросила Алиса.

– А поверишь ли ты, если я тебе скажу, что мой сыночек любит только меня?

– А почему бы и нет? – ответила Алиса.

– Увы, – сказал Шалтай-Болтай, – если ты поверишь во все это, то ты мыслишь непоследовательно!

– Почему? – удивилась Алиса.

– Потому что в противном случае ты путем умозаключений пришла бы к выводу, что не веришь, будто я свой собственный сыночек!

– Разумеется, в такую чушь я не верю! – возмутилась Алиса.

– Жаль! А ведь ты должна была бы верить, раз уж ты поверила во все остальное!

– Почему? – спросила Алиса, недоумевая.

– К такому выводу приводит логика, только и всего. Суди сама. Предположим, что все остальное сущая правда. Так как все любят моего сыночка, то мой сыночек также любит моего сыночка.

– Об этом я как-то не подумала! – призналась Алиса.

– Разумеется, не подумала, а должна была бы подумать! Ты всегда должна обо всем думать.

– Но я не могу думать обо всем! – возразила Алиса.

– Я никогда не говорил, что ты могла бы думать обо всем, – парировал ее возражение Шалтай-Болтай. – Я сказал лишь, что ты должна была бы думать обо всем.

– А разве имеет смысл говорить, что я должна сделать то, чего никак не могу? – озадаченно спросила Алиса.

– Это интересная проблема из философии морали, – заметил Шалтай-Болтай, – однако она увела бы нас слишком далеко в сторону. Вернемся к нашей задаче. Так как мой сыночек любит себя и любит только меня, то из этого следует, что я и есть мой собственный сыночек! Следовательно, не все из того, о чем я рассказал тебе, может быть истинно.

– Очень интересная задача! – сказала Алиса.

– Что правда, то правда! – согласился Шалтай-Болтай. – А теперь я хотел бы рассказать тебе нечто особенное, не задачку, а конфетку! Я сам ее придумал, но не уверен, что знаю ответ. На первый взгляд кажется, что это парадокс, но я абсолютно не уверен, что это действительно так.

Алисе не терпелось поскорее узнать, что это за задача, которая поставила в тупик самого Шалтая-Болтая.

– Как бы тебе лучше сказать? – попытался объяснить Шалтай-Болтай. – Ты, должно быть, знаешь всякие задачи о рыцарях, которые всегда говорят правду, и лжецах, которые всегда лгут?

– Да, таких задач великое множество! – подтвердила Алиса.

– Так вот! Представь себе, что ты находишься в стране, где обитают только рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Навстречу тебе попадается один коренной житель страны, о котором тебе ничего не известно (ты знаешь лишь, что он либо рыцарь, либо лжец, но не имеешь ни малейшего представления, кто именно из двух). Он произносит только одну фразу:

– Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь.

Кто он, по-твоему?

– Давайте рассуждать, – предложила Алиса. – Предположим, что он лжец. Тогда его утверждение ложно. Это означает, что я знаю или узнаю, что он рыцарь. Но если я знаю, что он рыцарь, то он действительно должен быть рыцарем (ведь то, что достоверно известно, должно быть истинным). Следовательно, если он лжец, то ои должен быть рыцарем, и мы приходим к противоречию. Значит, он не может быть лжецом и поэтому должен быть рыцарем.

– Итак, ты знаешь, что он рыцарь, – подвел итог Шалтай-Болтай.

– Да, – ответила Алиса, – но тут возникают новые трудности. Так как я знаю, что он рыцарь, его утверждение («Ты не знаешь и никогда не узнаешь, что я рыцарь») должно быть ложным. Но тогда он должен быть лжецом, и мы приходим к парадоксу.

– Кажется, ты права, – задумчиво проговорил Шалтай-Болтай, – но я не уверен…

– Разрешить парадокс, – прервала его Алиса, – как мне думается, можно только одним способом: признать, что данные в условии задачи невозможны. Ни один коренной житель-рыцарь не мог бы высказать такое утверждение.

– Кажется, ты права, – повторил Шалтай-Болтай, – но все же я не уверен…

Он замолчал и погрузился в размышления.

– И все же вы не уверены в чем? – спросила Алиса.

– В том, что рыцарь не мог высказать такое утверждение. Уж тебе-то он мог сказать такое!

– Почему мне? – удивилась Алиса.

– Потому что ты реагируешь по-особому! – пояснил Шалтай-Болтай. – Предположим, что ты действительно отправилась в такую страну и повстречала коренного жителя, который высказал бы такое утверждение. Как бы ты поступила?

– Но я же сказала вам, – обиделась Алиса, – что усомнилась бы в непротиворечивости условий задачи. Иначе говоря, я усомнилась бы в том, что рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут.

– Но тогда ты не смогла бы никак определить, кто тебе встретился, рыцарь или лжец.

– Разумеется, не смогла бы, – ответила Алиса.

– Значит, повстречавшийся тебе коренной житель сказал бы правду и мог быть рыцарем. Следовательно, условия задачи все же непротиворечивы!

– Какая жалость! – признала свое поражение Алиса. – Мне иногда кажется, что все, о чем я говорю, неверно!

– Именно так! – торжествующе подтвердил Шалтай-Болтай. – И это самое прекрасное в том, что ты говоришь!

Глава 9. Что не мог точно вспомнить Белый Рыцарь

«Шалтай-Болтай – один из самых больших путаников, которых я знаю!» – подумала Алиса через некоторое время после того, как она оставила его сидящим на стене в глубоком раздумье.

«Вместе с тем, – продолжала она про себя, – он рассуждает так логично! Хотела бы я знать, как ему удается быть и путаником, и логичным?»

И тут Алиса увидела вдали своего старого доброго знакомого Белого Рыцаря. Он медленно ехал верхом на коне навстречу ей. Из всех задач-приключений, выпавших на долю Алисы в Зазеркалье, те, о которых пойдет речь в этой главе, запомнились ей особенно ясно. Многие годы спустя она задавала своим друзьям эти удивительные и необычные задачи.

Белый Рыцарь издали увидел Алису, помахал ей рукой и тут же свалился с коня.

«Бедняжка! – подумала Алиса. – Опять он упал! Может быть, ему все же лучше ездить на деревянной лошадке на колесиках?»

Нужно сказать, что Белый Рыцарь ничуть не ушибся (он упал, угодив головой прямехонько в свой шлем, висевший у него на луке и похожий на огромную сахарную голову). Поднявшись, он опять взгромоздился на коня и, свалившись с седла еще пять или шесть раз, наконец подъехал к Алисе. Он был очень рад снова увидеть ее и с интересом выслушал рассказ Алисы о ее последних приключениях. Особый интерес у него вызвали упоминания о судах в Стране Чудес по поводу украденных кренделей.

– Раз уж разговор зашел о судах, – сказал Белый Рыцарь, – то должен сказать тебе, что мне довелось присутствовать при разборе самых интересных судебных дел в мире!

– Пожалуйста, – попросила Алиса, которую теперь очень интересовали такого рода дела, – расскажите мне о них!

– О да! – задумчиво повторил Белый Рыцарь. – Это были очень-очень интересные дела!

– Расскажите, пожалуйста, хотя бы о некоторых! – взмолилась Алиса.

– Очень интересные дела! – продолжал Белый Рыцарь. – Как сейчас помню. Захожу я в суд на прошлой или, может быть, позапрошлой неделе…

– А что за дело слушалось в суде? – спросила Алиса.

– Точно не помню, но о чем-то дело слушалось, это точно!

– Подумать только! – Алиса еле сдерживалась, чтобы не рассмеяться. – Не часто приходится суду слушать дело ни о чем!

– Совершенно верно, совершенно верно, – подтвердил Белый Рыцарь. – Могу со всей определенностью сказать, что слушалось дело о чем-то, я только не могу точно вспомнить, о чем именно! Кто-то сделал что-то, чего делать не следовало, и предстал перед судом.

Последовало длительное молчание.

– А что-нибудь еще вы помните? – спросила Алиса.

– Как сейчас, помню, что на процессе было трое подсудимых и только один из них оказался виновным.

– Хорошо! – подбодрила Белого Рыцаря Алиса. – А кто были эти подсудимые?

– Кто были эти подсудимые? – повторил Белый Рыцарь. – Кем они были? Не могу точно припомнить, но точно помню, что их было трое.

– А что произошло на суде?

– Что произошло? – повторил Белый Рыцарь. – Как это что? Подсудимые выступили с показаниями.

– И что это были за показания? – спросила Алиса с легким нетерпением (уж очень медленно прояснялась картина процесса).

– Что за показания? – повторил Белый Рыцарь. – Что за показания, точно не припомню, но точно помню, что каждый из подсудимых сделал какое-то заявление, что-то такое утверждал.

– Нет, вы только подумайте! – воскликнула Алиса, терпение которой было исчерпано. – А что они утверждали, вы не помните?

– Как не помнить! – обрадовался Белый Рыцарь. – Еще как помню! Я кое-что помню из этих утверждений. Первый подсудимый обвинял либо второго, либо третьего, не припомню только, кого именно.

– А как вел себя на суде второй подсудимый? – спросила Алиса.

– Его спросили, кто виновен, и, ко всеобщему удивлению, он признал виновным себя.

– А о третьем подсудимом что-нибудь известно? – спросила Алиса.

– Третьего подсудимого тоже спросили, кто виновен, и он либо признал виновным себя, либо сказал, что виновен второй подсудимый, но как именно было дело, я не припомню.

Алиса задумалась, но, как ни старалась, не смогла до конца разобраться в том, что произошло на суде.

– Скажите, пожалуйста, – обратилась она к Белому Рыцарю, – знали ли оба невиновных подсудимых, кто виновен?

– О да! – ответил Белый Рыцарь. – Все подсудимые знали, кто виновен.

– Тогда, наверное, кто-то из подсудимых дал ложные показания, кто-то, возможно, сказал правду. Так ли это было?

– Именно так, – подтвердил Белый Рыцарь. – Одни подсудимые, давая показания, лгали, другие говорили правду.

– Вы не помните, кто из них лгал и кто говорил правду? – спросила Алиса.

– Помню, что виновный лгал, – сказал Белый Рыцарь. – О невиновных же я помню, что либо кто-то из них один сказал правду, (вполне возможно, что это был не тот, а другой), либо они оба дали правдивые показания, не припомню только, один невиновный сказал правду или оба.

На этом Белый Рыцарь завершил свой отчет о судебном процессе.

«Из всех отчетов о судебных процессах, которые мне приходилось слышать, – подумала Алиса, – этот самый неудовлетворительный!»

Тем не менее, упорно размышляя над задачей, Алиса мало-помалу выяснила, что, несмотря на все провалы в памяти Белого Рыцаря, он сообщил достаточно информации для того, чтобы решить, кто был виновен: первый, второй или третий подсудимый.

Кто был виновен? (Это и есть задача 78.)

79. Второй отчет о судебном процессе

– Что и говорить! На интереснейших судебных процессах довелось мне побывать! – сказал Белый Рыцарь после того, как Алиса решила предыдущую задачу. – А какие дела там слушались!

– Расскажите, пожалуйста, еще об одном процессе, – попросила Алиса.

Задача, которая затем последовала, оказалась самой интересной из всех когда-либо слышанных Алисой.

– Хорошо, – согласился Белый Рыцарь. – Особенно интересным был суд в прошлом месяце. На нем также было трое подсудимых, и лишь один из них был виновен. Первым слово дали первому подсудимому, затем выступил второй подсудимый, а после него третий.

– А что они сказали? – спросила Алиса.

– Точно не припомню, – ответил Белый Рыцарь, но точно помню, что каждый из подсудимых обвинял одного из двух остальных. Но кто кого обвинял, я не припомню. Можешь ли ты узнать, кто виновен?

– Разумеется, не могу! – сказала Алиса. – Ведь вы мне практически ничего не сказали! Может быть, вы вспомните по крайней мере, кто из обвиняемых лгал и кто говорил правду?

Очень интересно, что ты об этом спросила, – оживился Белый Рыцарь. – Две недели назад я рассказывал об этом процессе Белому Королю, которому не удалось выбраться в суд, и Белый Король задал мне тот же самый вопрос, а когда я сообщил ему, кто из троих подсудимых лгал и кто говорил правду, он сумел путем умозаключений установить, кто виновен.

– Так кто же лгал и кто говорил правду? – спросила Алиса.

– Увы! Сейчас я этого уже не помню! – ответил Белый Рыцарь.

– Какой же прок приниматься за решение безнадежной задачи? – печально сказала Алиса.

– Как хорошо, что ты об этом сказала! – обрадовался Белый Рыцарь. – Такая же история приключилась со мной на прошлой неделе. Я встретил Шалтая-Болтая и рассказал ему об этом судебном процессе. Я рассказал Шалтаю-Болтаю, что за неделю до встречи с ним я встретил Белого Короля и рассказал тому о судебном процессе и что Белый Король, узнав, кто из подсудимых лгал на суде и кто говорил правду, сумел установить виновного. Шалтай-Болтай также спросил меня, кто же из подсудимых лгал и кто говорил правду, но к тому времени я уже успел позабыть и не смог ему ничего ответить. Тогда Шалтай-Болтай сказал:

– Думаю, что за решение такой задачи мне не стоит и браться. Безнадежное это дело!

– И Шалтай-Болтай так и не решил эту задачу? – спросила Алиса.

– Ну как же! Решил! Шалтай-Болтай задал мне еще один вопрос и, как только я на него ответил, смог решить задачу.

– А что это был за вопрос? – сгорая от нетерпения, спросила Алиса.

– К сожалению, я успел позабыть его, – ответил Белый Рыцарь.

– Не очень-то легко извлекать из вас необходимые сведения, – пожаловалась Алиса. – А хоть что-нибудь об этом вопросе вы помните?

– Еще бы! – ответил Белый Рыцарь. – Как сейчас помню, что Шалтай-Болтай спросил меня либо о том, были ли любые два показания подряд истинными, либо о том, были ли любые два показания подряд ложными, но какой именно из этих двух вопросов его интересовал, я не припомню. Не помню, что я ему ответил.

Кто из троих подсудимых виновен?

80. Следующий судебный процесс

– Как сейчас, помню другой прелюбопытнейший судебный процесс, – сказал Белый Рыцарь. – Подсудимых было трое. Каждый из них обвинял одного из двух остальных. Первый обвиняемый был единственным, кто сказал правду. Если бы каждый из обвиняемых обвинял не того, кого он обвинял, а другого, то второй обвиняемый был бы единственным, кто сказал правду.

Кто из троих обвиняемых виновен?

81. Судебный процесс, следующий за следующим

– Я хочу рассказать тебе об одном судебном процессе, на котором мне не довелось быть самому. Мне рассказал о нем Бармаглот.

По словам Бармаглота, подсудимых было трое. Каждый из них обвинял одного из двух других, но кто кого обвинял, Бармаглот мне не сказал. Однако он сообщил мне, что первый обвиняемый говорил правду.

– А о втором обвиняемом что-нибудь известно? – спросила Алиса.

– Бармаглот ничего не сказал мне о том, говорил ли второй обвиняемый правду или лгал.

– А третий? – спросила Алиса.

– Бармаглот сообщил мне, либо что третий подсудимый лгал, либо что тот говорил правду, но, к сожалению, я не помню, что именно сказал Бармаглот. Помню лишь, что после того, как он сказал мне то, что он сказал, я смог определить, кто из троих подсудимых виновен, но, к сожалению, я забыл, кто это был. Кто из троих подсудимых виновен?

82. Еще один судебный процесс

– Как сейчас, помню, рассказывали мне как-то раз об аналогичном судебном процессе, – продолжал Белый Рыцарь. – Подсудимых было трое. Каждый обвинял одного из двух других, и первый подсудимый говорил правду. К сожалению, Бармаглот ничего не сказал мне о том, лгал ли или говорил правду второй подсудимый, но зато сообщил мне, лгал ли или говорил правду третий подсудимый. Эта информация не позволила мне установить виновного. Тогда Бармаглот сообщил мне, кого обвинял третий подсудимый, и я сразу смог определить, кто из троих подсудимых виновен. К сожалению, я не помню ни того, говорил ли третий подсудимый правду или лгал, ни того, кого он обвинял.

Кто из подсудимых виновен на этот раз?

83. Еще один случай

Как сейчас, помню, – начал Белый Рыцарь, – мне довелось быть на одном судебном процессе, на который не смог попасть Бармаглот. Как это обычно у нас бывает, подсудимых было трое, а виновным из них был только один. Когда первого подсудимого спросили, признает ли он себя виновным, то ответ был кратким: то ли «да», то ли «нет», хотя что именно, я сейчас не припомню. Затем спросили второго подсудимого, признает ли он себя виновным. Ответ также был односложным: то ли «да», то ли «нет», хотя что именно, я также не помню. Затем спросили третьего подсудимого, виновен или невиновен первый подсудимый, и третий подсудимый либо ответил, что первый подсудимый невиновен, либо утверждал, что первый подсудимый виновен. Но что именно ответил третий подсудимый, истерлось из моей памяти. Есть ли у тебя хотя бы малейшее представление о том, кто виновен?

– Разумеется, нет! – ответила Алиса.

– Я тоже не сумел определить виновного, – признался Белый Рыцарь. – Зато я помню еще кое-что: я запамятовал, кто из подсудимых говорил правду и кто лгал, но хорошо помню, что по крайней мере один из них говорил правду и по крайней мере один из них лгал. Можешь ли ты теперь определить, кто виновен?

– Разумеется, нет! – ответила Алиса.

– Я тоже не сумел определить виновного, – сказал Белый Рыцарь, – но, если это тебе хоть как-то поможет, позволь мне сообщить тебе, что на прошлой неделе я повстречал Бармаглота, который принялся расспрашивать меня о процессе. В то время я еще помнил, что именно говорил каждый обвиняемый, и пересказал Бармаглоту показания всех подсудимых. Кроме того, я сообщил Бармаглоту, что по крайней мере один из трех подсудимых говорил правду и по крайней мере один лгал. Узнав об этом, Бармаглот путем логических умозаключений сумел найти виновного.

Теперь уже у Алисы (и, следовательно, у вас, читатель) имеется достаточно информации для того, чтобы решить задачу.

Кто виновен?

84. И еще один случай

– Как сейчас, помню еще один судебный процесс, на котором мне довелось побывать, – начал Белый Рыцарь. – Подсудимых было трое, и только один из них был виновен. Помню, что первый подсудимый обвинял второго, но совершенно запамятовал, что говорили второй и третий подсудимые. Помню также, что на прошлой неделе меня попросила рассказать ей о процессе Черная Королева, и я сообщил ей еще один факт, который не могу никак припомнить теперь. Либо я сказал Черной Королеве, что виновный был единственным из подсудимых, который лгал, либо я сказал ей, что виновный был единственным из подсудимых, который говорил правду. Зато я отчетливо помню, что Черная Королева сумела путем умозаключений установить, кто виновен.

Кто же виновен?

85. А что сказали бы вы?

– Об одном судебном процессе в моей памяти сохранились многочисленные подробности, – поведал Алисе Белый Рыцарь. – Я отлично помню, что подсудимых было трое и что только один из них был виновен. Я отчетливо помню, что первый подсудимый обвинил второго, а второй признал себя виновным. Что же касается третьего подсудимого, то он либо признал себя виновным, либо обвинил первого подсудимого, не скажу тебе точно.

– Некоторое время назад я рассказал эту задачу Шалтаю-Болтаю, – продолжал Белый Рыцарь, – и он спросил меня, сколько из трех показаний было правдивых. Не помню, что я ему ответил, но после того, как я ему ответил, Шалтай-Болтай сумел решить задачу. Кто из подсудимых виновен?

86. Что стало с Козлом?

– Много я повидал на своем веку преинтереснейших судебных процессов, – продолжал Белый Рыцарь. – Как сейчас, помню один прелюбопытнейший процесс! Я даже помню всех подсудимых!

«Хоть какое-то разнообразие!» – подумала Алиса.

– Очень милый был процесс! На скамье подсудимых оказались трое: Козел, Жук и Комар.

– Я хорошо их помню! – воскликнула Алиса, перебирая в памяти свои приключения с зазеркальными насекомыми.

– Самые тяжелые подозрения пали на Козла, – продолжал Белый Рыцарь. Сначала Козел обвинил одного из насекомых, не помню только, Жука или Комара. Затем Жук обвинил то ли Комара, то ли Козла, не помню только, кого именно. Затем Комар обвинил то ли Жука, то ли Козла. К сожалению, у меня из головы вылетело кого.

«Ничего себе задачка! – подумала Алиса. – Кажется, я опять попала в хорошенькую историю!»

– Хорошо помню, – продолжал Белый Рыцарь, – что, заслушав другие показания, суд установил, что то ли Козел лгал, то ли оба насекомых говорили правду. Что именно суд установил, я не помню, может быть, и то и другое.

– Козла признали виновным или нет? – спросила Алиса.

– Что там произошло, я не помню, – ответил Белый Рыцарь. – Помню только, что суд либо признал Козла виновным, либо освободил его из-под стражи, либо ни то ни другое.

– Но ведь что-нибудь одно из трех непременно случилось! – рассердилась Алиса. – Такие вещи и помнить не нужно. Это – просто-напросто логика.

– Ты совершенно права! – сказал Белый Рыцарь. – И все же я помню это, как сейчас!

– А что еще вы помните? – спросила Алиса.

Несколько дней назад я встретил Господина в белой бумаге, с которым ты ехала в поезде. Ему не удалось побывать на процессе, но он живо интересовался всем, что там происходило, так как лично был знаком со всеми подсудимыми. Я рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. Кроме того, тогда я еще помнил, лгал ли Козел или насекомые говорили правду. Когда я рассказал все это Господину в белой бумаге, он путем умозаключений сумел определить, был ли Козел признан виновным, освобожден из-под стражи или же суд не пришел к какому-нибудь определенному решению.

Итак, был ли Козел признан виновным, освобожден из-под стражи или суд не смог прийти к определенному решению?

87. Самое запутанное дело

Из всех судебных казусов, о которых поведал Алисе Белый Рыцарь, тот, о котором я расскажу вам сейчас, особенно глубоко запечатлелся в ее памяти. На первый взгляд кажется, что эта задача абсолютно неразрешима, но, поразмыслив, вы поймете, что и она поддается логическому анализу.

– На судебном процессе, о котором я хочу тебе рассказать, – начал Белый Рыцарь, – подсудимых, как обычно, было трое, и только один из них был виновен. Первый подсудимый либо утверждал, что он невиновен, либо утверждал, что он виновен, но что именно он утверждал, я не помню. Второй подсудимый либо утверждал, что он невиновен, либо утверждал, что он виновен, но что именно он утверждал, я также не помню. Третий подсудимый либо обвинял первого подсудимого, либо утверждал, что первый подсудимый невиновен, но что именно он утверждал, я позабыл. Но зато я, как сейчас, помню, что правдивым было не более чем одно из трех показаний.

– В прошлом месяце, – продолжал Белый Рыцарь, – я встретил Бармаглота и рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. В то время я еще помнил, что именно говорил каждый из трех подсудимых, и, когда я сообщил Бармаглоту их показания, он сумел решить задачу.

– Знаю, знаю? – перебила его Алиса. – Дальше вы скажете, что, будь у меня эти дополнительные сведения о Бармаглоте, я непременно должна была бы решить задачу. Ведь правильно?

– Нет, – задумчиво ответил Белый Рыцарь. – Для того чтобы ты могла решить задачу, этих сведений недостаточно.

– А что еще мне необходимо знать?

– А вот что, – ответил Белый Рыцарь. – Через неделю после моего разговора с Бармаглотом я встретил Труляля, большого знатока и любителя такого рода вопросов, и рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. Разумеется, Труляля смог продвинуться в решении задачи ничуть не дальше, чем ты. Однако он спросил меня, не помню ли я показания первого подсудимого. К счастью, в то время я еще помнил, что сказал первый подсудимый, и сообщил об этом Труляля. Но и это не помогло: Труляля так и не смог решить задачу.

– Интересно получается! – воскликнула Алиса. – Труляля, зная все, о чем вы ему сказали, не смог решить задачу, а я, не зная всего этого, должна решить ее?

– Разумеется, нет! – успокоил ее Белый Рыцарь. – Мой рассказ еще не окончен.

– Через неделю, – продолжал Белый Рыцарь, – я встретил Траляля. Я не стал ему рассказывать о моей встрече с Труляля, а вместо этого сообщил все остальное, о чем ты уже знаешь. Траляля не стал спрашивать меня о том, что сказал первый подсудимый, а то ли захотел узнать, что сказал второй подсудимый, то ли что сказал третий подсудимый, но сегодня я уже не помню, что именно интересовало Траляля. Тем не менее какой-то вопрос он все же задал, и, так как ответ мне был известен, я не стал скрывать его от Траляля. Но и после моего ответа Траляля не смог решить задачу.

– Ваша задача становится все более интересной, – сказала Алиса. – А теперь я уже располагаю всеми необходимыми сведениями, чтобы решить задачу, или нет?

– Нет, – ответил Белый Рыцарь. – Я должен сообщить тебе еще кое о чем.

– На прошлой неделе, – продолжал он, – я встретил Шалтая-Болтая и рассказал ему все, о чем ты уже знаешь. Я поведал ему и о том, как безуспешно пытался решить задачу Бармаглот, и о том, как бились над ней Траляля и Труляля, но были вынуждены отступить несмотря на то, что 'располагали дополнительными сведениями. Шалтай-Болтай тотчас же извлек карандаш и записную книжку и принялся что-то писать. Наконец он покачал головой и сказал:

– Данных недостаточно! Вот если бы вы могли припомнить, о ком спрашивал Траляля – о втором или о третьем подсудимом, то я, возможно, сумел бы решить задачу, хотя и не уверен, что мне это удалось бы.

– К счастью, – продолжал Белый Рыцарь, – в то время я еще помнил свой разговор с Траляля и сообщил Шалтаю-Болтаю, о котором из двоих подсудимых тот спрашивал. Я не сказал Шалтаю-Болтаю, что именно сказал тот подсудимый, поскольку его показания уже вылетели у меня из памяти, но указал, чьи показания интересовали Траляля. И тогда Шалтай-Болтай смог решить задачу.

– Вот теперь, – завершил свой рассказ Белый Рыцарь, – ты уже знаешь все необходимое для того, чтобы решить задачу.

– И Алиса действительно справилась с такой задачей? – спросила в изумлении Алиса.

– Конечно, – ответил я, – и ты справишься. Нужно только как следует сосредоточиться!

Кто из троих подсудимых виновен?

Глава 10. Зазеркальная логика

Льюис Кэрролл очень мало рассказал нам о другом Белом Рыцаре. Мы знаем лишь, что второй Белый Рыцарь однажды попытался надеть шлем первого Белого Рыцаря, что было очень неосторожно с его стороны, так как внутри шлема, когда он попытался примерить его, была голова первого Белого Рыцаря!

Когда Алиса повстречала второго Белого Рыцаря, голова у нее пошла кругом! Еще бы! Ведь он высказывал так много ложных утверждений!

«Может быть, он один из тех, кто всегда лжет? – подумала Алиса. – Нет, не может быть!» – отвергла она такое предположение. Интуиция подсказывала ей, что второй Белый Рыцарь был абсолютно искренним человеком. Но если бы вы знали, что он говорил! Прежде всего он сказал Алисе, что она Единорог!

– Вы действительно считаете, что я Единорог? – спросила Алиса.

– Нет, – ответил второй Белый Рыцарь.

Затем он утверждал, будто Белый Король спит и Алиса ему снится, но тотчас же заявил, что Белому Королю ничего не снится. Затем он высказал два противоположных (или, как говорят логики, контрадикторных) утверждения, не помню, о чем именно, и сначала заявил, что одно из них истинно, а потом стал настаивать, что другое ложно, после чего сказал, что оба утверждения истинны.

Сначала Алиса думала, что второй Белый Рыцарь просто противоречит самому себе, но, как она ни старалась, ей никак не удалось ни разу поймать его на прямом противоречии, то есть на утверждении, о котором бы он сначала сказал, что оно истинно, а потом, что оно ложно, хотя о том же утверждении он мог сказать, что оно одновременно и истинно, и ложно! Не удалось ей добиться от второго Белого Рыцаря и отдельных высказываний – о том, что одно утверждение истинно, а другое ложно.

После нескольких часов непрерывных вопросов у Алисы накопилось огромное количество данных, которые она аккуратно заносила в свою записную книжку. Прихватив ее с собой, Алиса отправилась к Шалтаю-Болтаю.

– Все ясно! – сказал Шалтай-Болтай, проглядев Алисины заметки. – Все абсолютно ясно!

– Что вы хотите этим сказать? – спросила Алиса. – Что этот Белый Рыцарь лжет?

– Белые Рыцари никогда не лгут! – ответил Шалтай-Болтай.

– Тогда я не понимаю! – чуть не заплакала Алиса. – Ничего не понимаю!

– Разумеется! – презрительно процедил Шалтай-Болтай. – Ты ничего не понимаешь в зазеркальной логике!

– А что такое зазеркальная логика?

– Разумеется, это логика, которой пользуются зазеркальные логики, – последовал ответ.

– А кто такие зазеркальные логики? – удивилась Алиса.

– Разумеется, те, кто пользуется зазеркальной логикой, – ответил Шалтай-Болтай. – Уж об этом ты могла бы догадаться!

Алиса немного подумала. Почему-то ей показалось, что от таких объяснений не так уж много толку!

– Видишь ли, – продолжал Шалтай-Болтай, – есть здесь кое-кто, кого принято называть зазеркальными логиками. Их утверждения могут показаться тебе несколько необычными, пока ты не подберешь ключ, что, кстати сказать, совсем нетрудно. А коль скоро ключ найден, все, что говорят зазеркальные логики, становится простым и понятным.

– А что это за ключ? – спросила Алиса, сгорая от любопытства.

– Так я тебе и сказал! Впрочем, могу кое-что подсказать. Я изложу тебе пять основных условий, которым должен удовлетворять зазеркальный логик, а ты сможешь найти ключ к разгадке.

Условие 1. Зазеркальный логик абсолютно честен. Он высказывает те и только те утверждения, в истинности которых убежден.

Условие 2. Всякий раз, когда зазеркальный логик заявляет, что некоторое утверждение истинно, он также заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения.

– Минуточку, – перебила Шалтая-Болтая Алиса. – Вам не кажется, что вы противоречите самому себе? По первому условию зазеркальный логик всегда говорит только правду. Следовательно, если он говорит, что какое-то утверждение истинно, то должен быть действительно убежден, что оно истинно. Как же в таком случае, не прибегая ко лжи, он может заявить, что не убежден в истинности этого утверждения?

– Хороший вопрос, – одобрительно заметил Шалтай-Болтай. – Дело в том, что я никогда не говорил, что зазеркальные логики точны в своих высказываниях. Если зазеркальный логик убежден в чем-то, то это вовсе не означает, ни что он знает, что убежден, ни даже что он обязательно убежден, что убежден в этом чем-то. Более того, зазеркальный логик может быть ошибочно убежден, что он в чем-то не убежден.

– Вы хотите сказать, – заговорила в крайнем удивлении Алиса, – что кто-то может быть в чем-то убежден и вместе с тем убежден в том, что он не убежден в этом чем-то?

– Если этот кто-то – зазеркальный логик, то да, – ответил Шалтай-Болтай. – С зазеркальными логиками такое происходит непрестанно. Это непосредственно следует из первых двух условий.

– Как так? – удивилась Алиса.

– А вот как, – пояснил Шалтай-Болтай. – Предположим, зазеркальный логик убежден, что утверждение истинно. Тогда по первому условию он заявляет, что утверждение истинно. Затем по второму условию он заявляет, что не убежден в истинности этого утверждения. Следовательно, по первому условию он должен быть убежден, что не убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь.

– Но довольно, – прервал себя Шалтай-Болтай, – а то я все подсказываю тебе да подсказываю! Назову-ка я лучше остальные условия, чтобы ты смогла найти ключ ко всей загадке зазеркальных логиков!

Условие 3. Относительно истинного утверждения (истинность которого достоверно известна) зазеркаль-ный логик заявляет, что убежден в его истинности.

Условие 4. Если зазеркальный логик в чем-то убежден, то он не может быть также убежден в противоположном.

Условие 5. Относительно любого утверждения зазеркальный логик либо убежден в его истинности, либо убежден в истинности противоположного утверждения.

– Это самый полный перечень условий, – с гордостью заметил Шалтай-Болтай. – Из них ты сможешь вывести, какие утверждения зазеркальный логик считает истинными и какие ложными. А теперь я хочу задать тебе несколько вопросов, чтобы проверить, все ли ты поняла.

Вопрос первый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Убежден ли зазеркальный логик, что ты снишься Черному Королю или нет?

– Как я могу это узнать? – возмутилась Алиса.

– Очень даже просто, – ответил Шалтай-Болтай. – Ответ следует непосредственно из условий, но как, я скажу тебе потом. А пока мне хотелось бы задать тебе еще один вопрос.

Вопрос второй. Предположим, за зеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит. Следует ли из этого, что он убежден, что Черная Королева спит?

– А почему это должно следовать? – спросила Алиса.

– Это действительно следует, – сказал Шалтай-Болтай, – а вот почему, ты узнаешь потом. А пока попытайся ответить на такой вопрос.

Вопрос третий. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черная Королева спит?

– А почему он должен быть убежден в этом? – вне себя от удивления спросила Алиса.

– Хороший вопрос, – одобрительно заметил Шалтай-Болтай, – мы еще вернемся к нему. А пока попробуй ответить на следующий вопрос.

Вопрос четвертый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Обязательно ли он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят?

– А разве это не тот же самый вопрос, который вы мне уже задавали? – спросила Алиса. – Если зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то разве не одно и то же быть убежденным, что Черная Королева спит или что Черный Король и Черная Королева оба спят?

– Совсем не одно и то же, – решительно возразил Шалтай-Болтай.

– Но почему? – удивилась Алиса.

– Об этом я расскажу тебе потом, – пообещал Шалтай-Болтай, – а пока попытайся ответить на такой вопрос.

Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Убежден ли он, что Черный Король спит?

– Думаю, что убежден, – ответила Алиса.

– А вот и нет! – заявил Шалтай-Болтай. – Попробуй-ка лучше ответить на другой вопрос.

Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что зазеркальный логик убежден, что один из августейших супругов спит, а другой бодрствует?

– Конечно, не следует! – сказала Алиса.

– А вот и следует! – заметил Шалтай-Болтай. – Почему, я объясню тебе потом, а пока вот тебе еще один вопрос.

Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Лев не находится в лесу, если с ним нет Единорога. Убежден ли он, что Лев находится в лесу или нет?

– Не знаю даже, как подступиться к такой задаче, – призналась Алиса.

– Конечно, не знаешь, – презрительно сказал Шалтай-Болтай, – а все потому, что у тебя нет ключа к разгадке. Может быть, сумеешь ответить на другой вопрос?

Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Бармаглот высказал за всю свою жизнь по крайней мере одно истинное утверждение. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого утверждения, которое когда-либо высказал Бармаглот?

– Почему такой вывод должен следовать? – спросила Алиса. – Это просто глупо!

– А между тем он следует, – сказал Шалтай-Болтай. – Мне кажется, впрочем, что я слишком много тебе подсказываю! Не сможешь ли ты ответить на такой вопрос?

Вопрос девятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли отсюда, что грифоны существуют?

– У меня голова идет кругом от всего этого! – чуть не плача, воскликнула Алиса. – Уж теперь-то я заведомо не имею ни малейшего представления о том, что такое зазеркальная логика!

– Тогда попробуй ответить еще на один вопрос, – предложил Шалтай-Болтай.

Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Предположим, он также убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали. Убежден ли он, что Алиса станет королевой или не убежден?

– Думаю, что убежден, – ответила Алиса. – А как на самом деле?

– Видишь ли, – засмеялся Шалтай-Болтай, – мой последний вопрос был с подвохом. Это немного «нечестный» вопрос, поэтому я и не ждал, что ты сможешь ответить на него.

– Он более нечестен, чем остальные ваши вопросы? – поинтересовалась Алиса.

– Безусловно, – заверил ее Шалтай-Болтай. – Все остальные вопросы абсолютно честные.

– А мне кажется, что они все с подвохом, – призналась Алиса. – Я все еще не понимаю зазеркальную логику!

Если вы, дорогой читатель, дойдя до этого места, признаетесь, что зазеркальная логика остается для вас, как для Алисы, по-прежнему за семью печатями, то я вряд ли смогу поставить вам это в укор. Тем не менее ключ ко всей загадочной истории до смешного прост. Вместо того чтобы приводить решения в конце книги, я предпочел изложить их на этот раз в форме диалога.

Что объяснил Шалтай-Болтай

– А теперь самое время попытаться найти ключ к разгадке всех историй, – сказал Шалтай-Болтай.

– Не имею ни малейшего представления, с чего начать!

– Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, – предложил Шалтай-Болтай.

– Как же иначе? – удивилась Алиса.

– А ты помнишь, что я тебе доказывал? – спросил Шалтай-Болтай. – Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.

– Еще как помню! – сказала Алиса. – Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?

– Сколько угодно! – охотно согласился Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.

– Вот теперь я вспомнила! – обрадовалась Алиса.

– Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием «Утверждение 1».

Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

– Но это еще не все, – сказал Шалтай-Болтай. – Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

– Почему? – спросила Алиса.

– Это легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности. Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

– Понятно! – сказала Алиса.

– Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь «Утверждение 2», – предложил Шалтай-Болтай.

И Алиса записала:

– Теперь ты понимаешь, – спросил Шалтай-Болтай, – почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

– Не совсем, – призналась Алиса.

– Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, – сказал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения. Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

– Весьма сложное доказательство! – наконец сказала она.

– Ничего, со временем привыкнешь! – заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

– Мне хотелось бы спросить, – обратилась она к Шалтаю-Болтаю, – обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?

– Хороший вопрос, дитя мое! – одобрил Шалтай-Болтай. – И ответ на него хороший: «Да». Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.

– Как необычно! – воскликнула Алиса. – Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!

– Совершенно верно! – сказал Шалтай-Болтай. – И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, – добавил он. – Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.

– Почему? – спросила Алиса.

– О, это очень легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Представим себе абсолютно честного человека, который убежден в истинности тех и только тех утверждений, которые ложны. Так как он честен, то, разумеется, удовлетворяет условию 1. А как обстоит дело с условием 2? Предположим, этот человек заявляет, что некоторое утверждение истинно. Поскольку он честен, этот человек действительно убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь. Следовательно, неверно, что он не убежден в истинности утверждения. Вместе с тем этот человек убежден в истинности всего, что ложно, даже если речь идет о ложных представлениях о его собственных убеждениях! Таким образом, неверно, что он не убежден в истинности утверждения, а, так как он убежден в истинности всего, что ложно, он должен быть убежден в ложном факте, состоящем в том, будто он не убежден в истинности утверждения. Иначе говоря, наш честный человек убежден, что он не убежден в истинности утверждения. А так как он убежден, что не убежден в истинности утверждения, то он заявляет, что не убежден в его истинности (напоминаю, что речь идет о честном человеке). Следовательно, наш честный человек удовлетворяет условию 2.

Перейдем теперь к условию 3. Возьмем любое истинное утверждение. Так как оно истинно, то тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, не убежден в истинности выбранного нами произвольного истинного утверждения. Так как он не убежден в истинности утверждения, то должен быть убежден, что убежден в его истинности (поскольку все его убеждения правильнее было бы назвать заблуждениями!). А раз он убежден, что убежден в истинности утверждения, он не может не заявить, что убежден в его истинности. Тем самым доказано, что он удовлетворяет условию 3.

– Условия 4 и 5 очевидны, – продолжал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение и противоположное утверждение. Одно из них должно быть истинно, другое ложно. Следовательно, тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, убежден в истинности ложного (прямого или противоположного) утверждения и не убежден в истинности истинного. Значит, он не убежден в истинности обоих утверждений (и поэтому удовлетворяет условию 4), но зато убежден в истинности по крайней мере одного из них (и поэтому удовлетворяет условию 5).

– Вот и вся история, – заключил Шалтай-Болтай. – Зазеркальный логик – человек честный, но судит обо всем превратно. И наоборот, всякий, кто и честен, и судит обо всем превратно, удовлетворяет пяти условиям, отличающим зазеркального логика от прочих смертных. Вот тебе ключ к разгадке всех загадок!

– Одно все-таки мне неясно, – сказала Алиса. – Почему зазеркальный логик никогда не высказывает какое-нибудь утверждение и противоположное утверждение и вместе с тем заявляет, что утверждение и противоположное ему оба истинны?

– Что же тут непонятного? Все очень просто, – возразил Шалтай-Болтай. – Взять, например, утверждение о том, что Черный Король спит. Ему противоположно утверждение о том, что Черный Король бодрствует. Ясно, одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Зазеркальный логик убежден в истинности только того утверждения, которое ложно, поэтому он не может быть убежден в истинности прямого и противоположного утверждения в отдельности. Тем не менее отдельно взятое утверждение о том, что Черный Король одновременно и спит, и бодрствует, ложно. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в его истинности.

А теперь, когда у тебя есть ключ к разгадке, ответы на все мои вопросы покажутся тебе очевидными.

Вот как ответил сам Шалтай-Болтай на свои же вопросы.

1. Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, в действительности Черный Король должен бодрствовать. Следовательно, Алиса не снится Черному Королю. (Под «снится» я отнюдь не имею в виду «грезится наяву»!) А так как Алиса Черному Королю не снится, зазеркальный логик должен быть убежден, что Алиса снится Черному Королю.

2. Так как зазеркальный логик убежден, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит, то в действительности неверно, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит. Следовательно, они оба бодрствуют. А так как Черная Королева бодрствует, зазеркальный логик должен быть убежден, что она спит (и по той же причине он должен быть убежден, что Черный Король спит).

3. Зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит. Это означает лишь, что Черный Король бодрствует, но ничего не говорит нам о том, спит ли Черная Королева или бодрствует. Поэтому мы ничего не можем сказать о том, убежден ли зазеркальный логик, что Черная Королева спит.

4. Иное дело четвертый вопрос! Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король спит, то это неверно, и в действительности Черный Король бодрствует. Следовательно, заведомо неверно, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Значит, зазеркальный логик должен быть убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят.

Интересно отметить, что при этом зазеркальный логик не обязательно должен быть убежден, что Черная Королева спит. Однако он убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят!

5. Зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Это означает лишь, что в действительности по крайней мере один из августейших супругов бодрствует. Мы не знаем, кто именно (Король или Королева) бодрствует, поэтому не можем определить, убежден ли зазеркальный Черный Король спит, или нет.

6. Так как зазеркальный логик убежден, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют, то в действительности неверно, что они либо оба спят, либо оба бодрствуют. Значит, одни из них спит, а другой бодрствует. О том, кто бодрствует, зазеркальный логик думает, что он (или она) спит. О том, кто спит, зазеркальный логик думает, что она (или он) бодрствует.

7. Так как зазеркальный логик судит обо всем превратно, в действительности Лев должен находиться в лесу без Единорога. Следовательно, Лев в лесу. Значит, зазеркальный логик должен быть убежден, что Льва в лесу нет.

8. Так как зазеркальный логик убежден, что ложное истинно, а истинное ложно, Бармаглот за всю свою жизнь не высказал ни одного истинного утверждения. Все утверждения, высказанные когда-либо Бармаглотом, ложны. Следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в истинности каждого утверждения Бармаглота.

9. Зазеркальный логик убежден, что у всех грифонов есть крылья. Значит, в действительности у грифонов нет крыльев. Но тогда существует по крайней мере «дин грифон без крыльев. Следовательно, по крайней мере один грифон должен существовать.

10. Этот вопрос «с подвохом», так как неверно, что зазеркальный логик может быть уверен в обоих фактах, о которых говорится в условиях задачи.

Предположим, зазеркальный логик убежден, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Значит, неверно, что Алиса не достигнет восьмой горизонтали, не став при этом королевой. В свою очередь это означает, что Алиса достигнет восьмой горизонтали, не став королевой. Следовательно, верно, что Алиса достигнет восьмой горизонтали, а поэтому зазеркальный логик не может быть убежден, что Алиса достигнет восьмой горизонтали.

Глава 11. Теория Черного Короля

На этом месте разговор Алисы с Шалтаем-Болтаем был прерван странным прерывистым рычанием, доносившимся откуда-то издалека и несколько напоминавшим пыхтенье парового двигателя.

– Что это? – с тревогой спросила Алиса.

– Ничего особенного, – ответил Шалтай-Болтай. – Просто Черный Король храпит во сне. На Его Величество стоит взглянуть! Ну и вид у него!

– О да! – сказала Алиса, вспоминая свое первое путешествие в Зазеркалье. – Однажды мне уже приходилось видеть спящего Черного Короля. Тогда я была с Траляля и Труляля, и они сказали мне, что Черный Король видит меня во сне, что я только сон и если Король вдруг проснется, то я сразу потухну, как свеча! Разве не глупо было с их стороны болтать такую несусветную чепуху?

– А почему же ты не разбудила Черного Короля и не проверила, чепуха это или не чепуха? – спросил Шалтай-Болтай.

– Я уже почти решилась, но потом передумала, – с вызовом сказала Алиса. – Будить Черного Короля было бы очень опрометчиво!

– Не знаю, не знаю, – задумчиво ответил Шалтай-Болтай. – Но все равно, если хочешь, можешь пойти и взглянуть на него, а я останусь здесь и порешаю еще логические задачи.

Поняв вежливый намек, Алиса решила, что ей пора двигаться дальше. Она поблагодарила Шалтая-Болтая за весьма полезные уроки логики и прямиком отправилась в лес, туда, откуда слышался храп.

Вскоре она действительно увидела Черного Короля. Он только что проснулся и стоял в окружении Траляля и Труляля, которые не спускали с него глаз.

– Видите, Король проснулся! – закричала Алиса обоим братцам. – А я не погасла, как свеча! Я существую, как прежде! Что вы на это скажете? – добавила она торжествующе.

– Думаю, нам лучше вернуться в наш домик, – сказал Труляля, обращаясь к братцу. – Вот-вот разразится ливень.

– Ты можешь остаться здесь, если тебе угодно, – добавил он, взглянув на Алису, – а мы с братцем идем домой.

Алиса взглянула вверх. На небе не было ни облачка.

– Думаю, мне лучше остаться, – сказала она. – Мне нужно поговорить с Черным Королем. Но я хотела бы еще раз поблагодарить вас за чудесные логические игры. Они мне так понравились!

Держа друг друга за руки, братцы медленно поплелись из леса. Проводив их взглядом, Алиса повернулась к Черному Королю, который к тому времени полностью очнулся от сна.

– Ты, должно быть, Алиса! – сказал Черный Король.

– Да, – ответила Алиса, – а как вы узнали?

– Ты знаешь, – сказал Король, – мне только что приснился странный сон! Мне снилось, будто я гулял по лесу с Траляля и Труляля и мы набрели на девочку, которая прикорнула под деревом. Она была очень похожа на тебя.

– Кто это? – спросил я.

– Это Алиса, – ответил Труляля, – и знаете, что ей снится?

– Откуда кто-нибудь может знать, что ей снится? – ответил я. «Ей снитесь вы, Ваше Величество!» – сказал Труляля. Затем оба братца попытались убедить меня, что я сам по себе не существую, а только снюсь тебе и что если ты проснешься, то я сразу – фьють! – потухну, как свеча! Поэтому, – продолжал Король, – я очень рад видеть тебя наяву и убедиться, что я жив, а не потух – фьють! – как свеча!

– Какое сверхнеобычное совпадение! – воскликнула Алиса. – То же самое, только наоборот, приключилось со мной, когда я впервые увидела вас, Ваше Величество. Вы тогда спали, а я была с Траляля и Труляля, и они принялись убеждать меня, что я вам только снюсь и, если вы вдруг проснетесь, потухну – фьють! – как свеча!

– Вот видишь, – улыбнулся Черный Король, – а сейчас мы с тобой бодрствуем, и никто из нас не потух – фьють! – как свеча! Сдается мне, что братцы Траляля и Труляля либо заблуждались, либо просто подшучивали над нами!

– Но откуда мне быть уверенной, что я бодрствую? – спросила Алиса. – Разве не может так случиться, что я сплю и все происходящее мне просто снится?

– Очень интересный вопрос! – обрадовался Черный Король. – Ответить на него не так-то легко! Однажды у меня была довольно продолжительная дискуссия на эту тему с Шалтаем-Болтаем. Ты с ним знакома?

– О да! – ответила Алиса.

– Шалтай-Болтай – один из самых проницательных мыслителей, каких я только знаю. Он способен убедить кого угодно и в чем угодно, стоит ему только захотеть! Так вот, Шалтай-Болтай чуть не убедил меня, что у меня нет веских оснований считать себя бодрствующим, но я все-таки переспорил его! Дискуссия отняла у меня около трех часов, но под конец я убедил его, что должен быть бодрствующим. Он сдался, я выиграл спор, и тогда…

Черный Король замолчал на полуслове и погрузился в размышления.

– И что же случилось тогда? – спросила Алиса.

– И тогда я проснулся! – признался Черный Король, и вид у него был несколько растерянный.

– Значит, после всего прав все-таки оказался Шалтай-Болтай! – воскликнула Алиса.

– Прав в чем? – спросил Черный Король. – Ведь в действительности никакого спора между мной и Шалтаем-Болтаем не было! Мне все это приснилось!

– Я не имела в виду реального Шалтая-Болтая, – сказала Алиса. – Я говорила о Шалтае-Болтае, который вам приснился. Он-то и был прав!

– Мину точку! – возразил Черный Король. – Уж не хотите ли вы сказать, что существуют два Шалтая-Болтая, реальный и тот, который мне приснился?

Алиса не сразу нашлась, что ответить.

– Как бы то ни было, – продолжал Черный Король, – мне удалось придумать несравненно более убедительное доказательство того, что я бодрствую. Возможно, мои рассуждения безупречны. Они просто не могут не быть правильными!

– Мне бы очень хотелось их услышать, – призналась Алиса.

– Должен тебе сказать, – начал Черный Король, – что я придерживаюсь теории, согласно которой все живые существа на свете подразделяются на два типа: тип A и тип B. Существа, принадлежащие к типу A, судят обо всем абсолютно здраво наяву и абсолютно превратно во сне. Все, в чем они убеждены наяву, истинно. Все, в чем они убеждены во сне, ложно. Существа, принадлежащие к типу B, наоборот, судят обо всем абсолютно превратно наяву и абсолютно здраво во сне.

– Что за необыкновенная теория! – сказала Алиса. – И какие у вас доказательства, что она правильна?

– Чуть позже я докажу тебе, что моя теория вне всяких сомнений верна, а пока мне хотелось бы обратить твое внимание на некоторые следствия из моей теории. Прежде всего из нее непосредственно следуют два утверждения.

Утверждение 1. Если в какой-то момент времени некто считает себя бодрствующим, то он должен принадлежать к типу A.

Утверждение 2. Если в какой-то момент времени некто считает себя принадлежащим к типу A, то он должен в это время бодрствовать.

Затем к удовлетворению Алисы Черный Король доказал оба утверждения (по крайней мере Алисе не удалось обнаружить ошибки в его доказательствах).

88. Всего лишь один вопрос

Действительно ли следуют из теории Черного Короля утверждения 1 и 2?

– Теперь, когда ты знаешь доказательства утверждений 1 и 2, я могу наконец доказать тебе, что сейчас я бодрствую.

Доказательства Черного Короля

– Я докажу три пункта, – сказал Король. – Во-первых, что я принадлежу к типу A. Во-вторых, что я бодрствую. В-третьих, что моя теория правильна.

Прежде всего ты должна принять за исходную посылку, что я убежден в истинности всех трех пунктов. В этом ты мне не откажешь?

– Разумеется, не откажу, – согласилась Алиса. – Я ни на минуту не сомневаюсь, что вы убеждены в истинности всех трех пунктов. Неясно лишь, истинны ли они на самом деле!

– Из того, что я убежден в их истинности, – ответил Черный Король, – следует, что они должны быть истинны.

– Как? – воскликнула Алиса в изумлении. – Не хотите ли вы сказать, Ваше Величество, будто из того, что кто-то убежден в истинности чего-то, следует, что это что-то должно быть истинно?

– Разумеется, нет! – вскричал Черный Король. – Я не хуже тебя знаю, что от того, что кто-то убежден в истинности чего-то, отнюдь не обязательно следует, что это что-то истинно. Но три пункта, которые я назвал, обладают поистине замечательным свойством: если кто-нибудь убежден в истинности любого из них, то они становятся истинными!

– Как такое может быть? – удивилась Алиса.

– А вот это я сейчас тебе докажу! – пообещал Черный Король. – Следи за моими рассуждениями внимательно. Так как я убежден, что бодрствую, то должен принадлежать к типу A.

– Это следует из утверждения 1, – согласилась Алиса.

– Правильно! – подтвердил Король. – Из утверждения 2 следует, что так как я убежден, что принадлежу к типу A, то я должен сейчас бодрствовать.

– Да, – кивнула Алиса.

– Прекрасно! – торжествующе провозгласил Король. – Так как я бодрствую и принадлежу к типу A, то убеждения, которых я придерживаюсь сейчас, здравы. А так как мои убеждения здравы и я убежден в правильности предложенной мной теории, то эта теория правильна! Что может быть убедительнее такого доказательства?

Глава 12. Какая Алиса?

– Постойте, постойте! – сказал Майкл. – Уж не думаете ли вы, что я поверю в теорию Черного Короля?

– А почему бы и нет? – поддразнил я его, едва удерживаясь от улыбки.

– Это самая нелепая теория, какую я когда-либо слышал!

– Почему? – невинно осведомился я. – Разве она логически не возможна?

– Разумеется, нет! – отрезал Майкл. – Она же сумасшедшая от начала и до конца!

– Но разве Черный Король не доказал, что его теория правильна? – спросил я.

Последовала продолжительная пауза: мой оппонент погрузился в размышления. Первой молчание нарушила Алиса.

– Не совсем, – заметила она. – Доказательство Черного Короля логически небезупречно.

– Можешь ли ты указать хоть одну логическую ошибку? – спросил я с самым беззаботным видом.

– Все его «доказательство» основано на порочном круге, – рассердилась Алиса. – Тот, кто считает себя принадлежащим к типу A, должен бодрствовать, а тот, кто считает себя бодрствующим, должен принадлежать к типу A! Да такие рассуждения опираются в первую очередь на теорию Короля, а ее правильность «доказывается» с их помощью!

– Очень хорошо! – кивнул я. – Диагноз поставлен верно! В рассуждениях Черного Короля действительно содержится порочный круг!

– Значит, я был прав! – обрадовался Майкл. – Теория Черного Короля ошибочна!

– Вовсе нет! – резко возразил я. – Алиса не доказала, что его теория ошибочна. Ей удалось доказать лишь, что Черный Король не смог доказать правильность своей теории. Но ошибочность предложенного Черным Королем доказательства еще не означает ошибочности самой теории.

– Но это же глупейшая из теорий, которые я когда-нибудь слыхал! – настаивал Майкл.

– Глупая – одно, логически невозможная – совсем другое, – ответил я. – Согласен с тобой, что теория в высшей степени неправдоподобная, но это еще не означает, что она логически невозможна.

– В рассуждениях Короля также есть одна тонкость, которую мне хотелось бы подчеркнуть, – добавил я. – Если бы сам Король принадлежал к типу A или B, то от того, что он убежден в истинности трех доказываемых им тезисов, эти тезисы действительно стали бы истинными! Рассуждения Короля стали бы правильными, если бы мы добавили еще одну исходную посылку, предположив, что Король принадлежит к типу A или к типу B. Если Король принадлежит к одному из этих типов, то отсюда следует, что и любое другое существо также принадлежит либо к типу A, либо к типу B, то есть что теория Короля должна быть правильной.

– Все равно я считаю, что глупее, чем теория Короля, ничего не придумаешь, – сказал Майкл, как бы подводя итог нашему разговору.

Но на этом история не закончилась! Ночью Алисе приснился странный сон. Когда она ложилась спать, в голове у нее еще роилось множество необычных логических задач, которые она услышала за день. В частности, ей не давали покоя замена истины ложью и лжи истиной в рассуждениях зазеркальных логиков и теория Черного Короля.

«Возможно ли в действительности, чтобы теория Черного Короля была правильной? – размышляла Алиса. – Если да, то хотела бы я знать, к какому типу я принадлежу – к типу A или к типу B?».

И тут Алисе приснился сон. Ей снилось, что она не она, а другая Алиса, та, из Зазеркалья. Ей снилось, что она повстречала Черного Короля и указала тому на пробелы в его доказательстве. Он исправил ошибку и предложил Алисе новое доказательство, одной из посылок которого было предположение о принадлежности Короля к типу A или B. (К сожалению, проснувшись на следующее утро, Алиса не смогла припомнить новое доказательство Короля, поэтому я затрудняюсь сказать вам, в чем оно состояло!) Тем не менее во сне Алиса была полностью убеждена, что Король действительно принадлежал либо к типу A, либо к типу B и что, таким образом, всякое живое существо, как следовало из первого доказательства Короля, принадлежало либо к типу A, либо к типу B. Между Алисой и Черным Королем состоялся следующий разговор:

– Существует на свете еще одна Алиса, – сказал Король. – Сейчас она спит, и ей снится, что она – это ты.

– Необыкновенно интересно! – воскликнула Алиса. – А разве не может быть так, что это я сейчас сплю и мне снится, что я – это она?

– Это одно и то же, – ответил Король. – Какая разница?

Замечание Короля поразило Алису! Ей было совсем не понятно, почему это одно и то же.

– Как, по-твоему, какая ты Алиса, та или эта? – спросил Король.

– Сейчас я вряд ли смогу ответить на этот вопрос, – призналась Алиса.

– К какому типу ты принадлежишь – к A или B? – спросил Король.

– Боюсь, что и на этот вопрос я не смогу ответить, – призналась Алиса. – Сейчас я даже не уверена, сплю я или бодрствую.

– Позволь мне подвергнуть тебя небольшому тесту, – попросил Король. – Какого цвета у тебя глаза?

– Карие… Ах нет! Думаю, что они синие… Нет, подождите! Это зависит от того, какая я Алиса. Какая же я Алиса и какого цвета у меня глаза?

– Если позволишь, я бы сформулировал эту задачу так, – предложил Черный Король. – Бармаглот знает и тебя, и другую Алису. Когда Бармаглот спит, он убежден, что у одной из вас глаза карие, а у другой синие. Когда Бармаглот бодрствует, он убежден, что у тебя глаза карие, а у другой Алисы синие. Так скажи мне теперь, какого цвета у тебя глаза?

Решение этой нехитрой задачки я целиком предоставляю вам, дорогой читатель. Какого цвета глаза у Алисы, которую я знаю? А у другой Алисы? И еще: к какому из двух типов (A или B) принадлежит Бармаглот?

Содержание