Арнольд В.И. Математическое понимание природы: Очерки удивительных физических явлений и их понимания математиками (с рисунками автора). — 3-е изд., стереотип. — М.: МЦНМО, 2011. — 144 с.

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний (но столь же любознательному, как большинство подростков).

Скачать: [pdf 2,4 MB]

---

Главы из книги

• Радуга
• Инверсия в цилиндрических зеркалах метро
• Путешествие к центру Земли

Радуга

Почему радуга видна наблюдателю как дуга с центром в противосолнечной точке, радиусом около 42°?

Решение. Наиболее отклоняющиеся преломлением лучи несут наибольшую энергию:

Энергия пучка лучей с направлениями от Θ до Θ + ε не максимального отклонения пропорциональна ε, а энергия пучка лучей в угле такой же ширины ε около Θ_max гораздо больше (она пропорциональна √ε).

Поэтому эти лучи заметны, они и воспринимаются как радуга. Дело в том, что показатели преломления световых лучей разных цветов несколько различаются, так что и величина угла максимального отклонения ϑ_max несколько различается для лучей разных цветов. От этого радуга и получается разноцветной.

Замечание. Вторая радуга (внутри основной) производится лучами, отразившимися от задней поверхности больше одного раза. Для них угол максимального отклонения немного меньше 42°.

Голубизна цвета неба тоже имеет математическое объяснение: глядя сбоку на патефонную пластинку, можно заметить радужные цвета, объясняемые интерференцией световых волн на решётке борозд пластинки (это явление сходно с муаром — длиннопериодическим узором на проекции одного забора на другой).

Голубой цвет доставляет небу аналогичная муару интерференция солнечных лучей на флуктуациях плотности разреженной атмосферы.

Инверсия в цилиндрических зеркалах метро

Все видели своё отражение в плоском зеркале — отражение левши является правшой, но в остальном изображение сходно с прообразом.

Но кто видел своё отражение в кривом зеркале, тот знает, какое оно смешное.

Рассмотрим, для простоты, цилиндрическое зеркало. Спрашивается, как выглядят отражения различных предметов в нём?

Много цилиндрических зеркал (и стоящих вертикально цилиндров-стоек, и горизонтальных поручней) имеется в каждом вагоне метро. Изображения окружающего мира в этих цилиндрических зеркалах совершенно необычны. Каковы они?

Указание. Проще всего разобраться с отражением одного точечного источника света. Его отражение в цилиндрическом зеркале тесно связано с математической инверсией —операцией, сопоставляющей каждой точке A евклидовой плоскости, на которой фиксирована окружность радиуса r с центром O, точку B, «симметричную относительно этой окружности», лежащую на том же выходящем из центра O луче, что и отражаемая точка A, но на тем большем расстоянии от центра O, чем ближе к центру была точка A:

Рис. 1. Инверсия переводит точку A в точку B

Рис. 2. Инверсия кошки выводит её из клетки, а инверсия прямой закругляет её

Решение. Каждый луч, выходящий из точки A и пересекающий заданную окружность, отражается от неё по закону «угол падения равен углу отражения» (рис. 3).

Рис. 3. Отражение луча AC в виде луча CA′ (углы α и α′ равны)

Для плоского зеркала все лучи, выходящие из источника A отражаются в виде лучей, проходящих при продолжении в зазеркалье через одну и ту же точку A*. Получается такой же пучок лучей {A*A′}, поэтому мы и видим отражение точки A в зазеркальной точке A* (рис. 4).

Рис. 4. Отражение луча AC в виде луча CA′ в прямом зеркале и точка A* в зазеркалье

Для кривого зеркала прямолинейные лучи, отражённые в разных точках, уже не обязательно проходят через общую точку, даже если их продолжить за зеркало¹. Чтобы в этом разобраться, достаточно разобрать какой-нибудь пример, например—отражение зеркалом-окружностью пучка параллельных лучей, приходящих из одной и той же бесконечно удалённой точки A.

Явные вычисления лучей, отражённых в различных точках кругового зеркала, не очень сложны (для знающих тригонометрию). Но нарисовать эти лучи ещё проще (рис. 5).

Рис. 5. Построение отражённого окружностью луча CA′

Дуги CD и CD′ имеют одинаковую длину (вследствие закона «угол падения равен углу отражения» в точке отражения C). Это позволяет быстро построить отражённые лучи.

Нарисовав эти отражённые лучи достаточно аккуратно, я получил следующую картинку (рис. 6).

Рис. 6. Семейство отражённых окружностью лучей, приходящих из бесконечности, и его огибающая кривая

Полученное однопараметрическое семейство отражённых прямых на плоскости имеет огибающую (показанную на рис. 6 жирной линией). Это — кривая, в точках которой прямые отражённого семейства лучей пересекаются с бесконечно близкими отражёнными прямыми того же семейства лучей. Эти прямые (продолженные отражённые лучи) касаются построенной огибающей кривой. Можно ещё сказать, что эта кривая образована «фокальными точками» отражённого семейства лучей (фокальные точки в оптике — это точки пересечения бесконечно близких лучей семейства при их продолжении).

Огибающая семейства лучей называется каустикой («жгущей»), так как на ней свет семейства концентрируется (фокусируется), его энергия больше, чем в остальных местах. Именно при помощи каустики системы зеркал Архимед, согласно легенде, сжёг вражеские корабли, осаждавшие Сиракузы².

Во всяком случае, большая часть отражённых лучей идёт так, как если бы они исходили из точек каустики, так что изображение нашей исходной бесконечно удалённой точки A будет казаться размазанной вдоль каустики линией, а не точкой.

Дело, однако, обстоит сложнее, потому что яркость изображения вдоль каустики вовсе не постоянна—некоторые её места ярче (и именно их использовал, для своей системы лучей, Архимед).

А именно, каустика нашего семейства отражённых лучей рисунка 6 — не гладкая кривая: она имеет особую точку S (нетрудно посчитать, что она делит пополам радиус).

Вблизи этой точки семейство (продолженных) лучей концентрируется ещё сильнее, чем даже в остальных точках каустики³ . Поэтому, хотя изображение светящейся (бесконечно удалённой) точки A и размазано вдоль каустики, особенно ярко светится именно её особая точка S (а остальные точки недостаточно внимательный зритель может и не заметить).

Вследствие всего этого наблюдаемое экспериментатором изображение точки A будет не линией, а единственной точкой S—точкой наибольшей концентрации отражённых лучей, продолженных в зазеркалье.

Тригонометрические вычисления, которые я оставляю читателю, подтверждают и эти выводы, и их устойчивость: например, для источника света A, расположенного в другом месте, тоже получается каустика продолженных в зазеркалье лучей с особой точкой возврата, которая и воспринимается наблюдателем как изображение A* точки A в кривом зеркале.

Эта точка A*, как и S в рассмотренном выше примере с бесконечно удалённой точкой A, лежит на том же луче с началом в центре O зеркала, что и отражаемая точка A. Но положение этой точки на соответствующем радиусе окружности зависит от расстояния точки A от центра окружности (когда это расстояние бесконечно, отражённая точка делит радиус пополам, а когда точка A лежит на отражающей окружности, точка A* вырождается в A).

Вычисление положения изображения A* на луче OA при данном расстоянии |OA| = XR приведено на рис. 7.

Радиусы отражающей окружности имеют длины

Малый центральный угол α доставляет катеты треугольника OCP:

Прямоугольный треугольник ACP доставляет асимптотическое выражение малого угла φ:

Прямоугольный треугольник OCP доставляет для угла PCQ выражение

Рис. 7. Пересечение в зазеркалье бесконечно близких прямых AR и AC

Прямоугольный треугольник CPQ доставляет для катета против угла γ выражение

Найденные выше асимптотики величин |CP| и φ + 2α доставляют для поведения расстояния от P до Q при α→0 выражение

Расстояние от отражённой точки Q до середины S радиуса OR стремится при этом к

Отражаемая точка A отстоит от середины S радиуса OR на расстояние

Мы заключаем, что расстояния от точки S до отражаемой точки A и до её отражения Q взаимно обратны:

Тем самым мы доказали следующий (удивительный) результат.

Наблюдатель видит в цилиндрическом зеркале инверсию окружающего мира относительно вдвое более тонкого цилиндра, касающегося оси отражающего цилиндра (в наших плоских обозначениях — инверсию в окружности с центром S радиуса R/2).

Рис. 8. Отражение в цилиндрическом зеркале—инверсия в (жирной) окружности

Можно было бы подумать, что, глядя на цилиндрическое зеркало (например, на поручни в метро), мы увидим инверсное изображение окружающих предметов.

Что этого не может быть, ясно уже из описания расположения инвертирующей окружности (или цилиндра) по отношению к отражающей окружности на плоскости (или цилиндрическому зеркалу в пространстве). А именно, инвертирующий цилиндр направлен от оси отражающего цилиндра в определённом направлении, в то время как, вследствие симметрии отражающего цилиндра относительно вращений вокруг его оси, все направления ухода от оси вращения должны быть равноправными и никакое из них не может оказаться предпочтительным.

В действительности приведённые выше вычисления устанавливают, что отражение каждого источника света является результатом применения описанной инверсии к точке источника только для точек луча, проходящего через центр отражающей окружности и глаз наблюдателя (формально это выражалось в предполагавшейся в вычислении малости угла φ).

Рис. 9. Изображения A*B*C*D* точек ABCD центрального луча

На этом центральном луче зрения изображения A*, B*, C*, D*, точек A, B, C, D (рис. 9) действительно инверсны изображаемым точкам, поэтому и вблизи центрального луча зрения отражение приближённо описывается инверсией. Но по мере удаления от центрального луча зрения отражение описывается инверсиями относительно всё более повёрнутых инвертирующих окружностей, так что в целом результат к одной инверсии не сводится.

Добавление. О свойствах инверсии

Хотя многие читатели, вероятно, знают об этих замечательных фактах, я кратко опишу их здесь.

Теорема. Инверсия переводит окружности, не проходящие через её центр, в окружности, а проходящие через центр — в прямые (рис. 10).

Рис. 10. Инверсия переводит окружность c в окружность c*, а окружность C в прямую C*

Доказательство второго утверждения особенно просто, когда окружность C пересекает инвертирующую окружность (рис. 11).

Рис. 11. Инверсия окружности C, проходящей через центр O инвертирующей (жирной) окружности

Прямоугольные треугольники OB*A* и OAB подобны, поэтому |OB*|/|OA*| = |OA|/|OB|, так что |OA| • |OA*| = |OB| • |OB*|.

Для случая A = D мы находим |OB| • |OB*| = R². Это доказывает совпадение образа окружности C при инверсии с прямой C* (соединяющей обе точки пересечения окружности C с инвертирующей окружностью).

Случай, когда окружность C слишком мала, чтобы пересечь инвертирующую окружность, сводится к разобранному случаю растяжением (гомотетией с центром O). Когда окружность C подвергается такой гомотетии, растягиваясь в a раз, её образ при инверсии тоже подвергается гомотетии с центром O, а именно сжатию в a раз.

Поэтому сжатый образ—прямая, а значит, и до сжатия образ был прямой (только не пересекающей инвертирующую окружность).

Утверждение теоремы об образе окружности c, не проходящей через центр инверсии, особенно легко доказать в том случае, когда эта окружность c не содержит в ограниченном ею круге центр инверсии O (рис. 12).

Рис. 12. Инверсия окружности c, не окружающей центр инверсии O

В этом случае к окружности c можно провести из точки O две касательные. Их длины одинаковы: |OD| = |OE|. Растягивая (или сжимая) плоскость гомотетией с центром O, мы можем превратить окружность c в гомотетичную специальную окружность, для которой длины касательных |OD| = |OE| = R совпадают с длиной R радиуса инвертирующей окружности (так что специальная окружность будет пересекать инвертирующую жирную окружность в точках D и E под прямыми углами).

По теореме о секущей OA*A специальной окружности c мы находим

Это тождество означает, что точки A и A* специальной окружности c переходят при нашей инверсии друг в друга, так что образ специальной окружности совпадает с ней самой.

Возвращаясь к исходной окружности сжатием специальной окружности, мы видим, что образ этой сжатой (исходной) окружности при инверсии получается из специальной окружности гомотетичным растяжением. Значит, этот образ c* — тоже окружность.

В случае когда окружность c окружает центр O, теорема тоже верна. Но я не знаю столь простого доказательства.

Замечание. Специальная окружность ортогональна инвертирующей. При инверсии каждая из них переходит в себя. Поэтому угол между ними сохраняется при инверсии.

Оказывается, преобразование инвертирования сохраняет и углы между любыми двумя кривыми (с точностью до знака). Это видно, например, из рис. 13, где окружность C, проходящая через центр инверсии O, пересекает инвертирующую окружность в точке D (и переходит при инверсии в прямую DE).

Нормали направлений OD (к инвертирующей окружности) и OB (к инверсированной кривой C*) в точке пересечения D образуют угол α = DOB.

Касательные к инвертируемой окружности в точках O и D образуют равнобедренный треугольник, поэтому углы DOM и ODM равны π/2 − α.

Рис. 13. Сохранение угла (с инвертирующей окружностью) при инверсии

Касательная DB к инвертирующей окружности в точке D проходит через конец B диаметра OB инвертируемой окружности C, так как угол BDO (между касательной и радиусом инвертирующей окружности) прямой.

Следовательно, угол BDN (между касательными к инвертирующей и инвертируемой окружностями в точке их пересечения D) — такой же, как угол DOB = α

между направлениями, перпендикулярными к инвертирующей и проинвертированной кривой C* (он равен π − π/2 − (π/2 − α) = α).

Итак, углы между инвертируемой и проинвертированной окружностями, с одной стороны, и инвертирующей окружностью, с другой—в точке D одинаковы.

Из этого следует, что инверсия сохраняет углы всех проходящих через точку D кривых с инвертирующей окружностью, а значит, она сохраняет и угол между любыми двумя кривыми, проходящими через точку D.

Разумеется, сохраняются здесь неориентированные углы: инверсия, подобно обычному отражению, меняет ориентацию отображаемой плоскости и переводит «положительные» углы в «отрицательные» (того же модуля).

Наши рассуждения доказывают сохранение (неориентированных) углов в точках инвертирующей окружности. Но любую (отличную от O) точку плоскости можно поместить на эту окружность (радиуса R) надлежащей гомотетией (с центром O).

Гомотетии сохраняют углы, поэтому такими подобными растяжениями и сжатиями плоскости мы выведем сохранение углов пересечения любых кривых в любой (отличной от центра инверсии O) точке из их сохранения в точках инвертирующей окружности, где это сохранение углов уже доказано выше.

Преобразования, сохраняющие углы, называются конформными. Таким образом, инверсия — конформное преобразование плоскости (с выкинутой точкой O), меняющее ориентации.

Задача. Пусть f :  — любой многочлен, рассматриваемый как отображение (в себя) евклидовой плоскости с декартовыми ортонормированными координатами (x, y) для точки z = x + iy.

Докажите, что отображение f конформно (в любой некритической точке многочлена f, т. е. там, где его производная отлична от 0).

Решение. Начните с линейного многочлена и используйте затем формулу Тейлора для сведения любого отображения к его (линейному) дифференциалу.

В этих терминах инверсия задаётся формулой

где z = x − iy, и её конформность вытекает из дифференцируемости:

Задача. Конформно ли отображение, переводящее точку z в z², во всех точках плоскости?

Решение. Перпендикулярные прямые — вещественная и мнимая оси {y = 0} и {x = 0} плоскости = {z} — переходят в полуоси положительных и отрицательных значений z², которые вовсе не ортогональны.

Это нарушение конформности сильно искажает вид отображаемых фигур (рис. 14).

Рис. 14. Неконформное преобразование кошки сделало её гладкий подбородок негладким

Инверсия — конформное преобразование, поэтому отражаемые фигуры более похожи на себя.

Задача. Образуют ли преобразования инверсии (с разными инвертирующими окружностями) группу?

Решение. Инверсия меняет ориентации, а ориентаций плоскость имеет только две. Поэтому произведение двух инверсий (сохраняющее ориентацию плоскости) не может быть инверсией.

Сохраняющие ориентацию произведения инверсий (имеющие чётное число сомножителей) уже образуют группу. Это — группа «дробно-линейных» преобразований

фундаментальная для геометрии Лобачевского (где f с вещественными a, b, c, d и ad − bc = 1 образуют «группу движений в модели Пуанкаре»).

В этой модели плоскости Лобачевского в верхней полуплоскости Imz > 0, в отличие от модели Кэли—Клейна в круге, обсуждавшейся выше, роль прямых играют не все прямые Евклида, а все прямые и окружности, перпендикулярные «абсолюту» Imz = 0 (рис. 15).

Рис. 15.

Замечательным свойством этой модели является то, что углы Лобачевского в этой модели равны евклидовым углам между соответствующими кривыми верхней полуплоскости.

Удивительно ещё и то, что обе модели — Пуанкаре и Кэли-Клейна — эквивалентны: они доставляют просто разные карты одной и той же плоскости Лобачевского.

Задача. Найдите диффеоморфизм верхней полуплоскости на внутренность единичного круга, переводящий модель Пуанкаре в модель Кэли-Клейна.

---

Путешествие к центру Земли

Камень падает (без начальной скорости) в шахту, диаметрально просверливающую всю сферическую планету.

Исследовать его движение под действием гравитационного поля (считая планету однородной, имеющей постоянную плотность).

Решение. Согласно теореме Ньютона, уже пройденные (однородные) сферические слои камень не притягивают, а ещё не пройденные притягивают так, как если бы их масса была в центре планеты.

Обозначим расстояние от камня до центра планеты через r. Тогда объём (а значит, и масса M) оставшихся непройденными слоёв будет пропорционален r³. По закону всемирного тяготения сила притяжения такой массой, находящейся в центре планеты, убывает с r, как M/r² = r.

Значит, камень в такой шахте движется в соответствии с силовым полем закона Гука:

Здесь амплитуда R есть радиус планеты.

Итак, камень совершает вокруг центра планеты гармонические колебания. Он вернётся в исходную точку P через период T = 2π/ω (побывав в середине этого периода у антиподов).

Чтобы избежать длинных вычислений коэффициента ω² в уравнении поля Гука, рассмотрим близкий спутник, вращающийся вокруг планеты по проходящей через P окружности большого круга. Ортогональная проекция этого спутника на диаметр шахты совершает при его движении гармонические колебания с амплитудой R. В точке P гравитационное поле, действующее на этот камень и на спутник, одинаково (так как камень не прошёл ещё ни одного сферического слоя).

Поэтому период T колебаний камня в шахте равен периоду прохождения близким спутником всей своей круговой орбиты (для планеты Земля это примерно полтора часа).

Эти законы Ньютона объясняют удивительный состав колец Сатурна: глыбы льда, из которых они состоят, имеют в среднем размер от 10 до 20 метров.

Случайно движущиеся по (не совсем круговым) кеплеровским орбитам глыбы, естественно, могут столкнуться, и средняя скорость удара вычисляется, исходя из среднего размера глыб: она зависит от разности скоростей движения по близким кеплеровым орбитам.

Осколки от соударения имеют тем большую скорость, чем больше скорость удара. Вычисления показывают, что для больших 20 м глыб эта скорость осколков больше (второй) космической скорости (ухода осколков далеко от родившей их глыбы), так что такая глыба от столкновений будет уменьшаться.

Если же глыба имеет размер меньше 10 метров, то осколки вылетают с меньшими скоростями, и они возвращаются обратно—хотя бы одна из столкнувшихся двух глыб растёт.

Эта-то динамика и приводит к установлению населённости кольца и не слишком большими, и не слишком малыми глыбами (которая и обнаружена была, после описанных выше вычислений, при полёте Вояджера).