7. Неизмеримое по лебегу множество / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

7. Неизмеримое по лебегу множество

Рассмотрим пример применения аксиомы выбора. С ее помощью мы построим множество на окружности $S^1$ , неизмеримое по Лебегу.

Мера $\mu(A)$ — "длина множества $A$ " — это функция, удовлетворяющая следующим свойствам.

1. $\mu(S^1) = 1$ .

2. (Счетно-аддитивность.) Для счетного числа попарно непересекающихся множеств $A_1, A_2, \dots, A_n, \dots$ мера объединения этих множеств равна сумме мер самих множеств:

$\mu\left ( \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \right )=\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_i)$ .

3. (Неотрицательность.) $\mu(A) \ge 0$ .

Кроме того, потребуем от меры Лебега еще одно свойство, которое, вообще говоря, не требуется от произвольной меры. Это свойство называется инвариантностью.

4. Если множество подвинуть (в случае окружности — повернуть), мера не должна измениться:

$\mu(A) = \mu(\varphi(A))$ ,

где $\varphi$ — поворот.

Например, если $A$ — это половина дуги окружности, то $\mu(A) = \dfrac{1}{2}$ . Действительно, если $B = S^1 \setminus A$ — дополнение к $A$ , то

$\mu(A) + \mu(B) = \mu(A \cup B) = \mu(S^1) = 1$ и $\mu(B) = \mu(\varphi_{\pi}(A)) = \mu(A)$ ,

поэтому $2\mu(A) = 1$ и $\mu(A) = \dfrac{1}{2}$ .

А любое ли множество $A$ на окружности измеримо по Лебегу, т. е. для любого ли множества $A$ можно вычислить его меру $\mu(A)$ ? Оказывается, что не для любого.

Первый пример неизмеримого по Лебегу множества привел Витали.

Каждая точка на окружности задается углом от $0$ до $2\pi$ — и далее мы будем обозначать точки окружности числами от $0$ до $2\pi$ . Назовем две точки $a$ и $b$ эквивалентными, если

$a - b = q \cdot 2\pi,\ q \in \mathbb{Q}$

(будем в таком случае писать $a \sim b$ ). Таким образом, окружность разбивается на так называемые классы эквивалентности — множества $A_x$ , в которые вместе с точкой $x$ входят и все точки, эквивалентные $x$ . Могут ли два таких множества $A_x$ и $A_y$ пересекаться? Если $u$ — общий элемент этих множеств, то $u \sim x$ для любого элемента $x \in A_x$ и $u \sim y$ для любого элемента $y \in A_y$ . Но если

$u - x = q_1 \cdot 2\pi,\ q_1\in \mathbb{Q}$ ,
$u - y = q_2 \cdot 2\pi,\ q_2\in \mathbb{Q}$ ,

то $x - y = (q_2 - q_1) \cdot 2\pi$ , т. е. $x \sim y$ , поскольку $q_2,q_1 \in \mathbb{Q}$ . Следовательно, $A_x = A_y$ .

Таким образом, как и равенство ( $=$ ), наше отношение эквивалентности ( $\sim$ ) обладает транзитивностью: если $a \sim b,\ b \sim c$ , то и $a \sim c$ . Отношение эквивалентности, очевидно, обладает также симметричностью: если $a \sim b$ , то и $b \sim a$ ; и рефлексивностью: $a \sim a$ для любого $a$ .

Используя аксиому выбора, выберем из всех классов эквивалентности по одному представителю и образуем из них множество $V$ . Чему может быть равна мера полученного множества $V$ ? Мера $\mu(V)$ не может быть равна $0$ , поскольку

$\bigcup_{q\in\mathbb{Q}}\varphi_{2\pi q}(V)=S^1$

(множества $\varphi_{2\pi q}(V)$ попарно не пересекаются), а

$\sum_{q\in\mathbb{Q}}\mu\left( \varphi_{2\pi q}(V)\right )=S^1 = \sum_{q\in\mathbb{Q}}0 \ne 1$ .

По аналогичным причинам мера $\mu(V)$ не может быть больше $0$ , поскольку тогда получается, что

$\mu(S^1)=\sum_{q\in\mathbb{Q}}\mu\left( \varphi_{2\pi q}(V)\right ) = +\infty$ .

Поэтому считается, что мера $\mu(V)$ неопределена, т. е. $V$ является неизмеримым по Лебегу множеством.

Как видите, с рассмотрением аксиомы выбора появляются новые проблемы — этакие "математические монстры" — неизмеримые по Лебегу множества. Однако совсем запретить аксиому выбора тоже нельзя. При помощи именно аксиомы выбора в математическом анализе доказывается эквивалентность двух определений предела функции.

<<< |1|…|4|5|6|7|8|9|10|11|12|…|17| >>>

Содержание

Комментарии: 0

Похожее

Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.
А нужен ли выбор? (альтернатива аксиоме выбора в теории множеств)

Михаил Раскин

Современная математика в качестве своего основания использует теорию множеств. Традиционно при анализе теоретико-множественных тонкостей используется аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. На аксиому выбора опираются доказательства наличия базиса в любом векторном пространстве и существования неизмеримого множества в математическом анализе. К сожалению, теория множеств обязана работать и со множествами, которые не описываются достаточно подробно и конкретно, чтобы мы могли себе их представить. В курсе будет рассмотрен один пример, к чему это приводит. Оказывается, ценой ослабления аксиомы выбора можно получить теорию множеств, в которой любая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Лебегу. То, что используется аксиома выбора, в каком-то смысле, произошло исторически. Курс основан на статье Р.М. Соловэя о построении теории множеств, в которой все множества вещественных чисел измеримы.
«Мы не можем ждать милостей от природы», или применение метода вынуждения в построении моделей теории множеств

Михаил Раскин

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.
Теория множеств для начинающих

Виктор Викторов

Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.
Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Математика на шахматной доске

Гик Е. Я.

В книге рассказывается о разнообразных связях, существующих между математикой и шахматами: о математических легендах о происхождении шахмат, об играющих машинах, о необычных играх на шахматной доске и т. д. Затронуты все известные типы математических задач и головоломок на шахматную тему: задачи о шахматной доске, о маршрутах, силе, расстановках и перестановках фигур на ней. Рассмотрены задачи «о ходе коня» и «о восьми ферзях», которыми занимались великие математики Эйлер и Гаусс. Дано математическое освещение некоторых чисто шахматных вопросов - геометрические свойства шахматной доски, математика шахматных турниров, система коэффициентов Эло.
Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Питер Эткинз

Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
Алиса в Стране Смекалки

Смаллиан Рэймонд

В книге «Алиса в Стране Смекалки» кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок. Они доставят удовольствие всем любителям занимательной математики, а почитателям творчества Льюиса Кэрролла в особенности.
Математическое понимание природы

Владимир Арнольд

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний (но столь же любознательному, как большинство подростков).
Невероятные числа профессора Стюарта

Отрывок из книги «Невероятные числа профессора Стюарта» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.

Далее >>>

∀ x, y, z

7. Неизмеримое по лебегу множество / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

7. Неизмеримое по лебегу множество

Теги

Похожее