7. Неизмеримое по лебегу множество
Рассмотрим пример применения аксиомы выбора. С ее помощью мы построим
множество на окружности
, неизмеримое по Лебегу.
Мера
— "длина множества
" — это функция,
удовлетворяющая следующим свойствам.
1.
.
2. (Счетно-аддитивность.) Для счетного числа попарно непересекающихся
множеств
мера объединения этих множеств равна сумме мер
самих множеств:
.
3. (Неотрицательность.)
.
Кроме того, потребуем от меры Лебега еще одно свойство, которое, вообще
говоря, не требуется от произвольной меры. Это свойство называется
инвариантностью.
4. Если множество подвинуть (в случае окружности — повернуть), мера
не должна измениться:
,
где
— поворот.
Например, если
— это половина дуги окружности, то
.
Действительно, если
— дополнение к
,
то
и
,
поэтому
и
.
А любое ли множество
на окружности измеримо по Лебегу, т. е. для
любого ли множества
можно вычислить его меру
? Оказывается, что не для
любого.
Первый пример неизмеримого по Лебегу множества привел Витали.
Каждая точка на окружности задается углом от
до
— и далее мы
будем обозначать точки окружности числами от
до
. Назовем две
точки
и
эквивалентными, если
(будем в таком случае писать
). Таким образом, окружность
разбивается на так называемые классы эквивалентности —
множества
, в которые вместе с точкой
входят и все точки, эквивалентные
.
Могут ли два таких множества
и
пересекаться? Если
— общий
элемент этих множеств, то
для любого элемента
и
для любого элемента
. Но если
,
,
то
, т. е.
, поскольку
. Следовательно,
.
Таким образом, как и равенство (
), наше отношение эквивалентности (
)
обладает транзитивностью: если
, то и
. Отношение эквивалентности, очевидно, обладает также
симметричностью: если
, то и
;
и рефлексивностью:
для любого
.
Используя аксиому выбора, выберем из всех классов эквивалентности по одному
представителю и образуем из них множество
. Чему может быть равна мера
полученного множества
? Мера
не может быть равна
, поскольку
(множества
попарно не пересекаются), а
.
По аналогичным причинам мера
не может быть больше
, поскольку
тогда получается, что
.
Поэтому считается, что мера
неопределена, т. е.
является
неизмеримым по Лебегу множеством.
Как видите, с рассмотрением аксиомы выбора появляются новые проблемы —
этакие "математические монстры" — неизмеримые по Лебегу множества.
Однако совсем запретить аксиому выбора тоже нельзя. При помощи именно
аксиомы выбора в математическом анализе доказывается эквивалентность двух
определений предела функции.