6. Аксиома выбора / Парадоксы теории множеств
<<< | 1|…| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 11|…| 17| >>>
6. Аксиома выбора
Пусть имеется непустое множество. Всегда ли мы можем взять из него
какой-нибудь элемент? Конечно: раз множество непусто, в нем есть хотя бы
один элемент, вот этот элемент и возьмем.
Рис. 3
|
А если есть непустых непересекающихся множеств, и нужно из каждого
взять по элементу? Нет проблем: возьмем сначала в первом множестве
какой-нибудь элемент, потом во втором множестве какой-нибудь элемент
и т. д. Таким образом мы построим новое множество, которое пересекает ровно
по одному элементу каждое из исходных множеств.
А если множеств бесконечно много? Просто так взять по одному элементу
из бесконечного числа множеств опасно — может получиться как
с Дедом Морозом.
Мы уже договорились множества представлять себе коробками, в которых лежат
элементы. А сейчас мы будем рассматривать обувные коробки, в каждой
из которых два ботинка и шнурки к ним. Допустим, мы хотим по одному ботинку
из каждой пары поставить
на витрину в магазине*15.
Как взять из каждой коробки по одному ботинку? Мы уже умеем это делать, если
коробок конечное число. А если их бесконечно много?
В самом деле, пусть на каждой коробке стоит номер, и для каждого
натурального числа есть коробка с номером , в которой лежат два
ботинка и шнурки (рис. 3).
Как же нам выбрать из каждой пары по одному ботинку, т. е. как задать
множество ботинок, которые попадут на витрину? Например, можно взять
множество
все правые ботинки .
Заметим, что мы не возились с каждой коробкой, определяя, какой из нее взять
ботинок, и вообще никаких действий не производили, а просто рассмотрели
некоторое множество. И это множество пересекает каждую коробку
ровно по одному ботинку.
*15 Если поставить два ботинка, то украдут.
|
А как из каждой коробки выбрать по шнурку*16? Если бы на одном
из шнурков в каждой коробке был завязан узелок, мы просто рассмотрели бы
множество шнурков с узелком. Проблема в том, что шнурки неразличимы, и какой
из них брать (или на каком из них вязать узелок), непонятно. Просто взять
и вытащить любой шнурок мы не можем: коробок бесконечно много.
Во тут-то и нужна аксиома выбора.
*16 Ботинки советские, поэтому шнурки отдельно.
|
Подробнее об аксиоме выбора см. книги [4], [5].
<<< | 1|…| 3| 4| 5| 6| 7| 8| 9| 10| 11|…| 17| >>>
Похожее
-

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.
-
Михаил Раскин
Современная математика в качестве своего основания использует теорию множеств. Традиционно при анализе теоретико-множественных тонкостей используется аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. На аксиому выбора опираются доказательства наличия базиса в любом векторном пространстве и существования неизмеримого множества в математическом анализе. К сожалению, теория множеств обязана работать и со множествами, которые не описываются достаточно подробно и конкретно, чтобы мы могли себе их представить. В курсе будет рассмотрен один пример, к чему это приводит. Оказывается, ценой ослабления аксиомы выбора можно получить теорию множеств, в которой любая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Лебегу. То, что используется аксиома выбора, в каком-то смысле, произошло исторически. Курс основан на статье Р.М. Соловэя о построении теории множеств, в которой все множества вещественных чисел измеримы.
-
Михаил Раскин
В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.
-
Виктор Викторов
Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.
-
Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
-
Питер Эткинз

Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
-
Смаллиан Рэймонд

В книге «Алиса в Стране Смекалки» кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок. Они доставят удовольствие всем любителям занимательной математики, а почитателям творчества Льюиса Кэрролла в особенности.
-
Владимир Арнольд

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний (но столь же любознательному, как большинство подростков).
-

Отрывок из книги «Невероятные числа профессора Стюарта» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.
-
Гарднер Мартин

Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Этой скрытой математичностью и интересна книга Мартина Гарднера - сам автор не формулирует на языке математики закономерностей, лежащих в основе его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных и тайных. Но читателю, знакомому с элементами школьной алгебры и геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить по объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею. Книга будет интересна многим читателям: юным участникам математических кружков, взрослым любителям математики, а может быть, тот или иной из описанных здесь экспериментов пробудит улыбку и у серьезного ученого в краткий момент отдыха от большой работы.
Далее >>>
|
|