Глава 2. Имя на устах

Многие из величайших математиков древнего мира жили в египетском городе Александрия, расположенном между пятью крупными оазисами, выдающимися в пустыню к западу от Нила. Один из оазисов — Сива — был известен своими соляными озерами, которые наполняются за зиму и высыхают в летнюю жару. Соль проникла в почву и стала главным источником головной боли для археологов, поскольку она пропитывает древние камни, и остающийся на них соляной налет медленно разрушает остовы зданий.

Наиболее популярное туристическое место в Сиве — Агурми, в прошлом храм, посвященный богу Амону. Божественность Амона была столь велика, что основной его аспект представляет собой нечто абстрактное, но затем его стали отождествлять с более осязаемой сущностью — происхождением бога Ра, Солнцем. Построенный во времена 26-й династии храм Амона в Сиве был обителью знаменитого оракула, известного, в частности, в связи с двумя крупными историческими событиями.

Первое — это гибель армии Камбиса II, персидского царя, покорившего Египет. Передают, что в 523 году до Р.Х., намереваясь использовать оракула храма Амона для утверждения своего правления, Камбис отправил в Западную пустыню военный отряд. Армия дошла до оазиса Бахарийа, но погибла в песчаной буре по дороге к Сиве. Многие египтологи склонялись к мысли, что «потеря армии Камбиса» может оказаться мифом, но в 2000 году группа исследователей из Каирского университета Хелван, занимавшаяся поисками нефти, нашла в том районе куски ткани, металла и человеческие останки, которые могли быть останками погибшей армии.

Второе событие, произошедшее двумя столетиями позже, представляет собой исторический факт — это судьбоносный визит в Сиву Александра Македонского, имевшего перед собой в точности ту же цель, что и Камбис.

Александр был сыном царя Филиппа II Македонского. Дочь Филиппа Клеопатра вышла замуж за эпирского царя Александра, причем во время свадебной церемонии Филиппа убили. Убийцей мог быть любовник Филиппа Павсаний, огорченный тем, что царь никак не реагировал на жалобы, с которыми Павсаний к нему обращался. Убийство могло оказаться и результатом персидского заговора, инспирированного Дарием III. Если это так, то персы получили сполна, поскольку македонская армия немедленно провозгласила царем Александра, и 20-летний монарх совершил знаменитый поход, завоевав большую часть известного тогда мира. По пути, в 332 году до Р.Х., он без единой битвы покорил Египет.

Чтобы закрепить свою власть над Египтом, Александр провозгласил себя заодно и фараоном, а затем совершил паломничество в Сиву с целью задать оракулу вопрос, является ли спрашивающий богом. Он отправился к оракулу в одиночестве, а вернувшись, огласил его вердикт: да, оракул подтвердил, что он действительно бог. Этот ответ оракула стал основой его власти. Позднее распространились слухи, будто оракул сообщил ему, что он — сын Зевса.

Не вполне ясно, произвело ли на египтян впечатление это несколько легковесное свидетельство, или же, с учетом размеров армии, находившейся под командованием Александра, они сочли за лучшее со всем согласиться. Возможно, они уже пресытились владычеством персов и рассматривали Александра как меньшее из двух зол — именно по этой причине его уже встречали с распростертыми объятиями в бывшей столице Египта Мемфисе. Какая бы истина ни скрывалась за этой историей, египтяне начиная с того момента почитали Александра как своего властителя.

По пути к Сиве, очарованный той частью страны, что лежит между Средиземным морем и озером, приобретшем известность под именем Мареотиса, Александр решил построить там город. Планировал строительство города, скромно названного Александрией, греческий архитектор Динократ, руководствуясь при этом набросками, сделанными самим Александром. Датой основания города иногда считается 7 апреля 331 года до Р.Х.; некоторые оспаривают достоверность этой даты, но в любом случае она должна быть близка к 334 году до Р.Х. Александру не довелось увидеть своего творения — во второй раз он прибыл в эту страну, чтобы быть там похороненным.

Так, по крайней мере, утверждает освященная временем легенда, но истина, вероятно, более сложна. Теперь представляется, что значительная часть будущей Александрии уже существовала на момент прибытия туда Александра. Египтологи давно обнаружили, что многие надписи не слишком надежны. Великий храм в Карнаке, например, изобилует орнаментами, посвященными Рамсесу II. На самом же деле значительную его часть построил отец Рамсеса Сети I, и следы — порой весьма заметные — посвященных отцу надписей можно разглядеть под теми, которые были высечены в честь сына. Подобное посягательство являлось общим местом и даже не считалось проявлением непочтительности. Другое дело — обезобразить останки предшественника, скажем, стесать лицо у статуи фараона: такой поступок весьма определенно свидетельствовал о недостатке уважения, так как из-за потери идентичности предшественник мог лишиться законного места в загробной жизни.

Имя Александра было выбито повсюду, на каждом здании в древней Александрии. Его имя было, так сказать, выбито и на самом городе. Тогда как другие фараоны присваивали разрозненные здания или памятники, Александр присвоил целый город.

Александрия превратилась в один из главных морских портов; протоки Нила и канал связывали ее с Красным морем [Александрия выгодно использовала торговлю с Востоком, однако для сообщения с Красным морем надо было пересечь дельту Нила и далее двигаться по суше. (Примеч. перев.)], а оттуда — с Индийским океаном и Дальним Востоком. Она стала центром знания, в ней размещалась знаменитая библиотека. И там родился один из наиболее влиятельных математиков в истории — геометр Эвклид.

Об Александре нам известно намного больше, чем об Эвклиде — и это при том, что о масштабе влияния каждого из них на нашу цивилизацию на протяжении веков еще можно поспорить, и пожалуй, влияние Эвклида окажется даже больше. Если в математике есть такая вещь, как имя, которое у всех на устах, то это имя Эвклид. О жизни Эвклида нам известно мало, зато о его работах — много. На протяжении нескольких столетий слова «математика» и «Эвклид» воспринимались в Западном мире практически как синонимы.

Почему Эвклид приобрел такую известность? Ведь были математики и более великие, и более значительные. Но в течение без малого двух тысяч лет имя Эвклида было известному каждому, кто изучал математику по всей Западной Европе и (в несколько меньшей степени) в арабском мире. Он был автором одного из самых знаменитых математических текстов в истории — «Начал геометрии» (обычно сокращаемых просто до «Начал»). После изобретения книгопечатания эта работа оказалась среди самых первых книг, появившихся в печатном виде. Она была опубликована в более чем тысяче различных изданий и в этом уступает одной только Библии.

О Эвклиде нам известно чуть больше, чем о Гомере. Он родился в Александрии около 325 года до Р.Х. и умер около 265 года до Р.Х.

Сказав это, я с неудовольствием чувствую, что мне тут же надо бы взять свои слова назад. Идея, согласно которой Эвклид действительно существовал и был единственным автором «Начал», — это только одна из трех теорий. Вторая состоит в том, что он существовал, но не писал «Начала» — по крайней мере не писал их сам. Он мог возглавлять группу математиков, создавших «Начала» коллективно. Суть третьей теории — более спорной, но все еще лежащей в рамках возможного — в том, что такая группа существовала, но сильно смахивала на группу математиков — по большей части французов и по большей части молодых, — писавших в середине двадцатого столетия под именем Николя Бурбаки. Так что «Эвклид» может оказаться коллективным псевдонимом. Тем не менее наиболее убедительная версия, похоже, состоит в том, что Эвклид все же существовал и что это был один человек, который сам и написал «Начала».

Это не означает, что Эвклид сам открыл все математическое содержание, которое вы найдете на страницах его книги. Он собрал воедино и упорядочил значительную часть древнегреческого математического знания. Он заимствовал у предшественников и сам оставил богатое наследие своим последователям, а кроме того, скрепил весь предмет печатью своего авторитета.

«Начала» обычно рассматривают как книгу по геометрии, но в ней также нашлось место теории чисел и некоторым зачаткам алгебры — однако все это изложено с геометрических позиций.

О жизни Эвклида мы знаем очень немного. Позднейшие комментаторы включили в свои работы обрывочные сведения о нем, ни одно из которых современные исследователи подтвердить не могут. Они сообщают, что Эвклид преподавал в Александрии, и отсюда обычно выводят, что в этом городе он и родился, но так ли это на самом деле, нам не известно. В 450 году, более чем через семь веков после смерти Эвклида, в пространном комментарии по поводу его математики философ Прокл писал:

Внимательное изучение некоторых из тем в «Началах» не прямо, но убедительно свидетельствует, что Эвклид должен был в какой-то момент учиться в Платоновой Академии в Афинах. Только там, например, он мог узнать о геометрии Эвдокса и Теэтета. Что касается его характера, то все, что у нас есть, — это некоторые фрагменты из Паппа, который сообщает, что Эвклид был «мягок и любезен со всеми, кто мог хоть в малейшей степени способствовать развитию математики, внимательно следил, чтобы никого каким-либо образом не задеть, но при этом был настоящим ученым, не превозносящим самого себя». Дошло до нас и несколько анекдотов, один из которых передает Стробей. Один из учеников Эвклида спросил его, какова будет его выгода от изучения геометрии. Эвклид позвал раба со словами: «Дай этому человеку три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учебы».

Отношение греков к математике сильно отличалось от того, которое господствовало среди вавилонян и египтян. В тех культурах математика рассматривалась в первую очередь в практическом плане — хотя «практическое» могло означать такую ориентацию тоннеля в пирамиде, чтобы душе-ка умершего фараона легче было отправиться напрямую к Осирису. Для некоторых же из греческих математиков числа были не инструментами, время от времени привлекавшимися для подкрепления мистических верований, а самой сутью этих верований.

Аристотель и Платон сообщают о культе, центральной фигурой которого был Пифагор и который расцвел около 550 года до Р.Х. Согласно верованиям адептов этого культа, математика, в особенности числа, есть основа всего творения. Пифагорейцы развили мистические взгляды на гармонию вселенной, основанные отчасти на том открытии, что гармония нот на струнном инструменте связана с простыми математическими закономерностями. Если струна звучит на определенной ноте, то струна вполовину короче звучит на октаву выше, что дает наиболее гармоничный из всех интервалов. Они исследовали различные числовые закономерности, в частности «многоугольные» числа, возникающие, когда объекты выстраиваются так, чтобы образовать многоугольники. Например, «треугольные числа» 1, 3, 6 и 10 возникают из треугольников, а «квадратные числа» 1, 4, 9 и 16 — из квадратов.

Треугольные и квадратные числа.

Пифагореизм включал в себя не лишенную определенных странностей нумерологию — например, число 2 рассматривалось как мужское, а 3 как женское, — но тот взгляд, что глубинная структура природы имеет математический характер, и сегодня лежит в основе большей части теоретического знания. Хотя поздняя греческая геометрия была менее мистической, греки в целом воспринимали математику как самоцель — скорее как ветвь философии, нежели как инструмент.

Есть причины полагать, однако, что этим не все сказано. Твердо установлено, что Архимед, который мог бы быть учеником Эвклида, использовал свои математические способности для создания мощных машин и военных механизмов. Сохранилось очень немного замысловатых греческих устройств, изобретательный замысел и точность исполнения которых указывают на поддерживаемую в полной мере традицию высокого мастерства — античный вариант «прикладной математики». Самый, возможно, известный пример — это механизм, найденный на морском дне вблизи островка Антикитера: по-видимому, он представляет собой устройство для расчета движения небесных тел, выполненное в виде шестеренок, сложным образом сцепленных друг с другом.

Эвклидовы «Начала», без сомнения, укладываются в это утонченное представление о греческой математике — потому, возможно, что это представление в значительной мере и основано на «Началах». Основной акцент в книге делается на логику доказательства, при этом нет ни намека на возможность их практического применения. Но самое важное для нашего рассказа свойство «Начал» не в том, что там говорится, а в том, чего там нет.

Эвклид осуществил два великих нововведения. Первое — это концепция доказательства. Эвклид отказывается принимать какое бы то ни было математическое утверждение как истинное, пока оно не установлено с помощью последовательности логических шагов, которые позволяют вывести данное утверждение из того, что уже известно. Второе нововведение — это осознание того факта, что процесс доказательства должен иметь начало и что эти исходные утверждения доказать нельзя. Таким образом, Эвклид формулирует пять фундаментальных предположений, на которых основываются все его дальнейшие построения. Четыре из них просты и непосредственны: две точки можно соединить прямой линией; любой конечный отрезок прямой можно продолжить; можно провести окружность с любым центром и любым радиусом; все прямые углы равны между собой.

Но пятый постулат — совсем другого рода. Он длинный и сложный, а утверждаемое в нем вовсе не столь самоочевидно. Его основное следствие состоит в существовании параллельных прямых — таких, которые никогда не пересекаются, но продолжаются без ограничения в одном и том же направлении, при этом всегда находясь на одном и том же расстоянии друг от друга, как два тротуара по сторонам бесконечно длинной, идеально прямой дороги. В действительности Эвклид формулирует требование, чтобы при пересечении двух линий третьей первые две пересекались с той стороны, где два образованных угла дают в сумме величину, меньшую двух прямых углов. Оказывается, что это предположение логически эквивалентно существованию в точности одной линии, параллельной заданной линии и проходящей через заданную точку вне этой линии.

Пятый постулат Эвклида.

В течение столетий пятый постулат рассматривался как позорное пятно — как нечто такое, что следует устранить путем вывода его из четырех других или же заменой его на нечто более простое и столь же самоочевидное, как и остальные постулаты. К девятнадцатому столетию математики поняли, что Эвклид был абсолютно прав, когда включил в свои предположения пятый постулат: им удалось доказать, что его нельзя вывести из остальных.

Для Эвклида логические доказательства составляли существенное свойство геометрии, и доказательство поныне остается фундаментом всей математики. Утверждение, у которого нет доказательства, воспринимается с подозрением вне зависимости от того, сколь много конкретных свидетельств говорит в его пользу и сколь важными могут оказаться его следствия. Физики, инженеры и астрономы, напротив, нередко относятся к доказательствам с пренебрежением — как к некоторому педантичному довеску, поскольку у них есть для него эффективная замена — наблюдение.

В качестве примера представим себе астронома, который пытается вычислить движение Луны. Он запишет математические уравнения, определяющие движение Луны, и тут же застрянет, поскольку не видно никакого способа решить эти уравнения точно. Тогда наш астроном может слегка схитрить, вводя в свои уравнения различные упрощающие приближения. Математика будет волновать вопрос, могут ли эти приближения серьезно повлиять на ответ, и он будет стремиться доказать, что с ними все в порядке. У астронома же есть иной способ проверить осмысленность своих действий. Он может посмотреть, действительно ли движение Луны таково, как следует из его вычислений. Если да, то этим одновременно обосновывается метод (поскольку получается правильный ответ) и проверяется теория (по той же причине). Замкнутого логического круга здесь нет, потому что если метод математически некорректен, то почти наверняка он не позволит правильно предсказать движение Луны [Действительно, Луна близка и хорошо видна. Ситуация приобретает несколько большую остроту в том, например, случае, когда астроном сумел сделать лишь небольшое число наблюдений над каким-либо телом и исходя из них хочет узнать характер его дальнейшего движения. (Примеч. перев.)].

Без доступа к роскоши наблюдений или экспериментов математикам приходится проверять свою работу, исходя из ее внутренней логики. Чем важнее следствия из некоторого утверждения, тем важнее убедиться, что это утверждение истинно. Так что доказательство становится даже еще важнее, когда всем хочется, чтобы данное утверждение было верным, или когда из его истинности будет вытекать огромный объем следствий.

Доказательства не могут висеть в воздухе, и их нельзя до бесконечности возводить к другим, логически им предшествующим. Где-то у них должно быть начало, и начало это по определению состоит из вещей, которые не доказываются и никогда не будут доказываться. Сегодня мы называем эти недоказываемые исходные предположения аксиомами. Для математической теории аксиомы представляют собой правила игры.

Всякий, кто возражает против аксиом, может при желании их изменить; однако результатом таких действий будет совсем другая история. Математика не утверждает, что некоторое утверждение истинно: она утверждает, что если принять ряд предположений, то данное утверждение должно быть их логическим следствием. Отсюда не следует, что аксиомы не подлежат изменениям. Математики могут обсуждать вопрос о том, предпочтительна ли данная система аксиом по сравнению с другими в отношении тех или иных целей, или же вопрос о том, представляет ли данная система какой-нибудь интерес сама по себе. Но эти дискуссии не касаются внутренней логики любой из выбранных систем аксиом и получаемых из них следствий. Они касаются лишь того, какие из этих систем заслуживают внимания, вызывают интерес или представляют собой хорошее развлечение.

Следствия из аксиом Эвклида — длинная, тщательно отобранная цепочка логических построений — простираются необычайно далеко. Например, он доказывает — применяя логику, которая в его дни считалась безукоризненной, — что, коль скоро вы принимаете его аксиомы, вы неизбежно должны заключить следующее.

• Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

• Существует бесконечно много простых чисел.

• Существуют иррациональные числа — такие, которые не выражаются в виде дроби. Примером является квадратный корень из двух.

• Имеется ровно пять правильных тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

• Любой угол можно точно разделить на две равные части, используя только циркуль и линейку.

• Можно построить правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6 , 8, 10 и 12 сторонами, используя только циркуль и линейку.

Я выразил эти «теоремы», как называются любые обладающие доказательством математические утверждения, на современном языке. Язык Эвклида отличался довольно сильно: Эвклид не работал непосредственно с числами. Все, что мы интерпретируем как свойства чисел, формулируется у него в терминах длин, площадей и объемов.

Содержание «Начал» разбивается на две основные категории. Имеются теоремы, говорящие нам, что некое утверждение истинно. И имеются конструкции, говорящие нам, как что-либо можно сделать.

Типичная и заслуженно знаменитая теорема — это Предложение 47 Книги I «Начал», широко известное как теорема Пифагора. Она гласит, что самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике находится в определенной связи с двумя другими. Но без дополнительных усилий или интерпретации она не дает метода для достижения какой-либо цели.

Теорема Пифагора.

Конструкция, существенная для нашего рассказа, содержится в Предложении 9 из Книги I, где Эвклид решает задачу «бисекции» (деления пополам) углов. Эвклидов метод деления угла пополам прост, но остроумен, с учетом ограниченных возможностей, доступных на той ранней стадии развития. Если задан угол (1), образованный двумя отрезками прямых, поместите циркуль в точку пересечения этих отрезков (2) и проведите окружность, которая пересечет отрезки в двух точках, по одной на каждом (черные точки). Теперь проведите (3) две окружности того же радиуса с центрами в полученных точках. Они пересекутся в двух точках (отмечена только одна из них), после чего через них проводится (4) искомая биссектриса (показана точками).

Как разделить угол пополам циркулем и линейкой.

Повторяя это построение, можно разделить угол на четыре равные части, на восемь, на шестнадцать — число частей удваивается на каждом шаге, так что мы получаем степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и так далее.

Как я уже говорил, в «Началах» основной аспект, имеющий отношение к нашему рассказу, состоит не в том, что там содержится, а в том, чего там нет. Эвклид не дал никаких методов для решения следующих задач.

• Деление угла точно на три равные части (трисекция угла).

• Построение правильного многоугольника с 7 сторонами.

• Построение отрезка, длина которого равна длине окружности заданного радиуса (выпрямление окружности).

• Построение квадрата, площадь которого равна площади круга заданного радиуса (квадратура круга).

• Построение куба, объем которого ровно вдвое больше объема заданного куба (удвоение куба).

Иногда говорится, что сами греки воспринимали эти упущения как недостатки в монументальном труде Эвклида и посвятили много сил их исправлению. Историки математики нашли очень мало свидетельств в поддержку этих утверждений. В действительности греки были в состоянии решить все перечисленные выше задачи, но для этого им приходилось использовать методы, находившиеся за пределами установленных Эвклидом рамок. Все эвклидовы построения выполнялись циркулем и линейкой без делений. Греческие геометры могли бы выполнить трисекцию угла, используя специальные кривые, называемые коническими сечениями; они могли бы квадрировать круг, используя другую специальную кривую, называемую квадратрисой. С другой стороны, они, кажется, не понимали, что если можно выполнить трисекцию угла, то можно построить и правильный семиугольник (да, я имею в виду именно семиугольник; девятиугольник построить несложно, а вот для семиугольника потребуется очень хитрое построение). На самом деле они, похоже, вообще не изучали следствий, вытекающих из трисекции угла. Душа их, по-видимому, не лежала к таким исследованиям.

Позднейшие математики воспринимали то, что было опущено у Эвклида, в ином свете. Вместо поисков новых средств для решения этих задач они озаботились вопросом о том, чего можно достичь, используя ограниченные средства, выбранные Эвклидом, — циркуль и линейку (причем без всякого жульничества с нанесенными на нее делениями: греки знали, что «прием вставки» [Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.)] со скользящей линейкой с делениями позволяет эффективно и точно разделить угол на три части; один такой метод был изобретен Архимедом). Нахождение того, что можно сделать, а чего нельзя, а также доказательство этого заняли долгое время. К концу 1800-х годов стало окончательно ясно, что ни одну из приведенных выше задач нельзя решить, используя только циркуль и линейку.

Трисекция угла Архимедом.

Это был замечательный шаг вперед. Вместо того чтобы доказывать, что какой-то конкретный метод позволяет решить конкретную задачу, математики научились доказывать противоположное, причем в очень сильной форме: никакой метод из такого-то класса не способен решить такую-то задачу. Математики начали постигать внутренние ограничения, присущие их предмету. Здесь особенно зачаровывает дополнительный штрих, состоящий в том, что, даже утверждая наличие подобных ограничений, математики смогли доказать, что это в самом деле настоящие ограничения.

В надежде избежать неправильного понимания я хочу отметить ряд важных аспектов задачи о трисекции угла.

Требуется точное построение. Это очень жесткое условие в рамках идеализированной греческой формулировки геометрии, где линии считаются бесконечно тонкими, а точки — имеющими нулевой размер. Требуется разделить угол на три совершенно равные части. Равные не с точностью во столько-то десятичных знаков, будь то сотня или миллиард, — построение должно иметь бесконечную точность. В том же духе, правда, нам разрешается с бесконечной точностью помещать циркуль в любую точку, которая нам задана или которая возникла в процессе построения; раствор циркуля можно с бесконечной точностью задавать равным расстоянию между любыми двумя такими точками; кроме того, можно проводить прямую линию, проходящую точно через любые две такие точки.

В нашей менее совершенной реальности все не так. Так бесполезна ли геометрия Эвклида в нашем реальном мире? Нет. Например, если вы действуете так, как предписывает Эвклид в Предложении 9, имея реальный циркуль и реальный лист бумаги, то вы получите очень неплохую биссектрису. До появления компьютерной графики чертежники именно так и делили на чертежах угол на две части. Идеализация — не недостаток; она представляет собой основную причину, по которой математика вообще работает. В рамках идеализированной модели можно рассуждать логически, потому что точно известны свойства всех участвующих в ней объектов. Реальный мир с его элементами хаоса не таков.

Однако и идеализация имеет свои пределы, из-за которых модель может иногда стать непригодной. Бесконечно тонкие линии, например, не очень хороши в качестве разметки на дорогах [Именно неидеальность линий требует специальных правил, оговаривающих «черту» в различных видах спорта. (Примеч. перев.)]. Модель следует приспособить к соответствующему контексту. Модель Эвклида была приспособлена таким образом, чтобы облегчить вывод логических зависимостей между геометрическими утверждениями. В качестве бонуса она может быть полезна для понимания реального мира, хотя это ни в коей мере не занимало центрального места в рассуждениях Эвклида.

Следующее замечание связано с предыдущим, но идет в несколько ином направлении. Не составляет труда найти построения для приближенной трисекции углов. Если вам требуется точность в один процент или в одну тысячную процента, этого можно добиться. Когда ошибка составляет тысячную долю толщины линии, которую проводит ваш карандаш, она и в самом деле не слишком важна для технических чертежей. Математическая же задача ставится об идеальной трисекции. Можно ли произвольный угол точно разбить на три части? И ответ здесь — нет.

Иногда говорят, что «нельзя доказать отрицание». Математики знают, что такое утверждение — чушь. Более того, отрицание может обладать собственным очарованием, в особенности когда для доказательства невозможности чего-либо требуются новые методы. Такие методы часто оказываются более мощными и более интересными, чем положительные решения. Когда кто-то изобрел новый мощный метод, позволяющий характеризовать вещи, которые можно построить циркулем и линейкой, а также отделил их от тех, построить которые таким образом нельзя, возникает совершенно новый способ мышления. А за ним приходят новые идеи, новые задачи, новые решения — и новые математические теории и инструменты.

Нельзя использовать инструменты, которые нельзя построить. Вам не удастся позвонить другу по мобильному телефону, если мобильных телефонов не существует. Или съесть суфле из шпината, если никто не изобрел сельского хозяйства или не придумал, как пользоваться огнем. Так что создание инструментов может оказаться не менее важным, чем решение задач.

Возможность деления углов на равные части тесно связана кое с чем более милым — с построением правильных многоугольников.

Многоугольник — это замкнутая фигура, образованная отрезками прямых линий. Треугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы типа такого — все они многоугольники. Окружность не есть многоугольник, потому что ее «сторона» представляет собой кривую, а не некоторое число отрезков. Многоугольник называется правильным, если все его стороны имеют одну и ту же длину, а каждая пара соседних сторон пересекается под одним и тем же углом. На рисунке приведены правильные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

Правильные многоугольники.

Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник, — что выглядит не слишком красиво, но когда дело доходит до необходимости говорить о многоугольнике с 17 сторонами, такая запись, как «17-угольник», оказывается достаточно практичной. А что касается 65537-угольника (да, такие бывают!) — полагаю, вы уловили суть.

Эвклид и его предшественники должны были много размышлять над вопросом, какие из правильных многоугольников можно построить, поскольку Эвклид дает способы построения для многих из них. Вопрос этот оказался очень увлекательным и вовсе не простым. Греки знали, как построить правильные многоугольники со следующим числом сторон:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20.

Нам теперь известно, что их нельзя построить, когда число сторон равно

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19.

Как можно заметить, неучтенным в указанном интервале осталось только одно число — 17. История о 17-угольнике будет рассказана отдельно; она важна по причинам, выходящим за рамки чисто математических.

Когда речь идет о геометрии, нет никакой альтернативы рисованию на листе бумаги с использованием реального циркуля и настоящей линейки. Работа с ними позволяет ощутить единство всего этого предмета. Я хочу показать вам мою любимую конструкцию — построение правильного шестиугольника. Я почерпнул ее из книги, которую в конце 1950-х годов дал мне мой дядя, — книга называлась Man Must Measure («Человек должен измерять») и была совершенно замечательной.

Фиксируем раз и навсегда раствор циркуля, так что все наши окружности будут одного же размера. (1) Начертим окружность. (2) Выберем точку на ней и проведем окружность с центром в этой точке. Она пересекает исходную окружность в двух новых точках, (3) Проведем окружности с центрами в этих точках и получим два новых пересечения. (4) Проведем окружности с центрами в этих точках; обе они пройдут через одну и ту же новую точку пересечения. Полученные шесть точек можно теперь соединить в правильный шестиугольник. Из эстетических соображений приятно (но математически не обязательно) дополнить картину. (5) Проведем окружность с центром в шестой точке. Тогда шесть окружностей пересекутся в центре исходной, образуя нечто вроде цветка.

Как построить правильный шестиугольник.

Эвклид использовал очень похожий метод — более простой, хотя и не такой симпатичный — и доказал, что он работает. Его можно найти в Предложении 15 Книги IV.