Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.


Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и усложнялось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.


Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества однородных предметов, называемых одним словом, например "три человека", "три топора". При этом использовались разные слова "один" "два", "три" для понятий "один человек", "два человека", "три человека" и "один топор", "два топора", "три топора". Это показывает анализ языков первобытных народностей. Такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием "много". Разные слова для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как "толпа", "стадо", "куча". Примитивный счёт предметов заключался "в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона", которым у большинства народов являлись пальцы ("счёт на пальцах"). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.


Возможности воспроизведения чисел значительно увеличились с появлением письменности. Первое время числа обозначались чёрточками на материале, служащем для записи, например папирус, глиняные таблички, позже стали применяться специальные знаки для некоторых чисел (сохранившиеся до наших дней "римские цифры") и знаки для больших чисел. О последних свидетельствуют вавилонские клинописные обозначения или знаки для записи чисел в кириллической системе счисления. Когда в Индии появилась позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков (цифр), это стало большим достижением человека.

Осознание бесконечности натурального ряда явилось следующим важным шагом в развитии понятия натурального числа. Об этом есть упоминания в трудах Евклида и Архимеда и других памятниках античной математики 3 века до н. э. В "Началах" Евклид устанавливает безграничную продолжаемость ряда простых чисел. Здесь же Евклид определяет число, как «множество, составленное из единиц». Архимед в книге "Псаммит" описывает принципы для обозначения сколь угодно больших чисел.


Со временем начинают применяться действия над числами, сначала сложение и вычитание, позже умножение и деление. В результате длительного развития сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от рассматриваемых предметов, о том, что, например, два предмета и три предмета составляют пять предметов независимо от характера этих предметов. Когда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства и создавать методы решения задач, тогда начинает развиться арифметика — наука о числах. Потребность в изучении свойств чисел как таковых проявляется в самом процессе развития арифметики, становятся понятными сложные закономерности и их взаимосвязи, обусловленные наличием действий, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных чисел и так далее. Тогда появляется раздел математики, который сейчас называется теория чисел.

Когда было замечено, что натуральные числа могут характеризовать не только количество предметов, но и ещё могут характеризовать порядок предметов, расположенных в ряд, возникает понятие порядкового числа. Вопрос об обосновании понятия натурального числа, столь привычного и простого, долгое время в науке не ставился. Только к середине 19 века под влиянием развития математического анализа и аксиоматического метода в математике, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа.


Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки. Введение в употребление дробных чисел стало исторически первым расширением понятия числа.


В Средние века были введены отрицательные числа, с помощью которых стало легче учитывать долг или убыток. Необходимость введения отрицательных чисел была связана с развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Отрицательные числа систематически применялись при решении задач ещё в 6—11 веках в Индии и истолковывались примерно так же, как это делается в настоящее время. После того, как Декарт разработал аналитическую геометрию, позволившую рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, что окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, отрицательные числа окончательно вошли в употребление в европейской науке.


Ещё в Древней Греции в геометрии было совершено принципиально важное открытие: не всякие точно заданные отрезки соизмеримы, другими словами, не у каждого отрезка длина может быть выражена рациональным числом, например сторона квадрата и его диагональ. В "Началах" Евклида была изложена теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. В Древней Греции умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия в геометрической форме. Хотя греки обращались с такими отношениями, как с числами, они не осознали, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как число. Это было сделано в период зарождения современной математики в 17 веке при разработке методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. И. Ньютон во "Всеобщей арифметике" даёт определение понятия действительного числа: "Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу". Позже, в 70 годах 19 века, понятие действительного числа было уточнено на основе анализа понятия непрерывности Р. Дедекиндом, Г. Кантором и К. Вейерштрассом.


С развитием алгебры возникла необходимость введения комплексных чисел, хотя недоверие к закономерности пользования ими долго сохранялось и отразилось в сохранившемся до сих пор термине "мнимое". Уже у итальянских математиков 16 века (Дж. Кардано, Р. Бомбелли), в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней, возникла идея комплексного числа. Дело в том, что даже решение квадратного уравнения, в том случае, если уравнение не имеет действительных корней, приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Казалось, что задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, не имеет решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось, что в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел.

После установления в конце XVIII века геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, в особенности после знаменитых работ Л. Эйлера и К. Гаусса, комплексные числа были признаны математиками и начали играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Значение комплексных чисел особенно возросло в 19 веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного.


Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:

1. нумерации предметов по порядку (первый, второй, третий, …);
   
   
2. обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).

Можно сказать, что первый подход вводит порядковые числа (ординалы), а второй количественные числа (кардинальные числа). В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Множество натуральных чисел обозначается . То есть


или, если к множеству натуральных чисел также относят ноль, то


Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

Интуитивное представление о натуральном ряде впервые было формализовано в XIX веке в итальянским математиком Джузеппе Пеано. Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал Джузеппе Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге "Основания арифметики, изложенные новым способом" (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Словесная формулировка:

1. Число является натуральным числом;
   
   
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
   
   
3. Число не следует ни за каким натуральным числом;
   
   
4. Если натуральное число непосредственно следует как за числом , так и за числом , то и тождественны;
   
   
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа , вытекает, что оно верно для следующего за натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая формулировка использует функцию следования , которая сопоставляет числу следующее за ним число.

1. ;
   
   
2. ;
   
   
3. ;
   
   
4. ;
   
   
5. .

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание верно для (база индукции) и для любого при допущении, что из верности следует верность и (индукционное предположение), то верно для любых натуральных .

Примечательно, что единственность единицы прямо не требуется — она следует из этих аксиом.

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. ;
   
   
2. ;
   
   
3. ;
   
   
4. .

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать, что если и — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция такая, что и для всех .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Непротиворечивость арифметики Пеано была доказана в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала . Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Также есть теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

1. ;
   
   
2. .

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

1. ;
   
   
2. ;
   
   
3. ;
   
   
4. 

Отношение порядка на определяется исходя из операции сложения следующим образом. А именно, число по определению больше числа , то есть , если .

Вычитание натуральных чисел определяется как операция обратная к сложению.

Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются . Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления). Такая алгебраическая структура называется кольцом. Множество целых чисел принято обозначать .

Кольцо целых чисел является минимальным кольцом, содержащим (с согласованием операций) натуральные числа.

Кольцо целых чисел может быть формально определено как множество классов эквивалентности множества пар натуральных чисел . Пары и считают эквивалентными, если . Также на парах определяются операции


которые стандартным образом переносятся на классы эквиалентности.

Расположение кольца и порожденный расположением порядок однозначно определен порядком на .



Рациональные числа — числа, представимые в виде дроби , где — целое число, а — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль). Такая алгебраическая структура называется полем. Для обозначения рациональных чисел используется знак (от англ. quotient).

Можно доказать, что поле рациональных чисел является минимальным полем, содержащим (с согласованием операций) кольцо целых чисел.

Поле рациональных чисел может быть формально определено как поле отношений целостного кольца .

Вещественные (действительные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной (модуль числа). Поле вещественных чисел является минимальным полным архимедово расположенным полем, содержащим поле рациональных чисел. Поле называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательности имеет предел.

В выделяют подмножество иррациональных чисел — чисел, не являющихся рациональными.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте — теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда.

В подходе Кантора вещественное число рассматривается как предел последовательности рациональных чисел. Чтобы последовательность рациональных чисел сходилась, на неё накладывается условие Коши:


Смысл этого условия заключается в том, что члены последовательности, начиная с некоторого номера будут лежать сколь угодно близко друг от друга. Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, называются фундаментальными.

Вещественное число, определяемое фундаментальной последовательностью рациональных чисел , обозначим .

Два вещественных числа и , определённые соответственно фундаментальными последовательностями и , называются равными, если


Если даны два вещественных числа и , то их суммой и произведением называются числа, определённые соответственно суммой и произведением последовательностей и :


Отношение порядка на множестве вещественных чисел устанавливается посредством соглашения, в соответствии с которым число по определению больше числа , то есть , если


Способ построения множества вещественных чисел с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел является частным случаем конструкции пополнения произвольного метрического пространства. Как и в общем случае, полученное в результате пополнения множество вещественных чисел само уже является полным, то есть содержит пределы всех фундаментальных последовательностей своих элементов.

В подходе Дедекинда вещественные числа определяются с помощью сечений в множестве рациональных чисел.

Сечением в множестве рациональных чисел называется всякое разбиение совокупности всех рациональных чисел на два непустых класса — нижний и верхний , так что каждое число из нижнего класса строго меньше всякого числа из верхнего:


Если существует число , которое является максимальным в нижнем классе, либо минимальным в верхнем классе, то это число разделяет множества и : числа нижнего и верхнего классов лежат по разные стороны . Говорят также, что рациональное число производит данное сечение множества рациональных чисел.

Если же в нижнем классе сечения нет максимального элемента, а в верхнем — минимального, то не существует никакого рационального числа, которое разделяло бы множества и . В этом случае по определению полагают, что данное сечение определяет некоторое иррациональное число , которое находится между нижним и верхним классами, и тем самым производит данное сечение. Иначе говоря, для всякого сечения, не производимого никаким рациональным числом, вводят новый объект — иррациональное число, которое по определению больше всякого числа из нижнего класса и меньше всякого числа из верхнего класса:


Объединение всех рациональных и всех иррациональных чисел называют множеством вещественных чисел, а его элементы — вещественными числами.

Арифметические операции над вещественными числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над рациональными числами. Например, суммой вещественных чисел и называется вещественное число , удовлетворяющее следующему условию:


Подобным образом определяется и произведение вещественных чисел.

Комплексные числа , являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде , где — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство . Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

При любом из способов определения арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Стандартная модель строится с помощью процедуры удвоения алгебры (процедуры Кэли — Диксона)

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел , записываемую обычно в виде .

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

1. ;
   
   
2. .

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой , единица — . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных.

Квадрат числа , называемого мнимой единицей равен , то есть . Запись получается введением краткого обозначения для вещественного числа . Любое комплексное число можно записать в виде



Дальнейшие обобщения чисел происходят также с помощью процедуры удвоения (процедуры Кэли — Диксона) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом), с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона. Эта процедура позволяет построить из действительных чисел комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т.д.


Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

Анри Пуанкаре писал о кватернионах:


Кватернионы можно определить как формальную сумму , где — вещественные числа, а — мнимые единицы со следующим свойством: . Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов выглядит так:


Например, , a .

Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде


или эквивалентно


где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел


Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид


где — постоянные кватернионы.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.

Теорема Фробениуса утверждает, что перечисленные расширения поля вещественных чисел уникальные, то есть в некотором смысле единственны и других таких нет.


Октонионы (или алгебра Кэли) — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается , поскольку её элементы (числа Кэли) называются октонионами или октавами. Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.

Октинион — это линейная комбинация элементов . Каждая октава может быть записана в форме


с вещественными коэффициентами .

Подобно кватернионам в отношении комплексных чисел, каждый октинион может быть представлен в виде , где — кватернионы.

Октонионы, являющиеся расширением алгебры кватернионов с помощью процедуры удвоения, уже теряют свойство ассоциативности. Из теоремы Фробениуса следует, что алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн.

Седенионы — элементы 16-мерной алгебры над полем вещественных чисел. Каждый седенион — это линейная комбинация элементов


которая формирует базис векторного пространства седенионов.

Каждый сединион может быть представлен в виде , где — октинионы.

Как и в случае октонионов, умножение седенионов не является ни коммутативным, ни ассоциативным. В отличие от октонионов, седенионы не обладают свойством альтернативности.


Тем не менее седенионы обладают свойством степенной ассоциативности.


В множестве седионов есть единичный элемент, есть обратные элементы, но нет алгебры деления. Это происходит из-за того, что есть делители нуля, то есть два ненулевых элемента могут быть перемножены и получится нулевой результат.

Множество седенионов обозначается как .

Таким образом, гиперкомплексные числа выстраиваются в следующую цепочку по включению:



Помимо расширения и обобщения числовых структур с помощью удвоения алгебры, есть обобщения, основанные на иных принципах.

-адические числа можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел при помощи т. н. -адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Любое рациональное число можно представить как , где и целые числа, не делящиеся на , а — целое. Тогда -адическая норма определяется следующим образом:


Поле -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой , определённой -адической нормой: . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма продолжается по непрерывности до нормы на .

Если — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость сравнения


при всех эквивалентна разрешимости уравнения


в целых -адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях -адических чисел при всех , а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.


Натуральные числа (к которым в данном случае относится и ) имеют два основных применения: описание размера некоторого множества и описание позиции элемента в заданной последовательности. В случае конечных множеств эти понятия совпадают; с точностью до изоморфизма существует единственный способ расположить элементы конечного множества в виде последовательности. В случае же бесконечных множеств необходимо отличать понятие размера и связанных с ним кардинальных чисел от понятия позиции, обобщением которого служат описанные в данной статье порядковые числа. Это объясняется тем, что бесконечное множество, обладая однозначно определенным размером (мощностью), может быть вполне упорядочено более чем одним неизоморфным способом.

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить. Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми "маленькими" бесконечными множествами.

Говорят, что множества и обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому из соответствует единственное из , а каждое из является образом единственного из ).

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом ("алеф-нуль"). Множество называется бесконечным, если его мощность (не меньше мощности множества натуральных чисел), таким образом, счётные множества — это "самые маленькие" из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом c . Предположение о том, что , называется континуум-гипотезой.


В то время как понятие кардинального числа, связанного с множеством, не требует задания на нем какой-либо структуры, ординалы тесно связаны с особой разновидностью множеств, которые называются вполне упорядоченными (в сущности эти понятия настолько близки, что некоторые математики не делают между ними никаких различий). Данный термин обозначает линейно упорядоченное множество (то есть множество с некоторым единообразным способом выбора наименьшего и наибольшего значения для произвольной пары элементов), в котором нет бесконечно убывающих последовательностей (хотя могут существовать бесконечно возрастающие), или — в эквивалентной формулировке — множество, в котором любое непустое подмножество содержит наименьший элемент. Порядковые числа можно использовать как для обозначения элементов любого заданного вполне упорядоченного множества (наименьший элемент получает метку , следующий за ним — метку , следующий — , "и так далее"), так и для измерения "размера" всего множества путём указания наименьшего ординала, который не является меткой какого-либо элемента множества. Такой "размер" называется порядковым типом множества.

Порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции.


Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определенной упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами.

Любое порядковое число определяется множеством предшествующих ординалов: фактически наиболее распространенное определение порядкового числа отождествляет его со множеством предшествующих ординалов. Так, ординал представляет собой порядковый тип множества предшествующих ординалов, то есть ординалов от (наименьший ординал) до (непосредственный предшественник ), и обычно отождествляется со множеством . Верно и обратное: любое замкнутое вниз семейство ординалов — то есть такое, что для любого ординала и произвольного ординала ординал также является элементом — само является ординалом (либо его можно отождествить с таковым).

Наименьшим среди бесконечных ординалов является порядковый тип натуральных чисел (конечных ординалов) , который даже можно отождествить с самим множеством натуральных чисел (действительно: множество натуральных чисел замкнуто вниз и, как любое множество ординалов, является вполне упорядоченным, — следовательно, его можно отождествить с соответствующим порядковым числом, что в точности соответствует определению ).

Вероятно, более интуитивное представление о порядковых числах можно получить, рассмотрев несколько их первых представителей: как уже упоминалось выше, множество ординалов начинается с натуральных чисел После всех натуральных чисел располагается первый бесконечный ординал , за которым следуют , и так далее. После всех таких чисел располагаются (то есть ), , , и так далее, затем , а после него — . Далее, множество ординалов, которые можно записать в виде , где — натуральные числа, также должно обладать соответствующим порядковым числом: таким числом будет . За ним последуют , затем и — намного позже — ("эпсилон-нуль") (перечисленные примеры дают представление о сравнительно небольших счетных ординалах). Этот процесс можно продолжать неограниченно (выражение "неограниченности" — это и есть сильная сторона порядковых чисел: собственно говоря, когда мы, перечисляя порядковые числа, употребляем выражение "и так далее", мы тем самым определяем порядковое число большего размера). Наименьший несчетный ординал представляет собой множество всех счетных ординалов и обозначается .

Сложение и умножение ординалов уже не обладают свойством коммутативности: так напрммер, совпадает с , но отличается от .

Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число , соответствующее кардинальному числу .

Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу "многие к одному".


Философское понимание числа заложили пифагорейцы. Аристотель свидетельствует, что пифагорейцы считали числа "причиной и началом" вещей, а отношения чисел — основой всех отношений в мире. Числа придают миру упорядоченность и делают его космосом. Такое отношение к числу было принято Платоном, а позже неоплатониками. Платон при помощи чисел различает подлинное бытие (то, что существует и мыслится само по себе), и неподлинное бытие, (то, что существует лишь благодаря другому и познаётся только в отношении). Срединное положение между ними занимает число. Оно придаёт меру и определённость вещам и делает их причастными бытию. Благодаря числу вещи могут быть подвергнуты пересчёту и поэтому они могут быть мыслимы, а не только ощущаемы.

Неоплатоники, особенно Ямвлих и Прокл, почитали числа столь высоко, что даже не считали их сущими — устроение мира исходит от числа, хотя и не непосредственно. Числа сверхсущны, пребывают выше Ума, и недоступны знанию. Неоплатоники различают божественные числа (прямую эманацию Единого) и математические числа (составленные из единиц). Последние являются несовершенными подобиями первых. Аристотель, наоборот, приводит целый ряд аргументов, показывающих, что утверждение о самостоятельном существовании чисел приводит к нелепостям. Арифметика выделяет в этих реально сущих вещах только один аспект и рассматривает их с точки зрения их количества. Числа и их свойства являются результатом такого рассмотрения.

Кант считал, что явление познано тогда, когда оно сконструировано в соответствии с априорными понятиями — формальными условиями опыта. Число — одно из таких условий. Число задаёт конкретный принцип или схему конструирования. Любой объект является исчислимым и измеряемым, потому что он сконструирован по схеме числа (или величины). Поэтому всякое явление может рассматриваться математикой. Разум воспринимает природу подчинённой числовым закономерностям именно потому, что сам строит её в соответствии с числовыми закономерностями. Так объясняется возможность применения математики в изучении природы.

Математические определения, разработанные в XIX веке, были серьёзно пересмотрены в начале XX века. Это было вызвано не столько математическими, сколько философскими проблемами. Определения, которые были даны Пеано, Дедекиндом или Кантором, и которые используются в математике и в настоящее время, нужно было обосновать с помощью фундаментальных принципов, коренящихся в самой природе знания. Различают три таких философско-математических подхода: логицизм, интуиционизм и формализм.

Философскую базу логицизма разработал Рассел. Он полагал, что истинность математических аксиом неочевидна. Истинность обнаруживается сведением к наиболее простым фактам. Отражением таких фактов Рассел считал аксиомы логики, которые он положил в основу определения числа. Важнейшим понятием у него является понятие класса. Натуральное число есть класс всех классов, содержащих элементов. Дробь — это уже не класс, а отношение классов.

Интуицист Брауэр имел противоположную точку зрения: логику он считал лишь абстракцией от математики, рассматривал натуральный ряд чисел как базовую интуицию, лежащую в основании всякой мыслительной деятельности.

Гильберт, главный представитель формальной школы, видел обоснование математики в построении непротиворечивой аксиоматической базы, в пределах которой можно бы было формально обосновать любое математическое понятие. В разработанной им аксиоматической теории действительных чисел представление о числе лишается всякой глубины и сводится лишь к графическому символу, подставляемому по определённым правилам в формулы теории.