Математик Владлен Тиморин о преимуществах комплексных чисел, кватернионах Гамильтона, восьмимерных числах Кэли и о разнообразии чисел в геометрии.

За два тысячелетия произошло три важных расширения числовой области. Во-первых, около 450 г. до н.э. учёные школы Пифагора доказали существование иррациональных чисел. Их начальной целью было числовое выражение диагонали единичного квадрата. Во-вторых, в XIII-XV веках европейские учёные, решая системы линейных уравнений, допустили возможность одного отрицательного решения. И, в-третьих, в 1572 г. итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли использовал комплексные числа для получения действительного решения некоего кубического уравнения.

Немецкий математик Леопольд Кронекер писал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека». Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.

ТФКП — теория функций комплексной переменной, эквивалент «теории аналитических функций». Математическая дисциплина второго круга образования — не в каждом техническом ВУЗе преподаётся. А жаль. Потому что ТФКП необыкновенно красива и в своей основе достаточно проста. Ибо в римановы пространства и конформные преобразования не обязательно заглядывать без особой надобности. Но и без них в лучах «аналитических функций» многое в нижележащих слоях математики озаряется буквально волшебным светом. Проясняется и упрощается. Вскрываются внутренние механизмы, обнажаются загадки. Поэтому ТФКП, по крайней мере в «данном исполнении», можно рекомендовать для самообразования. Простое изложение может оказаться полезным и при углублённом изучении предмета, когда подробности мешают видеть общую картину.

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.

Математика — универсальный язык Вселенной, фундамент, на котором основаны все другие науки. Как человечество смогло открыть тайны этого универсального языка? Начиная с древнейших времен, прослеживается история математики до наших дней и завершается рассказом о наиболее важных проблемах современности. Их решение позволит лучше понять устройство нашего мира.

Метод координат, придуманный Рене Декартом, позволяет переформулировать любую задачу «на доказательство» из элементарной (грубо говоря, «школьной») геометрии в виде высказывания о вещественных числах. А что делать потом? Ведь уже для корней алгебраических уравнений пятой степени с одной неизвестной не существует явной формулы «в радикалах», а при переводе геометрических утверждений на алгебраический язык будут возникать сложные утверждения, содержащие много переменных, связанных как кванторами существования (это «неизвестные»), так и кванторами общности (это «параметры»). К счастью, польский логик и математик Альфред Тарский нашел в сороковые годы двадцатого столетия универсальный метод, позволяющий узнавать истинность или ложность любого высказывания про конечное множество вещественных чисел. Первоначальное авторское изложение этого метода занимало целую книгу и было очень трудно для восприятия. С тех пор многие авторы упрощали метод Тарского, и сегодня этот замечательный результат может быть доказан со всеми деталями за два часа и, надеюсь, понят старшеклассниками и младшекурсниками.

В докладе рассмотрены два класса объектов, имеющих различную природу, но неожиданным образом аналогичные по своим свойствам. С одной стороны, так называемые алгебры доказуемости, возникающие при изучении свойств формальной доказуемости в арифметических теориях. С другой стороны, топологические пространства, наделённые одной или несколькими разреженными топологиями, то есть такими, что любое непустое подмножество X имеет хотя бы одну изолированную точку.

Научная биография Карла Вейерштрасса, его основные работы, влияние его учения на развитие математики. Вейерштрасс и теория вещественного числа, зарождение общей топологии, начала математического анализа, комплексный анализ, теория эллиптических функций, теория чисел, вариационное исчисление. Размышления Вейерштрасса о математике и математической жизни.