Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.

В середине XIX века были сделаны открытия, которые в корне изменили алгебру и привели к ее окончательному отделению от арифметики. История открытия алгебры кватернионов и булевой алгебры.

Что такое монодромия? Как продолжаются функции в комплексном мире? Каково пространство решений в комплексной плоскости? Как построить линейное дифференциальное уравнение? На эти и другие вопросы ответил кандидат физико-математических наук Владимир Побережный.

Теорема Римана — один из центральных результатов теории функций комплексного переменного. В докладе будет рассказано о месте теоремы в математике и приведена идея ее доказательства, предложенного самим Риманом и основанного на соображениях из гидродинамики.

Из курса математического анализа известно, что если функция имеет n производных, то n-я производная может даже не быть непрерывной; если функция имеет все производные, то она может все-таки не разлагаться в ряд Тейлора: он может расходиться или сходиться к другой функции. Удивительная особенность функций комплексного переменного состоит в том, что одна только дифференцируемость функции во всех точках ее области определения обеспечивает, что функция имеет все производные и разлагается в ряд Тейлора. Этот факт доказывается с использованием интегрального исчисления функций комплексного переменного, хотя по своей форме он относится к дифференциальному исчислению. В лекциях будет предложено другое доказательство того же факта. Оно обходится без специфического комплексного интегрирования и вообще опирается на “вещественные” сведения.

В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости. Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.

Документальный фильм «Измерения» – это два часа математики, постепенно выводящие вас в четвёртое измерение.

Мнимые числа, несмотря на своё название, вполне реальны. По крайней мере, в той же степени, что и отрицательные числа, иррациональные или ноль. Хоть их не найти на привычной нам числовой оси, мнимые числа позволяют справляться с задачами, над которыми сотни лет бились умнейшие математики, а их состоятельность проверена на практике учёными и инженерами.

Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, которых они вызывают. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x+y, x+y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова.

В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.