Из обычного курса математического анализа (т.е. дифференциального и интегрального исчисления) известно, что если функция имеет n производных, то n-я производная может даже не быть непрерывной; если функция имеет все производные, то она может все-таки не разлагаться в ряд Тейлора: он может расходиться или сходиться к другой функции. Удивительная особенность теории функций комплексного переменного состоит в том факте, что там это не так: одна только дифференцируемость функции во всех точках ее области определения обеспечивает, что функция имеет все производные и разлагается в ряд Тейлора. Этот факт доказывается с использованием интегрального исчисления функций комплексного переменного, хотя по своей форме он относится к дифференциальному исчислению.

В лекциях будет предложено другое доказательство того же факта. Оно обходится без специфического комплексного интегрирования (хотя все-таки привлекается обычное “вещественное” интегрирование) и вообще опирается на “вещественные” сведения, привычные после первого курса. Нельзя сказать, чтобы по сравнению с обычным изложением это оказалось короче, но поскольку в значительной части рассуждений при этом фигурируют известные понятия и соображения, то в некоторых отношениях новое изложение можно считать более простым.

Предполагается знакомство читателя с частью обычного курса математического анализа. У школьников оно может быть недостаточным и даже у студентов может оказаться недостаточно полным и недостаточно прочным для свободного оперирования с теми сведениями, которые, в принципе, им известны, но еще не “отложились” у них в голове в достаточно четком виде. В обозначениях и терминологии тоже может встретиться что-то непривычное.

В помощь таким слушателям предполагается посвятить часть семинарских занятий подобным вспомогательным вопросам.

Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, академик РАН, профессор.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
22 июля 2004 г.