Энтропия — мера неопределённости, мера хаоса. В естественных науках это мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов; в теории информации — мера неопределённости какого-либо опыта, процесса или испытания, которые могут иметь разные исходы (а значит, мера количества информации); в математике — мера сложности объекта или процесса. Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Р. Клаузиусом в термодинамике, К. Шенноном в теории информации в 1949 г., в теории стохастичпеских процессов Колмогоровым, Гельфандом и Яглом в 1956 г., в функциональном анализе и теории динамических систем Колмогоровым в 1956–1958 гг. Между мирами полной детерминированности, изучаемой классическим анализом и миром хаоса, изучаемым теорией вероятностей, ныне перекидывается мост, который связан с понятием энтропии.

Зильберман Александр Рафаилович. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 28 июля 2007 г.

Число В вершин, число Р ребер и число Г граней выпуклого многогранника связаны соотношением В−Р+Г=2. Легко сообразить, что это широко известное утверждение не имеет прямого отношения к выпуклости: если на боку выпуклого многогранника сделать вмятину, то он перестанет быть выпуклым, а количество вершин, ребер и граней сохранится. В то же время для совершенно произвольного многогранника теорема неверна. В данном курсе мы выясним, в каких именно случаях эти утверждения верны и почему на самом деле это — одна и та же теорема. Также мы разберемся, как выглядят аналогичные утверждения для других поверхностей, и не только для поверхностей (а, например, для графов или для многомерной сферы).

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.

Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача n тел») является чрезвычайно сложным — настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая n=3 каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает. Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет.

Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.

План лекций: Доказуемость и недоказуемость (почему некоторые утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть?); Вычислимые функции (почему некоторые функции нельзя вычислить на компьютере?); Сложность алгоритмов; Формальные языки и исчисления.

Программа курса: 1) Классическая механика: как движется груз на пружине? 2) Оптика: почему угол падения равен углу отражения? 3) Интеграл Фейнмана: как перемещаться по всем путям сразу? 4) Уравнение Шрёдингера: почему энергия делится на порции (кванты)? Предполагается, что слушатели владеют искусством замены переменной в интеграле или готовы быстро этому выучиться.

Сколько вещественных корней имеет заданный полином с вещественными коэффициентами? Замечательная теорема Штурма дает исчерпывающее решение этой задачи. “Теорема, имя которой я имею честь носить”, – так говорил об этом результате Штурм, который считал его главным достижением своей жизни. Совместна ли заданная система полиномиальных уравнений и неравенств от нескольких вещественных переменных? Теорема Зайденберга–Тарского, отвечающая на этот вопрос, является грандиозным многомерным обобщением теоремы Штурма. В лекциях будет рассказано новое наглядное решение задачи Штурма. Оно несложно переносится на многомерный случай и приводит к доказательству теоремы Зайденберга–Тарского.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 24-25 июля 2004 г.

Мы обсудим несколько наглядных сюжетов на стыке математики, физики, химии, географии (закон сохранения энергии, молекула в виде листа Мебиуса, теорема Эйлера и другие). Мы постараемся дать интуитивно почувствовать, и не обсуждать формально некоторые красивые математические понятия. Не требуется до лекции (и не появится после лекции) никаких формальных знаний.

Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, которых они вызывают. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x+y, x+y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова.

Наряду с привнесением революционных идей в информатику, искусственный интеллект и биологию, Тьюринг внес существенный вклад и в такой традиционный раздел математики, как теория чисел. К сожалению, даже о сaмом существовании таких исследований Тьюринга за пределами круга теоретико-числовиков известно немногим. Все опубликованные Тьюрингом работы по теории чисел связаны с одним, но фундаментальным вопросом этой области математики — распределением простых чисел. В частности, Тьюринг предложил метод для проверки справедливости гипотезы Римана для начальных нулей дзета функции Римана. Этот метод остается основным и при всех современных вычислениях на суперкомпьютерах. Тьюринг также изобрел механическое устройство для вычисления нулей дзета функции, получил грант на его реализацию, но эта работа была прервана войной и никогда не закончена.

Метод координат, придуманный Рене Декартом, позволяет переформулировать любую задачу «на доказательство» из элементарной (грубо говоря, «школьной») геометрии в виде высказывания о вещественных числах. А что делать потом? Ведь уже для корней алгебраических уравнений пятой степени с одной неизвестной не существует явной формулы «в радикалах», а при переводе геометрических утверждений на алгебраический язык будут возникать сложные утверждения, содержащие много переменных, связанных как кванторами существования (это «неизвестные»), так и кванторами общности (это «параметры»). К счастью, польский логик и математик Альфред Тарский нашел в сороковые годы двадцатого столетия универсальный метод, позволяющий узнавать истинность или ложность любого высказывания про конечное множество вещественных чисел. Первоначальное авторское изложение этого метода занимало целую книгу и было очень трудно для восприятия. С тех пор многие авторы упрощали метод Тарского, и сегодня этот замечательный результат может быть доказан со всеми деталями за два часа и, надеюсь, понят старшеклассниками и младшекурсниками.

Гипотеза Римана может быть сформулирована как утверждение об определителях некоторых матриц, элементы которых задаются через коэффициенты разложения дзета-функции Римана в ряд Тейлора. Оказалось, что в распределении собственных чисел этих матриц можно увидеть некоторые закономерности, позволяющие сформулировать новые гипотезы. В докладе будет показано много «картинок» и компьютерная анимация, раскрывающая «тайную жизнь дзета-функции Римана».

Хаос — математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.

Цель этого курса — познакомить слушателей с дифференциальной геометрией на материале одного классического сюжета, не дублируя того, что им будет рассказано в процессе дальнейшего обучения, и не прибегая к сколько-нибудь сложным вычислениям. Развертывающаяся поверхность — это поверхность, которая получается, если согнуть лист бумаги, не делая складок. Развертывающиеся поверхности обладают замечательными свойствами. Некоторые из этих свойств можно увидеть, если очень внимательно приглядеться к согнутому листу бумаги, некоторые другие таким способом заметить, пожалуй, нельзя.

Для случайного распределения k точек на целочисленной окружности длины два «параметра стохастичности» β и λ были определены (независимо друг от друга) А.Н. Колмогоровым в 1933 году и В.И. Арнольдом в 2003 году. На занятиях будет показано, что эти параметры, кажущиеся независимыми характеристиками поля случайных точек, становятся функционально зависимыми, когда их значения усреднены по малым флуктуациям точек поля.

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)

Лекция начнется с демонстрации недавно обнаруженной серии физических экспериментов с проволочном контуром, который моделирует узлы (т.е. гладкие замкнутые кривые в пространстве). Оказывается, что этот контур — очень умный: он во многих случаях умеет распутывать тривиальный узел в круглую окружность, выполнять т.н. движения Рейдемейстера, движения Маркова, фокус Уитни, и всегда минимизирует т.н. индекс Уитни. Во второй части лекции будет рассмотрен один из красивейших подходов к изучению математической теории узлов, основанный на использовании т.н. «энергии узлов».