Приставляя тетраэдры друг к другу по граням можно получать примеры симплициальных комплексов — важного математического объекта. Раскрасим треугольники такого сооружения в чёрный и белый цвета и назовём раскраску хорошей, если каждый тетраэдр имеет поровну чёрных и белых граней. Оказывается, что в случае (стандартно симплициально разбитых) маломерных сфер множество белых треугольников оказывается объектом, достойным изучения: листом Мёбиуса или проективной плоскостью. При описании того, как именно эти объекты разбиты на треугольники у нас естественным образом возникнет икосаэдр — замечательный правильный многогранник. Исследование группы его самосовмещений позволит понять, сколько существует хороших раскрасок. По пути нам встретятся такие важные базовые понятия математики, как вышеупомянутые симплициальный комплекс и группа симметрий, действие и пр.

В этом курсе изучается такой замечательный и вполне элементарный объект, как конечномерные коммутативные ассоциативные алгебры над комплексными числами. Здесь достаточно легко доказать первые структурные результаты, но получить полную классификацию едва ли возможно. Мы обсудим различные техники работы с конечномерными алгебрами (максимальные идеалы и локальные алгебры, фильтрации и градуировки, последовательность Гильберта-Самюэля и цоколь) и получим явное описание алгебр малых размерностей. Оказывается, конечномерные алгебры тесно связаны с действиями с открытой орбитой коммутативных групп матриц на аффинных и проективных пространствах. Мы объясним эту связь. В процессе объяснения естественно возникнут такие понятия как экспонента линейного оператора, представление группы и циклический модуль, алгебра Ли и ее универсальная обертывающая.

Целью этого элементарного курса, рассчитанного на школьников, является познакомить слушателей с некоторыми основными и очень красивыми идеями современной абстрактной алгебры. Начиная с элементарных примеров, мы введем понятия группы, кольца, и поля, и заодно посмотрим на некоторые неожиданные свойства простых уравнений в кольцах. После этого мы рассмотрим разные примеры групп, таких как группы симметрий правильных многоугольников и многогранников, или группы перестановок. Мы увидим как можно записать операцию в группе с помощью таблиц Кэли, и посмотрим на более наглядное представление структуры группы с помощью диаграмм Кэли. Мы также рассмотрим примеры действия групп и связанные с этим понятия, а также некоторые красивые приложения (такие как счетная лемма Бернсайда).

Теория игр — наука, изучающая принятие решений, особенно принятие решений в условиях зависимости достигаемого результата от действий других участников процесса. При этом «счастье для всех, даром и пусть никто не уйдёт обиженным» как правило невозможно по правилам — хотя ещё обиднее, когда оно возможно, но заведомо не случится. Изучаются же в каком-то смысле «достижимые» и «устойчивые» ситуации — так называемые равновесия. В интересующих нас играх часто можно выписать все сценарии развития событий, но после этого всё равно ещё остаются вопросы. С этой точки зрения шахматы одновременно слишком сложны — много позиций — и слишком просты — полный перебор сразу определил бы оптимальную стратегию для каждой позиций. Так как курс не построен вокруг одного понятия или утверждения, по пожеланиям слушателей возможны значительные изменения программы.

В этом курсе мы познакомимся с замечательной теорией NP-полных задач. Проблема (не)равенства классов P и NP — одна из «задач тысячелетия», за каждую из которых объявлен приз в миллион долларов. Мы разберемся в определении класса NP и научимся доказывать NP-полноту различных комбинаторных задач (классические теоремы Кука–Левина и Карпа). Особое внимание уделим задаче выполнимости булевых формул SAT. Мы поиграем с программами, решающими эту задачу, разберем какие алгоритмы они используют, как результатом их работы может быть доказательство, допускающее автоматическую проверку. Научимся сводить логические головоломки и математические задачи к SAT, поговорим о судоку, задачах теории Рамсея, недавнем продвижении в задаче о хроматическом числе плоскости и о «самом большом математическом доказательстве».

Основная работа Хокинга была выполнена в середине 1970-х. Я думаю, что я не ошибусь, если скажу, что это основная работа. Она была связана с физикой черных дыр и то, что называют "хокинговское излучение". Это капитальный результат, который состоял в том, что… Вообще мы представляем себе черную дыру как нечто, что поглощает свет, частицы, все в себя засасывает, и ничего наружу не выплескивает. Ничего подобного. Выясняется, что если учесть квантовые эффекты, то черная дыра излучает. О его вкладе в современную картину мира и о его контактах с советскими физиками будем говорить с академиком РАН Валерием Рубаковым.

В 1948 году американский математик Клод Шеннон опубликовал статью «Математическая теория информации». Тогда, 70 лет назад, эта работа легла в основу современной теории информации и принесла ученому мировую славу. А математика с тех пор стала влиять на жизнь людей в реальном, а не отложенном времени. О том, где сегодня лежит граница между полезной и бесполезной математикой, мы решили спросить директора Института проблем передачи информации имени Харкевича Российской академии наук Андрея Соболевского.

Какую часть математических доказательств можно поручить компьютеру? Какие существуют виды интерактивных систем поиска математических доказательств? В чем заключается теорема о четырех красках? И как она была доказана? Математик Лев Беклемишев о теории множеств, интерактивных системах и проблеме о четырех красок.

В чем заключается аксиоматический метод? Как развивалось понятие аксиомы? Кем был разработан аксиоматический метод? Какое место он занимает в математике? И какой критике подвергается этот метод? Математик Лев Беклемишев о неевклидовой геометрии, системе аксиом Гильберта и смысле в математике.

Сколькими способами можно раскрасить грани кубика, если есть три краски? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями кубика. Грань красится целиком в один цвет. Описанная выше ситуация довольно типична, и потому нам бы хотелось найти какой-нибудь метод, который позволил бы сводить подобные вопросы к не слишком громоздкому перебору. Удивительным образом, на помощь приходит теория групп и так называемая формула Бернсайда.

Почему крышки люков делают круглыми? Что такое фигура постоянной ширины? Какими интересными свойствами обладает треугольник Рело и как его построить? Почему английская 20-пенсовая монета имеет такую необычную форму? Как и чем сверлят квадратные отверстия? Что представляют собой фигуры постоянной ширины в трёхмерном пространстве и какая открытая математическая проблема с ними связана?

Самый редкий элемент в земной коре, самым тяжелый газ, самый тугоплавкий материал, самый сильный стабильный окислитель, самая сильная кислота, самый сильный яд, самое сладкое вещество — и другие рекорды.

Все мы и всё вокруг нас сделано из вещества, и сколько-нибудь заметных количеств антивещества в нашей Галактике нет (по счастью). Более того, из наблюдений следует, что в видимой части Вселенной нет областей, где, наоборот, много антивещества и нет вещества. Как количественно охарактеризовать асимметрию между веществом и антивеществом во Вселенной? Что требуется для того, чтобы эта асимметрия образовалась? Мы обсудим некоторые гипотезы на этот счет, для чего нам потребуется совершить экскурсию в мир элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий. Происхождение вещества во Вселенной — та область, где тесно пересекаются физика сверхбольших расстояний — космология — и физика сверхмалых расстояний, управляющая элементарными частицами.

Вы узнаете: Какие технологии называются квантовыми и почему. В чем преимущество квантовых технологий перед классическими. Что может и что не может квантовый компьютер. Как физики делают квантовый компьютер. Когда он будет создан.

О количестве галактик видимой Вселенной, квазарах и спектре мощности рассказывает Олег Верходанов — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Специальной астрофизической обсерватории РАН, Нижний Архыз.

Почему домохозяйки трясут баночки с горохом? Какая упаковка шаров является наиболее плотной в пространствах различных размерностей? Что такое «kissing number» и был ли прав Ньютон, не захотев согласиться на число 13? Какое практическое применение нашло решение задачи о наиболее плотной упаковке шаров в 8-мерном пространстве в 20 веке? Рассказывает Николай Николаевич Андреев кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Современная наука не регистрирует мистические явления. Но как быть с тем, что возможно существование сил, которые мы пока не в состоянии обнаружить? Могут ли они отвечать за экстрасенсорное восприятие, быть базой для паранормальных явлений и дать надежду на существование бессмертной души? Именно на это и уповают сторонники сверхъестественного, однако фундаментальные законы физики не оставляют места мечтам о тонких мирах.

В первой половине лекции мы обсудим наблюдаемые, дающие представление о составе и истории развития Вселенной и познакомимся со Стандартной космологической моделью. Вторая половина лекции будет посвящена обсуждению разных аномалий и нестыковок при попытках дальнейшего уточнения физических параметров, с чем пришлось столкнуться в последние годы. Означает ли это, что мы подошли к следующей ступени понимания физики и космологии, или это рубеж, определяемый систематическими погрешностями используемых экспериментальных методов, пока неизвестно. Я постараюсь показать, какие математические задачи возникают в космологии.

Я постараюсь объяснить базисные проблемы и идеи гомологической алгебры и современную их интерпретацию с помощью производных категорий. Затем расскажу как надо думать об алгебраических многообразиях, чтобы применять методы гомологической алгебры и теории категорий к алгебраической геометрии. В качестве примера, объясню как можно описывать расслоения на проективных пространствах с помощью разбиений вещественного тора.

Рассмотрим квадратичную форму Q от двух переменных с целыми коэффициентами и зададимся вопросом, какие значения она может принимать на целочисленной решетке. В частном случае стандартной евклидовой формы это классический вопрос о том, когда заданное натуральное число представляется как сумма двух квадратов, исследованный Гауссом. Около 20 лет назад английский математик Джон Конвей предложил геометрический подход к этому вопросу, используя плоское бинарное дерево. Получаемое описание называется топографом формы. В случае когда форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, они разделяются бесконечным путем на этом дереве, называемым рекой Конвея. Я расскажу, как река Конвея связана с парусом Арнольда из геометрической теории цепных дробей на целочисленной решетке, восходящей к Клейну.