Сколькими способами можно раскрасить грани кубика:
а) если есть шесть красок и каждая должна быть использована;
б) если есть три краски (без дополнительных ограничений)?

Примечание. Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями кубика. Грань красится целиком в один цвет.


Попробуйте зафиксировать кубик, считая, что его нижняя грань окрашена, скажем, в красный цвет. Сколькими способами теперь его можно раскрасить с точностью до вращения вокруг вертикальной оси?


б) Будем считать, что мы красим кубик в черный, белый и красный цвета, причем в черный окрашено граней, в белый — , а в красный — граней соответственно. Какие значения могут принимать числа и ?


б) Найдите сначала число возможных раскрасок для каждой тройки в предположении, что . Как теперь найти общее количество раскрасок?


а) Будем считать для определенности, что мы красим кубик в черный, белый, красный, желтый, зеленый и синий цвета. Поскольку в любом раскрашенном кубике должны присутствовать грани каждого цвета, то мы можем повернуть кубик так, чтобы красная грань оказалась снизу. Тогда противоположная, верхняя, грань может быть покрашена в один из пяти оставшихся цветов. Предположим, например, что мы окрасили верхнюю грань в зеленый. Покажем, что тогда оставшиеся четыре грани можно раскрасить шестью различными способами (и это число не зависит от того, какого цвета оказалась верхняя грань). В самом деле, одна из оставшихся граней в любом случае будет желтой, а значит, мы можем повернуть кубик так, чтобы этим цветом была окрашена передняя грань. Тем самым, положение кубика в пространстве жестко фиксируется, и потому, скажем, левую грань мы можем покрасить в один из трех цветов (черный, белый или синий), правую — в один из двух цветов, оставшихся после окрашивания левой, а цвет для задней граней после этого определяется однозначно. Итого, общее количество раскрасок кубика, согласно правилу произведения, составляет .

б) Будем считать, что мы красим кубик в черный, белый и красный цвета, причем в черный окрашено граней, в белый — , а в красный — граней. Для начала решим задачу в предположении, что . Даже для этой упрощенной ситуации количество случаев довольно велико, а потому целесообразно разбить их на три группы.

В первой группе будут только те раскраски, которые задействуют лишь один цвет. С учетом нашего предположения это означает, что , то есть все грани кубика черные. Такая раскраска в действительности только одна.

Ко второй группе отнесем те раскраски, которые используют ровно два цвета. Это значит, что , а для пары существует три возможных варианта: , и . Разберем их по-отдельности.

Пусть сначала и . Тогда у кубика всего одна белая грань, и можно повернуть его так, чтобы эта грань была нижней. Все остальные грани черные, а значит, такой вариант всего один.

Пусть теперь и . Мы снова можем повернуть кубик так, чтобы белая грань была снизу, но теперь у него имеется еще одна белая грань. Здесь имеется две возможности: либо вторая белая грань противоположна первой (то есть оказалась верхней), либо она соседняя (и мы можем повернуть кубик так, чтобы она стала передней гранью). То есть таких раскрасок всего две.

Наконец, пусть . Как ни странно, здесь вариантов тоже всего два: либо среди белых граней имеются две противоположных друг другу (и тогда мы можем повернуть кубик так, чтобы белыми были нижняя, верхняя и передняя грани), либо нет (в последнем случае все белые грани примыкают к одному углу, и поворотом мы можем сделать его правым нижним передним углом кубика).

Последнюю группу представляют кубики, в которых встречаются все три цвета, и это, как легко догадаться, самая запутанная для рассмотрения ситуация. Чтобы разобраться с ней, снова разделим раскраски на подгруппы в зависимости от значений, которые принимает тройка чисел .

Если , то мы поворачиваем кубик так, чтобы красная грань была снизу. При этом белая грань будет либо соседней, либо противоположной, то есть всего таких раскрасок две.

Если , то мы снова поворачиваем кубик так, чтобы красная грань была снизу. При этом у нас есть две возможности. Либо одна из белых граней оказалась верхней — такой вариант один, потому что вторую белую грань поворотом кубика мы всегда можем сделать передней. Либо верхняя грань окрашена в черный цвет — таких вариантов два, потому что две белые грани, в свою очередь, являются либо соседними, либо противоположными. Следовательно, всего таких раскрасок три.

Наконец, пусть . Этот случай требует наибольшей аккуратности в рассмотрении, но мы справимся и с ним. Во-первых, все пары одноцветных граней могут быть противоположными — тогда кубик можно повернуть так, что красными будут нижняя и верхняя грани, белыми — передняя и задняя, а черными — правая и левая. То есть такая раскраска всего одна. Во-вторых, одна пара одноцветных граней может быть противоположной, а две другие — соседними. Здесь надо определиться с тем, каким цветом окрашена одноцветная пара противоположных граней, то есть выбрать один из трех цветов, после чего все становится однозначным. В самом деле, если мы выбрали, скажем, красный, то поворотом кубика можно добиться ситуации, когда красными являются нижняя и верхняя грани, белыми — передняя и левая, а черными — задняя и правая. Следовательно, таких вариантов три. В-третьих и в-последних, все пары одноцветных граней могут оказаться соседними. Тогда напротив красных граней находятся грани разных цветов, а значит, мы можем повернуть кубик так, чтобы красными были нижняя и передняя грани, белой — верхняя грань, и черной — задняя. Для раскраски правой и левой граней остаются две возможности, то есть здесь случаев два. Ну, а всего в этой подгруппе шесть различных раскрасок.

Итак, мы разобрали все возможные варианты, и теперь для того, чтобы найти ответ в предположении, что , нам достаточно сложить все найденные числа. Однако, мы этого делать не будем, поскольку это нисколько не поможет нам найти ответ для задачи в общем виде. А вот что нужно сделать, подскажет следующее соображение. Оказывается, для любой другой тройки чисел количество соответствующих раскрасок совпадает с одной из уже найденных. В самом деле, например, если , то этот случай практически ничем не отличается от разобранного нами случая ; все рассуждения легко провести дословно, лишь поменяв черный и красный цвета местами. Таким образом, нам важны на самом деле только значения чисел и , а не их порядок. Следовательно, чтобы найти ответ, нам нужно для каждой из исследованных троек переставить числа и всеми возможными способами, а соответствующий результат умножить на число таких перестановок. И лишь после этого все полученные числа надо будет сложить.

Число различных перестановок зависит от того, совпадают какие-либо из чисел и или нет. Если все они одинаковы, то и перестановка всего одна — таков случай . Если совпадают только два из них, то будет три возможности, например, , и . Если же все числа различны, то перестановок шесть. Суммируя, получаем в итоге . Это и есть окончательный ответ.


Комбинаторика — это раздел математики, отвечающий на вопрос «сколько?» и первоначально ответственный, прежде всего, за подсчет количества способов и их перечисление. В ее основе лежат два фундаментальных правила, каждое из которых активно использовалось при решении данной задачи (хотя внимание на этом и не было акцентировано): правило суммы и правило произведения. Формулируются они следующим образом.

Правило суммы: если объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, то выбор «либо , либо » осуществляется способами.

Правило произведения: если объект можно выбрать способами, и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то выбор пары в указанном порядке осуществляется способами.

Более сложные комбинаторные вычисления в той или иной степени базируются на этих двух основных принципах, но ими одними зачастую уже не обойтись — требуется привлекать дополнительные соображения. Классическим примером является вычисление числа сочетаний , соответствующего количеству способов выбрать элементов из -элементного множества. Наивная формулировка вопроса, приводящего к этому числу, звучит следующим образом: если у Пети есть разноцветных карандашей, сколькими способами он может выбрать из них, чтобы взять с собой в школу?

Идея решения заключается в том, чтобы вычислить сначала немного другое число, а именно, количество упорядоченных наборов из элементов, как если бы Петя хотел не просто выбрать карандашей, но и выложить их в ряд на своей парте в фиксированном порядке. Эта величина, называемая числом размещений , может быть найдена непосредственно при помощи правила произведения: на первом месте в ряду может оказаться один из карандашей, на втором, вне зависимости от цвета первого карандаша, может оказаться один из оставшихся карандашей, на третьем — один из и так далее. Всего получается вариантов, то есть
Однако каждый способ выбрать элементов из -элементного множества соответствует целому семейству различных упорядоченных наборов. Иными словами, когда Петя берет в школу карандашей, он может выложить их в ряд несколькими различными способами, причем количество способов не зависит от того, какие именно карандаши Петя взял с собой в школу, и равно (объяснение этого факта тоже базируется на правиле произведения: если у Пети карандашей в портфеле, то на первое место в ряду он может выложить один из карандашей, на второе — один из оставшихся и так далее). Следовательно, число размещений в раз больше, чем число сочетаний, откуда мы сразу получаем
Как видно, в этом примере мы фактически сначала посчитали каждый способ несколько раз, а потом найденное число на это количество раз поделили. Здесь ключевым моментом является тот факт, что это количество раз было одинаковым для всех способов. Однако так бывает далеко не всегда. Пусть, например, у Пети есть неограниченное количество карандашей 10 различных цветов, а он хочет взять в школу два карандаша. (Здесь мы считаем, конечно, что карандаши одного цвета неотличимы друг от друга.) Рассматривая сначала упорядоченные пары, мы могли бы сказать, что у Пети на парте могло оказаться различных рядов из двух карандашей, ведь как на первом месте, так и на втором может оказаться карандаш одного из 10 цветов. Однако, переходя к неупорядоченным наборам, выясняется, что разноцветные пары мы посчитали по два раза, в то время как одноцветные — лишь по разу, и с учетом того, что всего одноцветных пар 10, мы получаем в итоге количество способов взять два карандаша в школу, равное .

Этот же результат мы могли бы получить, пользуясь только правилом суммы. Именно, среди способов взять два карандаша есть 10 таких, для которых один из этих карандашей красный; есть 9 способов, для которых один из карандашей желтый, а другой — не красный; есть 8 способов, для которых один из карандашей зеленый, а другой — не красный и не желтый и так далее. Всего получается различных вариантов.

Описанная выше ситуация довольно типична, и потому нам бы хотелось найти какой-нибудь метод, который позволил бы сводить подобные вопросы к не слишком громоздкому перебору. Удивительным образом, помощь приходит со стороны теории групп, которую для наглядности мы опишем с геометрической точки зрения. Рассмотрим какую-нибудь фигуру — эта фигура может быть плоской (как прямоугольник, равносторонний треугольник, квадрат или любой другой правильный многоугольник) или объемной (как куб, призма, тетраэдр, октаэдр и т. п.). Мы будем красить вершины, ребра или грани данной фигуры, и, как и в исходной задаче, нас будет интересовать количество ее различных раскрасок. Отметим, что описанные выше вопросы про Петю и карандаши вполне вписываются в эту концепцию. Так, выбор двух карандашей, каждый из которых может быть одного из 10 цветов, соответствует раскраске двух «половинок» фигуры «домино» в два цвета. А выбор карандашей из отвечает раскрашиванию вершин -мерного симплекса в цветов так, чтобы каждый цвет был использован не более, чем один раз.

Поясним, что такое -мерный симплекс. Для симплекс — это просто точка. Если , то симплексом является отрезок, если , то симплексом является равносторонний треугольник, а если , то — правильный тетраэдр. В общем случае -мерный симплекс — это многогранник в -мерном пространстве, который получается, если к -мерному симплексу добавить еще одну вершину и соединить ее со всеми уже имеющимися вершинами -мерного симплекса (рис. 1).

Рис. 1.

Пусть — множество всех движений, которые переводят фигуру саму в себя (математики называют это множество группой симметрий данной фигуры). Например, если — правильный треугольник, то состоит из поворотов вокруг центра на 0°, 120° и 240°, а также трех отражений относительно высот (левая часть рис. 2). В том случае, если является фигурой «домино», в входят повороты вокруг центра на 0° и 180°, а также отражения относительно прямых, соединяющих середины противоположных сторон нашей фигуры (центральная часть рис. 2). Если же — правильный тетраэдр, то помимо тождественного преобразования (поворота на 0°) элементами являются повороты на 180° вокруг бимедиан (прямых, соединяющих пары скрещивающихся ребер), а также повороты на 120° и 240° относительно высот — всего 12 элементов (правая часть рис. 2).

Рис. 2.

Теперь будем красить нашу фигуру, не меняя ее положения в пространстве, как если бы мы приклеили ее к столу; множество всех возможных раскрасок обозначим буквой . Для каждой раскраски такой «приклеенной» фигуры мы назовем ее орбитой множество раскрасок, которые могут получиться из раскраски после того, как фигуру как-нибудь повернули. В то же время, множество движений, которые оставляют раскраску неизменной, мы обозначим и будем называть стабилизатором этой раскраски. Проиллюстрируем сказанное на рассмотренных выше примерах. Пусть — треугольник, стороны которого мы раскрашиваем разными цветами, а раскраска такова, что боковые стороны треугольника красные, а основание синее. Тогда орбита состоит из трех раскрасок, изображенных в левой части рис. 3, а стабилизатор состоит из тождественного преобразования и отражения относительно высоты, проведенной к основанию. Аналогично, если — фигура «домино», а ее раскраска соответствует тому, что нижняя грань желтая, а верхняя — зеленая, то орбита состоит из двух раскрасок (центральная часть рис. 3), а стабилизатор — из тождественного преобразования и отражения относительно вертикальной оси, которая соединяет центры «половинок». Если же — тетраэдр, раскраска которого представляет собой три красные вершины в основании и одну зеленую сверху, то ее орбита состоит из четырех элементов (правая часть рис. 3), а стабилизатор — из трех поворотов относительно высоты, проходящей через зеленую вершину.

Рис. 3.

Пусть и — две раскраски фигуры . Очевидно, что если , то есть если раскраску можно перевести некоторым движением в раскраску (что математики записывают как ), то обратным движением переводится в . Отсюда следует, что в этом случае , то есть орбиты совпадают. Напротив, если , что означает, что раскраску перевести в раскраску никаким движением нельзя, то орбиты и не пересекаются. Таким образом, множество всех раскрасок разбивается на орбиты — семейства раскрасок, которые переводятся друг в друга движениями. Фактически, мы хотим найти способ, как вычислять общее количество орбит. Оказывается, для этой цели служит так называемая формула Бернсайда. Именно, если — все движения группы , и для каждого движения число обозначает количество раскрасок, которые переводит в себя, то общее количество орбит равно
Докажем эту формулу. Для начала заметим, что для любой раскраски справедливо равенство , то есть что произведение количества раскрасок в орбите на число движений в стабилизаторе равно общему числу движений, переводящих фигуру в себя. Легко проверить, что это так в рассмотренных выше примерах: для треугольника получается равенство , для «домино» — , а для тетраэдра . Убедимся, что это верно и в общем случае. Действительно, пусть стабилизатор состоит из элементов . Выберем для каждой раскраски из орбиты какое-нибудь движение, которое переводит в эту раскраску: . Очевидно, что если , то есть если движение оставляет раскраску без изменения, то для произвольного движения результат применения к раскраске не будет отличаться от результата применения к последовательно движений , а затем : это одна и та же раскраска (формально, если , то ). Поэтому для каждой раскраски существует различных движений, которые переводят в — это композиции (то есть мы сначала применяем одно из движений, лежащих в стабилизаторе, а затем — движение ). Более того, любое движение переводит в для некоторого , а потому если мы сначала применим , а потом движение, обратное к , то получим некоторое движение, сохраняющее раскраску , то есть для какого-то . Следовательно, , и все движения имеют вид , где и , а значит, всего движений ровно .

Рассмотрим теперь множество всех пар вида , для которых движение сохраняет раскраску . Вычислим количество элементов в этом множестве двумя различными способами и приравняем результаты, которые получатся. С одной стороны, для каждого число раскрасок, которые сохраняет движение , суть , и потому искомая величина равна . С другой стороны, для каждой раскраски число движений, которые ее сохраняют, это количество элементов в стабилизаторе, то есть . Суммируя все такие величины и вынося за скобку, остается заметить, что мы получаем сумму дробей вида , причем каждая дробь встречается ровно раз. Следовательно, внутри скобки стоит в точности количество орбит, что и дает в итоге формулу Бернсайда.

Было бы несправедливо умолчать о том, что на самом деле описанная выше модель является частным случаем более общей ситуации, а именно, что мы можем определить понятие орбиты и стабилизатора и доказать формулу Бернсайда для любого действия группы на множестве. Объясним более подробно, что имеется в виду. В математике группой называется любое множество , на котором определена некоторая операция , удовлетворяющая следующим трем свойствам:

1) — это свойство называется ассоциативностью;
2) в группе есть такой элемент , называемый нейтральным, что для любого ;
3) для каждого существует такой элемент , называемый обратным к , что .

Чаще всего, в качестве операции используется сложение (или умножение), и нередко дополнительно выполняется еще и свойство коммутативности . Коммутативная группа получится, если, например, в качестве множества взять целые, рациональные или вещественные числа, а операция — это обычное сложение (также можно рассмотреть рациональные или вещественные числа без нуля, если операция — это обычное умножение). Другой вариант — операция композиции, как для групп движения; тут уже о коммутативности группы речи не идет.

Если у нас есть группа и множество , то мы можем определить действие группы на множестве — это сопоставление каждой паре , где и , нового элемента . Чтобы понятие действия имело смысл, оно должно дополнительно удовлетворять условиям и для любых и . Благодаря этому орбита и стабилизатор обладают свойствами, которые мы видели ранее: любые две орбиты либо не пересекаются, либо совпадают, а для конечных групп справедливо равенство . Работает в общем виде и формула Бернсайда, как мы это анонсировали чуть выше: если мы обозначим за множество орбит, а за — множество неподвижных точек элемента , то совершенно аналогично тому, что мы видели выше, можно показать, что
Покажем, как работает формула Бернсайда в условиях пункта б) исходной задачи. Прежде всего, опишем группу движений куба. Во-первых, в ней имеются вращения вокруг осей, соединяющих центры противоположных граней, на углы 90°, 180° и 270° — таких движений 9, поскольку грани разбиваются на три пары (левая часть рис. 4). Во-вторых, есть вращения вокруг главных диагоналей на углы 120° и 240° — таких движений 8, так как главных диагоналей четыре (центральная часть рис. 4). В-третьих, есть вращения на 180° вокруг осей, соединяющих середины противоположных ребер — таких движений 6, потому что ребра разбиваются на шесть пар (правая часть рис. 4). Таким образом, всего в этой группе 24 элемента, включая тождественное преобразование.

Рис. 4.

Для каждого из перечисленных движений определим количество раскрасок, которые остаются неизменными после применения движения. Здесь необходимо разобрать несколько случаев.

Тождественное преобразование не меняет ни одной раскраски. Всего же различных раскрасок куба, согласно правилу произведения, , поскольку каждую грань можно окрасить в один из трех цветов.

Поворот вокруг оси, соединяющей центры противоположных граней, на угол 90° или 270° оставляет неизменными раскрасок. В самом деле, каждая из двух граней, через которые проходит ось, может быть окрашена в любой цвет, а оставшиеся четыре грани при вращении переходят друг в друга по циклу, а потому должны быть одного цвета (тоже любого из трех).

Поворот вокруг оси, соединяющей центры противоположных граней, на угол 180° оставляет неизменной раскраску. Как и в предыдущем случае, каждая из двух граней, через которые проходит ось, может быть окрашена в любой из трех цветов. Но вот оставшиеся четыре грани разбиваются на пары противолежащих, которые должны быть окрашены одинаково, хотя между собой цвета этих пар вполне могут различаться.

Поворот главной диагонали на угол 120° или 240° оставляет неизменными раскрасок. Действительно, при таком вращении грани, примыкающие к каждой из вершин, через которые проходит ось вращения, должны быть одного цвета, а значит, грани разбиваются на две тройки, окрашенные одним цветом.

Наконец, поворот вокруг оси, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 180° оставляет неизменными раскрасок. В этом случае грани разбиваются на три пары: две из них образуют пары, примыкающие к ребрам, через которые проходит ось вращения, а оставшаяся пара граней — та, которая оси вращения параллельна.

Теперь, когда все значения вычислены, остается только подставить их в формулу Бернсайда. Получается
— в точности то число, которое мы вычислили выше.

Скорее всего, приведенные рассуждения уже убедили читателя в том, что при изучении свойств произвольной фигуры имеет смысл ознакомиться с поведением ее группы симметрий — в ее структуре скрыты многие характеристики интересующей нас фигуры. Оказывается, что для плоских фигур их группы симметрий устроены достаточно просто. Именно, можно выделить два различных семейства — циклические группы и группы диэдра.

Циклическая группа — это группа симметрий «курносой звездочки с лучами». Она состоит из элементов, которые включают в себя поворот на угол и все повороты, кратные этому углу (левая часть рис. 5).

Рис. 5.

Группа диэдра — это группа симметрий правильного -угольника. В ней, как и в циклической группе, содержится поворотов на углы вида (), а также симметрий. В зависимости от четности числа , симметрии могут быть либо относительно перпендикуляров, проведенных из вершин многоугольника к противоположным им сторонам, если n нечетно (центральная часть рис. 5), либо относительно главных диагоналей и прямых, соединяющих центры противоположных сторон, если четно (правая часть рис. 5).

Рис. 6.

Отметим, что группа определена в том числе и тогда, когда и , хотя говорить о существовании таких фигур, как 1-угольник и 2-угольник не приходится. В этих случаях имеются в виду группы симметрий равнобокой трапеции и прямоугольника (левая и центральная часть рис. 6). Кроме того, имеет смысл рассмотреть предельный переход — здесь мы имеем дело с группой симметрий круга, которая состоит из всех поворотов вокруг его центра, а также всех отражений относительно диаметров. Эта группа называется обобщенной группой диэдра или ортогональной группой . Можно сказать, что она является как бы объемлющей для всех остальных групп симметрий плоских фигур, поскольку любой элемент как , так и содержится в .

Рис. 7.

Группы симметрий пространственных фигур имеют заметно более сложную структуру, хотя и для них существует общая объемлющая группа — группа симметрий сферы . В группу входят вращения относительно диаметров на произвольные углы, отражения относительно плоскостей, проходящих через центр сферы (такие плоскости называются центральными сечениями сферы), а также композиции, то есть последовательные применения вращений и отражений. Точно так же, как и в случае плоскости, любое движение сферы определяется образами трех точек, не лежащих в одном центральном сечении. Иными словами, если мы знаем, куда при движении перешли три такие точки, то мы можем однозначно определить, куда при этом движении перейдет любая другая точка. С другой стороны, для любых двух пар точек существует вращение, которое переводит одну пару в другую. В самом деле, пусть мы хотим перевести некоторым движением точку в точку . Рассмотрим центральное сечение , равноудаленное от этих двух точек. Легко убедиться, что для любого диаметра, лежащего в этом сечении, существует вращение относительно этого диаметра, переводящее в . Аналогично обстоит дело с диаметрами центрального сечения , равноудаленного от точек и . Но это означает, что пересечение сечений и является диаметром, вращение вокруг которого переведет в и в одновременно (рис. 7). Учитывая, тот факт, что если мы знаем образы двух точек, то образ третьей точки может быть выбран всего двумя способами, отсюда следует, что любое движение сферы представляет собой либо вращение вокруг некоторого диаметра, либо композицию такого вращения и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Отметим, что в исходной задаче мы считали фигуру, полученную отражением данной фигуры относительно некоторой плоскости, отличающейся от . Такой подход вполне естественен по той причине, что кубик, который мы видим в зеркале, обычно отличается от того кубика, который мы при этом держим в руках. Таким образом, в нашем случае логично рассматривать только те группы симметрий, которые не включают в себя зеркальных отражений, то есть такие, которые, как говорят математики, сохраняют ориентацию исходной фигуры. Следовательно, все элементы групп симметрий, которые нас интересуют, представляют собой вращения относительно каких-либо осей.

Рис. 8.

.

Какими же бывают группы движений трехмерных фигур? Во-первых, они могут быть уже знакомыми нам циклической группой или группой диэдра — в качестве подходящей фигуры достаточно выбрать призму с соответствующим основанием (две фигуры на рис. 8 слева). Единственное — надо проследить, чтобы высота призмы не оказалась равной какой-либо из сторон основания, чтобы избежать возникновения дополнительных симметрий. Во-вторых, это могут быть группы, полученные предельным переходом . Здесь, помимо уже знакомой нам группы , являющейся группой движений, например, для цилиндра, появляется еще одна группа — группа , — которая состоит только из всех поворотов вокруг некоторой прямой, и является группой движений, скажем, для конуса (две фигуры на рис. 8 справа).

Рис. 9.

Но имеются и три принципиально новые по сравнению с плоским случаем группы, отвечающие пяти правильным многогранникам — так называемым платоновым телам (рис. 9). Несоответствие между количеством групп и числом многогранников объясняется тем, что кубу и октаэдру, равно как и додекаэдру с икосаэдром, сопоставляется одна и та же группа. Так получается благодаря тому, что эти многогранники являются двойственными друг другу: чтобы получить первый из второго, надо взять центры граней второго и соединить их между собой ребрами; и наоборот, точно так же второй многогранник может быть получен из первого (рис. 10).

Рис. 10.

С описанием групп симметрий тетраэдра и куба мы уже знакомы, а группа симметрий икосаэдра на них во многом похожа: помимо тождественного преобразования в ней присутствуют вращения на углы 72°, 144°, 216° и 288° вокруг осей, проходящих через противоположные вершины (таких движений 4·6 = 24), вращения на углы 120° и 240° вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней (таких движений 2·10 = 20), а также вращения на угол 180° вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер (таких движений 1·15 = 15) — всего 1 + 24 + 20 + 15 = 60 различных элементов (рис. 11).

Рис. 11.

Естественным обобщением изложенного выше является переход от групп симметрий ограниченных фигур к движениям, сохраняющим неограниченные объекты, такие как замощения или орнаменты. Как и для ограниченных фигур, в этом случае группой симметрии замощения (орнамента) будет называться множество всех движений, после применения которых замощение (орнамент) остается неизменным. Посмотрим, какими могут быть группы симметрий у различных замощений.

Прежде всего, нужно отметить, что для любой циклической группы или группы диэдра по-прежнему можно найти замощение, группа симметрий которого в точности совпадает с этой группой (рис. 12). Однако появляются и новые возможности, связанные с тем, что теперь в группе симметрий могут оказаться еще и параллельные переносы, и скользящие симметрии. В зависимости от того, являются ли все входящие в группу параллельные переносы и скользящие симметрии сонаправленными или нет, такие группы симметрий относят либо к группам фризов, либо к группам орнаментов.

Рис. 12.

Перечислим все возможные группы фризов в нотации Гeрмана — Могeна, сопроводив их соответствующими иллюстрациями.

Обозначение	Описание	Пример замощения
p111	параллельные переносы вдоль некоторой прямой
p1a1	отличается от p111 тем, что дополнительно содержит скользящую симметрию
p1m1	помимо параллельного переноса содержит осевую симметрию относительно прямой, вдоль которой совершается параллельный перенос
pm11	также содержит параллельный перенос и осевую симметрию, однако ось симметрии перпендикулярна прямой, вдоль которой совершается параллельный перенос; как следствие, в этой группе бесконечно много осевых симметрий, все оси которых параллельны друг другу
p112	содержит параллельный перенос, а также бесконечное семейство поворотов на угол 180°, центры которых лежат на одной прямой
pma2	содержит параллельный перенос и скользящую симметрию, а также семейство осевых симметрий, оси которых перпендикулярны прямой, вдоль которой совершается параллельный перенос, и семейство поворотов на угол 180°, центры которых лежат на этой прямой
pmm2	содержит параллельный перенос, семейство осевых симметрий, оси которых перпендикулярны прямой, вдоль которой совершается параллельный перенос, и семейство поворотов на угол 180°, центры которых не просто лежат на этой прямой, но еще и на осях симметрий

Примерно так же обстоит дело с группами орнаментов, с той лишь разницей, что их не 7, а 17, и в них содержатся параллельные переносы и скользящие симметрии вдоль бесконечного количества различных направлений, а не вдоль ровно одного. Мы не будем перечислять все движения, входящие в эти группы, оставив читателю возможность самому это выяснить, глядя на соответствующие картинки и сопровождающие их коды все в той же нотации Гeрмана — Могeна (рис. 13). Отметим только, что одним цветом на этих картинках обозначены те плитки, которые могут быть переведены друг в друга некоторым движением из группы симметрии этого замощения.

Рис. 13.

Похожая картина наблюдается и в пространстве, с той лишь разницей, что количество различных видов групп симметрий еще больше. Наибольший интерес исторически представляли так называемые кристаллографические группы — те, которые в своем составе имеют три параллельных переноса, векторы которых линейно независимы. Удивительно, но факт: потребности минералогии привели к тому, что полный список кристаллографических групп, насчитывающий 230 элементов, был приведен в 1891 году Евграфом Фёдоровым и Артуром Шёнфлисом до того, как аналогичный список из 17 элементов был составлен для групп орнаментов. Впрочем, после столь выдающейся работы и список для групп орнаментов не заставил себя долго ждать.

Хайдар Нургалиев
«Элементы»