В чем заключается аксиоматический метод? Как развивалось понятие аксиомы? Кем был разработан аксиоматический метод? Какое место он занимает в математике? И какой критике подвергается этот метод? Математик Лев Беклемишев о неевклидовой геометрии, системе аксиом Гильберта и смысле в математике.

Аксиоматический метод — это такой способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем. При радикальном применении этого подхода математика сводится к чистой логике, из нее изгоняются такие вещи, как интуиция, наглядные геометрические представления, индуктивные рассуждения и так далее. Исчезает то, что составляет суть математического творчества. Зачем же тогда был придуман этот метод? Для ответа на этот вопрос нам нужно обратиться к самым истокам математики.


Как мы помним из школы, математические доказательства, аксиомы и теоремы появились в Древней Греции. Аксиоматическое построение геометрии было канонизировано в книге, по которой обучались математике многие поколения, — в «Началах» Евклида. Впрочем, в те времена понятие аксиомы понималось по-иному, чем теперь. До сих пор в школьных учебниках иногда говорится, что аксиомы — это очевидные истины, принимаемые без доказательства. В XIX веке это понятие сильно изменилось, потому что ушло слово «очевидные». Аксиомы перестали быть очевидными, они по-прежнему принимаются без доказательства, но могут быть в принципе совершенно произвольными утверждениями. За этим небольшим, на первый взгляд, изменением стоит достаточно радикальная смена философской позиции — отказ от признания одной-единственной возможной математической реальности. Главную роль в таком изменении, безусловно, сыграла история возникновения неевклидовой геометрии, которая произошла в XIX веке благодаря работам таких ученых, как Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи.


История неевклидовой геометрии началась с попыток доказать так называемый пятый постулат Евклида — знаменитую аксиому о параллельных: через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Это утверждение по своему характеру заметно отличалось от остальных аксиом Евклида. Многим казалось, что нужно его доказывать, оно не было столь же очевидным, как остальные аксиомы. Попытки эти столетиями не завершались успехом, многие математики предлагали свои «решения», в которых впоследствии другие математики находили ошибки. (Сейчас-то мы знаем, что эти попытки были заведомо обречены на неудачу, это был один из первых примеров недоказуемых математических утверждений).


Лишь в XIX веке было осознано, что, быть может, это утверждение на самом деле недоказуемо и существует какая-то другая, совсем отличная от нашей геометрия, в которой эта аксиома неверна. Что сделал Лобачевский? Он поступил так, как поступают часто математики, пытаясь доказать какое-то утверждение. Излюбленный прием — доказательство от противного: предположим, что данное утверждение неверно. Что же отсюда следует? Для доказательства теоремы математики пытаются вывести из сделанного предположения противоречие. Но в данном случае Лобачевский получал все новые математические, геометрические следствия из сделанного предположения, но они выстраивались в очень красивую, внутренне согласованную систему, которая тем не менее отличалась от привычной нам евклидовой. Перед его глазами разворачивался новый, непохожий на привычный нам мир неевклидовой геометрии. Это и привело Лобачевского к осознанию того, что такая геометрия возможна. При этом аксиома о параллельных в геометрии Лобачевского явно противоречила нашей обыденной геометрической интуиции: она не только не была интуитивно очевидной, но была с точки зрения этой интуиции ложной.

Однако одно дело представить себе, что такое в принципе возможно, а другое — доказать строго математически, что такая система аксиом для геометрии непротиворечива. Это было достигнуто еще на несколько десятилетий позже в трудах других математиков — Бельтрами, Клейна и Пуанкаре, которые предложили модели аксиом неевклидовой геометрии в рамках обычной евклидовой геометрии. Они фактически установили, что противоречивость геометрии Лобачевского влекла бы противоречивость привычной нам евклидовой геометрии. Верно и обратное, то есть с точки зрения логики обе системы оказываются совершенно равноправными.

Сказав это, необходимо сделать одну оговорку. История неевклидовой геометрии хорошо иллюстрирует еще одно явление, наблюдаемое не один раз в истории науки. Иногда решение какой-либо проблемы возникает не после, а до того, как сама проблема получает точную, хорошо осознаваемую всеми формулировку. Так было и в данном случае: в середине XIX века полного списка аксиом элементарной геометрии еще не существовало. «Начала» Евклида не были достаточно последовательными с точки зрения воплощения аксиоматического метода. Многие рассуждения Евклида апеллировали к зрительной интуиции, его аксиом было явно недостаточно даже для осмысленной постановки задачи о недоказуемости постулата о параллельных. В похожем положении были и Лобачевский с Бойяи, и Бельтрами с Клейном и Пуанкаре. Постановка задачи о недоказуемости на должном уровне строгости требовала развития совершенно нового аппарата математической логики и того самого аксиоматического метода.


Ситуация была осмыслена после выхода книги Д. Гильберта «Основания геометрии», он и предложил то понятие аксиоматического метода, с которого мы начали. Гильберт понял, что для того, чтобы разобраться с основаниями геометрии, необходимо полностью исключить из аксиом все, кроме логики. Он красочно выразил эту мысль следующим образом: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!

Именно Гильберт построил первую последовательную и полную систему аксиом для элементарной геометрии, это произошло в самом конце XIX века. Таким образом, аксиоматический метод был фактически создан для того, чтобы доказать невозможность доказательства некоторых, в данном случае геометрических, утверждений.

Гильберт был горд своим открытием и думал, что этот метод можно распространить на всю математику в целом: не только на элементарную геометрию, но и на арифметику, анализ, теорию множеств. Он провозгласил «программу Гильберта», целью которой было разработать системы аксиом для всех частей математики (и даже частей физики) и затем установить непротиворечивость математики ограниченными средствами. Как только Гильберт осознал возможности аксиоматического метода, казалось, что для такого развития открыта прямая дорога. Гильберт даже произнес в 1930 году знаменитую фразу, которая в переводе на русский язык звучит как «Мы должны знать, и мы будем знать», имея в виду, что все, что математики должны знать, они рано или поздно узнают. Эта цель, однако, оказалась неосуществимой, что выяснилось значительно позже. Что самое удивительное: теорема, которая фактически опровергла эти надежды, а именно теорема Курта Гёделя о неполноте, была провозглашена на той же самой конференции, в 1930 году, на которой Гильберт произнес свою знаменитую речь, ровно за день до этого события.


Аксиоматический метод Гильберта позволяет построить математические теории на четко выделенных математических утверждениях, из которых прочие получаются логическим путем. Гильберт на самом деле пошел дальше и решил, что сведение математики к логике можно продолжить. Можно дальше задать вопрос: «А можно ли избавиться от объяснения смысла того, что такое логическая операция?» Саму логику можно убрать из аксиоматического метода. От аксиоматических теорий мы переходим к формальным аксиоматическим теориям — это теории, записанные в символьном виде, при этом математика превращается уже не просто в последовательность логических выводов, а в некоторую игру переписывания формальных выражений по определенным правилам. Именно эта игра, абсолютно лишенная смысла, если смотреть на нее наивно, дает точную математическую модель того, что такое «доказательство». С помощью анализа этой игры можно доказывать, что математические теоремы невозможно доказать. Но главное: в результате формализации математики впервые построили полностью формализованные языки, которые привели к созданию языков программирования, языков баз данных. Современное развитие компьютерных технологий в конечном счете базируется на открытиях, которые были совершены в математике в начале XX века.

Многие математики критикуют аксиоматический метод за то, ради чего он был создан: он избавляет математику от смысла. Потому что сначала мы избавляем математику от разных геометрических представлений, от интуиции. Переходя к формальной аксиоматической теории, мы, в общем-то, и логику изгоняем из математики. И в результате от содержательного доказательства остается лишь скелет, состоящий из формальных символов. Преимущество последнего ровно том, что мы не знаем, что такое «смысл» и «интуиция», но зато точно знаем, что такое манипуляции с конечными строками символов. Это и позволяет нам построить точную математическую модель сложного явления — доказательства — и подвергнуть ее математическому анализу.

Математическое доказательство изначально было психологическим процессом убеждения собеседника в верности того или иного утверждения. В формальной системе это не так: все свелось к чисто механическому процессу. Этот чисто механический процесс способен выполнять компьютер. Однако, как и всякая модель, механический процесс передает лишь некоторые черты реальных доказательств. У такой модели есть свои границы применимости. Неверно думать, что формальные доказательства и есть «настоящие» математические доказательства или что математики на самом деле работают в рамках определенных формальных систем.

Отдельно стоит сказать о преподавании математики. Нет ничего хуже, чем строить обучение школьников на выполнении механических действий (алгоритмов) или же на построении формальных логических выводов. Так можно загубить в человеке любое творческое начало. Соответственно, при обучении математике не стоит подходить с позиции строгого аксиоматического метода в смысле Гильберта — не для того он был создан.

Лев Беклемишев — доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник Математического института им. В.А. Стеклова РАН, профессор факультета математика ВШЭ.

ПостНаука