Глава 15. Математическая кутерьма

У гусей — гогот, у львов — достоинство, у певчих птиц — пленительность, у жаворонков — ликование… А какое обобщающее существительное относится к математике? Великолепие математики? Слишком пафосно. Таинство математики? Пожалуй, немного чересчур. В результате многих выпавших на мою долю шансов понаблюдать за поведением математических индивидуумов, сбившихся в достаточно большое стадо, я пришел к выводу, что самое подходящее слово для того, что они устраивают, — «кутерьма».

Один из них в такой кутерьме изобрел одну из наиболее причудливых структур во всем предмете и открыл скрытое единство за таинственным фасадом. Их открытия, возникавшие по большей части из праздношатания в надежде, что под руку подвернется что-нибудь интересное, начинают проникать в теоретическую физику, и они могут оказаться ключевыми для некоторых самых любопытных свойств суперструн.

Математика суперструн — предмет настолько новый, что большая ее часть еще не изобретена. Но, по иронии судьбы, математики и физики как раз открыли, что суперструны, находящиеся на самом переднем крае исследований в современной физике, демонстрируют занятную связь с куском викторианской алгебры — настолько старомодным куском, что его редко упоминают в университетских курсах математики. Это алгебраическое изобретение известно как октонионы; они представляют собой структуру, идущую после вещественных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Октонионы были открыты в 1843 году, результат появился в печати в 1845-м за чужим авторством, и с тех пор их создатель неизменно указывался неправильно — но это большого значения не имело, поскольку внимания на них все равно никто не обращал. К 1900 году они впали в безвестность даже внутри математики. Недолгое возрождение выпало на их долю в 1925 году, когда Вигнер и фон Нейман попытались на их основе построить квантовую механику, но снова исчезли с горизонта, когда эта попытка не удалась. В 80-х годах двадцатого века они вынырнули снова из-за их потенциальной полезности в теории струн. В 1999 году они сыграли роль ключевого ингредиента в 10- и 11-мерной теориях суперструн [11-мерных суперструн не бывает (это же видно из перечисления теорий струн, приведенного в главе 14); в 11-мерном пространстве живет суперсимметричное обобщение эйнштейновской теории гравитации, которое наряду с суперструнами должно некоторым образом включаться в пока еще не созданную M-теорию (не являющуюся в буквальном смысле теорией струн). Эта 11-мерная супергравитация будет упомянута в самом конце настоящей главы. (Примеч. перев.)].

Октонионы говорят нам, что нечто очень странное творится в районе числа 8, а что-то еще более странное происходит с физикой пространства, времени и материи. Викторианская безделушка пережила второе рождение в качестве ключа, открывающего глубокие тайны на общих рубежах математики и физики — в особенности это относится к вере в то, что пространство-время может иметь большее число измерений, чем традиционные четыре, и что именно за счет этого соединяются в одно целое гравитация и квантовая теория.

Октонионная сага разворачивается на свободных просторах абстрактной алгебры; этому сюжету посвящен прекрасный математический обзор, опубликованный в 2001 году американским математиком Джоном Баэзом. Я буду в значительной мере опираться на его идеи, изо всех сил стараясь донести до читателя хитроумные, но изящные чудеса, которыми славится эта любопытная область на стыке математики и физики. Как и с духом отца Гамлета — развоплощенным голосом из-под сцены, — значительная часть математических подробностей должна оставаться вне поля зрения аудитории. Отнеситесь ко мне с терпением и не обращайте слишком большого внимания на непонятности необъясненного профессионального жаргона. Иногда просто требуется удобное слово, чтобы не упускать из виду основных действующих лиц.

В качестве вступления могут быть полезны несколько напоминаний. С нашей историей о погоне за симметрией тесно переплелось осуществлявшееся шаг за шагом расширение числовой системы. Первым шагом было открытие (или изобретение) в середине шестнадцатого столетия комплексных чисел, в которых имеется квадратный корень из −1. До того времени математики считали, что числа — единственные и данные от Бога. И подумать нельзя было об изобретении каких-то новых чисел. Но около 1550 года Кардано и Бомбелли сделали именно это, записав квадратный корень из отрицательного числа. Понадобилось около 400 лет, чтобы разобраться, какой в этом смысл, но всего около 300, чтобы убедить математиков, что штука эта слишком полезная, чтобы стоило ее выкидывать.

К 1800-м годам вычурное изобретение Кардано и Бомбелли кристаллизовалось в числа некоего нового вида, в записи которых появился новый символ i. Комплексные числа могут показаться странными, но они оказались восхитительным средством для понимания математической физики. Задачи о тепле, свете, звуке, колебаниях, упругости, гравитации, магнетизме, электричестве и течении жидкостей и газов — все они поддались комплексному натиску, правда, только в физике размерности два.

Наша вселенная, однако, имеет три пространственных измерения — во всяком случае так считалось до самого последнего времени. Поскольку двумерная система комплексных чисел настолько эффективна в двумерной физике, может ли найтись аналогичная трехмерная числовая система, пригодная для использования в «настоящей» физике? Гамильтон потратил годы на поиски чего-то подобного, но без всякого успеха. Затем 16 октября 1843 года он испытал озарение: не смотри на три измерения, смотри на четыре, — и нацарапал свои уравнения для кватернионов на каменной кладке моста Брумбридж.

У Гамильтона был старый друг со времен колледжа по имени Джон Грейвс, фанат алгебры. Весьма вероятно, что именно Грейвс первоначально пробудил в Гамильтоне интерес к расширению числовой системы. Гамильтон написал своему приятелю длинное письмо о кватернионах на следующий же день после того, как испортил мост своей надписью.

Грейвс сначала был озадачен и сомневался, насколько законным является изобретение правил умножения прямо из головы. «У меня пока нет никакого ясного представления о том, в какой степени мы свободны в произвольном создании мнимостей и в наделении их сверхъестественными свойствами», — писал он в ответ. Но он также разглядел потенциал новой идеи и задался вопросом о том, как далеко это позволит продвинуться: «Если ваша алхимия позволяет вам создать три фунта золота, то зачем останавливаться?»

То был хороший вопрос, и Грейвс задался целью ответить на него. По прошествии двух месяцев он прислал письмо, в котором говорил, что нашел восьмимерную числовую систему. Он назвал ее октавами. С ними была связана замечательная формула о сумме восьми квадратов, к которой мы очень скоро обратимся. Он попытался определить 16-мерную числовую систему, но наткнулся на нечто, о чем он отозвался как о «непредвиденной загвоздке». Гамильтон сказал, что поможет своему другу привлечь к его открытию внимание публики, но потом оказался слишком для этого занят исследованием своих кватернионов. Затем он заметил потенциальную проблему: умножение октав не подчинялось закону ассоциативности. Это значит, что если взять произведение трех октав двумя способами, как (ab)c и a(bc), то, как правило, получатся различные ответы. После проведенной им серьезной переоценки ценностей Гамильтон был готов отказаться от закона коммутативности, но расстаться еще и с ассоциативностью — это было уже чересчур.

Далее Грейвсу крупно не повезло. До того как он сумел опубликовать свое открытие, Кэли независимо открыл то же самое и в 1845 году опубликовал как приложение к ужасной во всех остальных отношениях статье по эллиптическим функциям, настолько изобилующей ошибками, что ее изъяли из собрания его работ. Кэли назвал свою систему октонионами.

Грейвс был расстроен тем, что его опередили в плане публикации. Так случилось, что его собственная статья должна была вскоре выйти в том же журнале, где о своем открытии объявлял Кэли. Поэтому Грейвс добавил к статье замечание с указанием, что та же идея пришла ему в голову еще за два года до того, а Гамильтон поддержал его, опубликовав краткую заметку, подтверждающую, что приоритет принадлежит его другу. Несмотря на эту четкую картину, октонионы быстро приобрели название «числа Кэли», широко используемое и по сей день. Многие математики теперь пользуются терминологией Кэли, называя эту систему октонионами, указывая при этом на авторство Грейвса. В любом случае такое название лучше, чем «октавы», поскольку оно напоминает «кватернионы».

Алгебру октонионов можно описывать в терминах замечательной диаграммы, известной как плоскость Фано. Она представляет собой конечную геометрию, составленную из семи точек, соединенных по три семью «прямыми» линиями, и имеет вид, показанный на рисунке.

Одну из прямых пришлось свернуть в окружность, чтобы изобразить ее на плоскости, но это не страшно. В этой геометрии любые две точки лежат на одной прямой, а любые две прямые пересекаются в некоторой точке. Параллельных прямых нет. Плоскость Фано была изобретена для совершенно иных целей, но оказалось, что она кодирует в себе правила умножения октонионов.

В октонионах имеется восемь единиц: обычное число 1 и еще семь, обозначаемые как e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ и e₇. Квадрат любой из этих семи равен −1. Диаграмма определяет их правила умножения. Пусть нам надо умножить e₃ на e₇. Ищем на диаграмме точки 3 и 7 и соединяющую их прямую линию. На ней имеется третья точка — в данном случае точка 1. Следуя по стрелкам, мы идем от 3 к 7 и далее к 1, так что e₃e₇ = e₁. Если порядок обратный, то надо дополнительно взять знак минус: e₇e₃ = −e₁. Если проделать это для всех возможных пар единиц, получится полная картина арифметики октонионов. (Со сложением и вычитанием все всегда просто, а деление следует из умножения.)

Плоскость Фано — геометрия с семью точками и семью прямыми.

Грейвс и Кэли не знали об этой связи с конечной геометрией, поэтому они выписывали таблицу умножения для октонионов. Как плоскость Фано помогает выразить эту таблицу, было открыто много позже.

На протяжении многих лет октонионы оставались диковинкой второго сорта. В отличие от кватернионов у них не было ни геометрической интерпретации, ни применений в науке. Даже внутри чистой математики из них, казалось, ничего не следует; неудивительно, что они впали в безвестность. Но все изменилось, когда выяснилось, что октонионы — источник наиболее причудливых алгебраических структур, известных в математике. Они дают объяснение, откуда на самом деле берутся пять Киллинговых исключительных групп Ли G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. А группа E₈ — самая большая из исключительных групп Ли — фигурирует дважды в качестве группы симметрии, на которой основана 10-мерная теория суперструн, обладающая необычайно приятными свойствами и рассматриваемая многими физиками как наилучший на данный момент кандидат на Теорию Всего.

Если мы соглашаемся с Дираком в том, что корни вселенной — в математике, то мы можем сказать, что вероятная Теория Всего существует постольку, поскольку существует E₈, а E₈ существует постольку, поскольку существуют октонионы. Что открывает перед нами занятную философскую возможность: структура, лежащая в основе нашей вселенной (про которую мы знаем, что она очень специальная), выделена своей связью с уникальным математическим объектом — октонионами.

Красота есть истина, а истина — красота. Пифагорейцам и платоникам понравилось бы такое свидетельство определяющей роли математических структур в картине нашего мира. Октонионы обладают зачаровывающей, сюрреалистической математической красотой, за которую Дирак ухватился бы в качестве причины, указывающей, почему 10-мерная теория струн должна быть истинной. Если же она, на нашу беду, окажется ложной, то будет, тем не менее, даже более интересной, чем что бы то ни было иное, которое окажется истинным. Правда, нам известен и тот факт, что прекрасные теории не обязательно истинны, и до тех пор, пока по поводу суперструн не будет вынесен вердикт, эта возможность должна оставаться только гипотезой.

Какова бы ни была их важность в физике, круг идей, связанных с октонионами, — чистое золото для математики.

Связь между октонионами и исключительными группами Ли представляет собой одно из целой серии странных соотношений между различными обобщениями кватернионов и передним краем современной физики. Я хочу достаточно глубоко рассмотреть некоторые из этих связей, чтобы вы смогли оценить, насколько они замечательны. И я собираюсь начать с некоторых из самых старых исключительных структур в математике — формул для сумм квадратов.

Одна такая формула естественно вытекает из комплексных чисел. Каждое комплексное число имеет «норму» — квадрат расстояния от числа до начала координат. По теореме Пифагора, норма числа x + iy равна x² + y². Правила умножения комплексных чисел, сформулированные Весселем, Арганом, Гауссом и Гамильтоном, говорят нам, что норма обладает очень приятным свойством. Если перемножить два комплексных числа, то нормы тоже перемножатся. На языке символов (x² + y²)(u² + v²) = (xv + yu)² + (xu − yv)². Сумма двух квадратов, умноженная на сумму двух квадратов, всегда является суммой двух квадратов. Этот факт был известен индийскому математику Брахмагупте около 650 года, а также Фибоначчи в 1200 году.

На начальном этапе математиков в теории чисел сильно занимали суммы двух квадратов, потому что с их помощью можно было различать два типа простых чисел. Легко доказать, что если нечетное число представляется в виде суммы двух квадратов, то оно должно иметь вид 4k + 1 для некоторого целого k. Остальные нечетные числа, имеющие вид 4k + 3, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Однако не верно, что каждое число вида 4k + 1 является суммой двух квадратов, даже если разрешить одному из квадратов равняться нулю. Первое такое исключение доставляет число 21.

Ферма сделал замечательное по красоте открытие: эти исключения не могут быть простыми числами. Он доказал, что, наоборот, каждое простое число вида 4k +1 является суммой двух квадратов. Из приведенной выше формулы для перемножения сумм двух квадратов тогда следует, что нечетное число является суммой двух квадратов, если и только если каждый простой множитель вида 4k + 3 входит в четной степени. Например, 45 = 3² + 6² является суммой двух квадратов. Его разложение на простые множители имеет вид 3×3×5, и простой множитель 3, имеющий вид 4k + 3 (при k = 0), возникает в степени два — т.е. в четной степени. Другой множитель, 5, возникает в нечетной степени, но это простое число имеет вид 4k + 1 (при k = 1), что не вызывает никаких проблем.

С другой стороны, исключение 21 есть 3×7, где оба простых имеют вид 4k + 3, причем каждое входит в степени 1 (т.е. в нечетной степени), и поэтому для 21 правило не работает. Для бесконечного числа других чисел оно не работает по той же причине.

Позднее Лагранж использовал аналогичные методы для доказательства того факта, что каждое положительное целое число является суммой четырех квадратов (здесь разрешаются нули). Его доказательство использует хитрую формулу, открытую Эйлером в 1750 году. Оно похоже на приведенное выше рассуждение, но только относится к суммам четырех квадратов. Сумма четырех квадратов, умноженная на сумму четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов. Подобной формулы не может быть для суммы трех квадратов, потому что существуют пары чисел, которые оба являются суммой трех квадратов, но произведение которых такой суммой не является. Однако в 1818 году Деген нашел формулу произведения для суммы восьми квадратов. Ту же формулу открыл Грейвс, используя октонионы. Бедный Грейвс — сделанное им раньше всех открытие октонионов приписано другому; его формула для восьми квадратов оказалась неоригинальной.

Имеется также тривиальная формула произведения для суммы одного квадрата — т.е. просто для квадрата. Она имеет вид x²y² = (xy)². Эта формула является для вещественных чисел тем же, чем формула двух квадратов для комплексных: она показывает, что норма мультипликативна, т.е. норма произведения равна произведению норм. Здесь, как и выше, норма есть квадрат расстояния от числа до начала координат. Число, противоположное любому положительному числу, имеет ту же норму, что и это положительное.

А что насчет формулы для четырех квадратов? Она утверждает то же самое для кватернионов. Четырехмерный аналог теоремы Пифагора (да, есть такая штука!) говорит нам, что кватернион общего вида x + iу + jz + kw имеет норму x² + y² + z² + w², а это есть сумма четырех квадратов. Кватернионная норма также мультипликативна, и этим объясняется формула Лагранжа для четырех квадратов.

Вы, наверное, меня уже опередили. Формула Дегена для восьми квадратов имеет аналогичную интерпретацию в терминах октонионов. Октонионная норма мультипликативна.

Здесь происходит что-то весьма любопытное. У нас имеется четыре типа последовательно усложняющихся числовых систем: вещественные, комплексные, кватернионы и октонионы. Их размерности равны 1, 2, 4 и 8. Имеются формулы, утверждающие, что сумма квадратов, умноженная на сумму квадратов, есть сумма квадратов, и эти формулы применимы к 1, 2, 4 или 8 квадратам. Эти формулы тесно связаны с соответствующими числовыми системами. Но еще более интригующей является сама последовательность чисел, которые здесь появляются: 1, 2, 4, 8 — что дальше?

Если продолжить последовательность, то весьма разумно было бы ожидать, что мы найдем интересную 16-мерную числовую систему. Действительно, такую систему можно построить естественным путем, называемым процессом Кэли-Диксона. Если применить этот процесс к вещественным числам, то получаются комплексные. Применение к комплексным дает кватернионы. Применение к кватернионам — октонионы. И если теперь двинуться дальше и применить его к октонионам, получатся седенионы — 16-мерная числовая система, а затем алгебры размерности 32, 64 и так далее (на каждом шаге размерность удваивается).

Что же, существует формула для 16 квадратов?

Нет. Норма седенионов не мультипликативна. Формулы произведения для сумм квадратов существуют только тогда, когда квадратов в них 1, 2, 4 или 8. Закон малых чисел снова проявил себя: то, что выглядело как последовательность степеней, стопорится.

Почему? По сути, потому что процесс Кэли-Диксона постепенно разрушает законы алгебры. Всякий раз, как он применяется, получающаяся система ведет себя в чем-то не так хорошо, как предыдущая. Шаг за шагом, закон за законом — и изящные вещественные числа погружаются в анархию. Подробности этого таковы.

Наши четыре числовые системы имеют и другие общие свойства, помимо нормированности. Наиболее впечатляющее — из-за которого они и попадают в класс обобщений вещественных чисел — состоит в том, что это «алгебры с делением». Имеется много алгебраических систем, к которым применимы понятия сложения, вычитания и умножения. Но в наших четырех системах можно, кроме того, делить. Существование мультипликативной нормы делает их «нормированными алгебрами с делением». В течение некоторого времени Грейвс полагал, что его метод перехода от 4 к 8 можно будет повторить, что приведет к нормированным алгебрам с делением размерностей 16, 32, 64 — всех степеней двойки. Но он наткнулся на препятствие с седенионами и начал сомневаться, действительно ли существует 16-мерная нормированная алгебра с делением. Он был прав: нам теперь известно, что существуют только четыре нормированные алгебры с делением, и они имеют размерности 1, 2, 4 и 8. Нет формулы для 16 квадратов, подобной формуле Грейвса для восьми квадратов или формуле Эйлера для четырех квадратов.

Почему? На каждом шаге вдоль по цепочке из степеней двойки новая числовая система теряет некоторую часть структуры. Комплексные числа не упорядочены вдоль прямой. Кватернионы не подчиняются алгебраическому правилу ab = ba — закону коммутативности. Октонионы не подчиняются закону ассоциативности (ab)c = a(bc), хотя и удовлетворяют закону альтернативности (ab)a = a(ba). Седенионы не образуют алгебру с делением и не имеют мультипликативной нормы.

Все это носит намного более фундаментальный характер, чем просто факт «отказа» в процессе Кэли-Диксона. В 1898 году Гурвиц доказал, что единственные нормированные алгебры с делением — это четыре наших старых друга. В 1930 году Макс Цорн доказал, что те же четыре алгебры являются единственными альтернативными алгебрами с делением. Они поистине исключительны.

Происходящее — из разряда тех вещей, которые нравятся чистым математикам с их платоническими пристрастиями. Но единственными по-настоящему важными для остального человечества случаями являются, по-видимому, вещественные и комплексные числа, которые имеют широкие практические применения. Кватернионы проявили себя в ряде полезных, пусть даже эзотерических приложений, но октонионы не попадали в свет рампы прикладной науки. Они, казалось, являют собой некий тупик чистой математики, подобие претенциозной интеллектуальной чепухи, которой и следует ожидать от людей, витающих в облаках.

История математики показывает снова и снова, что опасно отбрасывать всякие яркие или красивые идеи лишь на том основании, что они вроде бы не приносят очевидной пользы. К сожалению, это не мешает людям пренебрегать такими идеями, часто именно потому, что они прекрасные или яркие. Чем более «практическими» люди себя полагают, тем в большей степени они склонны поливать презрением математические концепции, возникающие из абстрактных проблем и изобретенные «ради самих себя», а не из проблем реального мира. Чем изящнее концепция, тем больше презрения, как будто бы изящества самого по себе следует стыдиться.

Такие декларации бесполезности — заложники судьбы. Одно-единственное новое применение, один шаг вперед в науке — и презираемая концепция может внезапно, как выпущенное из пушки ядро, приземлиться в центре сцены, более не бесполезная, а, наоборот, сущностно важная.

Таким примерам нет числа. Сам Кэли говорил, что его матрицы совершенно бесполезны, но сегодня ни одна ветвь науки не могла бы без них функционировать. Кардано объявил, что комплексные числа «настолько же деликатны, насколько бесполезны», но ни один инженер или физик не мог бы работать в мире, в котором отсутствовали бы комплексные числа. Годфри Хэролду Харди — ведущему английскому математику 30-х годов двадцатого века — безмерно импонировала мысль, что теория чисел не имеет никаких практических применений и, в частности, не может использоваться в военных целях. Сегодня теория чисел применяется для шифровки сообщений — она жизненно важна для безопасности коммерческих операций, проводимых через Интернет, и еще более важна для военных.

Подобное же происходит и с октонионами. Они еще могут войти в обязательный курс математики и даже, скорее, физики. Постепенно становится ясной центральная роль октонионов в теории групп Ли — в особенности тех, что представляют интерес для физики, и в первую очередь пяти исключительных групп Ли G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈, имеющих загадочные размерности 14, 52, 78, 133 и 248. Само их существование представляет собой загадку. Один доведенный до белого каления математик назвал их создание грубым порождением злонамеренного божества.

Любители природы получают удовольствие, вновь и вновь посещая хорошо им известные красивые места, откуда можно наслаждаться прекрасным видом — от середины водопада, с уступа, уводящего в сторону от нахоженной тропы, или на утесе, с которого открывается вид на голубой океан. Подобным же образом математики любят возвращаться к старым темам и рассматривать их с новых точек зрения. По мере смены перспективы в наших взглядах на математику удается дать новые интерпретации старым концепциям, что открывает новые возможности. Это вовсе не вопрос математического туризма, когда с открытым ртом таращатся на нечто невыразимо удивительное, рассматривая его под разными углами. Таким способом возникают новые мощные способы решения старых и новых задач. Ни в каком другом месте эта тенденция не проявилась сильнее и не была более информативной, чем в теории групп Ли.

Напомним, что Киллинг организовал почти все простые группы Ли в четыре бесконечных семейства, два из которых составляют на самом деле две части одного большего семейства специальных ортогональных групп SO(n) в четных и нечетных размерностях. Два другие семейства — это специальные унитарные группы SU(n) и симплектические группы Sp(2n).

Теперь мы знаем, что все эти семейства представляют собой вариации на одну и ту же тему. Они состоят из всех n×n-матриц, удовлетворяющих некоторому конкретному алгебраическому условию — они «косо-эрмитовы» [Если речь идет об алгебрах Ли. Для групп Ли соответствующее условие выглядит по-другому. (Примеч. перев.)]. Единственное различие состоит в том, что для получения ортогональных алгебр Ли надо использовать матрицы из вещественных чисел, для получения унитарных алгебр Ли — матрицы из комплексных чисел, а для получения симплектических алгебр Ли — матрицы из кватернионов. Эти алгебры образуют бесконечные семейства, потому что матрицы могут иметь какой угодно размер. Чудесно видеть, что алгебры Ли, соответствующие естественным преобразованиям в гамильтоновом описании механики — первом великом открытии Гамильтона, — допускают естественное описание в терминах кватернионов — его последнего великого открытия.

Но теперь самое время задуматься, а что же происходит, если в качестве матричных элементов используются октонионы. К сожалению, из-за отсутствия ассоциативности не удается получить новое бесконечное семейство простых алгебр Ли. На самом деле лучше бы сказать «к счастью», поскольку мы ведь знаем, что такого семейства не существует. Но если играть с октонионами в правильные игры, да еще заручиться поддержкой закона малых чисел, можно получить самые настоящие алгебры Ли.

Первый намек на то, что так может случиться, появился в 1914 году, когда Эли Картан ответил на очевидный вопрос и получил удивительный ответ. Руководящий принцип в математике и физике состоит в том, что если имеется некоторый интересный объект, то первое, что про него надо спросить, — это какова его группа симметрии. Группа симметрии системы вещественных чисел тривиальна и состоит только из одного тождественного преобразования — преобразования «не делаем ничего». Группа симметрии системы комплексных чисел содержит тождественный элемент и одну зеркальную симметрию, которая преобразует i в −i. Группой симметрии кватернионов является SU(2), которая почти совпадаете группой вращений SO(3) в трехмерном вещественном пространстве.

Вопрос, который задал Картан, — это «Какова группа симметрии октонионов?». Если вы — некий Картан, то ответ на этот вопрос вам известен. Группой симметрии октонионов является наименьшая из исключительных простых групп Ли — та, которая известна под именем G₂. 8-мерная система октонионов имеет 14-мерную группу симметрии. Исключительная нормированная алгебра с делением непосредственно связана с первой из исключительных групп Ли.

Чтобы двигаться дальше, нам надо подружиться с одной идеей, восходящей к эпохе Возрождения — но только не к математикам, а к художникам того времени.

В те дни математика и искусства были довольно близки друг к другу — не только в архитектуре, но и в живописи. Художники времен Возрождения открыли, как применить геометрию к перспективе. Они нашли геометрические правила для изображения на бумаге таким образом, чтобы объекты и пейзажи выглядели как трехмерные. При этом они изобрели новый и удивительно красивый вид геометрии.

Работы более ранних художников часто не выглядят, на наш взгляд, реалистичными. Даже такой художник, как Джотто (Амброджио Бондоне), мог создавать работы почти фотографического качества, но при более внимательном рассмотрении оказывалось, что перспектива в них не совсем последовательна. Лишь Филиппо Брунелески в 1425 году сформулировал последовательный математический метод получения точной перспективы и передал свое знание другим художникам. В 1435 году вышла первая книга по данному предмету — Delia Pittura Леоне Альберти.

Метод был доведен до совершенства в живописи Пьеро делла Франческа, который был также замечательным математиком. Пьеро написал три книги по математике перспективы. И нельзя не упомянуть Леонардо да Винчи, книга которого Trattato della Pittura начинается с утверждения «Пусть никто, не являющийся математиком, не читает мои работы», что перекликалось с лозунгом «Да не войдет сюда ни один не знающий геометрии», который, согласно легенде, помещался над входом в Платоновскую Академию в Древней Греции.

Суть перспективы состоит в понятии «проекции», согласно которой трехмерный пейзаж переносится на плоский лист бумаги таким способом, что (в идеале) каждая точка пейзажа соединяется с глазом наблюдателя, после чего надо определить, где эта линия пересекает лист бумаги. Ключевая идея состоит в том, что проекции искажают формы некоторыми способами, которых не допускает Эвклид. В частности, проекция может превратить параллельные линии в пересекающиеся.

Мы наблюдаем такой эффект каждый день. Стоя на мосту и глядя на длинную прямую полосу уходящей вдаль железной дороги или автотрассы, мы видим, что прямые линии сходятся и, как кажется, пересекаются на горизонте. В действительности прямые остаются на одном и том же расстоянии друг от друга, но из-за перспективы воспринимаемое нами расстояние уменьшается по мере того, как прямая уходит от нас. В математической идеализации бесконечно длинные параллельные прямые на плоскости также пересекаются, если их подходящим образом спроектировать. Но место, где они пересекаются, не является образом какой бы то ни было точки в плоскости — оно и не может им быть, поскольку на плоскости прямые не пересекаются. Это кажущийся «горизонт», в направлении к которому продолжаются прямые и плоскость. С точки зрения самой плоскости горизонт бесконечно удален, но его проекция — полностью осмысленная прямая, проходящая через середину картины.

Эта прямая известна как «прямая в бесконечности». Как и квадратный корень из минус единицы, это фикция, но исключительно полезная фикция. Возникающая таким образом геометрия называется проективной геометрией, и, в духе эрлангенской программы Клейна, это геометрия свойств, которые не меняются при проекциях. Проективную геометрию использует каждый художник, который рисует изображения с перспективой, с линией горизонта и с «точкой схода», для того чтобы изображаемые объекты выглядели как реальные.

Как проекция заставляет параллельные прямые пересекаться на горизонте.

Геометрия проективной плоскости исключительно изящна. Через любые две точки можно провести единственную прямую, равно как в эвклидовой геометрии. Но, кроме того, любые две различные прямые пересекаются, причем ровно в одной точке. Параллельных, которые так занимали Эвклида, не существует.

Если это напоминает вам плоскость Фано, то вы совершенно правы. Плоскость Фано — это конечная проективная геометрия.

От перспективы Возрождения до исключительных групп Ли остается теперь только небольшой шаг. Проективная плоскость, которая неявно присутствовала в методах Альберти, явно возникла в новой геометрии. В 1636 году Жирар Дезарг — армейский офицер, позднее ставший архитектором и инженером — опубликовал «Предполагаемый набросок попытки рассматривать результаты пересечения плоскости конусом». Звучит это как название книги о конических сечениях, и книга таковой и была, но вместо использования традиционной греческой геометрии Дезарг использовал проективные методы. В точности как эвклидову геометрию можно превратить в алгебру, используя декартовы координаты (x, y) — пару вещественных чисел, — так и проективную геометрию оказалось возможным превратить в алгебру, если разрешить буквам x или y принимать бесконечное значение (ситуация хитрым способом ставится под контроль таким образом: рассматриваются отношения трех координат и считается, что 1 : 0 = бесконечность).

То, что можно делать с вещественными числами, можно делать и с комплексными, так что у нас появляется комплексная проективная плоскость. А если тут все работает, то почему бы не попробовать кватернионы или октонионы?

Здесь возникают сложности. Очевидные методы не работают из-за отсутствия коммутативности. Однако в 1949 году математический физик Паскуаль Жордан нашел осмысленный способ построить октонионную проективную плоскость вещественной размерности 16. В 1950 году Арман Борель — математик, специализировавшийся в теории групп — доказал, что вторая исключительная группа Ли F₄ является группой симметрии октонионной проективной плоскости — вполне в духе комплексной плоскости, но только образованной из двух 8-мерных «линеек», деления на которых — октонионы, а не вещественные числа.

Итак, нашлось октонионное объяснение двух из пяти исключительных групп Ли. А что насчет трех оставшихся — E₆, E₇ и E₈?

Взгляд на исключительные группы Ли как на грубые порождения злонамеренного божества был довольно распространенным, пока в 1959 году Ханс Фрейденталь и Жак Тите независимо не изобрели «магический квадрат» и не объяснили появление групп E₆, E₇ и E₈.

Строки и столбцы магического квадрата соответствуют четырем нормированным алгебрам с делением. Если заданы любые две нормированные алгебры с делением, можно посмотреть в соответствующую строку и соответствующий столбец и найти в магическом квадрате — который определяет результат согласно не столь уж простому математическому предписанию — некоторую группу Ли. Появление некоторых из этих групп понять несложно; например, группа Ли, соответствующая строке с вещественными числами и столбцу с вещественными числами, есть группа SO(3) вращений в трехмерном пространстве. Если и строка, и столбец соответствуют кватернионам, то мы получаем ничуть не менее близкую математикам группу SO(12) вращений в двенадцатимерном пространстве. Если теперь взять октонионную строку или октонионный столбец, то там будут стоять исключительные группы Ли F₄, E₆, E₇ и E₈. [Не удержимся и приведем магический квадрат в явном виде, но без дополнительных пояснений, за исключением того, что здесь фигурируют не группы, а алгебры Ли. (Примеч. перев.)] Отсутствующая здесь исключительная группа G₂ также тесно связана с октонионами — как мы уже видели, она представляет собой их группу симметрии.

Итак, общее мнение состоит в том, что исключительные группы Ли существуют потому, что божество в своей мудрости дозволило существование октонионов. Надо было сразу догадаться. Как заметил Эйнштейн, господь изощрен, но не злонамерен. Все пять исключительных групп Ли являются симметриями различных октонионных геометрий.

Около 1956 года российский геометр Борис Розенфельд, размышляя, быть может, о магическом квадрате, предположил, что три оставшиеся исключительные группы E₆, E₇ и E₈ также являются группами симметрии проективных плоскостей. Однако вместо октонионов здесь надо использовать следующие структуры:

• для E₆: биоктонионы, построенные из комплексных чисел и октонионов;

• для E₇: кватероктонионы, построенные из кватернионов и октонионов;

• для E₈: октооктонионы, построенные из октонионов и октонионов.

Единственная небольшая загвоздка состояла в том, что никто не знал, как внятно определить проективные плоскости над такими комбинациями числовых систем. Тем не менее имеется ряд свидетельств в пользу осмысленности данной идеи. По ситуации на настоящий момент, мы можем доказать гипотезу Розенфельда, но только с использованием групп для построения проективных плоскостей. Это не полностью удовлетворительно, поскольку замысел состоял в том, чтобы продвигаться в другом направлении — от проективных плоскостей к группам. Тем не менее лиха беда начало. На самом деле для групп E₆ и E₇ уже найдены независимые способы построения проективных плоскостей. Лишь одна E₈ пока держит оборону.

Если б не октонионы, то вся история о группах Ли выглядела бы попроще — как первоначально и надеялся Киллинг, — но была бы далеко не столь интересной. Не то чтобы у смертных была возможность выбирать — октонионы и все с ними связанное существуют. И некоторым таинственным образом само существование вселенной может зависеть от них.

Связь между октонионами и жизнью, вселенной и всем на свете возникает из теории струн. Ключевое свойство там — необходимость дополнительных измерений, в которых могли бы помещаться струны. Эти дополнительные измерения могут в принципе принимать огромное число самых разнообразных форм, и серьезная проблема — найти ту самую, правильную форму. В старой квантовой теории ключевым принципом являлась симметрия, и такова же ситуация в теории струн. Так что, без сомнения, группы Ли появляются на сцене в нужный момент. Все держится на этих симметриях по отношению к группам Ли, причем исключительные группы снова занимают особое место — не как типун на языке, но как возможности для реализации неожиданных совпадений, которые обеспечивают физике ее существование.

Что возвращает нас к октонионам.

Приведем пример влияния, которое они оказывают. В 1980-х годах физики заметили, что в пространстве-времени размерностей 3, 4, 6 и 10 выполняются некоторые занятные соотношения. Векторы (направленные отрезки) и спиноры (алгебраические штучки, исходно созданные Полем Дираком в его теории спина электрона) весьма тесно связаны между собой в размерности три, и только в ней. Почему? Оказывается, что соотношение между векторами и спинорами имеет место в точности тогда, когда размерность пространства-времени на 2 превосходит размерность некоторой нормированной алгебры с делением. Вычитая 2 из 3, 4, 6 и 10, получаем как раз 1, 2, 4 и 8.

Математический аспект здесь состоит в том, что в 3-, 4-, 6- и 10-мерных теориях струн [Следует читать «в 3-, 4-, 6- и 10-мерных пространствах». (Примеч. перев.)] каждый спинор можно представить, используя два числа из соответствующей нормированной алгебры с делением. Такого не случается ни в каком другом числе измерений, и отсюда следует набор замечательных следствий для физики. Таким образом, у нас имеются четыре кандидата на теорию струн: вещественные, комплексные, кватернионные и октонионные. И дело складывается таким образом, что, по современным представлениям, из этих возможных теорий струн наибольшие шансы соответствовать реальности имеет 10-мерная теория, отвечающая октонионам. Если эта 10-мерная теория действительно соответствует реальности, то наша вселенная построена из октонионов.

И это не единственное место, где эти странные «числа», едва заслуживающие называться этим именем в силу минимума необходимых алгебраических соотношений, которые для них выполнены, оказываются весьма влиятельными. Та самая модная гипотетическая теория струн — M-теория — включает в себя 11-мерное пространство-время. Чтобы редуцировать воспринимаемую часть пространства-времени от 11 измерений к нашим четырем, следует избавиться от 7 измерений путем такого плотного их скручивания, чтобы они перестали быть заметными. И как же сделать такое для 11-мерной супергравитации? Надо использовать исключительную группу Ли G₂ — группу симметрии октонионов.

И вот они снова, более не милые безделушки викторианской эпохи, а увесистая отмычка к возможной Теории Всего. У нас тут октонионный мир, господа.