Глава 10. Несостоявшийся солдат и хилый книжный червь

Мариус Софус Ли занялся наукой только потому, что из-за плохого зрения был не годен ни к одной из военных профессий. Когда в 1865 году Софус (имя, под которым он обрел известность) закончил университет Христиании, он имел в своем багаже несколько математических курсов, включая и курс по теории Галуа, читавшийся норвежским математиком Людвигом Силовом, однако Софус не выказывал каких-либо особых способностей в этом предмете. В течение некоторого времени он колебался, осознавая свое стремление к академической карьере, но колеблясь, к какой из областей науки себя применить — к ботанике, зоологии, или, быть может, астрономии.

Записи в университетской библиотеке показывают, что он начал брать все больше и больше книг по математике. А в 1867 году посреди ночи его посетило видение дела всей его жизни. Друг Софуса Эрнст Мотцфелд был немало удивлен, когда посреди ночи его разбудил возбужденный Ли, кричавший: «Я понял! Это совсем просто!» А понял он, как по-новому смотреть на геометрию.

Ли взялся за изучение работ великих геометров, таких как немец Юлиус Плюккер и француз Жан-Виктор Понселе. От Плюккера он перенял идею геометрий, основанных не на хорошо всем знакомых точках, как у Эвклида, а на других объектах — линиях, плоскостях, окружностях. В 1869 году он на собственные средства опубликовал статью, кратко излагающую его основную идею. Подобно своим предшественникам Галуа и Абелю, он обнаружил, что его идеи слишком революционны для старой гвардии, так что обычные журналы не желали публиковать его исследования. Но Эрнст отказал своему другу в праве на уныние и поощрял его продолжать работы по геометрии. В конце концов одна из статей Ли была опубликована в престижном журнале и получила благосклонный прием.

Это принесло Ли стипендию. Теперь у него были деньги, чтобы путешествовать, посещать ведущих математиков и обсуждать с ними свои идеи. Он отправился туда, где взращивался весь цвет прусской и немецкой математики, — в Геттинген и Берлин, где беседовал с алгебраистами Леопольдом Кронеккером и Эрнстом Куммером и аналитиком Карлом Вейерштрассом. На него произвел большое впечатление подход Куммера к математике и несколько меньшее — подход Вейерштрасса.

Наиболее важная встреча, однако, состоялась в Берлине — с Феликсом Клейном, который, так случилось, учился ранее у Плюккера, которым Ли глубоко восхищался и которому стремился подражать. У Ли и Клейна было очень схожее математическое образование, но совершенно разные вкусы. Клейн, по существу, алгебраист с геометрическим уклоном, обожал работать над специальными проблемами, обладающими внутренней красотой; Ли же был аналитиком, которому импонировал широкий охват общих теорий. По иронии судьбы именно общие теории Ли дали математике некоторые из наиболее важных специальных структур, которые и были, и до сих пор остался изумительно красивыми, необычайно глубокими и по большей части алгебраическими. Открытие этих структур могло бы вообще не состояться, если бы не стремление Ли к общности. Если вы пытаетесь понять все возможные математические объекты некоторого типа и если вам это удалось, то вы неизбежно найдете среди них много объектов с необычными свойствами.

В 1870 году Ли и Клейн снова встретились в Париже. Именно там Жордан обратил Ли в дело теории групп. В то время росло осознание, что геометрия и теория групп выражают две стороны одной медали, но законченное оформление этих мыслей требовало времени. Ли и Клейн написали несколько совместных работ, пытаясь сделать связь между группами и геометрией более явной. В конце концов мысли Клейна кристаллизовались в его «эрлангенской программе» 1872 года, согласно которой геометрия и теория групп тождественны друг другу.

На современном языке эта идея звучит столь просто, что, казалось бы, она должна была всегда представляться совершенно очевидной. Группа, отвечающая любой заданной геометрии, — это группа симметрий данной геометрии. Наоборот, геометрия, соответствующая какой-либо группе, доставляется любым объектом, группой симметрии которого является данная группа. Другими словами, геометрия определяется тем, что остается инвариантным под действием группы.

Например, симметрии эвклидовой геометрии — это те преобразования плоскости, которые сохраняют длины, углы, линии и окружности. Они составляют группу всех движений плоскости без деформаций. Наоборот, что-нибудь, инвариантное относительно таких движений, естественно попадает в сферу действия эвклидовой геометрии. Неэвклидовы геометрии просто используют иные группы преобразований.

Зачем же тогда трудиться, чтобы конвертировать геометрию в теорию групп? Дело в том, что это дает два разных способа думать о геометрии, а также два разных способа думать о группах. Иногда вещи легче понять одним способом, иногда другим. Две точки зрения лучше одной.

Отношения между Францией и Пруссией быстро ухудшались. Император Наполеон III рассчитывал поддержать свою падающую популярность, начав войну с Пруссией. Бисмарк отправил французам телеграмму провокационного содержания, и 19 июля 1870 года была объявлена Франко-Прусская война. Клейн — пруссак в Париже — счел за лучшее вернуться в Берлин.

Однако Ли был норвежцем и очень ценил свое пребывание в Париже, поэтому решил там остаться. Потом, правда, осознав, что Франция проигрывает войну и немецкая армия движется на Метц, он передумал: хотя он и был гражданином нейтральной страны, оставаться в потенциальной зоне боевых действий было небезопасно.

Ли решил отправиться в путешествие пешком и направил свои стопы в Италию. Ушел он, однако, недалеко; французские власти схватили его у Фонтенбло, примерно в 25 милях к юго-востоку от Парижа; при нем находилось некоторое количество документов, испещренных нечитабельными символами. Поскольку они, очевидно, представляли собой шифр и было совершенно ясно, что Ли шпионил в пользу немцев, его поместили под арест. Потребовалось вмешательство ведущего французского математика Гастона Дарбу, чтобы убедить власти в математическом содержании записок. Ли был отпущен из тюрьмы, французская армия сдалась, немцы начали осаду Парижа, а Ли снова отправился в Италию — на этот раз успешно. Оттуда он вернулся в Норвегию. По пути он случайно повстречался с Клейном, отсиживавшимся в Берлине.

В 1872 году Ли защитил диссертацию. Норвежская академическая среда была настолько потрясена его работами, что университет Христиании в том же году специально для него создал новую должность. Со своим бывшим учителем Людвигом Силовом они взялись за издание собрания сочинений Абеля. В 1874 году Ли женился на Анне Бирх; всего у них было трое детей.

Теперь Ли сосредоточился на конкретной задаче, представлявшейся ему заслуживающей внимания. В математике имеется много видов уравнений, но особенно важны два. Первый — это алгебраические уравнения типа тех, что так эффективно изучали Абель и Галуа. Второй вид — это дифференциальные уравнения, введенные Ньютоном в его работе о законах природы. Такие уравнения включают в себя концепции из анализа и оперируют не самими физическими величинами, а тем, как эти величины изменяются с течением времени. Более точно — они задают скорость изменения величин. Например, наиболее важный закон движения Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально полной силе, действующей на него. Ускорение есть скорость изменения скорости. Вместо того чтобы непосредственно сообщить нам, какова скорость тела, закон говорит, какова скорость изменения скорости. Аналогичным образом другое уравнение, выведенное Ньютоном для объяснения того, как изменяется температура тела при остывании, говорит, что скорость изменения температуры пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Наиболее важные уравнения в физике — те, что имеют дело с потоками жидкости, действием гравитации, движением планет, переносом тепла, распространением волн, действием магнетизма, распространением света и звука — это дифференциальные уравнения. Как впервые понял Ньютон, закономерности природы, как правило, принимают более простой вид и их легче сформулировать, если смотреть на скорости изменения величин, а не на сами интересующие нас величины [Дифференциальные уравнения — это выражение того, как связаны эти скорости изменения с разнообразными действующими факторами. Решение же дифференциального уравнения как раз должно восстановить отсюда (и из начальных условий) поведение самой величины. (Примеч. перев.)].

Ли задал себе фундаментальный вопрос. Имеется ли для дифференциальных уравнений теория, аналогичная теории Галуа для алгебраических уравнений? Есть ли способ установить, когда дифференциальное уравнение можно решить заданными методами?

Ключевую роль здесь снова сыграла симметрия. Ли осознал, что некоторые из его результатов по геометрии можно было реинтерпретировать в терминах дифференциальных уравнений. К заданному решению конкретного дифференциального уравнения Ли мог применить преобразование (из конкретной группы) и доказать, что результат также является решением. Из одного решения получается много, причем все они связаны группой. Другими словами, группа состоит из симметрий данного дифференциального уравнения.

Здесь содержался прозрачный намек, что нечто прекрасное ожидало своего открытия. Вспомним о применениях симметрий, которые Галуа реализовал для алгебраических уравнений! А теперь представим себе нечто подобное для куда более важного класса дифференциальных уравнений!

Все группы, которые изучал Галуа, были конечными. Это значит, что число преобразований из группы — некоторое целое число [«Положительное целое», — не удержится и уточнит математик. (Примеч. перев.)]. Группа всех перестановок на пяти корнях уравнения пятой степени, например, содержит 120 элементов. Однако многие разумные группы бесконечны, и среди них — группы симметрий дифференциальных уравнений.

Одна распространенная бесконечная группа представляет собой группу симметрии окружности; она содержит преобразования, которые поворачивают окружность на любой — какой угодно — угол. Поскольку имеется бесконечно много возможных углов, группа вращений окружности бесконечна. Обозначение для этой группы — SO(2). Здесь O означает «ортогональный» — это указывает, что преобразования являются движениями плоскости без деформаций, a S означает «специальный» и указывает на вращения, которые не переворачивают плоскость.

Окружности имеют, кроме того, бесконечно много осей отражательной симметрии. Если отразить окружность относительно любого диаметра, то получится та же самая окружность. Добавление отражений приводит к большей группе O(2).

Окружность обладает бесконечным числом вращательных симметрий (слева) и бесконечным числом отражательных симметрий (справа).

Группы SO(2) и O(2) бесконечны, но это некоторый ручной вид бесконечности. Различные вращения можно задавать, указывая одно число — угол вращения. Когда два вращения выполняются одно за другим, соответствующие углы просто складываются. Ли назвал поведение такого типа «непрерывным», и в его терминологии SO(2) — непрерывная группа. А из-за того, что для указания угла требуется только одно число, группа SO(2) одномерна. То же имеет место и для O(2), поэтому все, что нам требуется, — это некоторый способ отличать отражения от вращений, а с этой задачей в алгебре справляются знаки плюс и минус.

Группа SO(2) представляет собой простейший пример группы Ли. Группа Ли соединяет в себе структуры двух типов: это и группа, и одновременно многообразие — некоторое многомерное пространство. В случае SO(2) многообразием является окружность, а групповая операция на двух точках окружности сводится к сложению соответствующих углов.

Ли открыл прекрасное свойство групп Ли: групповую структуру можно «линеаризовать». Это означает, что лежащее в основе группы искривленное многообразие можно заменить плоским эвклидовым пространством. Это касательное к многообразию пространство. Как это выглядит для SO(2), показано на рисунке.

От группы Ли к алгебре Ли: касательное пространство к окружности.

Когда групповая структура линеаризована подобным образом, на касательном пространстве возникает своя собственная алгебраическая структура, которая представляет собой некую «инфинитезимальную» версию групповой структуры и описывает, как ведут себя преобразования, очень близкие к тождественному. То, что получается, называется алгеброй Ли данной группы. У нее такая же размерность, как и у группы, но ее геометрия значительно упрощается, становясь плоской.

Разумеется, за эту простоту приходится кое-чем заплатить: алгебра Ли ухватывает многие важные свойства соответствующей группы, но некоторые тонкие детали ускользают. А те свойства, которые не теряются, подвергаются тонким изменениям. Тем не менее массу всего о группе Ли можно узнать, переходя к ее алгебре Ли, и на большую часть вопросов легче ответить в формализме алгебр Ли.

Оказывается — и в этом и состояло одно из великих усмотрений, сделанных Ли, — что естественная алгебраическая операция на алгебре Ли дается не произведением AB, а разностью AB − BA, называемой коммутатором. Для таких групп, как SO(2), где AB = BA, коммутатор равен нулю. Но для таких групп, как SO(3) — группы вращений в трехмерном пространстве, — выражение AB − BA не равняется нулю, за исключением того случая, когда A и B или совпадают, или являются вращениями на прямой угол [И, конечно, того случая, когда A и B суть вращения вокруг одной и той же оси (т.е. в одной и той же плоскости); для них коммутатор равен нулю точно так же, как коммутатор в группе SO(2). (Примеч. перев.)]. Таким образом, геометрия групп проявляет себя в поведении коммутаторов.

В начале 1900-х годов, с рождением теории «дифференциальных полей», была наконец реализована мечта Ли о некоей «теории Галуа» дифференциальных уравнений. Но теория групп Ли оказалась намного более важной, чем ожидал он сам, и у нее возникли более широкие приложения. Теория групп Ли и алгебр Ли оказалась не просто средством для выяснения вопроса о том, какие дифференциальные уравнения можно решить конкретными способами, — она проникла практически во все области математики. Теория Ли вырвалась из-под власти своего создателя и стала могущественней, чем он мог вообразить.

При взгляде из дня сегодняшнего видно, что все дело в симметрии. Симметрия глубоко встроена в каждую область математики, и на ней базируется большинство основных идей математической физики. Симметрии выражают фундаментальную регулярность нашего мира, а это то, что двигает вперед физику. Непрерывные симметрии, такие как вращения, тесно связаны с природой пространства, времени и материи; из них вытекают различные законы сохранения, такие как закон сохранения энергии, который утверждает, что замкнутая система не может ни потерять, ни приобрести энергию. Эта связь была разработана Эмми Нетер, ученицей Гильберта [Пауля Гордана. Гильберт, впрочем, оказал значительное влияние на Нетер — уже сформировавшегося математика, — когда та в 1916 году переехала в Геттинген. (Примеч. перев.)].

Следующий шаг, разумеется, должен был состоять в том, чтобы разобраться с возможными группами Ли, подобно тому как Галуа и его последователи навели порядок со многими свойствами конечных групп. Здесь к охоте присоединяется второй математик.

Анна Катарина переживала за своего сына.

Врач считал, что маленький Вильгельм «сильно ослаблен и, кроме того, очень застенчив», «постоянно возбужден», но при этом он «совершенно непрактичный книжный червь». Здоровье Вильгельма улучшалось по мере взросления, но склонность быть книжным червем не убывала. Накануне своего 39-летия он опубликовал математическое исследование, обоснованные отзывы о котором говорят, что это «величайшая математическая работа всех времен». Такие утверждения, конечно, субъективны, однако работа, без сомнения, достойна высочайшего места во всяком подобном списке.

Вильгельм Карл Йозеф Киллинг был сыном Йозефа Киллинга и Анны Катарины Кортенбах. У него были брат Карл и сестра Хедвиг. Йозеф-старший был служащим в юридической конторе а Анна — дочерью аптекаря. Обвенчались они в Бурбахе, в восточной части центральной Германии, и вскорости переехали в Медебах, где Йозеф-старший стал мэром. После этого он стал мэром Винтенберга, а еще позднее — мэром Рутена.

Семейство было хорошо обеспечено и могло позволить себе нанять частного преподавателя для подготовки Вильгельма к гимназии. Родители выбрали для сына гимназию в Брилоне, в 50 милях от Дортмунда. В школе Вильгельму нравилось заниматься классическими языками — латынью, древнееврейским, греческим. Учитель по фамилии Харнишмахер познакомил его с математикой; Вильгельм проявил большие способности к геометрии и решил стать математиком. Он поступил в то, что теперь носит имя Вестфальский Университет Вильгельма в Мюнстере, а тогда называлось просто Королевской Академией [Университет в Мюнстере стал в 1805 году Прусским университетом Вестфалии; с 1907 года он называется Westfälische Wilhelms-Universität по имени кайзера Вильгельма II. (Примеч. перев.)]. В Академии не преподавали продвинутую математику, так что Киллинг учился сам. Он прочел геометрические работы Плюккера и попытался самостоятельно вывести некоторые новые теоремы. Кроме того, он читал Disquisitiones Arithmeticae Гаусса.

После двух курсов Королевский Академии он переехал в Берлин, где уровень математического образования был намного выше. Там на него повлияли Вейерштрасс, Куммер, а также Герман фон Гельмгольц — математический физик, прояснивший связь между сохранением энергии и симметрией. Киллинг защитил диссертацию по геометрии поверхностей, основываясь на некоторых идеях Вейерштрасса, и начал преподавать математику и физику, а заодно понемногу греческий и латынь.

В 1875 году он женился на дочери преподавателя музыки Анне Коммер. Первые двое их детей — оба мальчики — умерли в младенчестве; следующие двое — дочери Мария и Анка — росли и благоденствовали. Позднее Киллинг стал отцом еще двух сыновей.

К 1878 году он вернулся в свою старую школу, но на этот раз в качестве учителя. У него была большая нагрузка — около 36 учебных часов в неделю, но каким-то образом он находил время продолжать математические штудии (самым великим такое всегда удается). Он опубликовал ряд важных статей в ведущих журналах.

В 1882 году Вейерштрасс обеспечил для Киллинга должность профессора в Лицее Хозианум в Браунсберге, где Киллинг и провел последующие десять лет. В Браунсберге не было значительной математической традиции и не с кем было обсуждать свои исследования, но Киллингу, по-видимому, такие стимулы и не требовались. Ибо именно там он сделал одно из наиболее важных открытий во всей математике, принесшее ему изрядную долю разочарования.

Цель, которую он исходно перед собой ставил, была невероятно амбициозна: описать все возможные группы Ли. Лицей не приобретал журналы, в которых публиковался Ли, и Киллинг имел очень ограниченное представление о его работах, но в 1884 году независимо открыл роль алгебр Ли. Таким образом, Киллинг знал, что каждая группа Ли связана с алгеброй Ли, и быстро понял, что исследовать алгебры Ли должно быть проще, чем группы Ли, поэтому его задача свелась к классификации всех возможных алгебр Ли.

Эта задача оказалась безнадежно сложной — теперь мы знаем, что скорее всего у нее просто нет внятного ответа в том смысле, что нет простой конструкции, которая произвела бы все алгебры Ли в рамках единообразной и прозрачной процедуры. Поэтому Киллингу пришлось согласиться на нечто менее амбициозное: описать основные «кирпичики», из которых можно собрать все алгебры Ли. Это несколько похоже на желание описать все возможные архитектурные стили, но придерживаться при этом некоторого списка из допустимых форм и размеров кирпича.

Эти «кирпичики» известны как простые алгебры Ли. Они выделены свойствами, очень похожими на идею Галуа о простой группе — группе без нормальных подгрупп, не считая тривиальных. На самом деле простые группы Ли имеют простые алгебры Ли, и обратное тоже почти верно. Потрясающе, что Киллинг преуспел в перечислении всех возможных простых алгебр Ли. Математики называют подобные теоремы классификацией.

В глазах Киллинга эта классификация была предельной версией чего-то гораздо более общего, и его огорчал ряд ограничительных предположений, которые ему пришлось сделать, чтобы добиться хоть какого-то результата. Особенно ему докучала необходимость предполагать простоту, что заставило его перейти к алгебрам Ли над комплексными числами, а не над вещественными. Первые ведут себя лучше, но менее прямым образом связаны с геометрическими проблемами, владевшими воображением Киллинга. Из-за этих, им же наложенных, ограничений он не считал, что его работа заслуживает опубликования.

Ему удалось установить контакт с Ли, который, впрочем, оказался не слишком плодотворным. Сначала Киллинг написал Клейну, который свел его с помощником Ли Фридрихом Энгелем, в то время работавшим в Христиании. Киллинг и Энгель сразу нашли общий язык, и Энгель превратился в активного сторонника его деятельности, помог ему преодолеть некоторые сложности и призывал развивать свои идеи и дальше. Без Энгеля Киллинг мог бы и забросить это дело.

Сначала Киллинг полагал, что знает полный список простых алгебр Ли и что это алгебры so(n) и su(n), соответствующие двум бесконечным семействам [Семействам потому, что при каждом n = 2, 3, … имеется своя алгебра Ли каждого вида. (Примеч. перев.)] групп Ли — специальным ортогональным группам SO(n), состоящим из всех вращений в n-мерном пространстве, и их аналогам SU(n) для комплексных n-мерных пространств, так называемых специальных унитарных групп. Историк Томас Хокинс представлял себе «изумление, с которым Энгель читал письмо Киллинга, содержащее эти смелые предположения. Какой-то малоизвестный профессор из Лицея, посвятившей себя образованию лиц духовного звания в глухом углу Восточной Пруссии, поддерживает общение с авторитетнейшими учеными и высказывает гипотезы о глубоких теоремах из разработанной Ли теории групп преобразований».

Летом 1886 года Киллинг посетил Лейпциг, где работали Ли и Энгель. К сожалению, между Ли и Киллингом возникли трения; Ли никогда не отдавал должного работам Киллинга и старался принизить их значимость.

Киллинг быстро обнаружил, что его исходное предположение о простых алгебрах Ли было неверным, ибо он открыл новую алгебру, которой соответствует группа Ли, известная сейчас как G₂. Ее размерность равнялась 14, и она, в отличие от специальных линейных и ортогональных алгебр Ли, судя по всему, не принадлежала к какому-либо бесконечному семейству. Она представляла собой одинокое исключение.

Если это казалось странным, то еще более странной была окончательная классификация, которую Киллинг получил зимой 1887 года. К двум бесконечным семействам Киллинг добавил третье — алгебры Ли sp(2n), соответствующие тому, что сейчас известно как симплектические группы Sp(2n). (В наше время ортогональные группы разбивают на два различных подсемейства в зависимости от того, действует ли группа на пространстве четной или нечетной размерности, что приводит к наличию четырех семейств; на то есть веские причины.) А исключительная группа G₂ приобрела пятерых спутников: двух с размерностью 56, а также короткое семейство, быстро подходящее к концу, с размерностями 78, 133 и 248.

Классификация Киллинга была получена с применением длинных алгебраических рассуждений, с помощью которых всю проблему удалось свести к прекраснейшей задаче из геометрии. Из гипотетических простых алгебр Ли он сумел извлечь конфигурацию точек в многомерном пространстве, известную теперь как система корней. Ровно для трех простых алгебр Ли система корней живет в двумерном пространстве. Эти корневые системы показаны на рисунке.

Системы корней в размерности два.

Эти диаграммы обладают высокой степенью симметрии. Они несколько похожи на узоры, которые видны в калейдоскопе, где два зеркала, расположенные под углом друг к другу, создают множественные отражения. Эта схожесть неслучайна, потому что системы корней имеют чудесные, изящные группы симметрии. Известные ныне как группы Вейля (что несправедливо, потому что изобрел их Киллинг), они представляют собой многомерные аналоги узоров, образованных отражаемыми объектами в калейдоскопе.

Структура в основе доказательства Киллинга состоит в том, что поиск всех возможных простых алгебр Ли можно вести, разбивая алгебры на симпатичные куски, аналогичные структурам, обнаруженным в su(n). Тогда классификация сводится к геометрии этих кусков с использованием их чудесных симметрий. Разобравшись с геометрией этих кусков, можно привязать результаты к задаче, которую на самом деле требовалось решить, — задаче нахождения возможных простых алгебр Ли.

Киллинг выразил это таким образом: «Корни простой системы соответствуют простой группе. Обратно, можно рассматривать корни простой группы как порожденные некоторой простой системой. Таким образом получаются простые группы. Для каждого l имеются четыре структуры, а при l = 2, 4, 6, 7, 8 к ним добавляются исключительные простые группы». Здесь слово «группа» используется как сокращение выражения «инфинитезимальная группа», что в наши дни называется алгеброй Ли, а l — размерность системы корней.

Четыре структуры, о которых говорит Киллинг, — это алгебры Ли su(n), so(2n), so(2n + 1) и sp(2n), соответствующие семействам групп SU(n), SO(2n), SO(2n + 1) и Sp(2n) — унитарным группам, ортогональным группам в пространстве четной размерности, ортогональным группам в пространстве нечетной размерности и симплектическим группам в пространстве четной размерности.

Симплектические группы служат симметриями переменных «координата-импульс», введенных Гамильтоном в его формулировке механики, и число размерностей всегда четно, потому что переменные координата-импульс объединены в пары. Помимо этих четырех семейств Киллинг утверждал существование в точности шести других простых алгебр Ли.

Он был почти прав. В 1894 году французский геометр Эли Картан заметил, что две Киллинговы 56-мерные алгебры — это на самом деле одна и та же алгебра, рассматриваемая двумя различными способами. Это означает, что имеется только пять исключительных простых алгебр Ли, соответствующих пяти исключительным простым группам Ли: старая знакомая Киллинга G₂ и четыре других, которые сейчас называются F₄, E₆, Е₇ и E₈.

Это на редкость любопытный ответ. Бесконечные семейства в целом понятны — они связаны с различными геометриями естественных типов в произвольном числе размерностей. Но пять исключительных групп Ли, по видимости, не связаны ни с чем геометрическим, и их размерности не следуют никакому правилу. Чем выделены пространства размерностей 14, 56, 78, 133 и 248 [Пожалуй, современный ответ на этот вопрос — тем, что это размерности исключительных алгебр Ли. (Примеч. перев.)]? Что стоит за этими числами? Представьте себе, что требуется перечислить все формы, которые может иметь кирпич, а ответ оказывается чем-то вроде такого:

• вытянутые параллелепипеды размеров 1, 2, 3, 4, …,

• кубы размеров 1, 2, 3, 4, …,

• плиты размеров 1, 2, 3, 4, …,

• пирамиды размеров 1, 2, 3, 4, ….

Само по себе это выглядит прекрасно, но далее список продолжается так:

• тетраэдры размера 14,

• октаэдры размера 52,

• додекаэдры размера 78,

• додекаэдры размера 133,

• додекаэдры размера 248.

И все, больше ничего нет.

Почему существуют кирпичи этих странных форм и размеров? Для чего они?

Это казалось совершенно безумным.

Настолько безумным, что Киллинга огорчал факт существования исключительных групп, и некоторое время он надеялся, что это ошибка, которую ему удастся устранить. Они нарушали элегантность его классификации. Но они в ней присутствовали, и мы начинаем в конце концов понимать почему.

Во многих отношениях эти пять исключительных групп Ли кажутся теперь гораздо более интересными, чем четыре бесконечных семейства. Они представляются важными в физике частиц, как мы увидим позже; они определенно важны и в математике. И у них есть тайное единство, до конца не проясненное, роднящее их с кватернионами Гамильтона и даже с еще более любопытным их обобщением — октонионами. Но об этом — в свое время.

За всем этим стоит ряд чудесных идей, автор которых — Киллинг. Строго говоря, в его работах содержалось несколько ошибок — некоторые доказательства на самом деле не вполне работали. Но все эти ошибки давным-давно исправлены.

Вот так обстояло дело с величайшей математической работой всех времен. А что по ее поводу думали современники Киллинга?

Не слишком много. Признанию не способствовало то, что труд жизни Киллинга облил презрением сам Ли. Киллинг пришелся ему не по душе — по неизвестным причинам. По мнению Ли, Киллинг не сделал вообще ничего важного. Хуже того — разумеется, Ли сам мечтал бы доказать такую теорему. Когда он понял, что его обошли, он прибег к старому как мир приему «кислого винограда». Все, что угодно, сделанное в данной облети, но не самим Ли, утверждал Ли, было ерундой. Хотя и не заявлял об этом совсем уж откровенно.

Еще менее помогала делу недооценка доказанной им теоремы со стороны самого Киллинга. Для него она была бледной тенью чего-то намного более важного, достичь чего ему не удалось, — классификации всех групп Ли. Киллинг был человеком скромным, а Ли сделал все, чтобы он таким и остался.

Во всяком случае, Киллинг опередил свое время. Очень немногие математики понимали, насколько важной вскоре станет теория Ли. Для большинства она казалась довольно техническим отделом геометрии, связанным с дифференциальными уравнениями.

Наконец, Киллинг был убежденным католиком с развитым чувством долга и смирения. Он взял себе за образец св. Франциска Ассизского, и в возрасте 39 лет они с женой вступили в Третий Орден францисканцев. По-видимому, он был глубоко порядочным человеком и, не жалея себя, трудился на благо своих учеников. Он был консерватором и патриотом, которого глубоко печалила социальная катастрофа Германии после Первой мировой войны. Печаль его усугубила смерть двух его сыновей в 1910 и 1918 году.

Истинная ценность исследований Киллинга открылась в 1894 году, когда Эли Картан в своей диссертации заново вывел всю его теорию, а также сделал значительный шаг вперед в классификации не только простых алгебр Ли, но и их представлений в терминах матриц. Картан проявил щепетильность и воздал Киллингу по заслугам практически за все его идеи; сам он лишь привел все в порядок, заполнил несколько пробелов (некоторые из них были весьма серьезными) и модернизировал терминологию. Однако быстро распространился миф о том, что работа Киллинга изобиловала дырами и что по-настоящему все сделал Картан. Математики нечасто оказываются хорошими историками, а потому они стремятся цитировать скорее известные им работы, нежели те, которые лежат в их основании. Таким образом имя Картана оказалось связанным со многими из идей Киллинга.

Любой, кто прочитает статьи Киллинга, быстро обнаружит, что миф — это всего лишь миф. Идеи Киллинга ясно и хорошо сформулированы, доказательства, возможно, несколько старомодны, но почти все правильны. Что более важно, общий охват его идей прекрасно выбран для того, чтобы получить желаемый результат. Все это — математика высшего порядка, и сделана она именно им.

К сожалению, статей Киллинга почти никто не читал. Все читали Картана и не обращали внимания на реверансы в адрес Киллинга. В конце концов, однако, работа Киллинга начала получать должное признание. В 1900 году он получил премию Лобачевского, присуждаемую Казанским физико-математическим обществом. То был второй раз, когда присуждалась эта премия; в первый раз награжден был Ли.

Киллинг умер в 1923 году. Даже сегодня его имя известно не так хорошо, как оно того заслуживает. Он был одним из величайших когда-либо живших математиков. По крайней мере, его наследие бессмертно.