12. Множества на прямой / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

12. Множества на прямой

Многим, должно быть, известны множества на прямой, имеющие меру ноль. Однако существуют еще "меньшие" множества, про которые говорят, что они имеют строгую меру ноль.

Определение. Говорят, что множество $M$ имеет строгую меру ноль, если для любой последовательности положительных чисел ( $a_n$ ) существует последовательность интервалов ( $I_n$ ), покрывающая $M$ , такая что длина интервала $I_k$ равна $a_k$ .

Понятно, что любое счетное множество имеет строгую меру ноль. Действительно, пронумеруем это множество натуральными числами и точку с номером $k$ покроем интервалом длины $a_k$ . Интересно было бы построить хотя бы одно несчетное множество строгой меры ноль. Попробуем это сделать, заодно покажем, как применяется континуум-гипотеза в содержательных задачах.

Как всегда, когда у нас не получается что-то построить, нужно пытаться строить нечто большее.

Определение. Будем говорить, что множество $A$ сосредоточено на рациональных числах, если для любого открытого множества $U$ , содержащего $\mathbb{Q}$ , множество $A \setminus U$ не более чем счетно.

Очевидно, что любое сосредоточенное на $\mathbb{Q}$ множество имеет строгую меру ноль. Действительно, составим множество $U$ , покрывающее $\mathbb{Q}$ , из интервалов $I_{2n}$ с длинами $a_{2n}$ . Оставшееся счетное множество покроем интервалами $I_{2n-1}$ с длинами $a_{2n-1}$ .

Теперь еще больше усложним множество, чтобы легче было строить.

Определение. Множеством Бернштейна называется множество, пересекающееся с каждым замкнутым нигде не плотным множеством по счетному числу точек.

Очевидно, что $M$ — множество Бернштейна — сосредоточено на $\mathbb{Q}$ . Действительно, пусть $U$ — открытое множество, покрывающее $\mathbb{Q}$ . Тогда $\overline{U} = \mathbb{R} \setminus U$ замкнуто, так как его дополнение открыто, и нигде не плотно, так как в любом интервале найдется рациональная точка, в свою очередь содержащаяся вместе с каким-то интервалом в $U$ . Значит, $\overline{U} \cap M$ (или $M \setminus U$ ) счетно.

Множество Бернштейна довольно "крутое". Его уже несложно построить.

Сколько всего замкнутых множеств? Континуум. Действительно, открытое множество можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (см. приложение 1), а замкнутое — это дополнение к открытому. А теперь пересчитаем все замкнутые нигде не плотные множества. Пусть $\{F_{\alpha}\colon \alpha < 2^{\omega}\}$ — минимальный пересчет всех замкнутых нигде не плотных. Это значит, что индексами $\alpha$ из некоторого множества мощности не больше континуума мы занумеровали замкнутые нигде не плотные множества $F_{\alpha}$ .

Возьмем какое-нибудь счетное $A_1$ , не пересекающееся с $F_1$ . Потом возьмем счетное $A_2$ , не пересекающееся с $F_1 \cup F_2$ . Далее, действуя по индукции, построим $A_{\beta}$ , которое не пересекается с $\bigcup_{i\le\beta}F_i$ . Докажем, что построение можно осуществить и что полученное множество $A=\bigcup_{i\in 2^{\alpha}}A_i$ есть множество Бернштейна мощности континуум. Действительно, поскольку пересчет $\{F_{\alpha}\}$ минимален, любой левый луч из множеств $F_{\alpha}$ с концом в $F_{\beta}$ меньше континуума, а значит, в предположении континуум-гипотезы не более чем счетен. Как утверждает теорема Бэра (см. приложение 2), отрезок нельзя покрыть объединением счетного числа замкнутых нигде не плотных множеств, поэтому действительно найдется счетное $A_{\beta}$ , не пересекающееся с $\bigcup_{i\le\beta}F_i$ (просто разобъем прямую на счетное число отрезков и из каждого возьмем по непокрытой благодоря теореме Бэра точке). Множество $A$ имеет мощность континуум, так как все $A_1$ непусты, а их суммирование идет по $i\in 2^{\omega}$ . Кроме того, $A$ может пересекаться с произвольным множеством $F_{\beta}$ только по множествам $A_{\alpha}$ , где $\alpha < \beta$ , т. е. по счетному (опять же, из-за минимальности пересчета и в предположении континуум-гипотезы) объединению счетных множеств. Значит, $A$ действительно является множеством Бернштейна.

12.1. Игры Банаха–Мазура и аксиома детерминированности

Когда двум математикам Банаху и Мазуру стало скучно^*20, они стали играть в такую игру. Они определили для себя некоторое множество $A$ на отрезке $[0,1]$ . После этого Банах взял какой-то отрезок, Мазур внутри этого отрезка еще отрезок, потом Банах взял еще отрезок и т. д. При этом они сразу договорились, что длина отрезков будет стремиться к нулю и в пересечении поэтому будет получаться точка. Так вот, если эта точка содержится в $A$ , то выиграл первый игрок, а если не содержится, то выиграл второй^*21.

^*20 У них, наверное, не было теннисных ракеток и шахмат.

^*21 Можете на досуге поиграть. Только играть нужно с шахматными часами и ходы делать быстро.

Легко понять, что если $A$ счетно, то у второго есть выигрышная стратегия. Он может за первый свой ход избавиться от первой точки, взяв отрезок, не содержащий ее, за второй ход — от второй, и т. д. Если $A$ нигде не плотно, то второй может выиграть вообще за один ход. Первым же ходом нужно просто взять отрезок, не пересекающийся с $A$ (таких существует огромное количество, просто по определению). Если $A$ – счетное объединение нигде не плотных (такие множества Бэр называл множествами первой категории), то второй также может выиграть: на первом шаге он избавляется от первого нигде не плотного, на втором – от второго, и т. д.

Банах с Мазуром задумались, для любого ли $A$ у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Это вполне естественное утверждение: либо для любого хода первого есть такой ход второго, что для любого хода первого есть такой ход второго, что… и т. д., либо существует ход первого, такой что для любого хода второго существует ход первого, такой что для любого хода второго существует ход первого… и т. д.

Множество $A$ называется детерминированным, если для него у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Утверждение о том, что все $A \subset [0,1]$ детерминированны, называется аксиомой детерминированности.

С ней проблема даже не в том, что ее не умеют доказывать. В отличие от аксиомы выбора еще даже неизвестно, действительно ли она непротиворечива с аксиоматикой Цермело–Френкеля. Зато известно, что из аксиомы выбора мгновенно следует отрицание аксиомы детерминированности, но из аксиомы детерминированности следует аксиома выбора для счетного числа множеств (благодаря чему у нас сохраняется весь математический анализ).

Если принять аксиому детерминированности, можно получить много интересных и удивительных фактов:

1) все множества из $[0,1]$ измеримы по Лебегу;

2) любая ограниченная функция интегрируема по Лебегу;

3) нет свободных максимальных идеалов;

4) базис есть только в счетномерных линейных пространствах.

Общая идея аксиомы детерминированности в том, что объект существует, только если его можно построить "руками", взять и объяснить, как его строить. А если не получается объяснить, то объект не существует вовсе.

Подробнее об аксиоме выбора и аксиоме детерминированности см. книгу [2].

<<< |1|…|9|10|11|12|13|14|15|16|17| >>>

Содержание

Комментарии: 0

Похожее

Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.
А нужен ли выбор? (альтернатива аксиоме выбора в теории множеств)

Михаил Раскин

Современная математика в качестве своего основания использует теорию множеств. Традиционно при анализе теоретико-множественных тонкостей используется аксиоматика Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. На аксиому выбора опираются доказательства наличия базиса в любом векторном пространстве и существования неизмеримого множества в математическом анализе. К сожалению, теория множеств обязана работать и со множествами, которые не описываются достаточно подробно и конкретно, чтобы мы могли себе их представить. В курсе будет рассмотрен один пример, к чему это приводит. Оказывается, ценой ослабления аксиомы выбора можно получить теорию множеств, в которой любая ограниченная функция на отрезке интегрируема по Лебегу. То, что используется аксиома выбора, в каком-то смысле, произошло исторически. Курс основан на статье Р.М. Соловэя о построении теории множеств, в которой все множества вещественных чисел измеримы.
«Мы не можем ждать милостей от природы», или применение метода вынуждения в построении моделей теории множеств

Михаил Раскин

В теории множеств есть несколько известных вопросов о том, следует ли из некоторых аксиом другая аксиома (или гипотеза; аксиома — это просто гипотеза, которой пользуется подавляющее большинство). Как и в других областях математики, недоказуемость можно продемонстрировать с помощью модели, в которой верны предположения, но не верна гипотеза. Для построения одного из самых известных таких примеров, модели теории множеств, в которой есть промежуточная мощность между мощностями натурального ряда и вещественной прямой, Коэн разработал метод вынуждения.
Теория множеств для начинающих

Виктор Викторов

Основные понятия, операции над множествами, тождества, свойства дополнения, правило Де Моргана, свойства симметрической разности; отображение (функция), факторотображение, отношение эквивалентности, парадокс брадобрея; упорядоченные множества, минимальный, наименьший, максимальный и наибольший элементы в упорядоченном множестве, мажоранта и миноранта; аксиома выбора, вполне упорядоченное множество.
Числа и многочлены

Проскуряков И. В.

Целью этой книги является строгое определение чисел, многочленов и алгебраических дробей и обоснование их свойств, уже известных из школы, а не ознакомление читателя с новыми свойствами. Поэтому читатель не найдет здесь новых для него фактов (за исключением, быть может, некоторых свойств, действительных и комплексных чисел), но узнает, как доказываются вещи, хорошо ему известные, начиная с «дважды два — четыре» и кончая правилами действий с многочленами и алгебраическими дробями. Зато читатель познакомится с рядом общих понятий, играющих в алгебре основную роль.
Десять великих идей науки. Как устроен наш мир

Питер Эткинз

Эта книга предназначена для широкого круга читателей, желающих узнать больше об окружающем нас мире и о самих себе. Автор, известный ученый и популяризатор науки, с необычайной ясностью и глубиной объясняет устройство Вселенной, тайны квантового мира и генетики, эволюцию жизни и показывает важность математики для познания всей природы и человеческого разума в частности.
Алиса в Стране Смекалки

Смаллиан Рэймонд

В книге «Алиса в Стране Смекалки» кэрролловская Алиса из Страны Чудес и ее друзья раскрывают перед читателем нескончаемую вереницу задач-головоломок. Они доставят удовольствие всем любителям занимательной математики, а почитателям творчества Льюиса Кэрролла в особенности.
Математическое понимание природы

Владимир Арнольд

Сборник «Задачи для детей от 5 до 15 лет» вызвал много отзывов. И дети, и взрослые читатели часто сожалели, что там были только математические задачи, — ведь и все естествознание заслуживает столь же активного, творческого к себе отношения. Теперь я отвечаю на эти пожелания — следуя скорее Яну Амосу Каменскому, чем современным педагогам, то есть всегда стремясь быть понятным читателю, не имеющему предварительных знаний (но столь же любознательному, как большинство подростков).
Невероятные числа профессора Стюарта

Отрывок из книги «Невероятные числа профессора Стюарта» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.
Математические чудеса и тайны

Гарднер Мартин

Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстрации математических закономерностей. Этой скрытой математичностью и интересна книга Мартина Гарднера - сам автор не формулирует на языке математики закономерностей, лежащих в основе его экспериментов, ограничиваясь описанием действий показывающего, явных и тайных. Но читателю, знакомому с элементами школьной алгебры и геометрии, несомненно, доставит удовольствие самому восстановить по объяснениям автора соответствующую алгебраическую или геометрическую идею. Книга будет интересна многим читателям: юным участникам математических кружков, взрослым любителям математики, а может быть, тот или иной из описанных здесь экспериментов пробудит улыбку и у серьезного ученого в краткий момент отдыха от большой работы.

Далее >>>

∀ x, y, z

12. Множества на прямой / Парадоксы теории множеств

Иван Ященко

12. Множества на прямой

12.1. Игры Банаха–Мазура и аксиома детерминированности

Теги

Похожее