Мой рассказ будет больше историческим: я расскажу о том, как возникла теория Максвелла и понятие электромагнитных волн. Были известны законы Кулона, закон Био — Савара, разные законы индукции Фарадея и другие. Этот набор экспериментальных данных Максвелл попытался описать теоретически. Насколько мне известно, его труд состоит из примерно шестисот страниц. Он пытался чисто механически объяснить законы Фарадея, описывая электромагнитное поле как набор шестеренок с разными сортами зацеплений. В XIX веке механическое описание природы было очень популярно. Большая часть этих шестисот страниц пропала, поскольку в них не было никаких конструктивных утверждений. Может, я немного преувеличиваю, но единственное конструктивное, что было в этом труде Максвелла, — это его уравнения, формулы.

Революционные открытия последних 15 лет в области космологии сделали эту область астрофизики одной из наиболее точных наук. Существенную роль в понимании природы Вселенной сыграла радиоастрономия, история которой связана с уникальными астрофизическими экспериментами. Достаточно вспомнить открытие и исследование радиогалактик и квазаров, пульсаров, атомарных и молекулярных линий, гравитационных линз и сверхмассивных черных дыр. Однако, на мой взгляд, самыми важными событиями стали открытие реликтового излучения и обнаружение его неоднородностей. Это привело к построению картины мира начала XXI века, на которую ориентируется современное естествознание. Мы познакомимся с методами исследования реликтового излучения и определения глобальных параметров Вселенной, а также обсудим нерешенные загадки Вселенной.

Как следует из названия, речь пойдет о взаимодействии математики и физики в прошлом и настоящем. Указанное взаимодействие пережило ряд кризисов. Один из них, в начале ХХ-го века, привел к созданию квантовой механики. Практически одновременно в математике возник математический эквивалент квантовой механики — функциональный анализ. Другой кризис, возникший во второй половине ХХ-го века, связан с квантовой теорией поля и до сих пор не преодолен. Главная причина состоит в отсутствии адекватного математического аппарата. Эти и другие проблемы взаимодействия математики и физики будут рассмотрены в лекции.

Путешественник в прошлое случайно раздавил бабочку. Незначительная оплошность. Однако она повлекла катастрофические изменения в далеком будущем. Насекомое из рассказа Рэя Бредбери "И грянул гром" породило термин "эффект бабочки", широко известный в естественных науках. Сюжет писателя-фантаста стал предисловием к дискуссии экспертов о свойстве хаотических систем. В чем секреты и закономерности хаотичных явлений?

В лекции будет освещена основная концепция Ньютона, согласно которой законы природы описываются на языке математического анализа (по преимуществу, на языке дифференциальных уравнений). Будет рассказано о математическом описании законов Архимеда, Галилея, Кеплера, Ферма, Гука, о началах математической физики в трудах Н. Бернулли, Эйлера, Лапласа и Фурье, о формуле сложения скоростей Эйнштейна и об уравнении Шрёдингера.

Международная научная конференция «Дни классической механики» г. Москва, МИАН, ул. Губкина, д. 8 26 января 2015 г.

Энтропия — мера неопределённости, мера хаоса. В естественных науках это мера беспорядка системы, состоящей из многих элементов; в теории информации — мера неопределённости какого-либо опыта, процесса или испытания, которые могут иметь разные исходы (а значит, мера количества информации); в математике — мера сложности объекта или процесса. Понятие энтропии было впервые введено в 1865 году Р. Клаузиусом в термодинамике, К. Шенноном в теории информации в 1949 г., в теории стохастичпеских процессов Колмогоровым, Гельфандом и Яглом в 1956 г., в функциональном анализе и теории динамических систем Колмогоровым в 1956–1958 гг. Между мирами полной детерминированности, изучаемой классическим анализом и миром хаоса, изучаемым теорией вероятностей, ныне перекидывается мост, который связан с понятием энтропии.

Зильберман Александр Рафаилович. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 28 июля 2007 г.

Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.

Если поступить очень жестоко и отобрать у математика карандаш и бумагу, он будет смотреть на небо в поисках новых задач. Вопрос о движении планет (в математическом мире встречающийся под кодовым названием «Задача n тел») является чрезвычайно сложным — настолько сложным, что даже для специальных подслучаев случая n=3 каждый год публикуется огромное количество работ. Разобрать все аспекты этой задачи невозможно даже за семестровый курс. Мы, однако, не испугаемся, и попробуем поиграться в математику, которая здесь возникает. Основной мотивацией для нас будет задача двух тел: задача о движении одной планеты вокруг Солнца в предположении о том, что как будто бы никаких других планет в округе нет.

Вводные понятия. Цель физики. Базовые принципы и понятия. Понятие пространства-времени. Принципы симметрии пространства-времени. Динамический принцип. Действие. Функция Лагранжа. Уравнения Эйлера–Лагранжа. Законы сохранения. Теорема Нетер. Энергия, импульс, момент. Задача Кеплера. Модели. Гамильтонов формализм. Отображение Лежандра. Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона. Скобка Пуассона. Инвариантная формулировка механики.

Программа курса: 1) Классическая механика: как движется груз на пружине? 2) Оптика: почему угол падения равен углу отражения? 3) Интеграл Фейнмана: как перемещаться по всем путям сразу? 4) Уравнение Шрёдингера: почему энергия делится на порции (кванты)? Предполагается, что слушатели владеют искусством замены переменной в интеграле или готовы быстро этому выучиться.

Мы обсудим несколько наглядных сюжетов на стыке математики, физики, химии, географии (закон сохранения энергии, молекула в виде листа Мебиуса, теорема Эйлера и другие). Мы постараемся дать интуитивно почувствовать, и не обсуждать формально некоторые красивые математические понятия. Не требуется до лекции (и не появится после лекции) никаких формальных знаний.

Хаос — математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)

В июле 2012 года ученым наконец-то удалось "поймать" бозон Хиггса. Новость о долгожданном открытии в считанные секунды облетела весь мир, моментально попав на первые полосы всех газет. Но спустя год после открытия, стали говорить о том, что бозон не оправдал ожиданий физиков, а некоторые даже понизили частицу в ранге, назвав главной мистификацией века. Так ли это на самом деле? В чем важность элемента, на поиски которого ученые потратили больше 40 лет?

Существование тесной взаимосвязи космоса с практически невидимым микромиром — самый загадочный аспект современной физики. Планеты и даже целые скопления небесных звёзд «разбросаны» по бескрайним просторам, подобно пылинкам и элементарным частицам. Казалось бы, это лишь метафоричная связь. Но уже в первую секунду возникновения Вселенной, всё её содержимое состояло именно из мельчайших частичек — кварков. Невероятно, но эфемерные кирпичики вещества — основной строительный материал всего мироздания. Всего 6 видов или ароматов кварков, соединившись, образуют атомы, молекулы и другие частицы, а затем — Макрокосмос. Устройство Вселенной учёным удалось изучить достаточно детально, а вот с элементарными крупинками веществ нередко возникают проблемы. Не так быстро они раскрывают свои тайны, как хотелось бы. Даже единую теорию, которая могла бы описать весь известный «зоопарк» частиц, до сих пор создать не удаётся. Насколько наши знания о микромире полны и достоверны? Как кваркам удалось создать галактики и на что ещё способны эти крошечные частицы?

Как самостоятельная наука Геометрия зародилась еще в Древней Греции. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объема. Интересно, как бы отреагировал Эвклид на теорию четырехмерного подхода? Новые представления о мире связаны с многомерностью пространства. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: "Все вокруг геометрия!". В начале 21-го столетия мы с еще большим изумлением можем это повторить. Что же такое современная геометрия? И как она используется в разных науках?

Испокон веков математика считается главным посредником между человеком и природой. Именно в ней нашли своё отражение логика и порядок устройства Вселенной, которым подчинён весь окружающий мир. Эта наука настолько прочно проникла во все сферы жизни общества, что мы, даже не замечая этого, регулярно прибегаем к простейшим математическим вычислениям и терминологии. Точные формулы позволяют учёным детально описать, спрогнозировать и просчитать до мелочей результаты любого процесса и явления. А уж научно-технический прогресс своим стремительным развитием обязан исключительно математике, ведь без неё он бы так и остался фантастической идеей в умах миллионов. Ещё итальянский астроном Галилео Галилей сказал: "Великая книга природы написана математическими символами". Позднее эту гипотезу подтвердил на практике один из основоположников современной физики – Исаак Ньютон. Тем самым, навсегда сделав два важнейших научных направления единым целым. Но так ли велика роль "царицы наук" в современной физике? Какие непознанные горизонты математика ещё может приоткрыть учёным?

О математической физике рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.