Вероятностная теория чисел

Алексей Буфетов

Лекция 1

Лекция 2

Лекция 3

Цель данного курса — показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета.

1. Правильные гипотезы

Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию: так, если $B(n)$ — количество простых чисел-близнецов, меньших $n$ , то $\lim_{n\to\infty}B(n)/C\frac{n}{\ln^2n}=1$ (значение константы $C$ также предсказывается). Эта гипотеза следует из простых вероятностных соображений и подтверждается численными данными. Вероятностные «прикидки» позволяют сделать предположения и в ряде других известных вопросов (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана), которые тоже подтверждаются численными экспериментами.

Кажется странным, что в детерминированной ситуации (число уж либо простое, либо нет) оказывается полезным вероятностный подход. Причину можно попытаться описать следующим образом: простые числа определяются свойствами относительно умножения, а относительно сложения никакой ощутимой «структуры» у них нет. Поэтому относительно сложения они ведут себя «случайным» образом.

2. Типичное число простых множителей натурального числа

Пусть $w(n)$ — число различных простых делителей натурального числа n. Выберем n равномерно случайно из $\{1,2,\dots,N\}$ для большого $N$ . Чему равно типичное значение $w(n)$ ?

Оказывается, для почти всех $n$ мы имеем $w(n)\approx\ln\ln n$ . Более того, мы докажем теорему Эрдеша-Каца для $w(n)$ . Эта теорема утверждает, что $w(n)-\ln\ln n$ имеет порядок $\sqrt{\ln\ln n}$ и описывается гауссовским распределением.

На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Программа:

Базовые понятия: конечное вероятностное пространство, случайные величины, независимость. Множество $\{1,2,\dots,N\}$ как вероятностное пространство. Делимость на различные простые как (асимптотически) независимые события. Вероятностная модель Крамера простых чисел.

Улучшенная модель Крамера. Гипотезы: асимптотика количества простых чисел-близнецов, асимптотика количества разложений четного числа в сумму двух простых.

Закон больших чисел и центральная предельная теорема для бернуллиевских величин. Эквивалентная формулировка гипотезы Римана: функция Мебиуса «случайна».

Теорема Эрдеша-Каца: почти всякое натуральное число $n$ имеет примерно $\ln\ln n$ простых делителей. Более того, число простых делителей удовлетворяет центральной предельной теореме.

По курсу предполагается выдача листочков с задачами. Никаких предварительных знаний по теории вероятностей и теории чисел не предполагается.

Материалы: Листок 1 [pdf 182 KB], Листок 2 [pdf 199 KB]

Алексей Игоревич Буфетов

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-27 июля 2016 г.

Комментарии: 0

Похожее

Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана

Отрывок из книги «Величайшие математические задачи» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта о важнейших нерешенных математических задачах и их месте в общем контексте математики и естественных наук.
Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы

Владимир Арнольд

Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность. Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля d_m равных m неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля d_m убывает при m→∞ как 1/m^2 и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим). В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина d_m выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений x^2+px+q=0 (с целыми p и q): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с p^2+q^2≤R^2, то доля неполного частного m среди них будет стремиться к числу d_m при R→∞. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу. Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов [a_k+1, a_k+2,…, a_k+T], которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений x^2+px+q=0 далеко не решён.
От Пуанкаре до Перельмана

Владимир Успенский

В курсе будет изложена история гипотезы Пуанкаре — с точными определениями и формулировками, но без полных доказательств. Будут объяснены понятия, необходимые для понимания различных версий (топологическая, гладкая, кусочно-линейная) гипотезы Пуанкаре: многообразие, гомотопическая эквивалентность, фундаментальная группа. Слушатели узнают о классификации двумерных компактных многообразий («сферы с ручками и пленками Мебиуса»), об экзотических гладкостях на сферах и на R^4 и о том, что одна из версий гипотезы Пуанкаре (гладкая 4-мерная) остается открытой. Мы обсудим также различные версии проблемы Шенфлиса: ограничивает ли вложенная (n–1)-мерная сфера в R^n вложенный n-мерный шар? Некоторые из этих версий остаются открытыми проблемами.
О некоторых результатах, связанных с гипотезой Римана

Ирина Резвякова

Хорошо известная гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой Re s = 1/2. В 1989 г. Атле Сельберг определил класс рядов Дирихле, для которых также предполагается справедливость аналога гипотезы Римана. Следующие утверждения доказаны для некоторых функций из класса Сельберга: 1) положительная доля нетривиальных нулей L-функции лежит на критической прямой; 2) почти все нетривиальные нули L-функции лежат в окрестности критической прямой; 3) значения логарифма L-функции на критической прямой асимптотически нормально распределены. Оказывается, что эти результаты очень тесно взаимосвязаны.
Путешествие в мир математики

BBC

Профессор Оксфордского университета Маркус Дю Сотой является действительным членом Американского математического общества и работает с теорией групп и теорией чисел. У Алана Дейвиса в школе была тройка по математике, у Маркус Дю Сотой — крепкая пятерка с большим плюсом. Их объединяет только одно: они оба болеют за "Арсенал". Профессор Дю Сотой берется объяснить Алану Дейвису и широкой публике, как математика помогает нам понять окружающий мир. Он знакомит его и зрителей с математическими принципами, которые способны расширить сознание и изменить представление о реальности. Задания для Дейвиса будут усложняться, пока не будет задан главный вопрос, который изменит отношение Алана и зрителей к Вселенной.
Случайно существующие объекты (вероятностные доказательства существования)

Михаил Раскин

Иногда мы хотим доказать, что какой-нибудь объект существует. Разумеется, можно медленно и методично объект построить. Но это что-то делать надо, а хочется получить кое-что задаром. Поэтому мы просто возьмём случайный объект и заметим, что он подходит с ненулевой вероятностью. Это позволяет избежать занудной конструкции. Заодно можно спрятать в доказательстве незаметную ошибку. Для понимания курса нужно будет знать определение независимых событий. Понимать, что это такое, не обязательно, всё равно в ходе курса такое понимание (или только его иллюзию?) можно будет утратить.
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек

Владимир Арнольд

Для случайного распределения k точек на целочисленной окружности длины два «параметра стохастичности» β и λ были определены (независимо друг от друга) А.Н. Колмогоровым в 1933 году и В.И. Арнольдом в 2003 году. На занятиях будет показано, что эти параметры, кажущиеся независимыми характеристиками поля случайных точек, становятся функционально зависимыми, когда их значения усреднены по малым флуктуациям точек поля.
Игрушечные примеры игр

Михаил Раскин

Теория игр — наука, изучающая принятие решений, особенно принятие решений в условиях зависимости достигаемого результата от действий других участников процесса. При этом «счастье для всех, даром и пусть никто не уйдёт обиженным» как правило невозможно по правилам — хотя ещё обиднее, когда оно возможно, но заведомо не случится. Изучаются же в каком-то смысле «достижимые» и «устойчивые» ситуации — так называемые равновесия. В интересующих нас играх часто можно выписать все сценарии развития событий, но после этого всё равно ещё остаются вопросы. С этой точки зрения шахматы одновременно слишком сложны — много позиций — и слишком просты — полный перебор сразу определил бы оптимальную стратегию для каждой позиций. Так как курс не построен вокруг одного понятия или утверждения, по пожеланиям слушателей возможны значительные изменения программы.
Марковские процессы

Александр Буфетов

Лягушка сидит в вершине квадрата и раз в десять секунд принимает решение и совершает прыжок: с вероятностью p по часовой стрелке, с вероятностью q против часовой стрелки, с вероятностью 1−p−q на месте. Через десять секунд вновь решая куда прыгнуть, лягушка принимает во внимание лишь ту вершину, в которой она находится. Таким образом, положения лягушки в различные моменты времени не независимы, однако, при фиксированном настоящем, будущее лягушки независимо от её прошлого. В честь открывшего их нашего великого соотечественника Андрея Андреевича Маркова такие системы испытаний называют цепями Маркова. Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию марковских процессов со счётным числом состояний.
Четыре алгоритмических лица случайности

Владимир Успенский

Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия «случайная последовательностей нулей и единиц».

Далее >>>

∀ x, y, z

Вероятностная теория чисел

Алексей Буфетов

Теги

Похожее