О некоторых результатах, связанных с гипотезой Римана

Ирина Резвякова

Хорошо известная гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой $\operatorname{Re} z = 1/2$ . В 1989 г. Атле Сельберг определил класс рядов Дирихле, для которых также предполагается справедливость аналога гипотезы Римана. Следующие утверждения доказаны для некоторых функций из класса Сельберга:

положительная доля нетривиальных нулей $L$ -функции лежит на критической прямой;
почти все нетривиальные нули $L$ -функции лежат в окрестности критической прямой;
значения логарифма $L$ -функции на критической прямой асимптотически нормально распределены.

Оказывается, что эти результаты очень тесно взаимосвязаны. По определению любая функция из класса Сельберга удовлетворяет функциональному уравнению Риманова типа и соответствующий ей ряд Дирихле разлагается в виде Эйлерова произведения. Однако, если мы рассмотрим нетривиальную линейную комбинацию (с вещественными коэффициентами) функций из класса Сельберга, удовлетворяющих одному и тому же функциональному уравнению, то полученная функция также будет обладать функциональным уравнением, но уже не будет иметь разложения в виде Эйлерова произведения. Оказывается, что такая функция имеет много нетривиальных нулей вне критической прямой, то есть она не удовлетворяет аналогу гипотезы Римана. Все же и для такой функции существует предположение, что почти все ее нетривиальные нули лежат на критической прямой. Безусловно для линейных комбинаций (с некоторыми естественными предположениями) $L$ -функций из класса Сельберга можно доказать, что если каждая из $L$ -функций, входящих в линейную комбинацию, имеет положительную долю нетривиальных нулей на критической прямой, то и сама линейная комбинация также имеет положительную долю нетривиальных нулей на критической прямой. То есть именно наличие Эйлерова произведения у $L$ -функции вероятно обеспечивает справедливость гипотезы Римана.

Резвякова Ирина Сергеевна — кандидат физико-математических наук.

Общеинститутский семинар «Математика и ее приложения» Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
18 мая 2017 г

Комментарии: 0

Похожее

Вероятностная теория чисел

Алексей Буфетов

Цель данного курса — показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета. 1) Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию. 2) Типичное число простых множителей натурального числа. Пусть w(n) — число различных простых делителей натурального числа n. Выберем n равномерно случайно из {1,2,…,N} для большого N. Чему равно типичное значение w(n)? На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.
Путешествие в мир математики

BBC

Профессор Оксфордского университета Маркус Дю Сотой является действительным членом Американского математического общества и работает с теорией групп и теорией чисел. У Алана Дейвиса в школе была тройка по математике, у Маркус Дю Сотой — крепкая пятерка с большим плюсом. Их объединяет только одно: они оба болеют за "Арсенал". Профессор Дю Сотой берется объяснить Алану Дейвису и широкой публике, как математика помогает нам понять окружающий мир. Он знакомит его и зрителей с математическими принципами, которые способны расширить сознание и изменить представление о реальности. Задания для Дейвиса будут усложняться, пока не будет задан главный вопрос, который изменит отношение Алана и зрителей к Вселенной.
От Пуанкаре до Перельмана

Владимир Успенский

В курсе будет изложена история гипотезы Пуанкаре — с точными определениями и формулировками, но без полных доказательств. Будут объяснены понятия, необходимые для понимания различных версий (топологическая, гладкая, кусочно-линейная) гипотезы Пуанкаре: многообразие, гомотопическая эквивалентность, фундаментальная группа. Слушатели узнают о классификации двумерных компактных многообразий («сферы с ручками и пленками Мебиуса»), об экзотических гладкостях на сферах и на R^4 и о том, что одна из версий гипотезы Пуанкаре (гладкая 4-мерная) остается открытой. Мы обсудим также различные версии проблемы Шенфлиса: ограничивает ли вложенная (n–1)-мерная сфера в R^n вложенный n-мерный шар? Некоторые из этих версий остаются открытыми проблемами.
Закономерности простых чисел. Гипотеза Римана

Отрывок из книги «Величайшие математические задачи» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта о важнейших нерешенных математических задачах и их месте в общем контексте математики и естественных наук.

∀ x, y, z

О некоторых результатах, связанных с гипотезой Римана

Ирина Резвякова

Теги

Похожее