Группы Шоттки

Наталия Гончарук, Юрий Кудряшов

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и осевой симметрии — частные случаи дробно-линейных отображений комплексной плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости — это отображение, при котором точка $z=x+iy$ переходит в точку $\textstyle\frac{az+b}{cz+d}$ ).

Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри, оказывается снаружи, и наоборот.

Говорят, что набор дробно-линейных отображений $f_1,\dots,f_g$ порождает группу Шоттки, если есть набор замкнутых жордановых кривых $\gamma_1,\dots,\gamma_g$ , таких что:

Области, ограниченные кривыми $\gamma_j$ , не пересекаются.
Под действием отображения $f_j$ точки внутри $\gamma_{2j-1}$ оказываются снаружи $\gamma_{2j}$ , а точки снаружи $\gamma_{2j-1}$ — внутри $\gamma_{2j}$ .

Группа, порождённая отображениями $f_j$ — это множество всевозможных композиций отображений $f_j$ и обратных к ним. Оказывается, в группе Шоттки длинные композиции ведут себя так: бо́льшую часть плоскости переводят внутрь очень маленькой области.

Кривые γ_j (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, g=2.

Кривые $\gamma_j$ (окружности) и их образы под действием отображений из группы Шоттки, $g=2$ .

В курсе мы расскажем, как группа Шоттки связана с:

канторовским множеством;
сферой с $g$ ручками с комплексной структурой;
трёхмерным пространством Лобачевского.

Кроме того, мы расскажем ответы на следующие вопросы:

всегда ли в качестве $\gamma_j$ можно взять окружности?
бывает ли так, что при одном выборе образующих получается взять в качестве $\gamma_j$ окружности, а при другом нет?

Предполагается, что слушатели умеют выполнять арифметические действия с комплексными числами. Курс будет понятен школьникам.

Материалы: ex1.pdf (30 KB), ex2.pdf (22 KB).

Гончарук Наталия Борисовна, Кудряшов Юрий Георгиевич
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-28 июля 2015 г.

Комментарии: 0

#видео #математика #теория_групп #тфкп #комплексные_числа #комплексные_преобразования #дробно_линейные_преобразования #геометрия #топлогия #Наталия_Гончарук #Юрий_Кудряшов #ЛШСМ

Похожее

Окрошка из кошки

Наталия Гончарук, Юрий Кудряшов

Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, которых они вызывают. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x+y, x+y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова.
Удивительный комплексный мир

Дмитрий Аносов

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 16-18 июля 2002 г.
Измерения / Dimensions

Документальный фильм «Измерения» – это два часа математики, постепенно выводящие вас в четвёртое измерение.
Двумерная конформная теория поля

Михаил Берштейн

В этой лекции преподаватель магистерской программы «Математическая физика» Сколтеха Михаил Берштейн рассказывает о фазовых переходах и модели Изинга.
Комплексные дифференциальные уравнения

Владимир Побережный

Что такое монодромия? Как продолжаются функции в комплексном мире? Каково пространство решений в комплексной плоскости? Как построить линейное дифференциальное уравнение? На эти и другие вопросы ответил кандидат физико-математических наук Владимир Побережный.
Теория функций комплексной переменной (ТФКП)

Валерий Опойцев

ТФКП — теория функций комплексной переменной, эквивалент «теории аналитических функций». Математическая дисциплина второго круга образования — не в каждом техническом ВУЗе преподаётся. А жаль. Потому что ТФКП необыкновенно красива и в своей основе достаточно проста. Ибо в римановы пространства и конформные преобразования не обязательно заглядывать без особой надобности. Но и без них в лучах «аналитических функций» многое в нижележащих слоях математики озаряется буквально волшебным светом. Проясняется и упрощается. Вскрываются внутренние механизмы, обнажаются загадки. Поэтому ТФКП, по крайней мере в «данном исполнении», можно рекомендовать для самообразования. Простое изложение может оказаться полезным и при углублённом изучении предмета, когда подробности мешают видеть общую картину.
Мнимые числа реальны

Welch Labs

Мнимые числа, несмотря на своё название, вполне реальны. По крайней мере, в той же степени, что и отрицательные числа, иррациональные или ноль. Хоть их не найти на привычной нам числовой оси, мнимые числа позволяют справляться с задачами, над которыми сотни лет бились умнейшие математики, а их состоятельность проверена на практике учёными и инженерами.
Числа, множества, операции

Валерий Опойцев

Комплексные числа: Как возникают и что обеспечивают. Как введение «странных» объектов проливает свет на реальные проблемы. Теория вещественных чисел: Пополнение прямой. Сечения Дедекинда. Зачем это нужно. Системы счисления: Что говорил Плутарх. Позиционная запись чисел. Десятичная система, двоичная. Игра «Ним» на шахматной доске. Двоичный выигрывающий алгоритм. Множества и операции: Наивная теория множеств. Сходство и различия с арифметическими операциями. Булевы структуры. Какими моделями их можно наполнять. Как эти модели перекликаются. Математическая индукция: Аксиома Пеано. Механизм индукции. Примеры.
Что такое число?

Немецкий математик Леопольд Кронекер писал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека». Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.
Новый дискретный вариант комплексного анализа

Сергей Новиков

В совместной работе с И. Дынниковым мы предложили дискретный вариант комплексного анализа, который стартует с решётки правильных треугольников на плоскости. Нам представляется, что этот подход лучше обычного подхода, использующего квадратную решётку.

Далее >>>

∀ x, y, z

Группы Шоттки

Наталия Гончарук, Юрий Кудряшов

Теги

Похожее