Мы предлагаем вашему вниманию запись (с небольшими сокращениями и с сохранением авторского стиля) лекции, прочитанной Дмитрием Фон-Дер-Флаассом во Всероссийском детском центре «Орленок» в 2009 году.

Речь в данной работе пойдет о так называемом "геделевском аргументе", который используется как аргумент против возможности создания искусственного интеллекта. Суть аргумента заключается в следующем: полагают, что из теоремы Геделя о неполноте формальных систем вытекает принципиальное различие между искусственным ("машинным") интеллектом и человеческим умом, а именно, полагают, что теорема Геделя указывает на некоторое принципиальное преимущество человеческого ума перед "умом" машинным - т.е. человек обладает способностью решать проблемы, принципиально неразрешимые для любых искусственных "интеллектуальных" систем (так называемые "алгоритмически неразрешимые" проблемы), причем ограниченность "искусственного ума" проистекает из его "формального" характера.

Как известно, Галилей заявил, что Вселенная является "великой книгой", написанной на языке математики. Почему же наша Вселенная кажется нам столь математичной? Как это понимать? Вселенная не просто описывается при помощи математики, но она сама и есть математика в том смысле, что все мы представляем собой элементы гигантского математического объекта, который, в свою очередь, является частью мультивселенной – столь гигантской, что по сравнению с ней остальные мультивселенные, о которых говорили в последние годы, выглядят малыми.

Человеку даже без специального физического или технического образования несомненно знакомы слова «электрон, протон, нейтрон, фотон». А вот созвучное с ними слово «солитон» многие, вероятно, слышат впервые. Это и неудивительно: хотя то, что обозначается этим словом, известно более полутора столетий, надлежащее внимание солитонам стали уделять лишь с последней трети XX века. Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии, океанографии, оптической технике. Что же это такое – солитон?

Продолжительность циклов большинства цикад не случайна, а представляет собой интервалы из простых чисел (чисел, делимых без остатка только на себя — 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.), являясь наиболее действенной стратегией выживания и размножения.

Объявлено об успешном завершении работы компьютерной программы, просчитывавшей одну из версий покера — хедз-ап в лимитном техасском холдеме. Программа научилась принимать правильное решение в каждом из примерно 3,19×10^14 возможных состояний игры. Найденная таким образом стратегия на длинной дистанции должна обыгрывать остальные стратегии.

В статье рассказывается о протяжённых объектах – суперсимметричных струнах, которые, возможно, представляют собой наиболее фундаментальную структуру во Вселенной. В рамках современной физической картины мира предпринимаются вполне серьёзные попытки отыскать те фундаментальные объекты, из которых можно было бы «сложить» всё остальное. Анализировать при этом следует микромир, поскольку начиная с уровня кварков и лептонов мы примерно представляем себе, как более элементарные объекты комбинируются в более сложные. Но насколько осмысленным является дробление материи на всё более элементарные составляющие? Каковы принципы, лежащие в основе поисков фундаментальных объектов, и есть ли конец этим поискам?

…Математика изучает принципы и результаты деятельности вообще, как бы вырабатывая заготовки для описания реальной деятельности и ее результатов, и в этом заключается один из источников ее универсальности.

Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002–2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S3». В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).

Ещё на заре европейской науки Демокрит полагал, что причину имеет всё, и что случайность люди ввели, "чтобы оправдать свою глупость". Однако он же положил в основание своей натурфилософии беспорядочное движение атомов, из-за которого явления приходится фактически рассматривать как случайные. В этом противоречии наука и пребывает 2400 лет: хотя без случайности ни один род деятельности (в том числе и ни одна теория явлений — природы или общества) обойтись не может, но до сих пор можно услышать и прочесть, что случайности как таковой в строгом представлении первой научной картины мира не существует. Тем не менее, в наше время можно привести аккуратные примеры случайности, не сводящиеся к незнанию или непониманию причин, что ниже и будет сделано.

В связи с разными точками зрения на природу математики рассматриваются вопросы о метаматематическом понятии истины и возможности убедительного доказательства истинности математических теорем.

Для того чтобы применить математические средства для изучения информации, потребовалось отвлечься от смысла, содержания информации. Этот подход был общим для упомянутых нами исследователей, так как чистая математика оперирует с количественными соотношениями, не вдаваясь в физическую природу тех объектов, за которыми стоят соотношения.

«Типичный программист» в рубрике «Вопросы к экспертам» затронул извечный вопрос про программирование и математику. Итак, действительно ли программисту нужно знание математики для успешной работы и если нужно, то насколько?

В конце августа 2012 года японский математик Синичи Мочидзуки выложил на свою страницу в интернете четыре научные статьи. Их не сразу заметили, потому что не особенно ждали: без предварительных пресс-релизов, навязчивых анонсов и громких выступлений Мочидзуки опубликовал результат многолетнего самоотверженного труда, которому, вероятно, суждено совершить революцию в современной математике. Проблема лишь в том, что теорию Мочидзуки не торопится принимать научное сообщество – ее почти никто не может понять.