«Наука и жизнь» № 2, 1997 г., стр. 18 – 24.
БЕСЕДЫ ОБ ОСНОВАХ НАУК

Доктор физико-математических наук А. М. Семихатов,
Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук.

«Миром правят числа» – утверждали когда-то пифагорейцы. «И уравнения» – добавляют сегодня теоретики. Вся наша невообразимо огромная Вселенная представляет собой решение Системы уравнений общей теории относительности. И мы всегда будем отдавать должное великому человеку, сумевшему это понять. На снимке: кабинет Альберта Эйнштейна в Принстонском университете, в котором исследователь работал последние годы жизни.

В статье рассказывается о протяжённых объектах – суперсимметричных струнах, которые, возможно, представляют собой наиболее фундаментальную структуру во Вселенной. В рамках современной физической картины мира предпринимаются вполне серьёзные попытки отыскать те фундаментальные объекты, из которых можно было бы «сложить» всё остальное. Анализировать при этом следует микромир, поскольку начиная с уровня кварков и лептонов мы примерно представляем себе, как более элементарные объекты комбинируются в более сложные. Но насколько осмысленным является дробление материи на всё более элементарные составляющие? Каковы принципы, лежащие в основе поисков фундаментальных объектов, и есть ли конец этим поискам?

Часть I

Будут плакать волшебные струны…
Романс. 

ВВЕДЕНИЕ

Сначала попытаемся описать, в каких терминах ставится задача и тем самым – в каких терминах исследователи ищут её решение.

Первоначальной основой для построения любой физической теории служит наблюдаемый мир, и успех или неуспех теории определяется из сравнения её с наблюдениями, с экспериментом. Однако, по мере продвижения в область всё более фундаментальных и всё менее непосредственно наблюдаемых явлений, значительную роль начинает играть математическая структура теории. Конечно любая теория должна быть математически корректной, но оказывается, что достичь такой корректности тем труднее, чем на большую общность претендует данная теория. Природа как бы сопротивляется произвольным построениям и требует, чтобы мы угадали ту, по всей видимости, единственную, наиболее фундаментальную структуру. Такую структуру также принято называть теорией. Таким образом, слово теория используется в двух значениях. Во-первых – это конкретный аппарат для описания того или иного объекта физической реальности, имеющий определённый набор уравнений, законов и правил. Во-вторых, – это именно та искомая сущность, которую нужно сначала отыскать, а потом научиться описывать в рамках конкретной теории в первом смысле этого слова.

Таким образом, развитие фундаментальной физики идёт рука об руку с познанием математических структур, которые должны присутствовать в точной науке. Хорошо известным примером служит классическая теория гравитации, или общая теория относительности Эйнштейна. Согласно этой теории вся наблюдаемая в настоящий момент Вселенная, в космическом масштабе, – просто решение системы определённых уравнений, так называемых уравнений Эйнштейна. Но для того, чтобы эти уравнения сформулировать, их автору пришлось разработать целый ряд аспектов неевклидовой (римановой) геометрии. При этом математическая состоятельность уравнений требует, чтобы материя подчинялась определённым законам: она не может быть распределена в пространстве произвольно, и ограничения на её поведение возникают из одной только математической корректности.

Другой замечательный пример того, как требования математики позволяют даже предсказывать физические эффекты, – теория электромагнетизма. Описывающие его уравнения носят имя Максвелла. Формулируя в середине XIX века эти уравнения, Максвелл имел целью отразить в них все известные тогда сведения об электромагнетизме. Сделав это, он увидел, что уравнения оказались математически противоречивы (приводят к равенству 1 = 0). Максвеллу пришлось модифицировать уравнения так, чтобы восстановить их корректность. И оказалось, что именно такие модифицированные уравнения допускают невероятное по тем временам явление: существование электромагнитного поля, распространяющегося сколь угодно далеко от источника, то есть электромагнитных волн! Таким образом, электромагнитные волны были предсказаны, исходя только из анализа математических уравнений. Этот эпизод из истории науки способствует восприятию мира как реализованных решений каких-то уравнений; дело лишь за тем, чтобы угадать правильные уравнения.

ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ

Вернёмся к проблеме поиска наиболее фундаментальных объектов в микромире. От кандидатов на эту должность требуется прежде всего способность объяснить единую основу всех взаимодействий в Природе. Их четыре: гравитационное (как раз то, которое описывается уравнениями Эйнштейна), электромагнитное (в той или иной степени всем знакомое), слабое и сильное (играющие существенную роль в микромире). Хорошо понято, каким образом при определённых физических условиях – на ранних этапах развития Вселенной – слабое и электромагнитное взаимодействия образовывали единое электрослабое взаимодействие. Это явление описывает теория Вайнберга – Салама, отмеченная Нобелевской премией по физике 1979 года. Мало сомнений в том, что в ещё более ранние моменты жизни Вселенной сильное взаимодействие также образовывало единую сущность вместе с двумя другими (см. «Наука и жизнь» №№ 8, 9, 1996 г.).

Мысль, что все взаимодействия имеют единую природу, представляет собой важнейший принцип, который служит организующим началом в построении фундаментальных физических теорий. Следует ожидать, что и гравитационное взаимодействие – весьма, надо сказать, непохожее на остальные – в конечном итоге должно объединиться с ними. Но здесь нас поджидает неприятный сюрприз.

Дело в том, что, когда говорят о построении фундаментальной физической теории, имеют в виду, конечно, квантовую теорию, которая описывает явления уравнениями квантовой механики. Что же касается гравитационного поля, то управляющие им уравнения Эйнштейна – классические, не квантовые. Они служат лишь приближением к истинному квантовому описанию гравитации и перестают быть верными на очень малых расстояниях и при очень больших энергиях. Собственно, похожим образом обстоит дело и с уже упоминавшимся электромагнетизмом: Максвелл вывел тоже лишь классические уравнения, само понятие квантов появилось несколько десятилетий спустя. И когда в начале XX века был открыт целый ряд противоречащих максвелловской теории субатомных явлений, уравнения электромагнетизма пришлось пересмотреть.

Процедура построения квантовой теории на базе классической называется квантованием. Квантование электромагнетизма, осуществлённое в конце 40-х – начале 50-х годов, выглядит как более или менее последовательный процесс, удачно избегнувший противоречий. Теории слабых и сильных взаимодействий вообще формулируются только как квантовые теории, поскольку описывают поведение элементарных частиц, где квантовые эффекты имеют определяющий характер.

С теорией же гравитации ситуация гораздо менее радостная, чем с электродинамикой. Несмотря на десятилетия попыток, последовательная квантовая теория гравитации так и не была построена – она неизбежно оказывалась внутренне противоречивой. Квантовые эффекты в теории гравитации существенны лишь на чрезвычайно малых расстояниях, порядка так называемой планковской длины (около 2 ∙ 10 ^– 33 сантиметра), и там с общей теорией относительности происходит что-то неладное. Сложность ситуации состоит в том, что теория гравитации описывает не просто физическое поле в пространстве-времени, но само пространство-время. Рецепт же исправления теории (не выходя за рамки теории поля) нам неизвестен, хотя пробовались всевозможные средства. Здесь на сцене и появляются струны.

СТРУНЫ

Спрямляя извивы исторического развития, перейдём прямо к описанию сути «струнной идеи». К недостаткам такого подхода можно отнести отсутствие мотивировок и «вывода» теории струн из более традиционных представлений. Однако современная теория струн достаточно фундаментальна, чтобы можно было обойтись без подобных мотивировок. Всё же, говоря о том, почему именно теория струн, а не теория частиц и полей оказывается правильной, стоит помнить о том, что построить последовательную теорию гравитации в традиционных рамках теории поля невозможно. Хотя сама по себе теория струн не имеет прямых экспериментальных подтверждений, её фундаментальный характер определяется тем, что, после многих других попыток, она одна оставляет возможность включить все известные взаимодействия в единую непротиворечивую теорию. При этом теория струн предлагает единую фундаментальную сущность взамен многих; из неё можно, в принципе, вывести все свойства нашего мира, а может быть, и узнать кое о чём за его пределами.

Вместо точечных объектов, частиц, эта теория оперирует с протяжёнными объектами – струнами. Струну действительно можно представлять себе именно как струну, то есть как бесконечно тонкую нить, которая может сворачиваться, изгибаться и колебаться. При этом сама струна ни из чего не состоит, то есть представляет собой фундаментальный объект. Струны бывают открытыми, когда у нитки есть два свободных конца, и замкнутыми, когда оба её конца соединены.

Колебания струн, как и колебания рояльной струны, могут происходить с разными частотами (гармониками), начиная с некоторой низшей, основной частоты. Из-за этого струны умеют делать гораздо больше разных вещей, чем частицы.

Обычная струна с закреплёнными концами колеблется так, что на её длине укладывается целое число полуволн. Поэтому на любой струне можно получить не одно колебание, а целый набор частот, которые называются гармониками.

Струна со свободными концами тоже способна колебаться, хотя и несколько иначе, чем закреплённая струна. В этом легко убедиться, подбросив в воздух кусок упругой стальной проволоки или металлическую линейку. Поведение такой «свободной струны» позволяет понять, как колеблются фундаментальные физические объекты – разомкнутые и замкнутые струны.

Фундаментальное значение имеет то, что на достаточном расстоянии от струны её колебания воспринимаются как частицы. Струна, колеблющаяся с некоторой комбинацией основных гармоник, порождает целый набор частиц, причём с различным спином. Пока мы не разглядываем струну вблизи, эти частицы выглядят в точности как кванты хорошо известных полей, включая гравитационное и электромагнитное. (Напомним, что в правильной – квантовой – картине частицы уже не просто кусочки вещества, а определённые состояния более общей сущности – поля.) Масса этих частиц-полей возрастает по мере увеличения частоты породивших их колебаний струны, причём все частицы-поля, кроме нескольких, имеют огромную массу.

В квантовой механике существенную роль играет так называемый принцип неопределённости. Согласно этому принципу любая попытка локализовать частицу в пределах очень малой длины сообщает этой частице очень большой импульс (количество движения). Разделив величину импульса на универсальную постоянную – скорость света, мы получим характерное значение массы. Таким образом, очень малая планковская длина соответствует очень большой массе, называемой планковской массой. Она превышает массу протона в 10¹⁹ раз. И частицы-поля высших гармоник колебаний струны имеют массу не меньше планковской.

Итак, струны, в силу своей врождённой способности колебаться с разными частотами, служат источниками пространственно-временных (то есть меняющихся во времени и в пространстве) полей. Поля, которые соответствуют низшей частоте, с точки зрения наблюдателя в пространстве-времени массы не имеют, а остальные поля (их бесконечно много, как и высших гармоник струны) оказываются, наоборот, очень массивными, «тяжёлыми», гораздо тяжелее любой известной частицы. Для появления таких сверхтяжёлых – порядка массы Планка и выше – частиц требуется энергия, которую частицы могли иметь лишь в самые ранние моменты жизни Вселенной, когда она была очень горячей (см. «Наука и жизнь», Ройзен И. И. Вселенная между мгновением и вечностью).

Среди безмассовых частиц, соответствующих самым низкочастотным колебаниям струны, имеется и квант гравитационного поля – гравитон. Тем самым струны описывают именно квантовую гравитацию, ту самую теорию, построение которой традиционными средствами не представляется возможным.

Картина примерно такова: струны имеют очень малый характерный размер, как раз порядка планковской длины, и только в этом масштабе собственно струнные эффекты начинают играть заметную роль. На достаточном же удалении от струны наблюдатель увидит только поля (например, гравитационное и электромагнитное), кванты которых и есть колебания струны. На таких относительно больших расстояниях квантование теории Эйнштейна, то есть описание гравитации в терминах квантованного поля, оказывается вполне удовлетворительным. Но по мере приближения к планковской длине квантовое обобщение теории гравитации Эйнштейна – общей теории относительности – делается внутренне противоречивым. Однако теперь мы понимаем, что описание в терминах гравитонов перестаёт быть правильным само по себе: приблизиться к струне, по принципу неопределённости, означает вступить с ней во взаимодействие, то есть дёрнуть за струну достаточно сильно. При этом она больше не будет выглядеть как точечный объект, и потребуется честный анализ поведения струны как целого, а не просто нескольких её гармоник. Таким образом, струнная идея исправляет квантовую теорию Эйнштейна как раз там, где она требовала какого-то вмешательства.

Обычная струна, колеблясь в воздухе, порождает звук. На большом расстоянии от источника невозможно сказать, что породило звуковую волну: струна или, например, колебание столба воздуха в свистке. С точки зрения квантовой механики любая волна одновременно ещё и частица. Звуковую волну можно рассматривать как поток квантов звука – фононов, подобных фотонам, квантам электромагнитного излучения. Колебания фундаментальных струн тоже квантованы: на некотором расстоянии от струны её колебание воспринимается как выброшенная струной элементарная частица. Однако по самой частице тоже нельзя сказать ничего определённого о породившем её источнике.

Частица, двигаясь в пространстве-времени, вычерчивает линию. Струна при движении «рисует» некую, порой довольно причудливую поверхность, называемую «мировым листом».

Как уже говорилось, теория Эйнштейна описывает не просто поле в пространстве-времени, но, в силу специфических свойств гравитации, также и само пространство-время. Так, например, в зависимости от того, насколько сильно среднее гравитационное поле во Вселенной, наша Вселенная может быть открыта или замкнута. Коль скоро теория струн «содержит» теорию гравитации, струны также способны определять характер того пространства-времени, где они распространяются. Это обстоятельство окажется очень существенным, когда мы будем обсуждать теории Калуцы – Клейна.

Предстоит ещё, правда, выяснить: непротиворечиво ли в свою очередь само струнное описание? Другими словами, оказывается ли струнное исправление теории гравитации Эйнштейна математически последовательным?

Ответ на этот вопрос не лишён изящества: теорию струны нужно строить весьма специальным способом, и только тогда удаётся получить последовательную и непротиворечивую теорию. Мы снова встречаемся здесь с общей ситуацией, которую можно охарактеризовать так: природа не терпит произвола. Правильная универсальная теория весьма строго определена (а в окончательном варианте вообще единственна), и все элементы произвола должны исключаться по мере разработки теории. Правильная теория как бы сама знает про себя всё и полностью определяет, в частности, условия для своего существования.

Какие же основные параметры, ничем, на первый взгляд, не регламентированные, в действительности определяются из требования непротиворечивости теории струн? Имеется последовательность всё более тонких условий, применение которых в конце концов радикально сужает возможный выбор непротиворечивой теории. Эти условия мы сейчас и обсудим.

При взаимодействии открытые струны могут соединяться своими концами, а замкнутые – «лопаться», сливаться и взаимодействовать с открытыми струнами.

Рисуя мировой лист, описывающий эволюцию замкнутой струны, можно получить фигуру, именуемую «штанами» (pants). При этом указать точно, когда струна разделилась на две, невозможно. Наблюдатели в разных системах отсчёта увидят, что это произошло в разные моменты времени t1 и t2 . Из-за этой «размытости» взаимодействия струны избавлены от многих противоречий, содержащихся в теории частиц – объектов точечных.

Из «штанов» собираются более сложные двумерные поверхности. Закрыв вырезанный кусок мирового листа «шапкой», можно из двух «штанов» построить тор, «крендель» и многие другие фигуры. Существует математическая теорема, гласящая, что любую двумерную поверхность можно построить, соединив друг с другом несколько «штанов».

Некоторые неприятности, приводящие к математической непоследовательности теории струн, связаны с наличием так называемых «головастиков» – поверхностей с очень длинной и тонкой «шеей». Роль суперсимметрии состоит, в частности, в том, чтобы запретить появление наиболее противных головастиков.

ВЫСОКОМЕРНЫЕ СТРУНЫ

К парадоксальным свойствам теории струн относится то, что их квантовое описание довольно быстро приходит к внутреннему противоречию, если только размерность пространства-времени не равна 26. То есть, теория струн справедлива для какого-то мира, где есть 26 независимых осей пространства и времени. Этот несколько обескураживающий факт, казалось бы, делает теорию полностью нефизичной, отводя ей роль математически элегантной, но совершенно абстрактной модели, скорее из разряда курьёзов. Мы ведь несомненно живём в четырёхмерном пространстве-времени, в котором есть только три пространственных и одно временное измерение, и решительно не в состоянии увидеть ничего похожего на 26-мерный мир!

Вспомним, однако, что наши наблюдения, включая и те, которые осуществляются с помощью гигантских современных ускорителей, относятся к масштабам длин, намного превосходящим типичный струнный размер, то есть планковскую длину. Вот если бы с помощью сверхгигантского ускорителя мы могли смоделировать очень ранние моменты жизни Вселенной, то тогда ускоренные до фантастической энергии частицы вдруг почувствовали бы эти лишние измерения и могли бы «проскользнуть» в них. Масса ускоренных частиц, возрастающая из-за скорости, как раз достигла бы тогда планковской массы – примерно массы «тяжёлых», наиболее высокочастотных гармоник струны. А это как раз и означало бы, что мы должны рассматривать струну как целое, а не только её первые, «легкие», гармоники.

И все же, если лишние измерения существуют, нельзя ли хоть как-то убедиться в их присутствии? Коль скоро при доступных нам энергиях мы не можем непосредственно заглянуть в скрытые измерения, следует внимательно оглядеть наблюдаемый мир в поисках следов, оставленных скрытыми измерениями. Такие следы действительно есть, и речь о них пойдёт ниже, а пока продолжим знакомство со струной. Забегая немного вперёд, скажем, что это ещё не суперструна, обещанная в заглавии, а более простая, так называемая бозонная струна.

При распространении в пространстве-времени (пока, как требует теория, – в двадцатишестимерном) струна, объект одномерный, рисует некую поверхность, называемую мировой поверхностью, или мировым листом (аналогично тому, как частица – нуль-мерный объект – вычерчивает мировую линию). Мировой лист замкнутой струны может быть или сферой, или тором, или более замысловатой поверхностью типа кренделя. Для определённого вида струн имеются и более экзотические возможности, например бутылка Клейна – неориентируемая замкнутая поверхность, в определённом смысле аналог листа Мёбиуса.

Двумерная поверхность мирового листа сама по себе служит ареной, на которой нечто может происходить. На ней, в частности, могут жить двумерные, непосредственно не наблюдаемые, поля. Для них мировой лист струны будет своей Вселенной. Свойства струны в сильной степени зависят от того, какие именно поля поселены на её мировом листе. Точнее, пока сама струна обитает в двадцатишестимерии, на её мировом листе ничего не живёт и мы имеем именно «наивную», голую струну. Но если на мировой поверхности струны поселить некоторые новые поля, может оказаться, что струна «научится» жить и в пространстве меньшей размерности. Степени свободы этих новых двумерных полей в определённом смысле играют роль недостающих пространственных размерностей и тем самым эффективно восстанавливают 26-мерие.

Но условия непротиворечивости теории струн не ограничиваются предоставлением о струне 26-мерного пространства или вселением дополнительных двумерных «существ» на её мировой лист. Как уже упоминалось, различные гармоники колеблющейся струны воспринимаются наблюдателем как частицы, и низшие гармоники должны соответствовать безмассовым частицам. Однако с бозонной струной случилась весьма неприятная история: первая, самая низкочастотная её гармоника воспринимается в пространстве-времени как частица мнимой массы. Такие гипотетические частицы называют тахионами; они имеют дурную славу за то, что им полагается двигаться со скоростью больше скорости света. Появление таких частиц в математическом аппарате конкретной физической системы, в данном случае струны, означает её нестабильность: тахионы немедленно забирают из системы всю энергию и улетают неизвестно куда. Тахионы сигнализируют, что состояние системы, в котором они могут возникнуть, нестабильно и распадается на какие-то состояния, лишённые тахионов.

Теория самых простых, бозонных, струн, таким образом, оказывается нестабильной и, значит, должна перестраиваться в более устойчивые образования. И действительно, существует вариант теории струн, свободный от тахионной нестабильности. Такие струны основаны на суперсимметрии, к которой мы сейчас и переходим.

БОЗОНЫ, ФЕРМИОНЫ, И СУПЕРСИММЕТРИЯ

Все «элементарные» частицы делятся на два класса – бозоны и фермионы, которые радикально отличаются по своим свойствам. Бозоны могут собираться вместе, буквально сидя друг на друге, а каждый фермион непременно должен быть единственной среди себе подобных частиц, находящихся в данном состоянии. К бозонам принадлежат, например, фотон и гравитон, а к фермионам – электрон. Различия в физическом поведении двух классов частиц требуют для своего количественного описания определённого расширения традиционной математики. Переменные, с которыми оперирует «обычная» математика (например, координата частицы), могут принимать обычные числовые значения, что и определяет правила (обычные!) действия с этими переменными. Но последовательное описание фермионов требует введения новых переменных. Фермионные переменные не могут принимать никаких числовых значений, кроме нуля, но при этом не равны нулю(!) и обладают ещё одним парадоксальным свойством: при перестановке двух фермионных сомножителей их произведение меняет знак. Таким образом, произведение зависит от порядка следования сомножителей. Обычные же, не фермионные переменные называются бозонными. Каждый тип переменных нужен для описания соответствующих частиц и полей.

Фермионы и бозоны могут сосуществовать в одной и той же физической системе. Может случиться при этом, что такая система будет обладать особым видом симметрии – так называемой суперсимметрией, отображающей бозоны в фермионы и наоборот. Для этого, конечно, требуется равное количество бозонов и фермионов, но условия существования суперсимметрии этим не ограничиваются. Проверить наличие суперсимметрии в данной системе бывает очень непросто, и вообще, описание суперсимметричных систем в терминах обычного пространства-времени – дело нелёгкое. Это происходит потому, что суперсимметричные системы на самом деле живут в суперпространстве. Суперпространство получается из обычного пространства-времени, когда к нему добавляются фермионные координаты. В суперпространственной формулировке преобразования суперсимметрии выглядят похожими на вращения и сдвиги в обычном пространстве. А живущие в нём частицы и поля представляются набором частиц или полей в обычном пространстве, причём таким набором, в котором строго фиксировано количественное соотношение бозонов и фермионов, равно как и некоторые их характеристики (в первую очередь спины). Входящие в такой набор частицы-поля называются суперпартнёрами.

Суперпространства, несмотря на целый ряд необычных свойств (или скорее благодаря им), обладают интересной геометрией. Геометрические свойства суперпространств таковы, что живущие в них квантовые теории не могут слишком многого себе позволить, и, как следствие, ряд проблем, возникающих при квантовании чисто бозонных или чисто фермионных теорий, не возникают в суперпространстве. А если и возникают, то носят гораздо более контролируемый характер. Это происходит оттого, что суперпартнёры «кооперируются» и замечательным образом сглаживают «недостатки» друг друга.

Именно суперсимметрия приходит на выручку бозонной струне, поражённой нестабильностью. Суперсимметричная струна обладает рядом уникальных свойств, которые делают её мостом к наиболее фундаментальному описанию как нашего Мира, так и, возможно, неких других миров за его пределами.

Элементарные частицы по своим физическим свойствам делятся на две группы – бозоны и фермионы. К бозонам относятся фотоны, некоторые, например Не-4, молекулы газов. Бозоны неразличимы, они проявляют склонность собираться вместе без ограничения числа частиц. В группу фермионов входят, в частности, нейтроны и протоны; электроны, нейтрино и другие частицы, именуемые лептонами. Все они подчиняются фундаментальному принципу Паули, который запрещает двум фермионам находиться в одном, и том же состоянии.

Электроны, будучи фермионами, подчиняются принципу Паули и «не имеют права» находиться на одной орбите в одном и том же состоянии. Они распределяются по разным орбитам, и число электронов на самой верхней орбите атома элемента определяет его химические свойства. Если бы электроны были бозонами, то во всех атомах они сидели бы вместе на самой нижней орбите и химические свойства элементов были бы одинаковыми.

Фермионные переменные Q – важный и совершенно непривычный для нас элемент теории струн. Эти переменные не числа, они могут принимать только нулевые значения. Неточной аналогией этому свойству может служить система координат, в которой числовую ось x пересекает ось фермионных переменных y. Фермионные переменные могут принимать любые значения, но наблюдатель, «живущий» на оси x, будет видеть переменную Q только в точке 0. Отличие фермионных переменных от бозонных заключается в том, что в известном смысле их ось бесконечно коротка, но не равна при этом нулю. С фермионными переменными можно производить далеко не все математические операции, применимые к обычным числам. Их можно, например, перемножать, но делить на них нельзя. Поэтому из равенства Q · Q = 0, справедливого для всякой фермионной переменной, не следует, что Q = 0.

Конец первой части. Продолжение в Часть II.