0. Введение

Если спросить человека, далёкого от науки, об истинности математических теорем, то скорее всего он скажет, что они абсолютно истинны. Напротив, многие высказывания, опубликованные людьми науки на эту тему, утверждают невозможность определённого ответа на этот вопрос. Причиной такого разногласия является прежде всего различие взглядов на природу математических понятий, откуда вытекает и различное понимание истинности математических теорем. С другой стороны, понятие истинности теорем является метаматематическим и потому до тех пор, пока соответствующий раздел метаматематики не был формализован и тем самым превращён в часть математики, обсуждение этого вопроса могло носить только философский характер. Однако, если выбор философской концепции, в основном - дело вкуса, то от математики требуется определённая объективность решений.

Насколько актуален вопрос об истинности математических теорем в наше время, когда человечеством накоплен большой опыт, подтверждающий, с одной стороны, стабильность математических знаний, а с другой стороны - неизменную успешность применения математики в самых разнообразных областях науки и техники? Как это ни покажется странным, в свете внутреннего развития математики этот вопрос приобрёл ныне особую значимость в связи с произошедшим в последнее время изменением трактовки некоторых важных математических и метаматематических понятий.

Начиная с древности и до последнего времени существуют учёные, которые считают математику естественной наукой, предназначенной для изучения свойств реального мира, и критерием истинности математических утверждений полагают их соответствие «реальным фактам». Последнее и является главной причиной их пессимизма, поскольку вопрос об адекватности математических моделей реальным ситуациям всегда будет находиться за пределами математики и, более того, - за пределами достоверных знаний. В то же время математика отличается от других наук абстрактным характером и идеальностью своих понятий, что даёт основание считать её теоремы абсолютно истинными.

Целью настоящей работы является по возможности объективный ответ на вопрос об истинности математических теорем, для чего необходимо уточнить само понятие истинности в математике. Это мы постараемся сделать в п.6, но прежде необходимо рассмотреть эволюцию некоторых математических понятий.

Математика, как и всякая наука, представляет собой систему понятий и утверждений (предложений, теорем, формул) в определенном языке. Однако, в отличие от всех остальных наук, семантика математического языка не является фрагментом реального мира, но является элементом самой математики. Поэтому можно сказать, что математика является наукой, замкнутой в самой себе. При всём том значительная часть математики используется для решения задач, возникающих при изучении реального мира, что дало основание считать математику естественной наукой.

Вопрос об истинности математических теорем зависит прежде всего от взгляда на природу самой математики, а также от понятия доказательства и некоторых других математических и метаматематических понятий. На эти понятия в научной и философской среде существуют разные точки зрения. 20-й век явился переломным в трактовке многих математических и философских вопросов в математике, хотя бы потому, что значительная часть метаматематики была математизирована и такие понятия, как доказательство и логика, используемая для его построения, приобрели вполне определённый формальный смысл. Эти достижения позволяют нам взглянуть на вопрос об истинности математических утверждений с совершенно новых позиций. При этом надо сказать, что пессимистические высказывания в адрес математики появились в основном в конце 19-го начале 20-го веков, когда обнаруженные антиномии в традиционно построенной теории множеств поколебали веру в непогрешимость математической интуиции.

С античных времен существуют различные взгляды на природу и назначение математики. В соответствии с отношением к реальному миру их можно разделить на два вида, которые мы условно назовем прагматическим и идеальным. С прагматической точки зрения математика является естественной наукой, служащей для познания закономерностей материального мира и черпающей из него свои понятия и задачи, причём последним критерием истинности математических постулатов и теорем считается их соответствие каким-либо реальным аналогам. Однако, по самой природе естественнонаучного знания, не существует возможности установить или опровергнуть наличие такого соответствия, во-первых, потому, что все естественнонаучные знания имеют индуктивный характер, и во-вторых, потому, что мы не можем гарантировать адекватного истолкования наших наблюдений и экспериментов. Кроме того, математический язык настолько универсален, что пригоден для описания многих виртуальных миров, в частности, несовместимых с «реальным». Поэтому говорить о каком-то особом соответствии математического языка именно реальному миру необоснованно. Существуют и другие трудности сопоставления математических закономерностей реальным фактам, о чём будет сказано в дальнейшем.

С идеальной точки зрения математика является независимой наукой, развивающейся по своим собственным закономерностям и непосредственно с материальным миром не связанной. Здесь, правда, возникает вопрос о причинах успешной применимости математических теорем к реальному миру, на который можно дать различные ответы. С античных времен и вплоть до 19-го века была широко распространена точка зрения, согласно которой мир был создан в соответствии с математическими законами, познавая которые, мы познаём и свойства реального мира. В книге [Кла], по этому поводу сказано следующее: «В трудах Коперника, Кеплера, Декарта, Галилея и Паскаля было доказано, что некоторые явления природы протекают в соответствии с математическими законами. Все эти ученые не только были глубоко убеждены в том, что Бог сотворил Вселенную по математическому плану, но и утверждали, что математическое мышление человека согласуется с божественными предначертаниями и потому пригодно для расшифровки этого плана». В новое время такое объяснение стало недостаточным, но никакой более подходящей альтернативы предложено не было. Мы вернёмся к этому вопросу в п.5.

В настоящей статье предлагается определенный взгляд на понятие истинности в (мета)математике и рассматривается вопрос о возможности убедительного доказательства истинности математических теорем. Несмотря на то, что в научной среде обычно преобладает прагматический подход к математике, всегда существует и идеальная точка зрения на математику, без которой математика превратилась бы в теоретические разделы различных естественных наук. Именно благодаря абстрактной математике человечество получило универсальный аппарат изучения самых различных явлений реального мира (см., напр. [К,У], [Виг]). Иногда говорят о существовании двух математик – теоретической и прикладной, однако правильнее было бы считать прикладные задачи специальным видом семантики для математических теорий, поскольку отделить прикладную математику от теоретической невозможно.

1. Небольшой исторический экскурс

Наиболее отчётливо различие во взглядах на природу математики проявилось у Платона (4 в. до Р.Х.) и его ученика Аристотеля. Первый, в соответствии со своей философской концепцией считал, что математика принадлежит миру чистых идей и потому её истины, как идеальные, абсолютны и неизменны. Напротив, приложения её к несовершенному миру вещей условны и преходящи, и в то же время постигнуть свойства вещественного мира можно только с помощью идеальной математики. Аристотель явно стоял на прагматическом отношении к математике, отводя ей роль вспомогательного инструмента для физики, которая строится на основании чувственного опыта. В дальнейшей истории науки эти две точки зрения постоянно сохранялись и сохранились до настоящего времени, изменяясь только в соответствии с изменением взглядов на такие понятия, как логика, доказательство, реальный мир и др.

Естественно, что и взгляды на понятие истинности математических теорем с этих точек зрения могут быть различными. Как уже было сказано, некоторые приверженцы прагматической точки зрения считают, что критерием истинности математического предложения является соответствие его описываемым им фактам вещественного мира, т.е. результатам наших наблюдений и экспериментов. Несостоятельность такого критерия в наше время достаточно очевидна, позднее мы скажем об этом ещё несколько слов. Что касается идеальной точки зрения, то здесь вопрос об истинности математических теорем приобрёл в новое время в значительной мере формальный характер, о чём речь будет идти в дальнейшем.

Основные принципы построения математики были явно провозглашены еще в античности. Аристотель определённо заявил о необходимости дедуктивного построения математических доказательств. При этом он считал, что истинность аксиом устанавливается безошибочной интуицией, а не опытом, который всегда имеет индуктивный характер, и шаги дедукции также определяются интуицией. В то же время он сформулировал некоторые логические принципы, которые следовало применять при построении доказательств. Можно считать это началом сознательного замещения интуитивной очевидности логическими заключениями. Этот процесс затянулся более, чем на два тысячелетия и принёс первые плоды только в новое время и в узком круге математических теорий, в то время как подавляющее большинство других математических теорий по-прежнему строится на интуитивной основе, но об этом – ниже. Позднее Евклид (3-й век до Р.Х.) описал аксиоматику геометрии, которая долгое время служила образцом для построения аксиоматических теорий, хотя с современной точки зрения она таковой не является. Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. В наше время, несмотря на появление формальных понятий логики и доказательства, подавляющее большинство доказательств строится на интуитивной основе. Поэтому вопрос о природе и роли интуиции в математике нуждается в специальном рассмотрении.

Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [Кла], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно). Сугубо прагматический подход соединяется в ней с крайне отрицательным отношением к «чистой» математике. Хорошо известно, что многие важные разделы математики зарождались в связи с потребностью решения прикладных задач, однако подавляющее большинство задач не могло бы быть решено без соответствующего развития абстрактной математики. Приверженцы прагматического подхода к математике основывают свою точку зрения на первом факте, хотя, строго говоря, он ничего не говорит в их пользу. В действительности процесс развития математики более правильно описывает следующее высказывание из работы [Мев], опубликованной ещё в 1913 году: «…хотя математика возникает как средство для естествознания, но при своем развитии математический интерес получает для нас самостоятельное значение. … Перейдя за пределы простого средства, математика начинает развиваться совершенно свободно, под влиянием одних внутренних потребностей. Тогда никакие посторонние соображения уже не могут влиять на развитие математики и математика становится вполне автономной… Критерием ценности всех математических теорий становится уже не приносимая ими польза для познания внешнего мира, а лишь внутренняя стройность, красота и порядок, достигаемые при их помощи в нашем собственном сознании».

2. Построение фундамента для математики в 20-м веке

Вопрос о построении прочного фундамента математики, хотя и ставился некоторыми математиками в 19-м веке и ранее, но настоящую остроту он приобрёл после обнаружения противоречий в канторовской теории множеств, поскольку на неё возлагалась основная надежда построения основания для всей математики. Причиной такой надежды явилось то обстоятельство, что, с одной стороны, теория множеств основана на интуитивно очень простом и ясном понятии множества, более простом, чем понятие числа, и с другой стороны, в ней выразимы основные понятия Арифметики и Анализа, так что построив их модели в теории множеств, можно было бы доказать их непротиворечивость в случае надёжной непротиворечивости теории множеств. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены противоречия (обычно называемые парадоксами).

Наиболее простое из них – так называемый парадокс Рассела состоит в следующем. Все множества можно разделить на два вида: множества, содержащие самого себя в качестве своего элемента и множества, не содержащие себя в качестве элемента. Нетрудно привести примеры тех и других. Рассмотрим теперь множество Р всех множеств второго вида и поставим вопрос, какому виду оно принадлежит. (Оно должно принадлежать одному из этих видов, поскольку они исчерпывают все множества). Предположим, что множество Р принадлежит первому виду, т.е Р∈Р. Тогда, поскольку Р состоит только из множеств второго вида, то Р∉Р, т.е. Р∈Р ⇒ Р∉Р (1). Предположим теперь, что множество Р – второго вида, т.е. Р∉Р. Тогда Р должно быть множеством первого типа, т.е. Р∈Р. Итак, получили: Р∉Р ⇒ Р∈Р (2). Из (1) и (2) получаем: Р∈Р & Р∉Р – противоречие.

В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута.

Другие попытки решения вопроса об основаниях математики происходили в основном с трёх разных позиций или направлений, которые получили названия интуиционизма, логицизма и формализма. Схематически эти направления можно охарактеризовать следующим образом.

Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл». Для реализации этой идеи интуиционисты предложили рассматривать только такие объекты, для которых имеется потенциально осуществимая процедура их построения. Они получили название конструктивных объектов. Чтобы не выйти за рамки конструктивных объектов, интуиционистам пришлось сузить и логику, отказавшись от закона исключённого третьего. Путём сужения допустимых понятий интуиционисты рассчитывали достичь надёжной истинности математических теорем, а тем самым и непротиворечивости такой математики. Однако этот расчёт не оправдался, во-первых, потому, что вместо ясности интуиционистские понятия и теоремы оказались в большинстве случаев сложнее классических аналогов и тяжелее воспринимаемыми человеческой интуицией, чем последние. Во-вторых, надежда на очевидную непротиворечивость конструктивной математики не оправдалась: как показали дальнейшие исследования, к ней сводится непротиворечивость классической математики (см. например, [Kли]). Кроме того, исключение из математики всех понятий, неподдающихся конструктивному определению, и, в частности, понятия актуальной бесконечности, привело к ликвидации важнейших достижений классической математики. По этому поводу вполне резонны высказывания Д.Гильберта, сделанные в 1927г.: «…закон исключённого третьего ни в малейшей степени не повинен в появлении известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории доказательства исключаются сами собою. … Отнять у математиков закон исключенного третьего – это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксёру пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключённого третьего почти равносильно полному отказу от математической науки. Действительно, какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны без применения ε-аксиомы интуиционистами, по сравнению с могущественным размахом современной математики!»[1]. Всё это естественно воспрепятствовало интуиционизму стать фундаментом всей математики. Главной причиной этой неудачи является, на наш взгляд, наложение на идеальные математические понятия искусственных ограничений, основанных на философских соображениях. Претензия интуиционистов на исключительную истинность своих воззрений и требование строить всю математику только на конструктивной основе послужили определённой изоляции этого направления от основной математики, хотя в некоторых её разделах (и в особенности – в метаматематике) использование конструктивного подхода вполне оправдано и иногда даже необходимо. Фактически гильбертовское понятие финитности есть не что иное, как одна из форм конструктивности. В своем развитии интуиционизм пошёл по пути формализма и, можно сказать, стал тенью классической математики, отбрасываемой на неровную поверхность. Детальная критика интуиционизма содержится в книге [Бун].

Логицизм возник на грани 19-20-го веков в связи с построением математической логики. Его основатели – Г.Фреге и Б.Рассел надеялись всю математику «вывести» из логики. Вот как характеризуется эта идея в книге [Кла]: «В начале ХХ в. Рассел, как и Фреге. надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными – и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена». Для этого необходимо было определить основные математические понятия в рамках чистой логики и тогда все математические теоремы будут получаться как логические следствия. Фреге, как ему казалось, определил таким образом натуральные числа, к которым сводятся многие математические понятия, и построил для них арифметику. Б.Рассел, хотя и обнаружил в этой арифметике противоречие, однако продолжил попытку реализовать идею логицизма.

Несостоятельность этой идеи стала практически общепризнанной после неудачи всех попыток её реализации и осознания содержания и свойств логики. Фактически в основе логицизма лежит слишком широкое понимание логики. Тот факт, что в языке логики предикатов выразимы при определённой интерпретации многие математические понятия, ещё не означает, что эти понятия со всеми своими свойствами принадлежат логике. Согласно общепринятому определению логики, сформулированному ещё Лейбницем, с которым Рассел – один из главных творцов логицизма - был согласен, логика – это то, что истинно во всех мирах. Это означает, что логика не содержит никаких фактических истин, относящихся к какому-либо конкретному миру. Совершенно ясно, что математические истины таким свойством не обладают, хотя бы потому, что существуют противоречащие друг другу теории. Такое понимание логики не позволяет включать в неё конкретные отношения, даже если они определяются логическими средствами. Однако логицисты считали логическим всё то, что им удалось выразить в языке логики предикатов. Вот мнение Д.Гильберта о таком подходе: «Математика, как и любая другая наука, не может быть основана только на логике; наоборот, в качестве предварительного условия для применения логических умозаключений и приведения в действие логических операций нам в нашем представлении уже должно быть дано нечто, а именно – определённые внелогические конкретные объекты, которые существуют наглядно, в качестве непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.»

Надо, однако, сказать, что окончательно вопрос о границах логики ещё не решен, но если говорить о принятой в современной математике классической логике предикатов первой ступени, то в силу её полноты, в рамках данного языка ни о каком расширении её речи быть не может. Что касается логики предикатов более высоких ступеней, то они не являются рекурсивно аксиоматизируемыми, и кроме того, недостаточно изучены. Поскольку позиции логицистов не были очерчены достаточно чётко, то варианты логицизма обсуждаются до последнего времени.

Формализм (или формальное направление в математике) представляет собой развитие древней идеи полной аксиоматизации математики, в модернизированном виде изложенную в так называемой «программе Гильберта». Несмотря на то, что на поверхностный взгляд программа Гильберта была опровергнута результатами Гёделя, она фактически (с некоторыми поправками) стала главным подходом к основаниям математики. Поэтому рассмотрим её более подробно.

Программа Гильберта. Гильберт, пожалуй, был первым математиком, который провозгласил законность любой математической теории, для которой доказана её непротиворечивость, невзирая на возможность её содержательной интерпретации. В наше время такое утверждение не вызывает возражений, но ещё в начале 20-го века господствовала другая точка зрения, согласно которой математические понятия и теоремы с самого начала должны иметь содержательный смысл в виде аналогов в реальном мире или, точнее говоря, среди человеческих представлений о нём. Поэтому гильбертовская идеология вызвала неприятие со стороны прагматически настроенных коллег.

Уже древние греки хорошо понимали роль дедуктивного подхода к математике и значение четких логических правил для построения дедуктивных цепочек. Об этом свидетельствуют попытка Аристотеля описать такие правила, а также попытки Евклида и его предшественников аксиоматизировать математику. Однако в то время и долгое время спустя не было просто технических возможностей для формализации логики, а следовательно и математики. Само понятие логики не могло быть точно определено, поскольку для этого требуется чёткое разделение синтаксиса, как средства воплощения внешней формы теории, и семантики, как возможного содержания теории. Всё это стало ясным только в 20-м веке (хотя подобные идеи высказывал уже Лейбниц, 1646 - 1716). Начало систематического построения математической логики и, в частности, её языка положили Д.Буль (1815 – 1864), Г.Ф.Л.Фреге (1848 – 1925), Д.Пеано (1858 – 1932), Э.Ф.Ф.Цермело (1871- 1953). Современная форма математической логики в виде аксиоматизированной теории была выработана в основном благодаря работам Рассела и Уайтхеда, и в особенности Гильберта и Бернайса. Несколько позднее было разработано общее понятие формальной системы, частным случаем которой является аксиоматическая (или аксиоматизированная) теория. После того, как в «наивной» т.е. интуитивно построенной Г.Кантором (1845 – 1918) теории множеств были обнаружены противоречия, главной задачей в основаниях математики стало создание таких методов построения математических теорий, которые гарантировали бы их непротиворечивость. Интуиционизм фактически не давал и не мог дать никаких гарантий непротиворечивости математики, несмотря на сужение класса объектов и логики, поскольку не вносил принципиальных изменений в методы доказательства. Осуществимость логицистского подхода с самого начала была весьма проблематична и остановилась на уровне идей. Жизнеспособным и даже единственным путем дальнейшего развития математики явился путь, намеченный Д.Гильбертом в его «программе». Хотя в то время в сознании математиков синтаксис математического языка был неотделим от содержания, Гильберт фактически предложил строить именно синтаксическую компоненту теории по чисто формальным правилам в виде аксиоматического исчисления, и формально же доказав его непротиворечивость, должным образом интерпретировать нужные теоремы. Разумеется, он понимал, что доказательство непротиворечивости теории её же средствами не имеет смысла, и поэтому он предполагал доказывать непротиворечивость «финитными» средствами, гарантирующими отсутствие противоречий. Точного понятия финитности он не дал, но судя по отдельным примерам, - это некоторая достаточно сильная форма конструктивности. Для того времени эта идея Гильберта была слишком необычной и вызвала критику многих его коллег, обвинивших его в «игре формулами». Однако дальнейшее развитие оснований математики пошло именно по этому пути, несмотря на то, что Гёделем были доказаны такие отрицательные свойства достаточно богатых формальных теорий, как неполнота и несуществование в непротиворечивой теории доказательства её непротиворечивости (впрочем, это относится только к теориям в языке первой ступени – см. п.4).

Очень важной для развития математики оказалась сама идея отделения синтаксиса от семантики. Кроме того, гильбертовский подход привёл к появлению математизированной метаматематики (подробнее – в п.4).

3. Об интуиции в математике

Вопросу о роли интуиции в науке, и в частности, в математике посвящено много работ (см. например, [Aсм], [Бун]) преимущественно философского характера. Ввиду большого разнообразия философских взглядов многие работы только запутывают главный вопрос о природе интуиции. Заметим сразу, что нас интересует только разновидность интуиции, которую принято называть «интеллектуальной», каковой является и математическая интуиция. Поэтому в дальнейшем слово «интеллектуальная» мы опускаем.

Следует сказать, что до 20-го века, в котором была создана математическая логика и появилась возможность построения чисто логических доказательств, интуиция считалась законным средством доказательства. Более того, Декарт, Паскаль и другие математики того времени говорили о ненадёжности логических доказательств по сравнению с интуитивным прозрением. Очень чётко такой взгляд на интуицию сформулировал Декарт в своих «Правилах для руководства ума» [Дек], где он пишет: «Под интуицией я разумею не веру в шаткое свидетельство чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, но понятие ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы мыслим, или, что одно и то же, прочное понятие ясного и внимательного ума, порождаемое лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция…». Надо сказать, что подобной точки зрения на интуицию вплоть до 20-го века придерживались все математики, несмотря на различие их философских концепций. Такое единство взглядов, а главное то, что интуитивно доказанные теоремы сохраняют свою правильность и в наше время, свидетельствует об объективной основе интуиции. После обнаружения противоречий в интуитивно построенной теории множеств отношение к понятию интуиции существенно изменилось и формально математическое доказательство стало считаться правильным, если оно построено только по логическим законам. Однако фактически понятие доказательства в содержательной (т.е. неформализованной) математике осталось прежним, а именно, оно строится иногда со ссылками на логику, но большей частью шаги дедуктивной цепочки обосновываются интуитивной очевидностью. При этом критерием объективности (а потому и правильности) такого доказательства служит апробация коллективом других математиков. Таким образом, по-прежнему в основе неформального понятия доказательства лежит интуиция, объективность которой обосновывается путём апелляции к определенному коллективу людей. Этот, на первый взгляд субъективный критерий, действовал во все времена и дал миру необозримое множество математических теорем, истинность которых, в отличие от достижений эмпирических наук, не подвержена влиянию времени: теоремы, доказанные в древности, верны и в наше время. Поэтому естественно предположить, что этот факт имеет объективную причину, которая заключается в способности человеческого разума непосредственно усматривать определенные истины (по крайней мере, - логические).

Отсутствие вплоть до 20-го века какого-либо полного описания логики, а потому и общепринятого понятия доказательства не помешало строить в подавляющем большинстве случаев логически правильные доказательства. Если приведенное выше высказывание Декарта выражало мнение всех его современников и предшественников, то в наше время ситуация изменилась в связи с появлением нового раздела математики, посвящённого основаниям математики и включающего в себя основные метаматематические понятия. Появлению этого раздела сопутствовало создание формальной математической логики и общих понятий формальной теории и формального доказательства. В связи с этим изменились требования и к неформальным доказательствам: теперь от них требуется, чтобы каждый шаг дедукции мог быть осуществлен по правилам математической логики. Нельзя сказать, что это требование выполняется во всей математике, однако в теориях, связанных с основаниями математики, такое условие необходимо. Возникает вопрос: всякое ли интуитивно построенное доказательство может быть преобразовано в формально-логическое? Поскольку интуитивные доказательства так же, как и формальные, строятся в виде дедуктивных цепочек, то можно говорить о некоей логике интуитивных доказательств – интуитивной или содержательной логике. Поставленный вопрос может быть решён положительно, если установить равносильность содержательной и формальной логик. В наше время на основании опыта построения формальных теорий принято считать, что содержательная логика отличается от формальной только наличием укрупнённых правил, которым соответствуют производные (т.е. доказуемые) формальные правила. Это означает, что для всякого содержательного доказательства существует эквивалентный формальный аналог, построенный в рамках классической логики предикатов и являющийся восполнением интуитивного доказательства. Принятие этого утверждения в качестве рабочего тезиса не менее оправдано, чем принятие тезиса Чёрча[2] для вычислимых функций [Кли]. Фактически, этот тезис уже принят в современной математике и называется иногда «тезисом Гильберта»(см., напр.,[Бар], с.49).

Если обратиться к истории не только математики, но и науки вообще, то легко убедиться в том, что большинство кардинальных научных открытий произошло путём неожиданных «прозрений», т.е. интуитивно, а не путём логических умозаключений. Сам термин «интуиция», обозначающий в переводе на русский язык «усмотрение» или «видение», т.е. непосредственное восприятие объекта, даёт основание утверждать существование у человека определённой способности «интеллектуального умозрения», наподобие чувственного зрения. Об этом же свидетельствует вся история попыток «научить» вычислительные машины доказывать математические теоремы хотя бы на уровне человека. Большое число самых разных программ не дало ожидаемых результатов, и как теперь стало ясно, формальный подход не может их дать ввиду чрезвычайной сложности задачи, заведомо недоступной для сколь угодно мощной техники (даже в далёкой перспективе). Этот факт вынуждает нас признать наличие у человека особой способности восприятия логических истин, отличной от обычного логического мышления. Эта способность, в силу её принципиальной неформализуемости, не может быть смоделирована в автоматах, и потому любой искусственный интеллект будет ущербен по сравнению с человеческим интеллектом. Поэтому интуиция никогда не потеряет своего значения как важный инструмент познания.

Определённый взгляд на значение интуиции в математике связан с интуиционизмом, о котором шла речь в предыдущем пункте.

4. Основания математики – современное состояние

Сначала заметим, что «современное состояние» оснований математики сложилось фактически в середине 20-го века и с тех пор основные концепции практически не изменились, несмотря на получение множества частных результатов. Это отнюдь не означает, что данная проблематика исчерпана или зашла в тупик. Поскольку вопрос обоснования математики является пограничным между философией и математикой (принадлежит метаматематике – в терминологии Гильберта), то его разрешение должно состоять в выработке общепризнанной концепции, возможно синтезированной из разных направлений.

К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:

• Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.

• Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.

• Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.

• Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции.

• Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами.

Перечисленные достижения потребовали осознания и уточнения многих важных математических и метаматематических понятий таких, как язык, синтаксис и семантика математических теорий и др. Всё это позволило взглянуть на проблему оснований математики с новых позиций по сравнению с предшествующими временами. Чтобы судить о надежности такого фундамента, необходимо более подробно рассмотреть основные понятия.

4.1. Язык.[3] В естественных языках синтаксис и семантика находятся в неразрывном единстве, что и образует собственно язык. В математике оказалось удобным под формальным языком понимать только его синтаксическую часть, в то время как семантика может варьироваться в зависимости от предметной области, круга задач и других условий. Говоря о языке математики, мы будем иметь в виду формальный язык, используемый в математических теориях, и в частности, в математической логике.

Если задан какой-либо алфавит, т.е. конечное или бесконечное множество букв, то всякая конечная цепочка букв этого алфавита называется словом в этом алфавите. (Формальным) языком в данном алфавите называется произвольное множество слов. Однако фактически в математике рассматриваются не произвольные языки, а полученные с помощью формальных (дедуктивных, аксиоматических или аксиоматизированных) систем (исчислений). Формальная система задаётся алфавитом, множеством исходных слов – аксиом и множеством правил вывода, которые из определённых слов – посылок порождают слово, называемое заключением. Таким образом, каждая формальная система определяет язык – множество всех слов, которые можно породить применением правил вывода к аксиомам и ранее порождённым словам (ср.п. 4.3). Содержательный смысл этого понятия в том, что формальный язык – это точно описанная синтаксическая компонента языка в обычном понимании. Следует заметить, что основной целью построения формальных систем является достижение максимальной объективности (т.е. независимости от субъективного восприятия) математических понятий, что получается благодаря использованию таких процессов построения математических объектов (понятий), которые могут быть осуществлены автоматически.

Основным языком современной математики считается так называемый язык предикатов[4], алфавит которого обычно содержит символы предметных переменных и констант, предикатов и функций, логических операций, включая кванторы, а также вспомогательные символы, например, скобки, запятые и т.п. Язык предикатов, в котором допускаются кванторы только по предметным переменным, называется языком первой ступени или первого порядка. Если же кроме этого допускаются кванторы по предикатным и (или) функциональным переменным, то соответствующий язык называется языком второй ступени. Такую классификацию можно продолжить.

4.2. Формальная теория. Для определения формальной теории в каком-либо алфавите определяют обычно два (но может быть одно или больше двух) подмножества слов формального языка. Слова одного из них, называемые термами, интерпретируются как имена объектов предметной области и функций на ней, слова другого, называемые формулами, предложениями, высказываниями, играют роль утверждений о свойствах объектов (и предикатов – для языков второй и выше ступеней). Собственно формальной теорией называется множество формул, причем оно должно быть замкнуто относительно логических правил вывода (см.п.4.3 и 4.5). Обычно рассматриваются аксиоматические (или - аксиоматизированные) теории, т.е. являющиеся формальными исчислениями. Теория называется рекурсивно аксиоматизируемой, если она может быть определена как формальное исчисление с рекурсивным (разрешимым) множеством аксиом. В общем случае теория может быть задана любым другим способом, в том числе – с помощью семантики. При этом она может быть не только не разрешимой, но и не рекурсивно перечислимой (а потому и не рекурсивно аксиоматизируемой, поскольку всякая рекурсивно аксиоматизируемая теория рекурсивно перечислима).

Множество называется разрешимым, если существует единый способ, позволяющий относительно любого объекта определить, принадлежит он этому множеству, или нет. Формальным уточнением этого понятия является понятие рекурсивного множества – такого множества, для которого существует (формальный) алгоритм, разрешающий это множество, т.е. дающий для любого объекта ответ, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Согласно тезису Чёрча термины «разрешимое» и «рекурсивное» можно рассматривать как синонимы. Множество называется (рекурсивно-)перечислимым, если существует алгоритм, порождающий это множество, т.е. такой алгоритм, который последовательно выдаёт элементы данного множества (быть может с повторениями) и только их. Предполагается, что любой элемент множества рано или поздно будет получен. Очевидно, что всякое разрешимое множество перечислимо. Обратное неверно, поскольку можно привести примеры перечислимых, но не разрешимых множеств.

Теории, использующие язык предикатов первой (второй) ступени, называются теориями первой (второй) ступени. В некоторых случаях используются промежуточные языки, выходящие за рамки первой ступени, но не обладающие всеми возможностями языка второй ступени.

4.3. Доказательство. Если задано подмножество слов формального языка, называемых аксиомами, а также - правила вывода, каждое из которых представляет собой совокупность конечного множества слов, называемых посылками и одного слова, которое называется заключением, то доказательством или выводом в такой системе называется конечная последовательность слов, каждое из которых является либо аксиомой, либо заключением правила вывода, посылками которого являются некоторые слова из предшествующих данному слову в этой последовательности. Это общее понятие доказательства относится к любой формальной теории и в каждом конкретном случае является математическим объектом.

Для всякой рекурсивно аксиоматизированной теории множество доказательств разрешимо, т.е. существует эффективный формальный способ отличить доказательство от цепочки слов, не являющейся таковым. Это означает, что для таких теорий правильность доказательства всегда может быть эффективно проверена, и следовательно, гарантирована.

4.4. Интерпретация и модель. При содержательном построении теории слова её языка (термы, формулы и пр.) с самого начала обладают определенным значением (или смыслом), соответствующим семантике языка. Формальные же языки и теории, хотя и строятся в расчёте на какую-либо конкретную семантику, тем не менее, как чисто синтаксические объекты, нуждаются в специальном приписывании им подходящей семантики или интерпретации, которая словам языка присваивает определенные значения. Например, если алфавит теории содержит предикатные и функциональные символы, то всякая интерпретация должна присвоить им, соответственно, конкретные предикаты и функции на предметной области, принадлежащей данной интерпретации. Поскольку формулы интерпретируются как предложения (утверждения), то каждая интерпретация порождает свою логическую оценку формул (предложений) в языке теории. Для классической логики эта оценка двузначна и придаёт каждому предложению одно из двух значений - «истина» или «ложь». Интерпретация, в которой все предложения теории истинны (т.е. имеют оценку «истина») называется моделью[5] этой теории.

4.5. Логика. Всякая формальная теория должна содержать формальную логику, т.е. логические аксиомы и правила вывода, благодаря которым становится возможным рассматривать формальные доказательства в теории как экспликаты содержательных математических доказательств. Несмотря на то, что в реальной жизни и в некоторых содержательных теориях существуют не только истинные и ложные предложения (высказывания), но также – неопределённые, бессмысленные, модальные и т.п., математика всегда может обойтись только двузначной логикой, т.е. такой логикой, в которой каждое замкнутое предложение либо истинно, либо ложно. Надо сказать, что в 20-м веке широко изучались всевозможные многозначные логики (в основном – логики высказываний), однако они фактически являются математическим, а не логическим аппаратом, для самой же математики достаточно двузначной логики.

Понятие логической истины достаточно определенно сформулировал Лейбниц. Он назвал предложение логически истинным, если оно истинно во всех «мирах», т.е. во всех интерпретациях. Именно такое понимание логики проводит чёткую границу между логическими и фактическими истинами, что необходимо для построения формальных теорий, и в частности, самой логики. Многовековой процесс построения логики привёл в ХХ веке к созданию современной математической логики, получившей название классической логики.

Основной логикой для построения математических теорий является классическая логика предикатов первой ступени (т.е. все предложения и правила вывода этой логики должны формулироваться в языке предикатов первой ступени). В силу самой конструкции её языка, класс всех её интерпретаций исчерпывается алгебраическими системами ([Мал], [МЭ]). В соответствии с лейбницевским понятием логики, её предложения должны быть истинными «во всех мирах», т.е. во всех конкретных алгебраических системах в том же языке. Очень важным достоинством логики предикатов первой ступени является её семантическая полнота и непротиворечивость (см.п.4.6) в том смысле, что в ней доказуемы (ей принадлежат) все общезначимые, т.е. истинные во всех интерпретациях, предложения и только они, что собственно и отличает логику от других теорий (для прикладных теорий рассматиривается либо синтаксическая полнота,[6] либо полнота относительно каких-либо специальных семантик). Значение полной формальной логики для математики невозможно переоценить. Во-первых, понятие доказательства в любой формальной теории приобретает объективный характер, можно даже сказать, что формальное доказательство абсолютно, поскольку для любой рекурсивно аксиоматизированной теории и любой конечной цепочки формул существует эффективная процедура формальной, и следовательно, объективной проверки, является ли данная цепочка доказательством, или не является. Во-вторых, наличие формального доказательства (логического вывода) какого-либо предложения в непротиворечивой теории Т означает, что это предложение будет истинным в любой модели теории Т. Благодаря таким замечательным свойствам, логика предикатов первой ступени в настоящее время широко применяется во всей математике, несмотря на некоторую ограниченность её языка. Более широкая логика второй ступени применяется обычно с некоторыми ограничениями из опасения противоречий.

Несколько слов о языке логики. В основе языка совремённой математической логики лежат общие понятия предиката или отношения и, как частный случай его, - функции. Этот, на первый взгляд, бедный язык оказался достаточным для построения любых математических теорий. Тем не менее, вскоре после появления классической математической логики стали создаваться логики в языках, расширенных различными дополнительными операторами – модальными, временными, деонтическими и т.п. с общей тенденцией приблизить язык логики к естественному языку. Однако, если иметь в виду основной смысл логики как истинности во всех мыслимых мирах, то подобные расширения нельзя считать чистой логикой, поскольку такие понятия, как необходимость, возможность, долженствование, время и т.п. не присущи всем возможным мирам. Поэтому упомянутые расширения логики фактически являются не логиками, а прикладными логико-математическими теориями. В связи с этим возникает вопрос о возможности построения чистой логики в более широких языках, чем язык предикатов.

4.6. Непротиворечивость. Теория считается непротиворечивой, если она не содержит наряду с каким-либо предложением также и его отрицание. Для теорий с классической логикой это равносильно тому, что не всякое предложение принадлежит этой теории. Для теорий в достаточно широком языке утверждение о непротиворечивости теории может быть сформулировано на этом же языке. Поэтому можно пытаться доказывать непротиворечивость теории в ней самой. Однако ясно, что такое доказательство, если даже оно будет получено, не означает действительной непротиворечивости теории, поскольку в противоречивой теории всегда доказуема её непротиворечивость. Идея Гильберта не подчинена этому явлению, поскольку он предлагал строить доказательство непротиворечивости сильно ограниченными средствами, которые он называл финитными. По его замыслу такие средства должны гарантировать от проникновения в доказательство противоречий. Однако отрицательные теоремы Гёделя исключают эту возможность для таких основополагающих теорий, как арифметика или теория множеств.

Так называемые «отрицательные» Теоремы Гёделя (в усиленном Россером варианте) утверждают, что если формальная арифметика первого порядка непротиворечива, то она неполна и даже принципиально непополнима в том смысле, что в любом непротиворечивом рекурсивно аксиоматизируемом расширении арифметики существует неразрешимая замкнутая формула, т.е. недоказуемая формула, отрицание которой также недоказуемо (первая теорема Гёделя). Поскольку каждая замкнутая формула в интерпретации либо истинна, либо ложна, то это означает, что существует истинная арифметическая формула, не доказуемая в формальной арифметике. Вторая теорема утверждает, что при том же условии непротиворечивости в арифметике недоказуема формула, утверждающая непротиворечивость арифметики.

Главное значение этих теорем Гёделя состоит в том, что они показывают несостоятельность надежды на полную формализацию математики в языке первой ступени, в частности, как на средство доказательства её непротиворечивости. Это не означает, конечно, что формализация математических теорий вообще бесполезна. Поскольку по своей природе математика является дедуктивной наукой, представление её теорий в виде формальных исчислений является наиболее совершенной их формой, которая к тому же даёт возможность уточнить многие содержательные понятия не только в самой теории, но и в определённой части метатеории. Кроме того, расширение формального языка может существенно изменить описанную ситуацию, однако этот вопрос в достаточной мере ещё не изучен.

Поскольку непротиворечивость фактически определяет право на существование теории, совершенно необходимо было найти выход из создавшейся неопределенности. Вполне естественными являются две возможности: во-первых, использование логики второй ступени, и во вторых, расширение математических правил вывода. Обе эти возможности были реализованы и привели к желаемым результатам. Так непротиворечивость формальной арифметики была доказана с помощью таких естественных правил, как трансфинитная индукция, либо конструктивное правило Карнапа. Более того, формальная арифметика становится семантически полной при добавлении таких правил.

Правило Карнапа (ω-правило, правило бесконечной индукции) имеет следующий вид: если для формулы А(х) доказаны предложения А(0), А(1),…,А(n),…, то доказано предложение ∀А(х).Это правило без ущерба для основного результата можно заменить так называемым конструктивным правилом Карнапа: если имеется алгоритм, который по любому натуральному числу n дает доказательство формулы А(n), то доказано ∀А(х). Здесь посылка задаётся уже конечным объектом – алгоритмом. Добавление к арифметике конструктивного правила Карнапа дает такой же эффект, что и добавление неконструктивного правила.

В свое время некоторые математики возражали против этих доказательств, считая такие правила слишком неконструктивными, однако теперь уже никто не подвергает сомнению непротиворечивость формальной арифметики. По-видимому, настало время считать указанные правила вполне законными, поскольку, как показывает многолетний опыт, противоречиями они не угрожают. Фактически основанием запрета является не опасение противоречий, а прагматическая идеология, предъявляющая к математике такие же требования, как и к естественным наукам. В этом отношении история развития математики даёт нам целый ряд поучительных примеров, когда неоправданное требование аналогии математических понятий объектам реального мира накладывало априорный запрет на некоторые понятия, которые впоследствии прочно вошли в математику. Сначала математический мир не хотел признавать существования отрицательных чисел. Столкновение с иррациональными числами привело к отлучению на долгое время геометрии от арифметики. Мнимые и комплексные числа также как и отрицательные долгое время считались несуществующими и потому незаконными. Нам трудно объяснить подобную наивность, но похоже, что недоверие к правилу Карнапа носит такой же характер. Если с самого начала достаточно ясно, что новшество непосредственно не угрожает противоречием, а к тому же расширяет возможности соответствующей теории, то естественно считать его вполне допустимым. Иллюстрацией может служить аксиома выбора, которая хотя и вызвала много возражений, однако ныне широко применяется в различных математических теориях, поскольку без неё невозможно получить многие важные результаты.

5. О математике вообще

Можно привести ряд признаков, отличающих математику от естественных наук. Одним из них является тот факт, что (по крайней мере, в большей части современной математики) математические объекты не претендуют на роль адекватных аналогов реальных объектов. Более того, наличие у формальной теории реальной (т.е. материальной) модели не может служить доказательством её непротиворечивости, поскольку идеальные математические объекты и отношения могут быть адекватно соотнесены только с идеальными же понятиями. Поэтому математика фактически является замкнутой в себе системой, а следовательно, и все её понятия и утверждения не должны зависеть от каких-либо внешних моделей. В этом свете возражения неономиналистов против использования в математике некоторых теоретико-множественных понятий на том основании, что они не имеют реальных аналогий, являются совершенно несостоятельными.

В то же время с помощью математических теорий решаются многие задачи реального мира и предсказывается развитие некоторых процессов в нем. Этот факт свидетельствует об определённой объективности абстрактных математических конструкций, но отнюдь не о какой-то зависимости математики от вещественных понятий. Это свидетельствует также и об объективности классической логики, которая лежит в основе всех математических теорий (кроме интуиционистских, логика которых является фрагментом классической). В подтверждение этой точки зрения, которая оспаривается некоторыми математиками (см., например, [Кла]), приведем высказывания известных математиков и физика.

М.Кац и С.Улам [К,У]: «Математика – это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большей мере продолжает приносить её сейчас».

Е.Вигнер [Виг]: «С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».

Он же [Виг]: «Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком».

Он же [Виг]: «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет – хорошо это или плохо – развиваться к нашему большому удовлетворению, а может быть, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира».

Думаем, что большинство математиков в основном согласно с приведёнными высказываниями, хотя поставленный в них вопрос о непонятной эффективности математики в описании реальных явлений оставлен без ответа. Однако от ответа на этот вопрос зависит правильное понимание роли математики в познании реального мира – является ли математика лишь удобным языком, или её связь с реальным миром более глубокая. Одна из гипотез, имеющая древнее происхождение, состоит в том, что мир устроен по математическим (и следовательно, идеальным) законам и потому математические теории адекватно описывают строение реального мира. Непосредственно в таком виде эта гипотеза, хотя и достаточно правдоподобна, но мало содержательна, поскольку не объясняет существа самого явления. Другая гипотеза предполагает, что существует единая логика, присущая как человеческому мышлению, так и устройству реального мира. Эта гипотеза имеет косвенное подтверждение, основанное на предположении единственности логики, что выглядит весьма правдоподобно в силу самого понятия логики, как истинности во всех мирах. Тот факт, что логика (по крайней мере, основной её фрагмент) в наше время получила полное формальное описание, позволяет нам судить о логических, т.е. самых общих закономерностях реального мира, и потому в той мере, в какой эмпирические данные, играющие роль аксиом, соответствуют реальности, математические теории будут правильным описанием реальных закономерностей. Поэтому математика – это не просто удобный язык для описания реального мира, но и надежное эвристическое средство, позволяющее предсказывать неизвестные ранее явления, которые логически следуют из эмпирических аксиом.

Отметим некоторые особенности современной математики. В настоящее время математические теории разделяются на формализованные (т.е. являющиеся формальными системами) и неформализованные, которые мы будем называть содержательными или интуитивными. Последние строятся традиционно интуитивно, исходя из семантических свойств основных объектов. Построение математической теории в виде формального исчисления, во-первых, дает точное описание всех её постулатов - аксиом и, во-вторых, наличие формального доказательства какого-либо предложения делает абсолютным факт его следования из аксиом теории, поскольку правильность формального доказательства алгоритмически проверяема. Кроме того, для формальной теории имеется больше возможностей доказательства её метатеоретических свойств, в частности, непротиворечивости. В то же время формализация теории, предназначенной для изучения какого-либо содержательного объекта, в некоторых случаях может ограничить возможности теории в смысле полноты описания свойств этого объекта. Так обстоит дело, например, с формальной арифметикой натуральных чисел в языке первой ступени, которая не полна по отношению к содержательной теории натуральных чисел и не может быть пополнена, что означает существование истинных арифметических предложений, которые не могут быть доказаны в формальной арифметике (т.е. формально не следуют из её аксиом). Это явление иногда расценивается как отрицательное свойство всех формальных теорий, однако оно относится только к теориям в языке первой ступени. Что касается более богатых языков, то этот вопрос для них в достаточной мере ещё не изучен. Например, в языке второй ступени формальная арифметика семантически полна [Б.Д].

6. Что есть истина в математике

В естественных науках под истинностью какого-либо предложения (в языке данной науки) понимается определённая адекватность семантического значения этого предложения семантическому значению соответствующего предложения в «языке фактов». Язык фактов – это естественный или символический язык, который используется для описания результатов наблюдений или экспериментов в какой-либо области реального мира. При этом молчаливо предполагается, что описание фактов адекватно самой реальности, поскольку в противном случае теряется познавательное значение науки. Такое понимание научной истины обладает существенным недостатком: оно зависит от тезавруса, т.е. накопленных ранее знаний и базовых языковых конструкций, от технических достижений в области эксперимента и т.п., т.е. является относительным и зависящим от времени. С этим приходится мириться, поскольку других возможностей нет. Однако естественным и общепринятым свойством истины является её неизменность, т.е. независимость от времени и других условий. Прагматический подход к математике ставит математику в один ряд с естественными науками и потому не позволяет говорить о надёжной истинности её теорем (что проходит красной нитью в книге [Кла]). На самом же деле ситуация в математике принципиально иная: как свидетельствует исторический опыт, однажды доказанные предложения – теоремы остаются доказанными (в данной теории) навсегда. Например, в книге [К,У] по этому поводу сказано следующее: «В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать». Одного этого достаточно, чтобы не сомневаться в прочности математического здания и высшей степени объективности доказанных математических истин. Тем не менее, в свете современной математизации метаматематики мы должны рассмотреть этот вопрос с более формальных позиций.

Что же следует понимать под истинностью теорем в идеальной математике? Начиная с древности и до сравнительно недавнего времени математические понятия рассматривались как идеализированные объекты реального мира, а математические аксиомы считались очевидными свойствами таких объектов. Доказательство какого-либо утверждения представляло собой цепочку умозаключений, каждое из которых сохраняет истинность, идущую от бесспорных посылок. Поэтому считалось, что доказанность теоремы гарантирует её реальную истинность, так что эти понятия просто отождествлялись. При таком взгляде вопрос о непротиворечивости системы посылок не возникал. В новое время, когда математические понятия не соотносятся с реальными объектами, а модели математических теорий строятся внутри самой математики, сходное по форме понятие истинности изменилось по существу. Прежде всего, ссылка на содержательный («реальный») смысл исходных понятий и их свойств уже не считается гарантией непротиворечивости даже интуитивно построенной содержательной теории. Поскольку в противоречивой теории доказуемы и ложные предложения, то доказательство непротиворечивости теории (или, что то же, системы её аксиом) стало непременным условием истинности её теорем. Относительно доказательств следует отметить, что для формальных теорий понятие доказательства имеет точное формальное определение. При этом вопрос о том, является ли произвольная цепочка формул доказательством или нет, решается алгоритмически, т.е. объективно, и следовательно, множество доказательств разрешимо. (Заметим, что это не означает разрешимости множества теорем. Оно неразрешимо уже для чистой логики предикатов). Что касается неформальных доказательств, составляющих фактическое большинство и в наше время, то по современным меркам они должны быть настолько «логическими», чтобы был возможен перевод их в формальные. Можно сказать, что тезис Гильберта (см. п.3) теперь фактически является не гипотезой, а требованием, которому должны удовлетворять математические доказательства. Таким образом, одна компонента понятия истинности математических теорем – доказанность – выглядит вполне надёжно обоснованной. Подробнее о ней мы ещё скажем ниже. Иначе обстоит дело с непротиворечивостью, о чём мы также будем говорить ниже.

Итак, мы можем констатировать, что вопрос об истинности теорем сводится к вопросам правильности доказательств и непротиворечивости теорий. Ниже мы рассматриваем возможные решения этих вопросов не только для формальных, но и для содержательных теорий.

7. О доказательствах

В современной математике, в силу разделения её языка на синтаксическую и семантическую части, возникли два понятия следствия из посылок. Одно из этих понятий, которое мы будем называть логическим или дедуктивным, совпадает с понятием логической выводимости (доказуемости) предложения А из посылок Г, что обозначается обычно так: Г |- А. Второе понятие, которое мы назовём семантическим[7], связано с моделями множества Г и состоит в следующем. Предложение А является семантическим следствием множества предложений Г, если оно истинно в любой модели множества Г, что обозначается так: Г |= А. Поскольку логический вывод сохраняет истинность во всех интерпретациях, то ясно, что Г |- А влечёт Г |= А. Обратное далеко не столь очевидно, но оно следует из теоремы Гёделя о полноте. Таким образом, эти понятия оказываются равносильными, и следовательно, если Г – это система аксиом теории, то выводимость (доказуемость) формулы А из Г равносильна её семантической истинности в этой теории.

Теорема Гёделя о полноте утверждает, что всякое непротиворечивое множество формул (в языке предикатов первой ступени) имеет модель. Отсюда следует, что для любой замкнутой[8] формулы А, если Г |= А, то Г |- А. Действительно, предположим, что ¬(Г |- А). Можно доказать, что тогда множество Г, ¬ А - непротиворечиво и потому по теореме Гёделя оно имеет модель, в которой формула ¬А истинна, а это противоречит тому, что Г |= А. Поэтому ¬(Г |= А), откуда по правилу контрапозиции, если Г |= А, то Г |- А. Отсюда же следует и семантическая полнота исчисления предикатов первой ступени.

Все доказательства предложений любой математической теории можно разделить на два вида. К первому виду отнесём такие доказательства, которые касаются только синтаксических свойств теории без ссылок на какую-либо интерпретацию. Таковыми, например, являются все формальные доказательства в формальных теориях, которые фактически являются выводами слов в языке теории из аксиом строго по логическим правилам. Будем называть такие доказательства синтаксическими. Второй вид – это доказательства, апеллирующие к каким-либо интерпретациям языка теории. Назовем их семантическими. Как уже было сказано выше, правильность формального синтаксического доказательства устанавливается алгоритмически, и следовательно, можно сказать, вполне надёжно. Согласно тезису Гильберта (см. п.3), всякое неформальное доказательство имеет формальный эквивалент и потому мы можем считать надёжным любое синтаксическое доказательство.

Доказательства второго вида содержат апелляцию к семантике, которая, как правило, не является аксиоматической теорией и не всегда может быть аксиоматизирована (как это имеет место для содержательной арифметики). Поэтому посылки таких доказательств черпаются из заранее не определённого множества содержательных предложений такой теории. Хотя для всякого семантического доказательства можно получить синтаксический аналог, если формализовать соответствующую содержательную теорию, однако последнее не всегда возможно по разным причинам. Тем не менее для каждого семантического доказательства существует возможность получить синтаксический эквивалент путём аксиоматизации не всей теории, а только её фрагмента, содержащего посылки доказательства. Такую возможность даёт теорема компактности (см., напр., [Мал], [Бар]), из которой следует, что для всякой теоремы А какой-либо теории Т существует конечно аксиоматизируемый фрагмент Т₁ этой теории, в котором доказуема теорема А. Это утверждение верно как для формальных так и для неформальных теорий. Мы будем называть его принципом локальной формализации. Этот принцип имеет очень важное следствие: при оценке какого-либо семантического (содержательного) доказательства в неформальной теории можно выделить конечно аксиоматизированный фрагмент теории, содержащий синтаксический эквивалент этого доказательства. Этот процесс вполне эффективен (финитен). Таким образом, принцип локальной формализации позволяет оценку правильности семантического доказательства сводить к оценке синтаксического доказательства. Подчеркнём, что здесь речь идёт о проверке правильности доказательств, безотносительно к непротиворечивости всей теории.

8. Подробнее о непротиворечивости

Рассмотрим теперь вопрос о возможности надёжного доказательства непротиворечивости теорий. Как мы уже отмечали на примере арифметики, нужный результат может быть получен путем расширения логических средств доказательства дополнительными правилами. Другая возможность - доказательство непротиворечивости теории путем построения математической модели - может быть вполне убедительной, если непротиворечива сама модель и отображение теории в модель в сильном смысле конструктивно (финитно). Поскольку моделью как правило является содержательная математическая теория, то может показаться, что мы попадаем в безвыходную ситуацию: чтобы доказать непротиворечивость теории, нужно построить какую-либо её модель, которая в свою очередь принадлежит теории, непротиворечивость которой также должна быть доказана. Подчеркнём, что модель непременно должна принадлежать математической теории (не обязательно формальной), т.е. не должна апеллировать к каким-либо реальным понятиям. Практически такую ситуацию очень часто удается избежать путем построения в сильном смысле финитной модели, непротиворечивость которой невозможно подвергнуть сомнению. Наглядным примером этого является доказательство непротиворечивости логики предикатов первой ступени, которое мы рассмотрим в п.9.

Отмеченная нами надёжная правильность формальных доказательств, помимо прочего, основана на непротиворечивости формальной математической логики, что также требует доказательства. Каким образом вырваться из возникающего здесь круга, мы продемонстрируем в п.9. До этого непротиворечивость логики предикатов (первой ступени) примем как факт.

Вопрос о непротиворечивости теорий несравненно более трудный, чем вопрос о доказательствах. Для формальных теорий он несколько облегчается чёткостью постановки и существованием различных подходов, например, таких, как использованные для доказательства непротиворечивости арифметики (см. п.4.6). Если теория не формальная, то далеко не всегда удаётся найти прямое доказательство её непротиворечивости. В этом случае приходится апеллировать к непротиворечивости какой-либо её модели, в которой истинны все аксиомы теории или, по крайней мере, посылки рассматриваемого доказательства. Как правило, удаётся построить содержательно более простую модель, чем исходная теория, и таким образом упростить задачу.

Определённую уверенность в непротиворечивости содержательно построенных математических теорий создаёт распространённое (по крайней мере, среди математиков) мнение, что исходные понятия, лежащие в основе любой математической теории, имеют объективный характер и не являются только произвольным плодом свободной человеческой фантазии. Вопрос об объективности математических понятий, безусловно, выходит за рамки математики, однако, как показывает исторический опыт, большинство математиков и философов всегда считало и считает математические объекты принадлежащими в том или ином смысле реальному миру идей, который так же непротиворечив, как и материальный мир. В подтверждение этого мнения приведём одну цитату из [Бур]: «Каковы бы ни были философские оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного математика или философа, имеется по крайней мере один пункт, в котором они единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им произвольные свойства так же, как физик не может изменить какое-либо природное явление. … и даже сегодня не один математик, афиширующий непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим признанием Эрмита: Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же необходимостью, как и предметы объективной реальности, и мы их встречаем или открываем и изучаем их так же, как физики, химики и зоологи».

Непротиворечивость мира идей нуждается в пояснении, поскольку существуют противоречащие друг другу идеи. Однако противоречивость каких-либо идей означает только их принадлежность разным мирам, подобно тому, как в математике существуют противоречащие друг другу теории, например, аксиоматики разных геометрий, непротиворечивые порознь, противоречивы в совокупности. Поэтому, как наличие противоречащих друг другу теорий не означает противоречивости всей математики, так и существование противоречащих друг другу миров не означает противоречивости мира идей. Впрочем, подобную картину можно наблюдать даже в физике, когда разные подходы приводили к противоречивым описаниям одного явления, что отнюдь не означает противоречивости реального мира.

Признав объективность исходных понятий, мы с необходимостью вынуждены будем признать и объективность их свойств, выраженных аксиомами теории. Это, конечно, ещё не доказывает непротиворечивость всякой математической теории, однако вселяет надежду на возможность такого доказательства, и даже - интуитивную уверенность в этом. Противники такой точки зрения обычно ссылаются на канторовскую теорию множеств, исходные объекты которой являются настолько простыми и естественными, что не вызывают никакого сомнения в их объективности. Однако, на наш взгляд возникающие там противоречия вызваны не характером исходных понятий и их свойств, а тем, что их язык оказывается настолько широким, что позволяет определять внутренне противоречивые ситуации и понятия, например такое, как «множество всех множеств» (см. п.2). Подобное явление присуще и естественному языку в силу его универсальности, что выражается в существовании различных «реальных» противоречий вроде «парадокса лжеца» и др. Надо сказать, что любую математическую теорию, путём введения новых понятий или чрезмерного расширения объёма её понятий можно сделать противоречивой. Поэтому введение новых понятий не только в формальную, но и в содержательную теорию должно сопровождаться тестом на непротиворечивость.

Вполне возможно, что гарантировать от противоречий такую универсальную теорию, как теория множеств, можно только путём её формализации. При этом получить единую формализацию, удовлетворяющую всевозможные потребности различных направлений математики, скорее всего не удастся, однако это означает только объективное многообразие логических возможностей в математике, но отнюдь не какую-то трагедию неопределённости, как это трактуется в книге [Кла].

Таким образом, резюмируя сказанное, мы можем определить понятие истинности предложений в математике как формальную доказуемость в непротиворечивой теории. Тем самым отнюдь не игнорируется семантическое понимание истинности теорем в той модели, для изучения которой предназначена данная теория, поскольку при непротиворечивой логике формальное доказательство теоремы гарантирует её истинность в модели. В следующем пункте в качестве примера мы рассмотрим одно из доказательств непротиворечивости логики предикатов первой ступени.

9. Непротиворечивость логики предикатов

Как уже говорилось, классом моделей логики предикатов первой ступени является множество всех алгебраических систем соответствующей сигнатуры, т.е. эта логика состоит из всех тех и только тех формул, которые истинны в любой алгебраической системе. В данном случае мы не можем рассчитывать на формальное доказательство, поскольку оно использует формальную логику, непротиворечивость которой нам нужно ещё доказать. Таким образом, уже на самом первом этапе построения формальной математики мы вынуждены прибегнуть к содержательным, т.е. интуитивно построенным доказательствам. К счастью, доказательство непротиворечивости исчисления предикатов первой ступени настолько просто реализуемо финитно, что не может вызвать никаких сомнений в его правильности. Для доказательства непротиворечивости этого исчисления достаточно рассмотреть одноэлементную модель, на которой все его формулы однозначно переходят (отображаются) в формулы так называемого исчисления высказываний (см. ниже). При этом все аксиомы переходят в тавтологии (тождественно истинные формулы), а правила вывода сохраняют тавтологичность формул (т.е., если посылки правила являются тавтологиями, то и заключение также тавтология). Таким образом, все доказуемые формулы исчисления предикатов в одноэлементной модели переходят в тавтологии. Поскольку легко привести пример формулы, не переходящей в тавтологию, то это означает существование недоказуемых формул, а значит и непротиворечивость исчисления предикатов. Таким образом, непротиворечивость логики предикатов первой ступени мы можем считать надёжно доказанной. (Разумеется, приведенные здесь рассуждения являются только схемой доказательства, но все необходимые детали описываются вполне финитно).

Логика высказываний (пропозициональная логика, булева алгебра) является важным фрагментом логики предикатов. Её основателем считается Дж.Буль (1815 – 1864). Множеством её объектов являются два логических значения – «истина» и «ложь», обычно обозначаемые буквами 1 и 0. Её формулы строятся из этих констант и переменных с помощью тех же логических операций, что и формулы логики предикатов, за исключением кванторов. Собственно логика высказываний состоит из тавтологий – формул, которые при любой подстановке констант 1 и 0 вместо переменных принимают значение 1. Логика высказываний, представленная в виде аксиоматической системы называется исчислением высказываний. Его непротиворечивость легко доказывается вполне финитными средствами. Название «булева алгебра», с одной стороны, указывает на её создателя, а с другой – на тот факт, что она совпадает (изоморфна) с двуэлементной алгеброй с так называемыми булевыми операциями. Булева алгебра является моделью исчисления высказываний, её операции умножения, суммы и дополнения интерпретируют логические операции конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.

Исчисление предикатов является расширением исчисления высказываний путём добавления в алфавит предметных переменных, предикатных и функциональных символов, а также кванторов ∀ и (или) ∃, что приводит к соответствующему расширению понятия формулы. Аксиоматика исчисления предикатов получается добавлением к аксиомам и правилам вывода исчисления высказываний аксиом и правил вывода для кванторов.

К сожалению, для многих математических теорий такой способ доказательства непротиворечивости не проходит, поскольку для них не существует более простой модели, чем основная (которая обычно называется стандартной). Такими теориями являются, например, арифметика и теория множеств. О доказательствах непротиворечивости арифметики говорилось в п. 4.6. Что касается теории множеств, то в настоящее время существует несколько версий её аксиоматизации, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками, так что говорить о её окончательном построении ещё рано. Наиболее вероятно, что различные варианты будут существовать и развиваться параллельно, подобно тому, как существуют различные геометрии. На это указывает, например, несовместимость аксиом выбора и детерминированности, каждая из которых даёт важные положительные результаты, так что нет оснований для предпочтения какой-либо одной.

10. Заключение

10.1. Разногласия во взглядах на истинность математических теорем в конечном счёте сводятся к разному пониманию отношения математики к реальному миру. Абсолютизация человеческих представлений о реальном мире, характерная для людей не только древности, но и совсем недалёких времён, привела к ряду заблуждений в оценке места математики среди других наук. Поверхностное восприятие того факта, что зарождение и в значительной мере дальнейшее развитие математики происходило путём решения прикладных задач, послужило распространению прагматической точки зрения на математику, хотя при более глубоком анализе обнаруживается принципиальная независимость математики от реального мира, точнее – от наших представлений о нём. В наше время это тем более очевидно, что благодаря более глубокому пониманию роли и возможностей науки, понятие «реальный мир» потеряло свою однозначность и фактически обозначает целый спектр виртуальных миров. В то же время в математике с помощью формализации основных конструкций происходит постоянное уточнение важнейших интуитивных понятий, что с одной стороны способствует избавлению от некоторых иллюзий, а с другой – создаёт уверенность в объективности математических результатов - объективности в мире идей. В этом отношении представляет интерес следующее мнение философов из [Б,П]: «Незаметное смешение общих философских понятий иногда ведёт к осязательным ошибкам в философии математики. Так, часто из того факта, что математика применяется на практике, делается вывод, что математическая теория в своей истинности проверяется или обосновывается практикой. Такой вывод может получиться только при смешении таких понятий, как опыт и практика, истинность и содержательность. Мы можем утверждать, что математическая теория стимулируется практикой в своём развитии, что она отражает реальность, содержательна (в смысле возможного соответствия некоторой системе реальных связей), но отсюда не следует, что она проверяется на опыте, подобно эмпирическим теориям, что ей присуща истинность [в прагматическом смысле – авт.] или что она обосновывается посредством использования. Такие смешения ведут к искажению сути математического знания со всеми проистекающими отсюда методологическими заблуждениями».

«Кризис» в математике, вызванный использованием чрезмерно расширенного понятия множества, привёл в конечном счёте к самому значительному прогрессу в математике, в результате которого математика освободилась от несвойственных ей ограничений, налагаемых на неё попытками связать её с реальными моделями. Благодаря созданию формализованной математической логики и, соответственно, математических понятий доказательства и непротиворечивости, метаматематическое понятие истинности окончательно приобрело однозначный внутриматематический характер: теорема истинна, если она формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории. Такое понятие истинности абсолютно в том смысле, что оно не зависит от каких-либо неоднозначных внешних условий. Какими бы средствами ни были решены вопросы о доказательстве выводимости и непротиворечивости, указанное понятие истинности сохраняется. Поскольку развитие математики представляет собой монотонный процесс в сторону расширения накопленных знаний, когда ничто из достигнутого не отбрасывается (мы видим, к чему привели попытки интуиционистов нарушить эту монотонность), то возможные изменения (расширения) математического языка и, соответственно, логики могут изменить содержание, но не характер (сущность) понятия истинности в математике. При этом вопрос о доказательстве непротиворечивости теорий стал более острым и сложным. Если раньше для обоснования непротиворечивости было достаточно указать подходящую реальную модель, то теперь этот критерий стал несостоятельным. Благодаря тому, что вопрос приобрёл чёткий математический смысл, его решение также должно быть только математическим. «Отрицательные» теоремы Гёделя, казалось бы сделали эту задачу для важнейших математических теорий безнадёжной – в рамках принятого языка и логики, однако для такой основополагающей теории как арифметика были найдены математические доказательства, использующие более широкие средства доказательства, чем традиционные. Эти средства вполне естественны для математики и в наше время уже не вызывают возражений. Таким образом, значительная часть математики получила прочное математическое обоснование (учитывая тот факт, что для многих математических теорий существуют арифметические модели). В этом свете снизился интерес к доказательству непротиворечивости других формальных теорий, поскольку в них столь же трудно ожидать противоречий, как и в арифметике. Особое место занимает теория множеств, которая по-видимому должна разделиться на несколько параллельных ветвей, но чтобы судить об этом, требуются дополнительные исследования. В наше время содержательная теория множеств развилась в обширную и глубокую ветвь математики, тесно связанную со многими другими областями математики, и в непротиворечивости которой трудно сомневаться. Похоже, что все парадоксы связаны только с понятием множества всех множеств, а также с самоприменимыми предикатами, с помощью которых обычно формулируются «реальные» парадоксы. Что касается понятия множества всех множеств, то его с самого начала трудно признать законным математическим объектом, хотя бы потому, что оно не удовлетворяет такому естественному свойству всякого множества, как возможность его расширения. Во всяком случае без этого понятия (и равносильных ему) в содержательной теории множеств (как и в формальных) противоречия не обнаруживаются. Здесь, пожалуй, уместно сослаться на одну цитату из [Бур]: «С другой стороны, при доказательствах «относительной» непротиворечивости (т.е. при доказательствах, устанавливающих непротиворечивость данной теории в предположении непротиворечивости другой теории, например Теории множеств) математическая часть рассуждения … настолько проста, что даже не представляется возможным подвергнуть её сомнению, не отказываясь при этом от всякого рационального употребления наших умственных способностей. Так как ныне различные математические теории привязываются в отношении логики к Теории множеств, то отсюда следует, что всякое противоречие, встреченное в одной из этих теорий, дало бы повод противоречию в самой Теории множеств. Это, конечно, не есть аргумент, позволяющий заключить о непротиворечивости Теории множеств. Однако за 40 лет [теперь уже более 80-ти – авт.] с тех пор, как сформулировали с достаточной точностью аксиомы Теории множеств и стали извлекать из них следствия в самых разнообразных областях математики, ещё ни разу не встретилось противоречие, и можно с основанием надеяться, что оно и не появится никогда».

10.2. Очень важно отметить, что хотя формализация математической логики и понятия доказательства сыграла кардинальную роль в развитии математики, получение новых математических результатов происходит, и по-видимому, будет происходить в дальнейшем в основном интуитивным образом (точнее во взаимодействии интуитивных и формальных средств). Поэтому вопрос о природе и значении интуиции отнюдь не упраздняется с формализацией математики. Как отмечалось в п.3, математическая интуиция не потеряла своего значения как средства доказательства, что выразилось в тезисе Гильберта, который утверждает эквивалентность интуитивных и формальных доказательств. В наше время истинность этого тезиса не вызывает сомнений хотя бы потому, что он превратился в фактическое условие правильности доказательства. В эвристическом же отношении интуиция по-прежнему остаётся основным средством получения доказательств. К сожалению, до сих пор изучением этого явления занимались только философы, хотя вопрос о природе интуиции безусловно заслуживает научного изучения.

11. Резюме

1. Математика является замкнутой в себе наукой, не нуждающейся в каких-либо внешних критериях истинности её теорем. В то же время она с большим успехом используется для решения естественнонаучных задач. Это обстоятельство послужило поводом считать математику естественной наукой, предназначенной для изучения реального мира, и таким образом критерий истинности её теорем был выведен за пределы математики и поставлен в зависимость от «реальных фактов». В наше время, когда не только математические, но и многие метаматематические понятия приобрели точный формальный смысл, несостоятельность такой точки зрения стала вполне очевидной, во-первых, потому, что не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным аналогам, и во-вторых, естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий.

2. В математике истинность теоремы отождествляется с выводимостью (доказуемостью) её из непротиворечивой системы посылок (аксиом). Вывод или доказательство представляет собой дедуктивную цепочку, каждый шаг которой обосновывается каким-либо логическим правилом, принадлежащим формальной математической логике. Фактически подавляющее большинство доказательств содержат шаги дедукции, основанные на интуитивной очевидности. Поэтому требуется, чтобы интуитивно очевидные шаги имели логический эквивалент. Как правило интуитивные доказательства этому требованию удовлетворяют, что позволило принять соответствующий тезис, названный тезисом Гильберта, об эквивалентности интуитивных и логических доказательств.

3. Вопрос о непротиворечивости математических теорий до 19-го века практически не возникал, поскольку считалось, что математические понятия отражают свойства реального мира, которые не могут быть противоречивыми. К тому же, кроме ссылки на какую-либо реальную модель, не существовало других средств доказательства непротиворечивости. К концу 19-го века этот вопрос назрел, а в 20-м веке, благодаря формализации математических теорий, получил возможность решения математическими средствами. При этом было осознано, что ссылка на реальную модель не является доказательством непротиворечивости, поскольку не существует адекватного соответствия идеальных математических понятий реальным объектам.

Следует заметить, что вопрос о непротиворечивости математики в целом не имеет смысла, поскольку в достаточно развитой математике, каковой является современная математика, обязательно должны существовать непротиворечивые теории, объединение которых противоречиво. Поэтому речь может идти только о непротиворечивости отдельных теорий, например, формальной арифметики или формальной теории множеств и т.п. Подчеркнём, что речь идёт в основном о формальных теориях, поскольку содержательно («наивно») построенные теории не столь уязвимы со стороны противоречивости, как формальные, ибо содержательная теория не предстаёт перед нами в целом, а только - в виде построенного к данному времени фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в процессе его построения. Поэтому вопрос о непротиворечивости наиболее актуален для формальных теорий и в основном в связи с общей проблемой оснований математики. В этом направлении в 20-м веке получено много кардинальных результатов, существенно расширивших и углубивших наши представления о математике. Разумеется, многие важные проблемы, как в области математической логики, так и в области основополагающих математических теорий (например, теории множеств) остаются нерешенными, но это явление естественно для всякой науки.

В заключение следует отметить, что математика не вписывается в принятое деление наук на естественные и гуманитарные, и ей более подходит особый статус универсальной науки.

Литература

(Асм) В.Ф.Асмус. Проблема интуиции в философии и математике. «Мысль», М.1965.

(Бар) Дж. Барвайс. Введение в логику первого порядка. Справочная книга по математической логике. Ч.1. «Наука», М.1982. Пер. с англ..: Handbook of mathematical logic. J. Barwise (Ed). North-Holland P.C. 1977.

(Б,Д) Дж.Булос, Р.Джеффри. Вычислимость и логика. М. «Мир» 1994. Пер. с английского: George S. Boolos, Richard C. Jeffrey. Computability and logic. Cambridge University press, 1989.

(Б,П) Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. Философские и методологические проблемы математики. Изд-во Московского университета, 1981.

(Бун) М.Бунге. Интуиция и наука. «Прогресс», М. 1967. Пер. с английского: M.Bunge. Intuition and Science. New York, 1962.

(Бур) Н.Бурбаки. Начала математики. Ч.1, кн.1. Теория множеств. Мир. М. 1965. Пер. с французского.: Elements de Mathematique par N.Bourbaki. Livre 1. Theorie des ensembles. Troisieme edition, 1958.

(Виг) Е.Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках. УФН, т.94, вып.3, 1968, 535 – 546. Пер. с англ.: E.Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960).

(Дек) Р.Декарт. Правила для руководства ума. Избранные произведения. М.1950. Пер. с французского: Descartes R. Oeuvres, t. X. Paris, 1908.

(Кла) М.Клайн. Математика. Утрата определённости. М.»Мир», 1984. Пер. с англ.: Morris Kline. MATHEMATICS. The Loss of Certainty. N-Y, Oxford University Press, 1980.

(Кли) С.К.Клини. Введение в метаматематику. ИЛ М. 1957. Пер.с англ. : Introduction tu metamathematics by Stephen Cole Kleene. 1952. D.van Nostrand Company, inc. New York , Toronto.

(К.У) М.Кац, С.Улам. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. «Мир», М. 1971. Пер. с англ.: Mathematics and Logic. Retrospect and Prospects. Mark Kac and Stanislaw M. Ulam. N.-Y. Washington. London. 1968.

(Мал) Мальцев А.И. Алгебраические системы. «Наука», М. 1970.

(Мев) Менделеев И. Метод математики. С-П., 1913.

(МЭ) Математическая энциклопедия. Изд. «Советская энциклопедия», т.1, М. 1977.