Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее. Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу.

В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю ее историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (1601-1665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как «последняя теорема Ферма» или как «большая теорема Ферма», поскольку есть еще так называемая "малая теорема Ферма". Ее доказал 41-летний, до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже немолодой, профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс. Удивительно, что про это событие толком не знают не только наши обычные российские обыватели, но и многие интересующиеся наукой люди, включая даже немалое число ученых в России, так или иначе использующих математику.

Ещё на заре европейской науки Демокрит полагал, что причину имеет всё, и что случайность люди ввели, "чтобы оправдать свою глупость". Однако он же положил в основание своей натурфилософии беспорядочное движение атомов, из-за которого явления приходится фактически рассматривать как случайные. В этом противоречии наука и пребывает 2400 лет: хотя без случайности ни один род деятельности (в том числе и ни одна теория явлений — природы или общества) обойтись не может, но до сих пор можно услышать и прочесть, что случайности как таковой в строгом представлении первой научной картины мира не существует. Тем не менее, в наше время можно привести аккуратные примеры случайности, не сводящиеся к незнанию или непониманию причин, что ниже и будет сделано.

В конце августа 2012 года японский математик Синичи Мочидзуки выложил на свою страницу в интернете четыре научные статьи. Их не сразу заметили, потому что не особенно ждали: без предварительных пресс-релизов, навязчивых анонсов и громких выступлений Мочидзуки опубликовал результат многолетнего самоотверженного труда, которому, вероятно, суждено совершить революцию в современной математике. Проблема лишь в том, что теорию Мочидзуки не торопится принимать научное сообщество – ее почти никто не может понять.

Как выглядит Вселенная на очень больших расстояниях, в областях, недоступных наблюдению? И есть ли предел тому, как далеко мы можем заглянуть? Наш космический горизонт определяется расстоянием до самых далеких объектов, свет которых успел прийти к нам за 14 миллиардов лет с момента Большого взрыва. Из-за ускоренного расширения Вселенной эти объекты сейчас удалены уже на 40 миллиардов световых лет. От более далеких объектов свет к нам еще не дошел. Так что же находится там, за горизонтом?

15 марта стало известно, что премию Абеля в 2016 году получит Эндрю Уайлз за доказательство гипотезы Таниямы-Симуры для полустабильных эллиптических кривых и следующее из этой гипотезы доказательство великой теоремы Ферма. В настоящее время премия составляет 6 миллионов норвежских крон, то есть примерно 50 миллионов рублей. По словам Уайлса, присуждение премии стало для него «полной неожиданностью». Вручение премии — прекрасный повод вспомнить несколько историй, связанных с теоремой Ферма.

«Эврика!» («Нашел!») — именно этот возглас, согласно легенде, издал древнегреческий ученый и философ Архимед, открыв принцип вытеснения. Легенда гласит, что сиракузский царь Герон II попросил мыслителя определить, из чистого ли золота сделана его корона, не причиняя вреда самому царскому венцу. Взвесить корону Архимеду труда не составило, но этого было мало — нужно было определить объем короны, чтобы рассчитать плотность металла, из которого она отлита, и определить, чистое ли это золото.

Галилео Галилей заметил, что Вселенная ― это книга, написанная на языке математики. Макс Тегмарк полагает, что наш физический мир в некотором смысле и есть математика. Известный космолог, профессор Массачусетского технологического института приглашает читателей присоединиться к поискам фундаментальной природы реальности и ведет за собой через бесконечное пространство и время ― от микрокосма субатомных частиц к макрокосму Вселенной.

Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

Уравнения Навье-Стокса при помощи нескольких лаконичных членов описывают одно из самых распространённых явлений физического мира: течение жидкостей. Эти уравнения используются для описания всего, от океанских течений и турбулентности, следующей за самолётом до потока крови в сердце. Хотя физики считают эти уравнения надёжными, как молоток, математики относятся к ним с недоверием. Для математика то, что эти уравнения вроде бы работают, мало что значит. Им нужны доказательства того, что уравнения безошибочны: что для любой жидкости и для долгосрочного прогноза, распространённого сколь угодно далеко в будущее, математика уравнений не подведёт.

Немецкий математик Леопольд Кронекер писал: «Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека». Число — основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Физики зачастую делают необоснованные с точки зрения математики предположения. Например, они совершенно свободно переставляют порядок интегрирования в многомерных интегралах, не задумываясь об их сходимости. Или определяют дельта-функцию как функцию, интеграл от которой равен единице, — от этого у математиков становится особенно тяжело на душе. Или проверяют, что какая-нибудь формула выполняется в нескольких частных случаях, а потом без доказательства считают, что она работает всегда. Поэтому математикам приходится строго обосновывать физические теории, а в некоторых случаях искать для них контрпримеры. Здесь мы рассмотрим пример равенства, которое справедливо для огромного числа частных случаев, но в целом не верно.

Древние догадывались (а мы благодаря фототехнике и измерительным приборам знаем точно), что размер Луны неизменен вне зависимости от того, близка она к горизонту или, напротив, сияет высоко в небе. Глаза, однако, дают нам ощущение того, что у горизонта спутник больше, а высоко в небе — меньше.

Со времен возникновения письменности и до середины XX века криптография была искусством. Сейчас это не только проработанная область науки на стыке математики и информатики, но и то, чем мы пользуемся ежедневно. К чему может привести незнание криптографии и любовь к халяве, как прочитать вашу переписку, почему шифрование на открытых ключах безопаснее и что значит cLhmGccA4aSaRslIsnA, рассказывает кандидат физико-математических наук, лектор по защите информации в МФТИ Сергей Владимиров.

Отрывок из книги «Величайшие математические задачи» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта о важнейших нерешенных математических задачах и их месте в общем контексте математики и естественных наук.

Это фильм в режиме включенного наблюдения, история о реальном исследовании, которое проводится в научно-исследовательском центре «Дискретизация в геометрии и динамике» Технического университета в Берлине. В центр постоянно приезжают математики русского происхождения, работающие по всему миру. Процесс ведения научных дискуссий, запечатленный на камеру, является уникальным по силе воздействия материалом: зритель становится свидетелем размышлений ученых, возникновения гениальных идей, погружается в работу команды и разделяет весь спектр эмоций участников.

Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению? Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек. Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.

В химическом мире можно выделить два противоположных процесса. При сравнительно низких температурах происходит синтез веществ с выделением энергии и повышением температуры. При высоких температурах имеет место распад веществ с поглощением энергии и понижением температуры. Оба процесса не имеют четких температурных границ и перекрываются при средних температурах. Таким образом должна существовать некая глобальная средняя температура, при которой процессы синтеза и распада в открытой химической системе со случайным, произвольным составом равновероятны.

Теория струн — это наиболее бурно развивающаяся физическая концепция, претендующая на то, чтобы наконец-то воплотить мечту Эйнштейна — создать единую теорию поля. Об этой теории в программе «Научный тык» рассказывает Алексей Семихатов, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Физического института им. Лебедева РАН.