Физик Эмиль Ахмедов об определении положения на плоскости и в пространстве, необходимых координатах и атомных часах.

Я расскажу об общих принципах работы GPS и ГЛОНАСС. Потом я объясню, какое это имеет отношение к специальной и общей теории относительности. Начну издалека. Треугольник является жесткой фигурой на плоскости в том смысле, что если вы возьмете три шарнира и соедините их тремя жесткими палками, то эти шарниры нельзя будет сместить, нельзя будет двигать. Если вы возьмете четыре шарнира или больше и соедините их соответствующим количеством палок, чтобы получился многоугольник, то этот многоугольник может ходить ходуном. Четырехугольник можно деформировать, поэтому, если углов больше чем три, фигура на плоскости уже нежесткая.

Какое это имеет отношение к тому, что я собираюсь рассказать? Если вам нужно определить положение точки на плоскости, то вам достаточно знать положение двух точек, расстояние между ними и расстояние от них до искомой точки. Тогда точка у вас определена, но с точностью до того факта, что у вас есть паразитная точка. По поводу паразитной точки мы разберемся чуть позже.

Точно так же, чтобы определить положение точки в пространстве, вам нужна пирамида. Нужны три точки в основании пирамиды и одна искомая. Пирамида является жесткой фигурой в пространстве, а, например, куб не является жесткой фигурой в пространстве, потому что, если у вас есть восемь точек в вершинах куба, которые являются шарнирами, и все эти точки соединены жесткими ребрами, куб может ходить ходуном, его можно деформировать. А пирамиду с тремя точками в основании и одной в вершине деформировать нельзя, если у вас зафиксировано расстояние. Поэтому, чтобы определить положение в пространстве, вам нужны три точки, расстояние между ними и расстояние до искомой точки. Опять же у вас есть проблема с паразитной точкой. Если три точки зафиксированы, то мы получаем одну реальную точку, одну паразитную. Как избавляться от паразитной точки, я объясню чуть позже.

Оказывается, что для того, чтобы система GPS и ГЛОНАСС работала, вам нужны не три точки, а четыре реперных точки. Соответственно, вам нужен аналог четырехмерной пирамиды. И сейчас я объясню почему. Начнем с трех вещей, которые необходимы для работы системы ГЛОНАСС и GPS. Первая — на спутниках необходимы очень точные часы, сверхточные, атомные. Вторая — нужны радиопередатчики, обмен радиосигналами между самими спутниками и смартфоном, потому что так вы знаете расстояние между всеми ними. И третье, что нужно, — это очень быстрые алгоритмы решений уравнений. Для чего нужны четыре спутника? Потому что вам нужно определить положение смартфона в пространстве и времени. Вам нужно определить три его координаты и четвертую — время. Дело в том, что на смартфоне не стоит атомный хронометр, на смартфоне обычные часы, а на спутниках — атомные хронометры. Вы не можете определить с высокой точностью время, которое стоит на смартфоне, поэтому вам нужно определять положение смартфона в пространстве и времени.

Спутники обмениваются сигналами между собой и смартфоном. Если вы знаете положение спутников и расстояние между ними, то вам остается решить уравнение положения смартфона относительно спутников. Как это решается? У вас есть четыре уравнения следующего вида: c2 умножить на время распространения сигнала от спутника до смартфона. Грубо говоря, время распространения этого сигнала — это время излучения, которое определено с высочайшей точностью, до времени получения сигнала смартфоном, которое определено не очень точно, то есть t1−t2, c2⋅t2 дает расстояние между спутником и смартфоном.

С другой стороны, это расстояние вы можете определить по координатной сетке. Например, вам известны три координаты спутника, и вам нужно найти три координаты смартфона. Предположим, в центре Земли у вас есть координатная сетка. Как вы определяете расстояние? Координата спутника минус координата смартфона вдоль трех направлений, сумма их квадратов равна c2⋅t−t12. Еще раз подчеркиваю: как по координатам в двумерной плоскости вы находите расстояние между двумя точками? Есть координата одной точки, есть координата другой точки. Вы вычитаете координату одной точки из координаты другой вдоль одного направления и получаете длину первого катета, затем делаете ту же операцию вдоль другого направления и получаете длину второго катета. Квадрат длины одного катета плюс квадрат длины другого дает квадрат длины гипотенузы. Так вы определяете расстояние между двумя точками в двумерном пространстве. В трехмерном вам нужно будет сделать аналогичную вещь, только вдоль трех направлений.

Как это работает в случае со спутником и смартфоном? Вам нужно решить четыре квадратных уравнения. У этих уравнений есть два решения, потому что они квадратные. Одно из них реальное, а второе паразитное, точно такое же паразитное, как и в случае с треугольниками и пирамидами, который я объяснял. Одно из решений находится на земной поверхности либо в пределах 10–15 километров над поверхностью, а второе находится где-то далеко в космосе, потому что спутники летают высоко. Соответственно, алгоритм отбрасывает второе решение, а оставляет первое, которое находится вблизи поверхности.

Зачем вам нужна высокая точность часов? Представьте себе, что часы на спутнике определяют время с точностью до одной миллионной секунды. Тогда c⋅t, где c — это скорость света (300 000 км/с), умножить на одну миллионную секунды — дает погрешность в 300 метров. Мой смартфон был бы определен не на дороге, а в 300 метрах от нее. Ясное дело, что в таких условиях система GPS работать не может, поэтому вам нужна более высокая точность работы часов — по крайней мере одна миллиардная доля секунды, тогда ваше положение определится с точностью до 30 сантиметров. Этого достаточно, чтобы работал обычный GPS, который у нас на смартфонах, но, например, для военных, геофизических или геологических целей вам нужна большая точность. Там GPS работает с точностью до 10 сантиметров и даже меньше. Соответственно, вам нужна очень высокая точность работы часов на спутниках, чтобы положение смартфонов определялось с высокой точностью — по крайней мере до одной миллиардной доли секунды.

Оказывается, что если часы работают с такой точностью, то они уже начинают чувствовать эффекты общей и специальной теории относительности. За одну миллиардную долю секунды происходит одно колебание молекулы. Ведь как работают атомные часы? Они считают колебания молекул. Неважно, какой молекулы и сколько колебаний происходит, но в одну секунду происходят десятки миллиардов колебаний. Грубо говоря, вы видите, что, поскольку спутник висит над поверхностью земли и движется с какой-то высокой скоростью, у вас происходит другое количество колебаний молекул, часы по-другому тикают, из-за того что спутник находится на большой высоте. На поверхности земли часы тикают по-другому, происходит другое количество тиканий, и эти эффекты надо учитывать. Если их не учитывать, то, во-первых, ошибка в определении положения накапливается, а во-вторых, она все равно достаточно большая. Если у вас 10 миллиардных, то и ошибка в 3 метра. Понятное дело, что для определенных целей это большая ошибка. Я еще раз подчеркиваю, что системы ГЛОНАСС и GPS работают с точностью до 10 сантиметров. Соответственно, вы чувствуете эффекты общей и специальной теории относительности, и без них система работать не может.

Эмиль Ахмедов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики имени А. И. Алиханова, доцент кафедры теоретической физики МФТИ, доцент факультета математики НИУ ВШЭ.

ПостНаука
17 января 2017