Покажите, что топологическая размерность квадрата (с внутренностью) равна 2. Проверьте, что топологическая размерность ковра Серпинского равна 1. Чему равна его фрактальная размерность?

Забудьте о Вселенной и представьте себе резиновый коврик. Бросим на него легкий маленький мяч: он пойдет по прямой. Но если мяч будет тяжелым, сделанным, например, из камня, он отклонится от прямой линии и уйдет вбок. Также звезды и планеты искривляют пространство вокруг себя, проминают его и движутся по желобам. Это и есть идея Эйнштейна – пространство не является пустым, оно живет и передает силу другим телам. Солнце не могло бы передавать Земле силу притяжения в пассивной пустоте.

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного куба, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями куба. Грань красится в один цвет.

Сколькими способами можно раскрасить грани правильного тетраэдра, если в наличии есть три цвета? Два варианта раскраски считаются разными, если один нельзя получить из другого переворачиваниями тетраэдра. Грань красится в один цвет.

Квадратная таблица n×n заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого, не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее, чем n раз.