Математик Максим Казарян о римановых пространствах, гауссовой кривизне и фробениусовых многообразиях.

Непрерывная дробь — это выражение вида a0+(1/(a1+1/(a2+(1/(a3+… ))))), (конечное или бесконечное), где ai — натуральные числа. Выражения такого вида выглядят довольно забавными, но важность их заключается вовсе не в этом, а в том, что теория непрерывных дробей — это теория наилучших приближений иррациональных чисел рациональными. Например приближениие π≈22/7 точнее, чем более привычное 3,14=314/100, несмотря на то, что у первого знаменатель гораздо меньше второго. Каким образом это происходит, будет объяснено на занятиях.

Множество действительных чисел. Предел последовательности. Предел функции. Монотонные функции и их односторонние пределы. Число e. О-большое и о-малое. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Эквивалентные функции. Непрерывность функции. Точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора — Гейне. Обратная функция. Показательная функция.

Последовательности {a_n} вещественных чисел сопоставим последовательность экспонент {exp⁡(a_n)} на отрезке [−π,π]. При каких условиях на последовательность {a_n} эта система полна, то есть любую функцию можно приблизить линейной комбинацией наших экспонент? Вопрос становится особенно интересным, если последовательность {a_n} определяется случаем.

Речь о теореме Брауэра и её обобщениях. В поле зрения теорема о еже, фиксирующая невозможность причесать сферу без макушки. Эффективность инструмента (степень отображения, вращение векторного поля) иллюстрируется также на задачах о единственности решения и о количестве решений.

Множества. Функции. Отношения эквивалентности и порядка. Вещественные и комплексные числа. Числовые последовательности и ряды. Метрические пространства. Сепарабельность. Полнота. Пополнение. Вещественные и pадические числа пополнения рациональных чисел. Топология вещественной прямой. Теорема Бэра. Компакты. Множество Кантора. Непрерывные функции и их свойства. Фундаментальная группа окружности. Поточечная и равномерная сходимость последовательности функций. Топологические пространства. Топология поточечной сходимости. Производная и дифференциал. Производные высокого порядка. Формула Тейлора. Интеграл. Теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.

Лекции читает Аносов Дмитрий Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна. 2001 г.

Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.

Любой сигнал, будь то звук, изображение или другая функция, никогда не хранится в компьютере по точкам. Это дорого и неэффективно. Сигнал раскладывается в сумму других, «базовых» функций, и хранятся коэффициенты разложения. Главный вопрос — какую систему базовых функций использовать? И как построить хорошую систему, чтобы сигнал быстро и качественно воспроизводился и при этом занимал мало памяти? За это отвечает мощная и красивая математическая теория. В течение десятилетий базовыми функциями были синус и косинус, что естественно, учитывая природу звука. Это — ряды Фурье, изобретенные более 200 лет назад. Однако, к середине XX века стало ясно, что они не отвечают современным запросам.

Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина max_{x∈[−1,1]}|Pn(x)| принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы — последовательность полиномов Чебышева, который являются классическим примером семейства ортогональных полиномов.