Эволюционные процессы и философия общности положения
Эволюционные процессы происходят повсюду вокруг нас — от движения атомов до движения планет. Ньютон понял, что эти процессы описываются дифференциальными уравнениями, и что эти уравнения полезно решать. В последующие полтора столетия стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений решить нельзя. Пуанкаре создал новую ветвь математики — качественную или геометрическую теорию дифференциальных уравнений, которая изучает свойства решений непосредственно по уравнению, минуя попытки это уравнение решить. Оказалось, что даже на качественном уровне поведение решений может быть очень сложным. Ситуация резко упрощается, если «все» уравнения заменить на «типичные». С физической точки зрения интересны именно типичные дифференциальные уравнения. В лекциях будет рассказано об эволюции этих концепций и сформулированы некоторые нерешенные проблемы.
От слушателей требуется знать, что такое функция и ее производная. Владение основами дифференциальных уравнений полезно, но не необходимо: все необходимые определения из этой области будут сформулированы.
Ильяшенко Юлий Сергеевич, профессор, доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
24-25 июля 2005 г.
Похожее
-
Юлий Ильяшенко
Как менялись наши представления об аттракторах? Чего мы ожидаем от аттракторов? Предполагается, что слушатели знают определение и свойства компактных множеств в евклидовом пространстве, а также знакомы с определениями и примерами гомеоморфизмов и диффеоморфизмов. Последние определения будут даны в курсе, но лучше знать их заранее.
-
Юлий Ильяшенко
Пусть на плоскости (или на прямой) задано векторное поле: в каждой точке нарисован вектор. Этому полю можно сопоставить дифференциальное уравнение: точка x(t) движется «по стрелочкам» – так, что dx/dt=v(x(t)) при всех t. Типичный вопрос теории динамических систем – описать качественное поведение решений при t→+∞. Скажем, решения могут стремиться к устойчивому положению равновесия, «наматываться» на периодическую траекторию («предельный цикл»), и так далее. Следующий вопрос – а что будет, если система зависит от параметра, и мы начинаем этот параметр менять? Как будет изменяться качественное поведение системы?
-
Юлий Ильяшенко
Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.
-
Дмитрий Аносов
Как геометрические соображения помогают понять свойства решений дифференциальных уравнений. С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии лекции. Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.
-
Валерий Опойцев
Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.
-
Дмитрий Аносов
В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других—как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости.
-
В физике есть уравнения, описывающие всё, от растяжения пространства-времени до полёта фотона. Однако же лишь один набор уравнений считается настолько математически сложным, что его выбрали в роли одной из семи «Задач тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя предлагает премию в миллион долларов: это уравнения Навье-Стокса, описывающие течение жидкостей. Почему же эти уравнения, описывающие такие знакомые явления, как вода, текущая по шлангу, математически понять гораздо сложнее, чем, допустим, уравнения поля Эйнштейна, включающие в себя такие ошеломляющие объекты, как чёрные дыры? Ответ кроется в турбулентности. Это явление испытывали мы все, в полёте в неоднородном воздухе на высоте в 10000 м, или при наблюдении за воронкой от уходящей в слив воды в ванне. Однако из осведомлённости не следует познание: турбулентность — одна из наименее понятных областей физического мира.
-
Уравнения Навье-Стокса при помощи нескольких лаконичных членов описывают одно из самых распространённых явлений физического мира: течение жидкостей. Эти уравнения используются для описания всего, от океанских течений и турбулентности, следующей за самолётом до потока крови в сердце. Хотя физики считают эти уравнения надёжными, как молоток, математики относятся к ним с недоверием. Для математика то, что эти уравнения вроде бы работают, мало что значит. Им нужны доказательства того, что уравнения безошибочны: что для любой жидкости и для долгосрочного прогноза, распространённого сколь угодно далеко в будущее, математика уравнений не подведёт.
-
Сергей Куксин
Основным сюжетом, которому будет посвящена лекция, будет теория турбулентности, представляющая собой огромный вызов современной математике. А именно, в настоящий момент существует — созданная Колмогоровым, Онзагером и Дж. Тейлором — феноменологическая теория турбулентности. Эта теория, достаточно адекватно описывает явления, возникающие при нарастании скоростей (или, что то же самое, при уменьшении вязкости жидкости). Однако со времён её создания не было никаких продвижений в строгом её обосновании. Это — замечательный вызов!
-
Наталия Гончарук
В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.
Далее >>>
|
|
