|
||
|
|
||
| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Бифуркации векторных полей на плоскости // Наталия Гончарук |
Бифуркации векторных полей на плоскостиНаталия Гончарук
В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле, см. рис. 1. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — её скорости течения в разных точках.  Рис. 1. Векторное поле  Рис. 2. Фазовый портрет Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения, см. рис. 2. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему (красному) предельному циклу, а некоторые — к зелёному стоку в центре картинки. От внутреннего (синего) цикла все щепки отдаляются. Предварительных знаний не требуется. Для некоторых задач пригодится умение считать производные. Примерная программа На 1–2 занятиях я расскажу, куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). На 3 занятии я опишу, как ещё могут быть устроены фазовые портреты. На 3–4 занятиях мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы. Гончарук Наталия Борисовна Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 24-29 июля 2017 г.
ТегиПохожее
|
Хаос — математический фильм, состоящий из девяти глав, по тринадцать минут каждая. Это фильм для широкой публики, посвященный динамическим системам, эффекту бабочки и теории хаоса.
Грубо говоря, это гладкое отображение, которое растягивает в одних направлениях и сжимает в других. Про диффеоморфизмы Аносова было сформулировано много гипотез общего характера. Многие из них до сих пор открыты, несмотря на большой интерес, которых они вызывают. На первых двух занятиях мы обсудим различные свойства линейного отображения двумерного тора, заданного формулой (x, y) → (2x+y, x+y): устойчивое и неустойчивое направления, перемешивание, транзитивность, плотность периодических орбит. Кроме того, мы построим марковское разбиение, которое позволяет связать этот диффеоморфизм с цепью Маркова. На третьем занятии мы дадим общее определение диффеоморфизма Аносова и построим пример диффеоморфизма, действующий на более сложном многообразии. Последнее занятие будет посвящено открытым вопросам о диффеоморфизмах Аносова.
Параллельный перенос, поворот, поворотная гомотетия, композиция инверсии и осевой симметрии — частные случаи дробно-линейных отображений комплексной плоскости (в общем случае дробно-линейное отображение плоскости — это отображение, при котором точка z=x+iy переходит в точку (az+b)/(cz+d)). Как известно, инверсия выворачивает круг наизнанку: то, что было внутри, оказывается снаружи, и наоборот. Говорят, что набор дробно-линейных отображений f_1,…,f_g порождает группу Шоттки, если есть набор замкнутых жордановых кривых γ_1,…,γ_g, таких что: 1) Области, ограниченные кривыми γ_j, не пересекаются; 2) Под действием отображения f_j точки внутри γ_{2j-1} оказываются снаружи γ_{2j}, а точки снаружи γ_{2j-1} — внутри γ_{2j}.
Пусть на плоскости (или на прямой) задано векторное поле: в каждой точке нарисован вектор. Этому полю можно сопоставить дифференциальное уравнение: точка x(t) движется «по стрелочкам» – так, что dx/dt=v(x(t)) при всех t. Типичный вопрос теории динамических систем – описать качественное поведение решений при t→+∞. Скажем, решения могут стремиться к устойчивому положению равновесия, «наматываться» на периодическую траекторию («предельный цикл»), и так далее. Следующий вопрос – а что будет, если система зависит от параметра, и мы начинаем этот параметр менять? Как будет изменяться качественное поведение системы?| Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Бифуркации векторных полей на плоскости // Наталия Гончарук |
|
[time: 13 ms; queries: 7]
15 Ноя 2024 09:41:57 GMT+3 |