Теория функций и функциональный анализ – уникальная дисциплина второго круга математического образования, осваивая которую человек вдруг понимает, что ещё вчера за деревьями леса не видел. Это другой этаж мышления, виденья, понимания.
Чтобы днём увидеть звёзды, надо опуститься в глубокий колодец. По той же методе, чтобы увидеть скрытые пружины в привычных явлениях, надо подняться на более высокий уровень абстракции. А рассмотрев свысока невидимые на будничном уровне внутренние механизмы, мы получаем ключ к манипуляциям, вообще говоря, магического свойства. В том смысле, что наблюдающие за происходящим только извне, с того же уровня, как правило, диву даются. Мол, как до этого можно было додуматься!
В основе изложения лежит стандартный скелет:
метрические, нормированные и топологические пространства
теория меры, интеграл Лебега
компактные и предкомпактные множества
линейные операторы в банаховых и гильбертовых пространствах
спектральная теория
обобщённые функции
элементы нелинейного анализа
Характер и стиль изложения значительно отличается от традиционных учебников и лекционных курсов.
Главные отличия:
ищутся и предлагаются самые короткие пути к существу дела
краткость и ясность ставятся во главу угла
акценты на первичных понятиях, выявление скелета дисциплины
Что касается видео-лекций, то они ближе к обычному устному общению. На вид совсем элементарны. Но это и требуется для первого этапа освоения дисциплины. Потому что самое сложное в математике – это самые простые вещи, первичные понятия. Сопровождающие тексты не являются конспектами, а представляют собой параллельный материал, доступный для свободного скачивания (разумеется, бесплатного) либо использования в режиме онлайн. Тексты, с одной стороны, более лаконичны и отработаны, с другой – в содержательном отношении идут гораздо дальше видео-бесед. Другими словами, «видео» и текстовые файлы взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое.
Курс постепенно наполняется.
1. Метрические и нормированные пространства
Сюжеты развиваются в области, где не работает интуиция. Поначалу.
2. Теория меры, интеграл Лебега
Лебег, решая частную задачу, построил в итоге общую теорию меры, решив проблему в известном смысле окончательно. Все конструктивно задаваемые множества стали измеримыми.
3. Компактность и предкомпактность
В бесконечных размерностях часто образуется пустыня с редкими оазисами содержательно интересных фактов. На базе компактности функциональный анализ оживает. Вполне непрерывные операторы.
4. Топологическая техника
Из топологических пространств многое по-другому смотрится. Новый взгляд, новое освещение.
5. О линейных операторах в банаховых пространствах
О непрерывности линейных операторов в бесконечномерных пространствах. Примеры и контрпримеры.
6. Теорема Хана - Банаха
Важная (широко применяемая) теорема о продолжимости линейного функционала с сохранением нормы.
7. Сопряжённое пространство
Полезно обратиться сначала к понятию сопряжённого пространства в рамках линейной алгебры. Лекция "Сингулярные числа и сопряжённое пространство".
8. Идеальная выпуклость
Идеальная выпуклость в функциональном анализе относительно новое понятие. Эффективный инструмент, позволяющий коротко доказывать многие теоремы.
9. Слабая сходимость
Введение слабой сходимости (топологии) революционным образом меняет игровую площадку анализа. Возникают новые понятия замкнутости, компактности и, как следствие, новые возможности исследования операторов и уравнений.
10. Некоторые общие принципы
Рассматриваются принцип Банаха - Штейнгауза и принцип открытости отображения. Обсуждается также вопрос о глобальной обратимости отображения.
11. Вполне непрерывные операторы
Понятие полной непрерывности и его роль в линейном и нелинейном анализе.
Об основных особенностях гильбертовых пространств и о специфике теории линейных операторов в этих пространствах.
14. Теория обобщённых функций
О сути открытия теории обобщенных функций, перевернувшей "Дифференциальные уравнения" и "Урматы".
15. Линейные уравнения
Рассматриваются особенности линейных уравнений в бесконечномерных пространствах, а также уравнения Фредгольма.
16. Спектральная теория
Спектральный анализ линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой обобщение соответствующего раздела линейной алгебры. В новых обстоятельствах возникают принципиальные особенности.
17. Нелинейные операторы
Дифференцирование операторов, производные Фреше и Гато. Разрешимость уравнений, теоремы о неподвижных точках, принцип Шаудера.
Лекции читает Опойцев Валерий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор МФТИ, гл. н. с. ИПУ РАН. oschool.ru
Речь о теореме Брауэра и её обобщениях. В поле зрения теорема о еже, фиксирующая невозможность причесать сферу без макушки. Эффективность инструмента (степень отображения, вращение векторного поля) иллюстрируется также на задачах о единственности решения и о количестве решений.
Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1, такой что величина max_{x∈[−1,1]}|Pn(x)| принимает наименьшее возможное значение. Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы — последовательность полиномов Чебышева, который являются классическим примером семейства ортогональных полиномов.
Что характеризует «квантовую», или «некоммутативную», математику, которая на самом деле родилась вместе с квантовой механикой, но никто этого не заметил? Каким образом квантовая математика пыталась помирить двух великих физиков, да не смогла? О том, почему «настоящая» теорема отвечает не только на поставленный вопрос, но и на ряд еще не поставленных, — доктор физико-математических наук, профессор МГУ Александр Яковлевич Хелемский.
Вариационное исчисление — наука о поиске минимума функции в бесконечномерном пространстве. В отличие от привычных нам задач на минимум, когда нужно оптимальным образом выбрать число (параметр), или, скажем, точку на плоскости, в вариационных задачах требуется найти оптимальную функцию. При этом, одним и тем же набором средств решаются задачи самого разного происхождения: из классической механики, геометрии, математической экономики и т.д. Мы начнем со старых задач, известных с XVII века, и, перекидывая мостки от одной задачи к другой, быстро доберемся до современных результатов и нерешенных проблем.
Мы обсудим понятие, которое все используют, но о котором обычно рассказывают по ходу дела — о метрическом пространстве. Постараемся разобрать красивые примеры, обсудить факты и методы применяемые повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования и стеганографии — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра, компактности, теореме Вейерштрасса…
Будет рассказано о понятии, которое все используют, но обычно рассказывают по ходу дела — метрическом пространстве. Будет разобрано много красивых примеров, рассказано о фактах и методах применяемых повсюду: от дифференциальных уравнений до теории кодирования — пополнении, принципе сжимающих отображений, теореме Бэра.
В 1918 году Польша воссоединилась в единое государство, и в Варшаве, а после во Львове появились две сильные математические школы – теории множеств во главе с Вацлавом Серпинским и функционального анализа во главе со Стефаном Банахом. Об их возникновении и плодотворных результатах этот доклад.
Теория Колмогорова–Арнольда–Мозера отвечает на вопросы типа «Могут ли планеты упасть на Солнце? Если да, то с какой вероятностью? И через какое время?» Математическая постановка задачи: предположим, что массы столь малы, что их притяжением друг к другу можно пренебречь. Тогда траектории движения планет можно посчитать; это сделал ещё Ньютон. Если перейти к реальному случаю, когда взаимное притяжение планет влияет на их орбиты, получится малое возмущение интегрируемой, т.е. точно решаемой, системы. Исследование малых возмущений интегрируемых систем классической механики Пуанкаре считал основной задачей теории дифференциальных уравнений. В лекциях будет рассказано, на уровне, доступном старшим школьникам, об основных идеях теории КАМ. Мы не поднимемся до задачи n тел и классической механики, но обсудим диффеоморфизмы окружности и основной шаг индукционного процесса, предложенного Колмогоровым для задач небесной механики.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.
В 1918 году Польша воссоединилась в единое государство, и в Варшаве, а после во Львове появились две сильные математические школы – теории множеств во главе с Вацлавом Серпинским и функционального анализа во главе со Стефаном Банахом. Об их возникновении и плодотворных результатах этот доклад.
Выпуклость и неравенства. Неравенство Иенсена. Метод математической индукции. Среднее арифметическое больше среднего геометрического. Приёмы доказательств. Использование производных. О монгольском неравенстве. Метод интервалов. Неравенство с логарифмами.
Аристотель и Галилей о падении тел. Силы трения. Скольжение и качение. Статика, кинематика. Векторная природа сил и скоростей. Сложение и разложение. Независимость действий и движений. Сохранение количества движения. Момент силы и момент импульса. Гироскопы. Скамейка Жуковского. Вращательное движение. Момент силы и момент импульса в плоском варианте вращения. Вращение твёрдого тела и момент инерции. Работа, энергия, законы сохранения. Неинерциальные системы и силы. Центробежный эффект. Сила Кориолиса. Задача Эйнштейна о чаинках. Атмосферное давление. Законы Паскаля и Архимеда. Парадокс Архимеда.