Конгруэнтные числа и эллиптические кривые

Алексей Зыкин

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Задача о конгруэнтных числах, упоминавшаяся еще в арабских математических текстах X века, состоит в следующем: для каких рациональных чисел $s$ найдется прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и площадью $s$ ? Удивительным образом эта проблема оказывается связанной с самой современной математикой — ее решение может быть получено по модулю так называемой гипотезы Берча и Свиннертона-Дайра, входящей в список «Проблем тысячелетия» института Клэя и за решение которой предлагается миллион долларов. Я попытаюсь рассказать о том, откуда берется такая связь. По пути нам встретится множество объектов и теорем, имеющих огромную важность в современной арифметической геометрии и теории чисел. Мы обсудим эллиптические кривые и закон сложения на них, теорему Морделла–Вейля, поговорим о том, как полезно смотреть на решения уравнений по модулю простого числа $p$ и упомянем теорему Минковского–Хассе о квадратичных формах, по пути нам понадобятся такие классические утверждения как теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях и квадратичный закон взаимности. Наконец, если останется время, мы упомянем об L-функциях эллиптических кривых и модулярных формах, — то без чего невозможно представить современную теорию чисел.

Для понимания курса будет достаточно знаний о том, что такое абелева группа, поле $\mathbb{C}$ и конечное поле из $p$ элементов $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Кроме того, ближе к концу, понадобится умение обращаться с бесконечными суммами и произведениями.

В качестве материалов к курсу могут быть полезны вводная статья Keith Conrad'a про конгруэнтные числа, а так же более продвинутый обзор Guy Henniart. Для дальнейшего знакомства с предметом можно порекомендовать замечательную книгу Н. Коблица «Введение в эллиптические кривые и модулярные формы»», где подробно обсуждается задача о конгруэнтных числах. В качестве книг для более основательного знакомства с теорией эллиптических кривых можно посоветовать книгу Э.Кнэппа «Эллиптические кривые», а также, пожалуй, лучшую книгу по эллиптическим кривым, J.Silverman «The arithmetic of elliptic curves».

Зыкин Алексей Иванович, кандидат физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
20-22 июля 2012 г.

Комментарии: 0

Похожее

Римановы поверхности и модулярные формы

Владимир Успенский

Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Соответствующие определения будут даны в курсе.
Параллелизуемые сферы и алгебры с делением

Владимир Успенский

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.
Введение в p-адические числа

Keith Conrad

Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.
Числа Гурвица

Сергей Ландо

Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.
ABC-гипотеза и ее следствия

Keith Conrad

ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.
В поисках утраченной алгебры: в направлении Галуа

Аркадий Скопенков

Предлагаются наброски элементарных доказательств: теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников; теоремы о неразрешимости уравнений в вещественных радикалах; теорем Руффини-Абеля и Галуа о неразрешимости уравнений в комплексных радикалах. Приводимые доказательства не используют термина «группа Галуа» (даже термина «группа»). Несмотря на отсутствие этого термина, идеи приводимых доказательств являются отправными для теории Галуа (которая вместе с теорией групп развилась из опыта группировки корней многочлена, с помощью которой их можно выразить через радикалы). Приводимые идеи являются отправными также для конструктивной теории Галуа, активно развивающейся в настоящее время.
Что такое алгебраическая геометрия

Михаил Цфасман

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.
Способы проверки простоты числа

Keith Conrad

Когда Гаусс написал в 1801 г., что «Проблема различения простых и составных чисел и разложения последних на простые сомножители, как известно, является одной из самых важных и полезных в арифметике» он не знал, что 200 лет спустя эта проблема будет иметь огромное значение для криптографии: ее приложениями каждый день пользуются миллионы людей. Мы обсудим, как проверить простоту целых чисел детерминированными и вероятностными алгоритмами. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов, включая малую теорему Ферма.
Знак гауссовой суммы

Владимир Успенский

Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма S_m всегда положительна, так что S_m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены.
Аналогия целые числа — многочлены

Keith Conrad

И целые числа, и многочлены (от одной переменной с коэффициентами в Q, R или Z/pZ) можно делить с остатком. Эта и подобные аналогии в структуре целых чисел и многочленов играли и продолжают играть важную роль в математике, особенно в теории чисел. В этом курсе мы исследуем такие аналогии в контексте теории чисел: на примере непрерывных дробей, уравнения Пелля, квадратичных вычетов, и abc-гипотезы. От слушателей требуется знакомство с пределами и арифметикой вычетов.

Далее >>>

∀ x, y, z

Конгруэнтные числа и эллиптические кривые

Алексей Зыкин

Теги

Похожее