x, y, z

В поисках утраченной алгебры: в направлении Галуа

Аркадий Скопенков

Комментарии: 0
Часть 0. Вводная лекция

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Предлагаются наброски элементарных доказательств:

  1. теоремы Гаусса о построимости правильных многоугольников;
  2. теоремы о неразрешимости уравнений в вещественных радикалах;
  3. теорем Руффини-Абеля и Галуа о неразрешимости уравнений в комплексных радикалах.

Приводимые доказательства не используют термина «группа Галуа» (даже термина «группа»). Несмотря на отсутствие этого термина, идеи приводимых доказательств являются отправными для теории Галуа (которая вместе с теорией групп развилась из опыта группировки корней многочлена, с помощью которой их можно выразить через радикалы). Более подробно см. философско-методическое отступление (стр. 11). Приводимые идеи являются отправными также для конструктивной теории Галуа, активно развивающейся в настоящее время.

Определения построимости и разрешимости в радикалах будут приведены. Для понимания доказательств достаточно знакомства с многочленами и умения извлекать корни из комплексных чисел. В конце доказательства будет использована также теорема о размерности башни расширений, которая будет напомнена на простом языке.

Материалы:
В поисках утраченной алгебры: в направлении Гаусса (подборка задач);
Разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах.

Литература:
A. Skopenkov. Yet another proof from the Book: the Gauss theorem on regular polygons;
A. Skopenkov. Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals;
A. Skopenkov. A simple proof of the Abel-Ruffini theorem;
Leonid Lerner. Galois Theory without abstract algebra.

Скопенков Аркадий Борисович, кандидат физико-математических наук.

Летняя школа «Современная математика», г. Дубна
23-28 июля 2012 г.
Комментарии: 0