Общая постановка такова. Пусть

— некоммутативный многочлен от матриц порядка
. Каким может быть множество его значений? И. Капланский и И. В. Львов поставили вопрос (см.
Днестровская тетрадь, 1.98) о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство (в этом случае оно совпадает либо с нулем, либо с пространством всех матриц, либо с пространством бесследовых матриц, либо со скалярными матрицами). Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалось весьма нетривиальным и глубоким. Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах, помимо прикладного значения имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе: если добавить новую некоммутативную переменную и соотношение, где та участвует, то это не приведет к появлению новых соотношений. Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе — в частности, в матрицах второго порядка.
Белов Алексей Яковлевич — доктор физико-математических наук.
Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, г. Дубна
20-25 июля 2018 г.