Те из вас, кто катался на речных пароходах по каналам России, наверняка заметили одинокую, то ли стоящую, то ли бегущую волну, сопровождавшую ваш пароход. Это — солитон. Математическая теория этого явления природы (именно, как строить простейшие солитонные уравнения) будет объяснено на лекции. (Для понимания этого достаточны базовые знания по линейной алгебре.) Кроме того, речь пойдет о связанной с теорией солитонов классификации коммутирующих операторов, вытекающей отчасти из соображений алгебраической геометрии (которые на лекции будут пояснены).
Кричевер Игорь Моисеевич, доктор физико-математических наук, профессор.
Летняя школа «Современная математика», г. Дубна.
20 июля 2010 г.
Человеку даже без специального физического или технического образования несомненно знакомы слова «электрон, протон, нейтрон, фотон». А вот созвучное с ними слово «солитон» многие, вероятно, слышат впервые. Это и неудивительно: хотя то, что обозначается этим словом, известно более полутора столетий, надлежащее внимание солитонам стали уделять лишь с последней трети XX века. Солитонные явления оказались универсальными и обнаружились в математике, гидромеханике, акустике, радиофизике, астрофизике, биологии, океанографии, оптической технике. Что же это такое – солитон?
Как рождаются красивые созвучия и диссонансы? Что такое музыкальные иллюзии? Чем отличаются звуки ударных и струнных инструментов? В чем «магия» чисел 12 и 24 для композиторов? Лекция сопровождается показом большого числа интересных демонстраций!
Вам, наверняка, хоть раз в жизни доводилось стоять у дороги, по которой проносится машина со спецсигналом и включенной сиреной. Пока вой сирены приближается, его тон выше, затем, когда машина поравняется с вами, он понижается, и, наконец, когда машина начинает удаляться, он понижается еще, и получается знакомое: ййййииииээээЭААААОоооуууумммм — такой примерно звукоряд. Сами того, возможно, не сознавая, вы при этом наблюдаете фундаментальнейшее (и полезнейшее) свойство волн.
Смысл принципа Гюйгенса проще всего понять, если представить себе, что гребень волны на водной поверхности на мгновение застыл. Теперь представьте, что в этот миг вдоль всего фронта волны в каждую точку гребня брошено по камню, в результате чего каждая точка гребня становится источником новой круговой волны. Практически всюду вновь возбужденные волны взаимно погасятся и не проявятся на водной поверхности. И лишь вдоль фронта исходной волны вторичные маленькие волны взаимно усилятся и образуют новый волновой фронт, параллельный предыдущему и отстоящий от него на некоторое расстояние. Именно по такой схеме, согласно принципу Гюйгенса, и распространяется волна.
Что заставляет взаимодействовать все в нашей Вселенной? Ускоряются ли тела или замедляются, меняют свое направление или мчатся вперед – почему они ведут себя именно так? Какие законы являются общими и для малейших частиц и для Галактик? С чего все началось, как развивается и как работает? Эти и другие вопросы волновали человека с самых древних времен… Где же ключ к пониманию тайн механической Вселенной? США, 1985 год.
Основным сюжетом, которому будет посвящена лекция, будет теория турбулентности, представляющая собой огромный вызов современной математике. А именно, в настоящий момент существует — созданная Колмогоровым, Онзагером и Дж. Тейлором — феноменологическая теория турбулентности. Эта теория, достаточно адекватно описывает явления, возникающие при нарастании скоростей (или, что то же самое, при уменьшении вязкости жидкости). Однако со времён её создания не было никаких продвижений в строгом её обосновании. Это — замечательный вызов!
Что такое вихревая турбулентность и чем она отличается от волновой? Чем определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке? Почему турбулентность до сих пор остается «белым пятном» в классической механике? О физических принципах, лежащих в основе этого явления, — академик РАН Владимир Захаров.
Колодец, пронзающий Землю насквозь — классический виртуальный объект, на примере которого можно изучить одновременно закон всемирного тяготения и гармонические колебания. Физики оценили время падения объекта в колодце, проходящем через центр Земли c учетом влияния сопротивления воздуха в колодце или возможного трения о его стенки. Последняя оценка показывает, что падение к центру Земли займет по меньшей мере 1,8 года.
Лекция академика РАН, доктора физико-математических наук, председателя научного совета РАН по нелинейной динамике, зав. Сектором математической физики в Физическом институте РАН им. Лебедева, профессора Университета Аризоны (США), дважды лауреата Государственной премии, лауреата медали Дирака Владимира Евгеньевича Захарова, прочитанной 27 мая 2010 года в Политехническом музее в рамках проекта “Публичные лекции Полит.ру”.
Волны — один из двух путей переноса энергии в пространстве (другой путь — корпускулярный, при помощи частиц). Волны обычно распространяются в какой-то среде (например, волны на поверхности озера распространяются в воде), однако направление движения самой среды не совпадает с направлением движения волн. Представьте себе поплавок, покачивающийся на волнах. Поднимаясь и опускаясь, поплавок повторяет движения воды, в то время как волны проходят мимо него. Явление интерференции происходит при взаимодействии двух и более волн одинаковой частоты, распространяющихся в различных направлениях.
Вам, наверняка, хоть раз в жизни доводилось стоять у дороги, по которой проносится машина со спецсигналом и включенной сиреной. Пока вой сирены приближается, его тон выше, затем, когда машина поравняется с вами, он понижается, и, наконец, когда машина начинает удаляться, он понижается еще, и получается знакомое: ййййииииээээЭААААОоооуууумммм — такой примерно звукоряд. Сами того, возможно, не сознавая, вы при этом наблюдаете фундаментальнейшее (и полезнейшее) свойство волн.
Смысл принципа Гюйгенса проще всего понять, если представить себе, что гребень волны на водной поверхности на мгновение застыл. Теперь представьте, что в этот миг вдоль всего фронта волны в каждую точку гребня брошено по камню, в результате чего каждая точка гребня становится источником новой круговой волны. Практически всюду вновь возбужденные волны взаимно погасятся и не проявятся на водной поверхности. И лишь вдоль фронта исходной волны вторичные маленькие волны взаимно усилятся и образуют новый волновой фронт, параллельный предыдущему и отстоящий от него на некоторое расстояние. Именно по такой схеме, согласно принципу Гюйгенса, и распространяется волна.
Что заставляет взаимодействовать все в нашей Вселенной? Ускоряются ли тела или замедляются, меняют свое направление или мчатся вперед – почему они ведут себя именно так? Какие законы являются общими и для малейших частиц и для Галактик? С чего все началось, как развивается и как работает? Эти и другие вопросы волновали человека с самых древних времен… Где же ключ к пониманию тайн механической Вселенной? США, 1985 год.
Основным сюжетом, которому будет посвящена лекция, будет теория турбулентности, представляющая собой огромный вызов современной математике. А именно, в настоящий момент существует — созданная Колмогоровым, Онзагером и Дж. Тейлором — феноменологическая теория турбулентности. Эта теория, достаточно адекватно описывает явления, возникающие при нарастании скоростей (или, что то же самое, при уменьшении вязкости жидкости). Однако со времён её создания не было никаких продвижений в строгом её обосновании. Это — замечательный вызов!
Что такое вихревая турбулентность и чем она отличается от волновой? Чем определяется порядок величины диссипации энергии в турбулентном потоке? Почему турбулентность до сих пор остается «белым пятном» в классической механике? О физических принципах, лежащих в основе этого явления, — академик РАН Владимир Захаров.
Колодец, пронзающий Землю насквозь — классический виртуальный объект, на примере которого можно изучить одновременно закон всемирного тяготения и гармонические колебания. Физики оценили время падения объекта в колодце, проходящем через центр Земли c учетом влияния сопротивления воздуха в колодце или возможного трения о его стенки. Последняя оценка показывает, что падение к центру Земли займет по меньшей мере 1,8 года.
Волны — один из двух путей переноса энергии в пространстве (другой путь — корпускулярный, при помощи частиц). Волны обычно распространяются в какой-то среде (например, волны на поверхности озера распространяются в воде), однако направление движения самой среды не совпадает с направлением движения волн. Представьте себе поплавок, покачивающийся на волнах. Поднимаясь и опускаясь, поплавок повторяет движения воды, в то время как волны проходят мимо него. Явление интерференции происходит при взаимодействии двух и более волн одинаковой частоты, распространяющихся в различных направлениях.