Алиса падает в кроличью нору. The Walt Disney Company / Alice in Wonderland, 1951

Колодец, пронзающий Землю насквозь — классический виртуальный объект, на примере которого можно изучить одновременно закон всемирного тяготения и гармонические колебания. Задача о падении тела в колодце, который проходит через центр Земли, хорошо известна и легко решается, если сделать ряд предположений. Во-первых, будем считать, что масса Земли распределена равномерно, во-вторых, что в колодце нет воздуха. Тогда, составив второй закон Ньютона, мы увидим, что оно похоже на уравнение гармонического осциллятора, иными словами — маятника.

Уменьшение силы тяжести при увеличении глубины. Иллюстрация: Я.И. Перельман, "Занимательная физика"

Подставив все величины окажется, что период колебаний тела, падающего через центр Земли равен 84 минутам, а значит путь из одной точки земного шара в противоположную ей займет всего 42 минуты, если успеть выбраться из колодца.

Вывод уравнения колебаний тела, свободно падающего в колодец, который проходит через центр Земли

Если учесть современные знания о строении Земли, то в это уравнение стоит добавить колебания плотности нашей планеты в зависимости от расстояния от центра. Это проделал в 2015 году канадский аспирант Александр Клотц. Статья с подробностями расчета была опубликована в журнале American Journal of Physics.

При расчете времени падения, а также закона движения тела считают, что Земля в каждой своей точке обладает одинаковой плотностью — около 5,5 тонн на кубометр. Тогда оказывается, что положение тела в разные моменты времени меняется по законам синуса или косинуса (по такому же закону, например, меняется отклонение маятника от вертикали) — это и есть пример гармонических колебаний. Время падения оказывается равным 42 минутам.

Использованная зависимость плотности Земли и полученная зависимость ускорения свободного падения. По оси абсцисс — расстояние от центра планеты

Однако плотность Земли не является величиной постоянной. Александр Клотц захотел решить эту задачу более точно и взял распределение плотности по одной из принятых на сегодня моделей строения Земли — от тонны на кубометр на поверхности до 13 тонн на кубометр в центре Земли, с резким изменением на границе внешнего ядра (около 3500 километров от центра). Оказалось, что суммарное время падения должно составить 38 минут 11 секунд вместо 42 минут 12 секунд.

Любопытно, что практически такой же результат можно получить, просто считая значение силы тяжести не меняющимся при движении вглубь планеты. Тогда плотность Земли принимается бесконечно увеличивающейся по мере приближения к центру. В реальности плотность ядра практически постоянна в разных его точках, но в пределах ядра тело проводит столь мало времени, что разница между очень грубой моделью и реальностью просто не успевает оказать воздействие на результат.

В 2016 году физики из Кинг колледжа (Пенсильвания) уточнили время падения объекта в колодце, проходящем через центр Земли. Для того, чтобы сделать оценку более реалистичной авторы новой работы сделали следующий шаг и учли влияние сопротивления воздуха в колодце или возможного трения о его стенки. Обновленная оценка показывает, что падение к центру Земли займет по меньшей мере 1,8 года. Расчеты опубликованы на сервере препринтов arXiv.org.

Атмосферный столб в колодце в можно описать с помощью барометрической формулы. Она предсказывает, что давление при приближении к центру Земли растет экспоненциально. К примеру, согласно ей на глубине 5,8 километров под землей давление достигает двух атмосфер. Это предсказание можно проиллюстрировать замерами давлений в одной из африканских шахт: при глубине в 3,8 километра, давление там достигает 1,6 атмосферы.

Распределение плотности азота, в зависимости от глубины

При 58 километрах глубины давление должно уже превышать 1000 атмосфер — газ при этом перестает вести себя как идеальный. Поэтому авторы использовали модифицированную барометрическую формулу, описывающее сжатие газа при высоких давлениях. Однако, даже она дает плотность газа (ученые рассматривали для простоты чистый азот) сопоставимою с плотностью воды — около 650 килограмм на кубометр при глубине 175 километров. Такая плотная среда сильно ограничивает скорость падения. По оценке физиков, время падения к центру Земли составит 1,8 года, а вылет с другой стороны колодца невозможен.

Получив этот вывод авторы попробовали оценить, может ли транспортировка в вакуумном колодце (например, поезд) быть сопоставима с простым перелетом вдоль большой окружности Земли. Ученые нашли силу трения, при которой использование такого транспорта будет выгоднее меридионального перелета на Airbus A380. Она составляет 0,35 ньютона на каждый килограмм массы груза.

Физики заключают, что несмотря на то, что постройка такого колодца невероятно дорога и технически сложна — практически невозможна — скорость передвижения через вакуумированный тоннель на порядки превышает скорость полета на самолете. Поэтому более развитое технически общество будущего может найти преимущества в постройке такого сооружения.