Математик Владимир Побережный о том, из чего состоят комплексные дифференциальные уравнения, об обратных задачах монодромии, понятии горизонтальности и топологическом характере препятствий.

Это задача классическая. Одна из обратных задач монодромии, связанная с комплексными линейными дифференциальными уравнениями. Из чего она состоит? Какие характеристики у решения уравнения могут быть? Могут быть асимптотики в особых точках — это то, насколько быстро решение растет или убывает при приближении к этим особенностям уравнения. Также это ветвления. Что такое ветвления? Это такое специальное свойство, специальная характеристика для комплексных линейных уравнений. Это специфика комплексного анализа, комплексных функций. Если мы рассматриваем вещественные функции, допустим, на двумерной плоскости, как мы в школе учим: ось x, ось y, рисуем какой-нибудь график функции y=f(x) — если мы рисуем график на кусочке, на отрезке от 0 до 1, от A до B и хотим, чтобы он был гладким (математическое понятие гладкости здесь вполне адекватно приближается к обычным житейским — кривая и гладкая), и если мы теперь хотим продолжить его направо или налево куда-то за границы нашего отрезка так, чтобы оставался гладким этот график, то это мы можем сделать очень многими разными способами. Да, казалось бы, гладких кривых без углов, без изломов, без проблем нарисовать можно очень много, но в комплексном мире это оказывается не так. Комплексный мир, во-первых, с вещественной точки зрения двумерный. Комплексная переменная живет на плоскости, а если у вас там задан кусочек гладкого графика и если задан гладкий график над плоскостью, то это какая-то пленочка или шапочка, висящая над ней, то уже во все остальные стороны он продолжается определенным жестким образом. Это называется аналитическим продолжением. Но что оказывается интересным: по вещественной прямой мы можем ездить направо и налево, по плоскости мы можем продолжать по путям, по кривым, и мы продолжаем и продолжаем — наша пленочка расширяется, растет, покрывает, и мы можем вернуться в исходную точку, обойдя по петле в плоскости, и получить уже не исходную пленочку, а какую-то другую, выше или ниже.

То есть продолжение устроено жестко, оно фиксировано, но неоднозначно. Комплексные аналитические функции бывают неоднозначными, то есть график — это не какая-то пленка или поверхность над плоскостью, а, например, несколько слоев, может быть, бесконечно много слоев, как-то сложно переплетенных, — такая обобщенная картинка. Оказывается, с комплексным дифференциальным уравнением, с линейным особенно, связана такая характеристика: если уравнение линейное, значит, у него линейное пространство решений, конечномерное векторное пространство. Вы обошли как-то вокруг особой точки, и ваше решение как-то изменилось: оно представлялось одним образом в базисе, и в каком-то базисе этого конечномерного пространства оно представляется другим образом. Это называется оператор монодромии, локальная монодромия. Как она устроена? Можно представлять это таким образом, что у нас тут есть какие-то этажи — почти как здание, а этажи — это наши слои пленок, также есть какие-то такие колодцы — это окрестности особых точек. Мы эти колодцы как-то застраиваем чем-то таким вроде винтовых лестниц, то есть какие-то этажи соединяем: первый, второй, третий соединяем, а можем второй и четвертый и так далее. Причем наши комплексные лестницы устроены таким забавным образом: например, мы можем сделать один оборот как по обычной лестнице, идем по кругу, поднимаемся с первого этажа на второй, прошли еще круг со второго на третий. В комплексной лестнице они устроены так, что, например, можно подняться с первого на второй, со второго на третий, а потом сделать еще один тур и внезапно оказаться не на четвертом, а на первом этаже. Происходит такое ветвление.

Соответственно, с каждым линейным уравнением связаны его асимптотики и ветвления. Локальные ветвления и это преобразование решений при обходе особой точки называется монодромией. Из локальных монодромий можно составить глобальную монодромию. Что значит глобальная? Локальная — мы сказали, что мы вошли, пошли вокруг точки, прошли 10 метров налево, затем 10 метров прямо, повернули налево, прошли 10 метров, прошли по маленькому квадратику — это мы внутри лестничной клетки поднялись на этаж. А теперь можно задать такой вопрос: «Хорошо, мы поднялись на какой-то этаж, а теперь давайте по этому этажу дойдем до какой-нибудь соседней лестницы и по ней перейдем как-то?» Что произойдет? Оказывается, это не очень банальная задача, потому что на самом деле нумерация этажей в каждой лестничной клетке своя. Если мы здесь находимся на четвертом этаже с точки зрения этой лестницы, то там уже не очень понятно, на каком мы этаже. Вообще-то эти этажи, конечно, нумеруются еще и не одним числом, а несколькими, как клетки в игре «Морской бой» и так далее. Это называется представлением монодромии. И собственно, наверное, один из первых вопросов из обратных задач монодромии поставил Риман: построить хотя бы простейшее дифференциальное линейное уравнение некоторого специального класса с заданными монодромиями, с заданным представлением монодромии. Почему нужен какой-то класс? Потому что, если мы просим любое уравнение, вообще говоря, почти всегда можно построить что-то. Нужны какие-то ограничения. Мы знаем классические задачи: построить что-то циркулем и линейкой.

Если мы строим чем угодно, то мы можем построить что угодно: компьютером, принтером или чем-то еще. Если мы строим циркулем и линейкой, то это какие-то ограничения. Здесь то же самое: если мы просим любое уравнение, всегда можно что-то подобрать, поэтому нужно уравнение некоторого специального класса, так называемое фуксовое уравнение. Оно дает оценку. Вообще-то это требование на коэффициент уравнения. Они должны иметь так называемые полюса или не очень плохие особенности. Или это требование на проведение решения, что то же самое в случае линейных уравнений: они должны расти не более чем полиномиально. Классическую задачу середины XIX века поставил Риман. Прошло меньше 50 лет, наверное, когда Пуанкаре заметил, что исходная задача была про линейные дифференциальные уравнения k-го порядка или n-го порядка. Пуанкаре заметил, что такая задача не может быть решена, потому что монодромий, то есть способов ходить по этажам, существенно больше, чем классовых уравнений — уравнений, которые мы рассматриваем. То есть монодромия задается, допустим, десятью параметрами такого класса, а уравнение — пятью. В два раза больше, не хватает. Числа, конечно, и выражения другие, но в общем случае, если точек больше трех, а порядок уравнения больше двух, уравнений сильно меньше, чем наших представлений группы монодромий. Пришлось уточнить задачу.

Следующий вариант был такой: построить систему линейных дифференциальных уравнений, но уже первого порядка, то есть у нас теперь переменная не функция, а вектор, но зато система уже первого порядка, то есть y’=а(zy), где y — это какой-то вектор длины b или k, а(z) — матрица с полюсами первого порядка — фуксовая система. И ровно в такой формулировке это вошло в список знаменитых проблем Гильберта. Это двадцать первая проблема Гильберта, или проблема Римана — Гильберта: построить по заданному представлению монодромии и набору особых точек фуксовую систему на сфере Римана, чтобы у нее были именно такие особые точки и именно такая монодромия. Что значит на сфере Римана? Это означает комплексную плоскость. Но тут опять стандартная математическая вещь: комплексная плоскость некомпактна, у нее есть далекие окраины, поэтому, когда мы хотим построить что-то, некомпактность — это плохо, потому что, если у нас возникает какая-то проблема, мы ее всегда можем запихнуть куда-нибудь далеко в край и уйти. Надо компактифицировать, то есть краев быть не должно. И, может быть, многие представляют себе: рассматривает вместо комплексной плоскости — переходит к сфере, то есть добавляет бесконечность, и плоскость превращается в сферу, и эту задачу рассматривают. Так вот, хочется на этой сфере Римана построить систему дифференциальных уравнений первого порядка комплексно с такими ветвлениями и с таким классом особенностей. Риман, соответственно, свой список задач, как известно, доложил на математическом конгрессе как программное заявление, и этим интересно заниматься если не в ближайшие 100 лет, но в какой-то ближайшей перспективе.

Известно, что, с точки зрения Гильберта и современников, сложность задач, как правило, оказывалась не такой неадекватной реальной сложности решений, то есть какие-то задачи, про которые они думали, что они будут вот-вот решены, оказались отложены надолго, а какие-то, которые казались сложными, наоборот, решились быстро. В данном случае довольно быстро, то есть Гильберт рассказывал в первой половине 1900-х годов, а уже до Первой мировой войны, в 1912 или 1914 году, математик Племель (это происходило в Австро-Венгрии, он тогда работал в гвардии Черновцов) уже заявил, что есть решение, и даже как-то анонсировал и начал публикацию. Он опубликовал первую часть работы и сказал, что сейчас будет окончание, и окончание вышло после Второй мировой войны, лет через 40. Причем, действительно, вроде бы (я точно сказать не могу, но насколько я понимаю) проблема была не в том, что что-то не сходится, а просто как-то руки не доходили.

И жизнь, конечно, тоже была: Первая мировая война, Вторая мировая война, и в итоге он, по-моему, в Югославии оказался вместо Черновцов. Задача была решена, и вся деятельность довольно успокоилась. Это считалось отдельной областью математики, и где-то в конце 1970-х годов внезапно оказалось, что эти задачи — и проблема Римана, и проблема изомонодромных деформаций — имеют отношение к современной тогда (и сейчас довольно современной) математической физике — к квантовой теории поля. Возникли работы японских математиков, которые показали, что действительно есть связь с этими задачами. И в это же время Андрей Андреевич Болибрух и Юлий Сергеевич Ильяшенко заметили, что в этом доказательстве Племеля есть не то чтобы ошибки, а скорее неполнота, то есть у него как строилось доказательство: давайте мы опять построим плохое уравнение и будем его по чуть-чуть исправлять. У плохого уравнения есть k проблем — давайте их решать по одной. Был предъявлен способ, как решать десятую проблему, не портя исправленные первые девять, потом одиннадцатую и так далее. И дальше так все и заканчивалось: давайте так все проблемы и решим. Но, как оказалось (и это не скрывалось, все знали), чтобы решить десятую проблему, не портя первых девяти, обычно используется то, что у нас есть одиннадцатая и двенадцатая и так далее. Хорошо, все точки можно починить, остается одна, и ее починить уже можно не всегда. Возникла проблема, но всё равно все были уверены, что результат положительный. Всегда можно предъявить эту штуку, эту систему. Всеми был признан результат. Доказательство неполное, но результат все равно все считали верным.

Это как с теоремой Ферма. Ее больше 300 или 400 лет доказывали, но никто не сомневался, что все верно. Так и здесь: доказательство не совсем полное, но верное. Андрей Андреевич Болибрух начал исследование и в конце концов внезапно, во-первых, получил контрпример, то есть предъявил набор точек и представление монодромии, которое реализовать нельзя, а во-вторых, получил тоже очень сильный результат — достаточное условие. Достаточное условие формулируется в терминах неприводимости. Что значит «неприводимости»? Это значит, что в вашем каком-то множестве этажей нет такого подмножества, что мы начинаем ходить по всем на свете лестницам и никогда не уходим с этих, например, десяти выделенных этажей. Если это возможно и если есть такое подмножество, то это называется приводимое представление, приводимое действие. Если его нет, то есть все этажи, грубо говоря, перемешиваются и можно из любой точки попасть в другую точку, то это неприводимость. И неприводимость оказалась достаточным условием положительного решения. Приводимые представления уже необязательно решаются. Очень интересно было устроено решение. Для него была развита совершенно новая техника, причем она начала развиваться еще до Болибруха. В годы, когда считалось, что все решено, оказалось, что, казалось бы, формальная задача, какие-то уравнения (это ближе к алгебре) решались таким геометрическим подходом, геометрическими методами, в терминах расслоения и связности. Что это такое? И вообще, что такое многообразие?

Это то, что локально выглядит как кусочек в евклидовом пространстве. Самый простой пример — это Земля. Карту маленького кусочка Земли мы можем нарисовать. На квадратном листе бумаги нарисовать квадратный кусок Земли можно. Чем меньше этот кусок Земли, тем лучше будет карта, то есть квадратный метр можно просто сфотографировать идеально. Сто квадратных метров уже хуже, а карту Земли мы, как ни будем стараться, на одном листе бумаги не нарисуем так, чтобы без разрезов, без проблем. Мы знаем, что Америку приходится рисовать два раза — слева и справа, еще какие-то разрезы и так далее, потому что сфера — это многообразие. Наша сфера является многообразием, и если мы рассматриваем функции на прямой, то это… Мы знаем, что связность связана с обобщением понятия горизонтали. Что такое горизонтальная кривая? Мы знаем, что это решение уравнений y’=0 в плоскости ху. У нас не одна карта, а несколько карт, и у нас горизонтальность в одной карте необязательно дружит с понятием горизонтальности в другой карте. Если такой объект все-таки можно определить, то есть твердо задать смысл слова «горизонтальный» уже для набора этих пересекающихся карт, покрывающих разные кусочки, то это называется связность. Оказалось, что наша задача как раз переформулируется естественно геометрически и решается, и правильно ее ставить именно в терминах расслоения и связности. Именно этим занялся Болибрух, получил положительный ответ для неприводимых представлений и показал, что для приводимых представлений препятствие имеет топологический характер.

Владимир Побережный, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник международной лаборатории теории представлений и математической физики, доцент факультета математики НИУ ВШЭ.