Глава 13. Математические игры на шахматной доске

Шахматная игра создавалась на протяжении многих веков и ее правила неоднократно менялись. С точки зрения математики, движение шахматных фигур и форма доски имеют весьма условный характер. Существует множество самых разнообразных игр на прямоугольных досках, теория которых занимает значительное место в математической литературе. Одних только шашечных игр. известно больше десятка: русские, стоклеточные, шашка Ласкера, поддавки, уголки и др. Даже современные шахматы имеют ряд разновидностей, в основном - в неевропейских странах. Например, Гарднер рассказывает о японских шахматах (соги), китайских (цюнь ки), корейских (тьян-кеуи). Сейчас мы остановимся на некоторых шахматных играх и задачах (содержащих математические элементы), в которых доска или правила игры отличаются от обычных.

До первого шаха. В этой игре все, как в настоящих шахматах, только выигрывает не тот, кто «первым» дает мат, а тот, кто первым объявляет шах. При нормальной начальной позиции белые форсированно побеждают, причем не позднее пятого хода.
1. Кb1-c3. Грозит выпад коня на e4, d5 или b5 с неизбежным шахом, у черных единственный ответ:
1. … e7-e6 (1. … e5 не спасает из-за 2. Кd5 и 3. Кf6 с шахом). Теперь после
2. Кc3-e4 Крe8-e7
3. Кg1-f3 второй конь с решающим эффектом вступает в игру.
3. … Фd8-e8 (3. … d6 4. Кd4)
4. Кf3-e5 и шах следующим ходом.

Чтобы «оживить» игру, следует каким-либо образом изменить начальную позицию, например передвинув белую пешку с c2 на c3, а черную - с c7 на c6. Теперь невозможен первый ход 1. Кc3, и форсированного выигрыша уже не видно, например после 1. Фb3 d5 2. Фb4 Фd6! 3. Фa4 Сd7 4. Фh4 Кf6 черный король надежно защищен.

Двухходовые шахматы. В этой игре каждый ход белых и черных состоит из двух обычных. Такое изменение правил позволяет доказать следующий неочевидный и неожиданный факт.

При правильной игре в двухходовые шахматы белым, по меньшей мере, гарантирована ничья.

Попробуем доказать это от противного. Пусть прн наилучшей игре обеих сторон белые проигрывают. После 1. Кb1-c3-b1 сохраняется начальная позиция, а первый ход уже принадлежит черным. Фактически теперь черные играют белыми и, по предположению, проигрывают. Противоречие.

Кажется, все правильно Однако это доказательство не совсем точно. После первого хода белых позиция действительно повторяется, но ситуация иная! Так, после 1. … Кg8-f6-g8 2. Кb1-c3-b1 белые еще не могут требовать ничью, а черные могут, поскольку 2. … Кg8-f6-g8 приводит к троекратному повторению исходной позиции при ходе белых. Таким образом, нельзя считать, что после 1. Кb1-c3-b1 «черные играют белыми» - возможности сторон разные. Кстати, аналогичный пример можно привести и на «правило 50 ходов».

Примечательно, что эту весьма тонкую ошибку в доказательстве обнаружил академик А. Н. Колмогоров.

Приведем теперь строгое доказательство. По-прежнему считаем, что черные при безукоризненной игре обеих сторон выигрывают. Будем играть одновременно на двух досках. На первой пойдем 1. Кb1-c3-b1, а ответный ход черных воспроизведем на второй доске со стороны белых. Затем ответ черных на второй доске повторим ва первой за белых, ход черных на первой - за белых на второй и т. д. По нашему.предположению, черные выигрывают и, значит, наступит момент, когда на первой доске своим очередным ходом они объявят мат белому королю. Но тогда на второй доске при повторении этого хода 8а белых возникнет позиция, в которой мат пол у чарт черный король! Но ведь черные и на второй доске играли безошибочно. Противоречие.

Заметим, что в отличие от ловкого обманщика, игралшего с Ласкером и Капабланкой одну партию белыми, а другую черными (см. главу 12), мы действовали абсолютно честно - обе партии играли одним цветом!

Наше доказательство, как говорят математики, неконструктивно. Мы доказали, что белые могут не проиграть в двухходовые шахматы, но не выяснили, как им нужно играть. Более того, если будет показано, что белые выигрывают (как, например, в игре «до первого шаха»), то тогда, очевидно, первый ход 1.Кb1-c3-b1 проигрывает! Таким образом, не исключено, что наше доказательство беспроигрышности белых проведено с помощью проигрывающего хода!

Вот одна из распространенных модификаций двухходовых шахмат. У одного игрока полный комплект фигур, которые ходят, как обычно, а у другого лишь король и несколько пешек, но делают они по два хода. Цель слабейшей стороны - взять неприятельского короля. Тот, кто впервые знакомится с этой игрой, всегда выбирает обычные фигуры и… быстро проигрывает, даже если у противника всего лишь король и пара пешек. По-видимому, примерное равенство «сил» в этой игре сохраняется в том случае, если этого короля сопровождают 5-6 пешек.

Шахматы без цугцванга. Если в некоторой позиции любой ход белых проигрывает, то мы говорим, что они в цугцванге (если проигрывает и любой ход черных, то цугцванг взаимный). Шахматы без цугцванга отличаются от обычных добавлением одного хода - хода на месте. В них цугцванга не бывает, так как всегда можно передать очередь хода партнеру.

Приведенное выше доказательство того, что при правильной игре в двухходовые шахматы белым гарантирована ничья, полностью проходит и для шахмат без цугцванга. Однако, в отличие от двухходовых шахмат, иоиск непосредственного мата здесь безнадежен! Напомним, что в настоящих шахматах, где шансы белых, судя по статистике, заметно выше, вовсе не доказано, что даже при наилучшей игре им обеспечена хотя бы ничья.

Среди студентов мехмата большой популярностью пользуется следующая игра в крестики и нолики. На клетчатой бумаге произвольной формы (хоть «бесконечной») двое по очереди ставят крестики и нолики. Побеждает тот, кто первым ставит пять своих значков подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали). Подобно двухходовым шахматам и шахматам без цугцванга, можно доказать, что и здесь начинающий при безупречной игре не проигрывает. Правда, доказательство в данном случав сложнее, чем в шахматных играх.

Поддавки. Эта игра более популярна в шашках, однако и ее шахматный вариант весьма интересен. Победителем в ней становится тот, кто первый отдает все свои фигуры. Взятие в этой игре обязательно (в том числе и короля, которого можно ставить под бой), а если возможно несколько взятий, то выбор произволен.

Идеи и комбинации, возникающие в поддавках, довольно оригинальны и совершенно не похожи на те, которые встречаются в обычных шахматах. Рассмотрим один несложный эндшпиль: белая пешка на a2, а черная на b6 (больше ничего на доске нет), белые начинают и проигрывают (а значит - выигрывают в поддавки).

На доске всего две пешки, но посмотрите, сколько тонкостей содержит позиция.
1. a2-a3! Но не a2-a4, так как белая пешка должна превратиться только после черной.
1. … h6-h5
2. a3-a4 h5-h4
3. a4-a5 h4-h3
4. a5-a6 h3-h2
5. a6-a7 h2-h1Л! Именно ладья, при других превращениях черной пешки (в ферзя, слона и коня) белые ставят ферзя и либо сразу, либо на следующем ходу отдают его.
6. a7-a8С!! Белая пешка превращается в еще более слабую фигуру, иначе черная ладья моментально встает под удар. Теперь на любой ее ход следует
7. Сa8-h1!, и белые избавляются от слона.

Рассмотрим еще одну позицию: у белых пешка на d7, а у черных конь на f5 (других фигур нет). Чем закончится игра в поддавки при ходе белых и при ходе черных?

Белые выигрывают в поддавки, независимо от очереди хода. Если ход их, то после превращения 1. d7-d8K! конь быстро приносит себя в жертву. Если первый ход делают черные, то на любой скачок их коня следует d7-d8C!, и слон без труда встает под удар коня.

Задача X. Клювера и К. Фабеля. Белый король на f3, а у черных две фигуры - король на d7 и ферзь на c8. Белые начинают и проигрывают (выигрывают в поддавки).

1. Крe4! Фd8! (иначе белый король уже на втором ходу встанет под бой) 2. Крd4!, и следующим ходом король кончает «самоубийством». Не проходит 1. Крg4? Фa6! Теперь нельзя идти королем на f4, f5 и g5 (например, 2. Крg5 Фf6! 3. Кр:f6 Крe6, и черные сами отдают обе фигуры), а другие ходы короля приводят к ничьей - черные «жертвуют» ферзя, после чего короли не могут приблизиться друг к другу.

Многочисленные математические игры и задачи возникают при переходе к другим шахматным доскам. Мы уже встречались с прямоугольными досками m×n (в частности, квадратной n×n) при тех или иных значениях m и n, а также бесконечной шахматной доской. При желании большинство задач, упомянутых в книге, можно сформулировать и для этих досок. Сейчас мы рассмотрим шахматные игры на досках, получающихся из обычной при помощи более сложных математических преобразований.

Проективные шахматы. Правила игры в зти шахматы основываются на свойствах прямых, которые изучаются в проективной геометрии. В этой геометрии любое семейство параллельных прямых пересекается в некоторой бесконечно удаленной точке. Соответственно этому, введем бесконечно удаленные поля бесконечной доски: поле Р_х есть пересечение ее горизонталей, Р_у - вертикалей, Р₁ - диагоналей, параллельных a1 - h8, Р₂ - диагоналей, параллельных a8 - h1. Проективная доска получается из бесконечной добавлением этих четырех полей Р_х, Р_у, P₁, Р₂.

На проективной доске сохраняются многие правила обычных шахмат, а основное дополнение состоит в том, что дальнобойная фигура может переместиться на бесконечно удаленное поле (с учетом ее способа передвижения) и оттуда вернуться на конечное поле доски. Проективные шахматы особенно популярны среди югославских шахматных композиторов, много проективных задач составлено Петровичем49. Рассмотрим одну из них (рис. 67).

Первый ход решения: 1. Крh2-g1! Теперь у черного короля несколько ответов. Если он идет на e4, то мат дает белый ферзь, удаляясь в бесконечность через a5: 2. Фc5-Р_х мат. Действительно, с поля Р_х ферзь нападает на черного короля и держит все поля вокруг него: e3, f3 - через b3; d4, e4, f4 - через b4; d5, e5, f5 - через a5. Ход 2. Фc5-Р_х матует и при 1. … Крf4-f3. Поля e4, f4, g4 в этом случае ферзь держит через h4, e3, f3, g3 - через h3, а e2, f2, g2 - через h2 (белый король предусмотрительно ушел с h2).

При отступлениях черного короля на линию g, а также при 1. … d3-d2 матует 2. Фc5-Р₁ (ферзь уходит в бесконечность по диагонали c5 - a3). Например, после 1. … Крf4-g5 2. Фc5-P₁ поля f4, g5, h6 ферзь держит через c1, поле f6 - через a1, f5 - через h7, g4, h5 - через d1 и поле h4 - через e1.

Осталось рассмотреть ходы черных коней. На любой ход коня d6 следует 2. Фc5-Р₂ мат, а на любой ход коня c7 - 2. Фc5-Р_у мат (в первом случае ферзь уходит в бесконечность через a7, а во втором через c8).

При решении разобранной задачи использовались все четыре бесконечно удаленных поля. Кстати, в начальном положении после 1. Фc5-Р_х черный король скрывается на g5, а после 1. Фc5-Р₁ - на e4, с поля Р₂ ферзь даже не дает шаха, а хода Фc5-Р_у и вовсе нет.

Все до сих пор рассмотренные нами доски, как и привычная шахматная доска, плоские. Остановимся теперь на некоторых пространственных досках.

Объемные шахматы. В них играют на трехмерной доске m×n×k. В гл. 5 были приведены маршруты коня по всем полям доски 4×4×4 и по поверхности доски 8×8×8. Следующая, довольно сложная задача касается расстановки ладей на объемной доске n×n×n.

Какое минимальное число ладей следует расставить на доске n×n×n так, чтобы они держали под угрозой все остальные поля доски?

Фактически здесь требуется найти число «ладей-часовых», доминирующих на объемной доске n×n×n.

Оказывается, что оно равно n²/2 при четных n и (n² + 1)/2 при нечетных50. В частности, для «охраны» доски 8×8×8 достаточно иметь 32 ладьи. Число независимых ладей на доске n×n×n равно n² (но n ладей в каждом слое доски). На доске 8×8×8 удается расставить 64 ладьи так, чтобы они не угрожали друг другу и в то же время держали под обстрелом все свободные поля доски. Наши задачи о доминировании и независимости ладей на доске n×n×n можно сформулировать следующим образом в терминах линейной алгебры.

Рассмотрим множество всех трехмерных векторов (t₁, t₂, t₃), компоненты которых принимают одно из значений 1, 2, …, n (всего таких векторов n³). Какое минимальное число векторов следует выбрать из этого множества так, чтобы каждый из оставшихся векторов имел хотя бы с одним из выбранных не менее одной общей компоненты? Какое максимальное-число векторов можно выбрать так, чтобы никакие два из них не имели ни одной общей компоненты?

Первый вопрос эквивалентен определению числа доминирования ладей на доске n×n×n, а второй - определению числа независимости. Таким образом, ответ такой: в первом случае n²/2 или (n² + 1)/2 векторов, во втором случае - n² векторов. Рассмотрение последней задачи наводит на мысль о следующем обобщении.

Многомерные шахматы. Полями доски для игры в такие шахматы являются многомерные кубики 1×1×…×1. В указанной терминологии наши задачи о ладьях можно обобщить для k-мерной шахматной доски.

Рассмотрим множество всех k-мерных векторов (t₁, t₂, …, t_k), компоненты которых принимают одно из значений 1, 2, …, n (всего таких векторов n^k). Какое минимальное число k-мерных векторов следует выбрать из этого множества так, чтобы каждый из оставшихся векторов имел хотя бы с одним из выбранных не менео одной общей компоненты? Какое максимальное число k-мерных векторов можно выбрать так, чтобы никакие два из них не имели ни одной общей компоненты?

Решение этой задачи неизвестно. Аналогичные задачи о доминировании и независимости на многомерных досках можно поставить и для других шахматных фигур. В упомянутой статье Васильева показана связь между задачами такого типа и некоторыми вопросами, возникающими в теории информации (в ее разделе, называемом кодированием).

Цилиндрические шахматы. Задачи на цилиндрических досках пользуются у шахматных композиторов особой популярностью. Из обычной шахматной доски можно соорудить, вообще говоря, две цилиндрические. Вертикальная цилиндрическая доска получается склеиванием вертикальных краев обычной доски (рис. 68, a), a горизонтальная - склеиванием горизонтальных краев (рис. 68,б). Интересно, что если при этом одну вертикаль (или, соответственно, горизонталь) вырезать, то на цилиндрической доске слон становится хамелеоном - превращается из белопольного в чернопольного, и наоборот.

При переходе к цилиндрической доске некоторые задачи, имеющие решение на обычной доске, уже не удается решить. Так, в главе 8 мы показали, что на ней невозможно расставить восемь не атакующих друг друга фервей. Заметим, что на цилиндрической доске король с ладьей не всегда могут заматовать одинокого короля. С другой стороны, на цилиндрических досках открываются и новые возможности.

Рис. 68. Необычные шахматные доски: а - вертикальная цилиндрическая доска; б - горизонтальная цилиндрическая доска; в - тороидальная доска

В задаче на рис. 69 на обычной доске все просто - 1. Лa5:a6 Крb1-c1 2. Лa6-a1 мат. Но на цилиндрической 1. Лa5:a6 не проходит, так как после 1. … h7:a6! теряется ладья. Если же ладья уйдет с a5, то черные продвинут пешку а, и мата не будет. Что же делать? Оказывается, решает 1. Лa5-a5!! - ладья проходит по кругу и возвращается на исходное место! Дальнейшее просто: 1. … Крb1-c1 2. Лa5-a1 мат.

Задача на рис. 70 примечательна тем, что в ней на каждой из трех досок (обычной, и двух цилиндрических) имеется свое решение, которое не проходит в двух других случаях: а) 1. Фe2-e8 мат; б) на вертикальном цилиндре 1. Фe8 не матует из-за ответа 1. … Крa8-h7!, а к цели ведет только 1. Фe2-g8 мат (белый ферзь прошел по маршруту e2-a6-h7-g8); в) на горизонтальном цилиндре 4. Фe8 также ничего не дает, ввиду 1. … Крa8-a1!, а решает 1. Фe2-a2 мат!

Тороидальные шахматы. Тороидальная доска (рис. 68,в) получается в результате двойного склеивания краев обычной доски (см. стрелки на рис. 68,а, б). На такой доске одинокого короля не могут заматовать даже ферзь с королем - здесь просто нет ни одной матовой позиция.

Решим задачу на рис. 71. После
1. Фf5-h7! в распоряжении черных имеется два ответа:
а)
1. … Крe8-f8 (поля d1, e1 и f1 контролирует белый король с e2 - на торе действуют правила горизонтального цилиндра!)
2. Фh7-g6 Крf8-e7
3. Крe2-e1 Крe7-d7 (поля d8 и f8 держит белый король с e1)
4. Фg6-e8 мат!;
б)
1. … Крe8-d8
2. Фh7-c7+ Крd8-c8
3. Кb5-b6! (конь идет по тору, как по вертикальному цилиндру!)
3. … Крe8-f8
4. Фc7-e1 мат! (поля f7 и g8 держит белый конь, а остальные - ферзь).

Этот перечень шахматных игр на различных досках, получающихся из обычной при помощи геометрических преобразований, можно продолжить и дальше. Существуют доски для игры двое на двое (на них играют в так называемые четверные шахматы) и «на троих» (здесь победителем становится тот, кто съедает обоих королей противников). При желании можно соорудить также сферическую и конусоидальную доски. Забавная доска - шаровидной формы - изображена на обложке книги. Как экспозиция она участвовала на выставке французских авангардистов.

В шахматной композиции задачи и игры с необычными правилами, на нестандартных досках и с необычными фигурами относят к жанру сказочных (или фантастических) шахмат. Основателем, популяризатором и крупнейшим автором сказочных задач является английский проблемист Т. Доусон, с некоторыми задачами которого мы встречались в нашей книге. В 30-е и 40-е годы Доусои издавал специальный журнал, посвященный фантастическим шахматам, а затем написал ряд книг на эту тему. В общей сложности Доусон составил более 4000 (!) сказочных задач, что безусловно представляет собой абсолютный рекорд. Большинство идей этого увлекательного шахматного жанра содержится в замечательной книге А. Дикинса «Путеводитель по сказочным шахматам»51.

Мы уже рассказали о некоторых шахматных играх с необычными правилами, а также перечислили ряд необычных досок. Остановимся теперь на сказочных фигурах, получивших наибольшую популярность.

Ряд сказочных персонажей возникает при комбинировании обычных ходов ладьи, слона и коня. Возможны четыре комбинации: ладья + слон, ладья + конь, слон + конь, ладья + слон + конь. В первом случае мы получаем настоящую шахматную фигуру - ферзя. Фигура, объединяющая ходы ладьи и коня, называется канцлером, а слона и коня - кентавром. Кентавр в общем случае сильнее ладьи, но, как было показано в гл. 10, есть доски, на которых их силы равны. И наконец, фигура, которая ходит, как ладья, слон и конь одновременно, называется магараджей, или амазонкой (о ней уже шла речь в гл. 8). Это очень мощная фигура, которая намного сильнее ферзя. Следующая игра носит то же название, что и сама сказочная фигура.

Магараджа. У одного игрока - полный комплект фигур, стоящих на первоначальных местах, а у другого - лишь один магараджа, которого он ставит на произвольное поле. Магараджа проигрывает, если его удастся взять, и выигрывает, если ставит мат неприятельскому королю.

В этой игре пешкам запрещено превращаться, так как в противном случае выигрыш слишком прост - достаточно провести обе крайние пешки в ферзей, после чего три ферзя и две ладьи без труда окружают магараджу. При сделанной оговорке магараджа оказывает упорное сопротивление, а у неопытного игрока быстро выигрывает (здесь имеет место та же ситуация, что и в борьбе полного комплекта фигур против короля и пешек, делающих по два хода). И все же у того, кто играет полным комплектом фигур, имеется форсированный выигрыш. Гарднер предлагает план окружения магараджи, состоящий из 25 ходов. Однако цель достигается, по крайней мере, десятью ходами раньше!

Не обращая внимания на перемещения магараджи, белые делают следующие 14 ходов подряд: 1-14. a4, h4, Лa3, Лh3, Кc3, Кf3, Лb3, Лg3, d4, Фd3, Фe4, Лb7, Фd5, Лg8. Легко проверить, что при этих ходах магараджа не мог дать мат или взять белую фигуру. Теперь у него имеются лишь два свободных поля - a6 и f6: на a6 он гибнет после 15. Сg5, а на f6 - после 15. e4.

Различные сказочные фигуры получаются из «обобщенного коня» (а, b) при выборе тех или иных значений а, b (см. гл. 4). Конь (1, 3) называется верблюдом, (1, 4) - жирафом, (2, 3) - зеброй. Если одно из чисел а, b равно нулю, то мы получаем ладью, перемещающуюся на фиксированное число полей. Если же а = b, то имеем слона, обладающего тем же свойством. Конго, который за один ход делает несколько скачков подряд, присваивается «звание» всадника. Интересной игре, в которой одной и той же фигурой ходят и как конем, и как верблюдом, посвящена следующая задача.

В углу доски n×n (n ≥ 4) стоит фигура. Двое ходят по очереди. Один играет этой фигурой, как обычным конем, но с двойным ходом, а второй - как верблюдом. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол доски, а второй - ему помешать. Чем закончится игра?

В этом, несколько странном соперничестве коня и верблюда (а точнее было бы сказать: хамелеона, превращающегося то в одну фигуру, то в другую) победителем выходит конь! Это вытекает из следующего соображения. Бели наша фигура стоит на диагонали, проходящей через исходное угловое поле доски, то на любое отступление верблюда с диагонали конь возвращается на нее, причем продвигается, по крайней мере, на одно поле ближе к цели, а то и сразу попадает в нужный угол.

Следующая игра и задачи к ней были предложены на Всесоюзной олимпиаде школьников (Ереван, 1974 г.)

Кошки-мышки. У одного игрока одна фигура - мышка, у второго несколько фигур - кошек. Мышка и кошки ходят одинаково - на одно поле по вертикали или горизонтали (т. е. они получаются из коня (а, b) при а = О, b = 1). Если мышка оказалась на краю доски, то очередным ходом она спрыгивает с доски и убегает от кошек; если кошка и мышка попадают на одно поле, то кошка съедает мышку.

Игра идет на шахматной доске, причем играющие ходят по очереди, и второй из них передвигает одним ходом всех своих кошек сразу (в любых направлениях). Начинает мышка. Она старается спрыгнуть с доски, а кошки хотят до этого ее съесть.

а. Пусть кошек всего две, а мышка стоит не на крайнем поле доски. Можно ли так поставить кошек на краю доски, чтобы они сумели съесть мышку?

б. Пусть кошек три, но зато мышка в первый раз делает два хода подряд. Доказать, что мышка убежит от кошек, как бы ни были вначале расставлены фигуры.

Решения:

а. Через поле, на котором стоит мышка, проведем диагональ и поставим кошек на ее концы. После хода мышки кошки должны пойти так, чтобы все три фигуры снова оказались на одной диагонали, а расстояние между кошками сократилось на одно поле (по диагонали). Такая стратегия позволит кошкам съесть мышку.

б. Проведем через поле, на котором стоит мышка, обе диагонали доски. Если поле не крайнее (а в противном случае мышка сразу спрыгивает с доски), то эти диагонали разбивают доску на четыре части. Поскольку кошек три, то внутри одной из частей их нет. Проведем отрезок (горизонтальный или вертикальный), соединяющий мышку с краем доски внутри этой части. Нетрудно видеть, что если мышка отправится прямо по этому отрезку к краю доски, то кошкам ее не догнать.

Можно придумать еще множество игр и задач с участием сказочных фигур. Большинство упомянутых в книге тем легко переносится и на такие фигуры. О необычных правилах игры, нестандартных досках и сказочных фигурах мы уже рассказали достаточно подробно. В следующей игре, которую придумал Голомб52, используются сразу все эти необычные элементы.

Шашматы. В этой игре, представляющей собой смесь шахмат и шашек (по-английски: chess + checkers = cheskers), шахматные фигуры ходят по черным полям доски (как в шашках). Обычный конь (1, 2) не в состоянии здесь сделать ни одного хода (он сразу же попадает на запрещенное белое поле), и его следует заменить верблюдом (1, 3), который перемещается по полям одного цвета.

На рис. 72 последовательно занумерованы поля маршрута, который верблюд проходит по всем полям «шашматной» доски, причем этот маршрут замкнутый.

Как мы знаем, на шахматной доске можно расставить максимум 32 коня, не угрожающих друг другу. Максимальное число «мирных» верблюдов равно 16, т. е. они также могут занять половину всей доски (шашматной).

На рис. 72 их можно поставить на поля со всеми четными или со всеми нечетными числами. Таким образом, этот рисунок дает решение сразу двух задач на шашматной доске. Более подробный рассказ о шашматах (в частности, расстановку фигур перед пачалом игры) можно найти у Гарднера.

В заключение главы - еще о нескольких сказочных фигурах, которые вообще уже ни на что не похожи!

Сверчок ходит, как ферзь, и перепрыгивает через свои и чужие фигуры, останавливаясь сразу вслед за ними. Лев, в отличие от сверчка, приземляется на любом поле за перепрыгнутой фигурой.

Существуют нейтральные фигуры, которыми могут играть и белые, и черные. Фигура, которая делает ход только со взятием; называется бьющей. Бьющий конь называется гиппопотамом, а бьющий ферзь - динозавром. Фигура дипломат - не ходит, но и ее нельзя брать. Мало того, около дипломата фигуры того же цвета неприкосновенны! А фигура камикадзе (самоубийца) убирается с доски вместе со взятой фигурой!

До сих пор речь шла исключительно о сказочных фигурах. Однако и для пешек существует много разновидностей. Пешка-хамелеон при взятии неприятельской фигуры превращается в такую же фигуру, но своего цвета. Сверхпешка ходит на любое число полей по прямой и бьет на любое число полей по диагонали. Пешка-такси ходит и вперед, и назад. Наконец, один раз в партии пешке можно разрешить превращение в «атомную бомбу»! Эта фигура сразу же после появления ставится на любое поле доски и в заданном радиусе уничтожает все вокруг себя.

49. Подробнее с проективными шахматами можно ознакомиться в статье «Проективные шахматы» («Квант», 1974, № 3).

50. Подробное обсуждение n решение этой задачи дано в статье Н. Васильева «Расстановка кубиков» («Квант», 1972, № 4).

51. A. Dickins. A. Guide to Fairy Chess. Ricbmond, 1969.

52. S. Golomb. Of Knights and Cooks, and the Game of Cbeskeis. - «J. Recreat. Matb.», 1968, N 1.