Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

Больше всего Эйнштейн протестовал против необходимости описывать явления микромира в терминах вероятностей и волновых функций, а не с привычной позиции координат и скоростей частиц. Вот что он имел в виду под «игрой в кости». Он признавал, что описание движения электронов через их скорости и координаты противоречит принципу неопределенности. Но, утверждал Эйнштейн, должны существовать еще какие-то переменные или параметры, с учетом которых квантово-механическая картина микромира вернется на путь целостности и детерминизма. То есть, настаивал он, нам только кажется, будто Бог играет с нами в кости, потому что мы не всё понимаем. Тем самым он первым сформулировал гипотезу скрытой переменной в уравнениях квантовой механики. Она состоит в том, что на самом деле электроны имеют фиксированные координаты и скорость, подобно ньютоновским бильярдным шарам, а принцип неопределенности и вероятностный подход к их определению в рамках квантовой механики — результат неполноты самой теории, из-за чего она и не позволяет их доподлинно определить.

В статье рассматриваются различные проблемы математического образования философов. Даже негативный школьный опыт практического освоения математики дает представление о математике, как особом предмете, требующем углубленного изучения для его понимания в целом. Знание математики бесстрастно проверяет готовность к усвоению абстрактных философских рассуждений. Истинная цель математического образования философов – это не только приобретение конкретных знаний, а, прежде всего, развитие мышления или разума, направленного на познание, которое иногда называют философией. В этой статье мы пытаемся ответить на вопрос: чем и почему математика полезна для университетского философского образования?

Согласно гипотезе, предложенной физиком-теоретиком Максом Тегмарком, наша внешняя физическая реальность является математической структурой. То есть, физический мир является математическим в определённом смысле. Все математические структуры, которые можно вычислить, существуют. Гипотеза предполагает, что миры, соответствующие различным наборам начальных состояний, физических констант, или совсем других уравнений, можно рассматривать как одинаково реальные.

«Ученые научились предсказывать действия людей», «Сканеры мозга могут увидеть ваши решения еще до того, как вы их сделали» - такими заголовками пресса отреагировала на исследование группы немецких ученых под руководством Джона-Дилана Хайнеса (John-Dylan Haynes). В чем же состоял эксперимент, о котором идет речь?

Карл Гаусс, в своё время, назвал математику царицей всех наук, отдавая ей особое место в сфере человеческого знания. Действительно, совершенно непохожая на другие науки, она скорее служит для них языком или методом изучения. Являясь, пожалуй, самой строгой из всех наук, она не имеет собственного строгого и общепринятого определения. На протяжении всей своей истории, преобразуясь сама, преобразовывалось и понятие о математике. Учёные, в течении всего развития математики, смогли составить скорее не определения математики, а набор афоризмов характеризующий её или представления о ней.

Математику часто называют языком Вселенной. Ученые и инженеры часто говорят об элегантности математики при описании физической реальности, ссылаясь на такие примеры, как E=mc^2 и простой подсчет объектов реального мира. Тем не менее, до сих пор не утихают дискуссии по поводу того, является ли математика основой всего сущего, открыта ли она нами или просто создана нашим воображением, как способ описания мира. Первая точка зрения относится к математическому платонизму, сторонники которого склонны считать, что математика была не создана, а лишь обнаружена людьми.

Пифагорейцы утверждали, что числа правят миром, а Александр Суворов называл математику «гимнастикой ума». Сейчас интерес к этой науке постепенно возрождается. T&P поговорили с пятью известными математиками, чтобы разобраться, зачем формулы и уравнения нужны в повседневной жизни, почему математика — интересный и творческий предмет, и что теряет гуманитарий, отмахиваясь от этой науки.

Мир вокруг нас полон математических объектов — чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает нам совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом «Все есть число» он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, «населенного» вневременными и сверхчувственными объектами.

В статье рассматриваются некоторые аспекты квантомеханического описания психики. Рассматривается проблема связи между психикой и измерением в квантовой механике. Обсуждаются аргументы Роджера Пенроуза о наличии невычислимого компонента в человеческом мышлении. Основной темой статьи является обсуждение недостатков его аргументации. Имеются ли убедительные данные, что объяснение ряда проявлений психики требует обращения к новой, невычислимой физике? Невычислимость физики понимается в том смысле, что процессы невозможно описать алгоритмически (включая вероятностные алгоритмы с алгоритмически вычисляемыми вероятностями) или, что эквивалентно, не может быть смоделирован универсальной машиной Тьюринга.

Параллельные, пересекающиеся, ветвящиеся и вновь сходящиеся вместе миры. Что это — выдумка писателей-фантастов или реальность, ещё не осознанная? Тема многомирия, развиваемая философами с античных времён, в середине XX века стала предметом обсуждения физиков. На основе принципа взаимодействия наблюдателя с квантовой реальностью появилась новая интерпретация квантовой механики, получившая название «оксфордской». Её автор, молодой физик Хью Эверетт, встречался с Нильсом Бором, основателем общепринятой на тот момент «копенгагенской» интерпретации квантовой механики. Но общего языка они не нашли. Их миры разошлись...

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов. Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом. И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? Можно ли определить понятие натурального числа? Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)? Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть? Что такое доказательство? Можно ли математику сделать понятной?

На протяжении большей части XX столетия в «чистой» математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было.

Из идей сложности и случайности, впервые высказанных Готфридом Лейбницем в его «Рассуждении о метафизике» (1686), и их подтверждения в современной теории информации следует, что невозможно создать «самую общую теорию всего» в математике.

Представьте себе электрические и магнитные поля. Что вы для этого сделали? Знаете ли вы, как это нужно сделать? И как я сам представляю себе электрическое и магнитное поля? Что я на самом деле при этом вижу? Что требуется от научного воображения? Отличается ли оно чем-то от попытки представить себе комнату, полную невидимых ангелов? Нет, это не похоже на такую попытку.

Мы предлагаем вашему вниманию запись (с небольшими сокращениями и с сохранением авторского стиля) лекции, прочитанной Дмитрием Фон-Дер-Флаассом во Всероссийском детском центре «Орленок» в 2009 году.

Речь в данной работе пойдет о так называемом "геделевском аргументе", который используется как аргумент против возможности создания искусственного интеллекта. Суть аргумента заключается в следующем: полагают, что из теоремы Геделя о неполноте формальных систем вытекает принципиальное различие между искусственным ("машинным") интеллектом и человеческим умом, а именно, полагают, что теорема Геделя указывает на некоторое принципиальное преимущество человеческого ума перед "умом" машинным - т.е. человек обладает способностью решать проблемы, принципиально неразрешимые для любых искусственных "интеллектуальных" систем (так называемые "алгоритмически неразрешимые" проблемы), причем ограниченность "искусственного ума" проистекает из его "формального" характера.

Как известно, Галилей заявил, что Вселенная является "великой книгой", написанной на языке математики. Почему же наша Вселенная кажется нам столь математичной? Как это понимать? Вселенная не просто описывается при помощи математики, но она сама и есть математика в том смысле, что все мы представляем собой элементы гигантского математического объекта, который, в свою очередь, является частью мультивселенной – столь гигантской, что по сравнению с ней остальные мультивселенные, о которых говорили в последние годы, выглядят малыми.

Человеческий разум превосходит системы искусственного интеллекта, потому что использует физические законы на квантовомеханическом уровне. К такому не бесспорному утверждению склоняется в своей новой книге Роджер Пенроуз, известный ученый, работающий в области математической физики. Хотя (как признает Пенроуз) это утверждение в настоящее время не может быть строго доказано, некоторые интригующие аргументы, содержащиеся в его книге «Новый ум императора», дают достаточно серьезные основания усомниться в справедливости философских положений, которые лежат в основе искусственного интеллекта.