Математические методы классической механики В. И. Арнольда

Николай Тюрин

Часть 1

Часть 2

Часть 3

Часть 4

Если представлять себе выдающиеся произведения научной литературы как горные маршруты, уводящие в небо, то наш небольшой курс — не более чем прогулка с видом на далекие белоснежные вершины. Мы собираемся просмотреть видимые начала одного из красивейших маршрутов, уводящего далеко за облака, к высоким перевалам и вершинам классической механики. Очень скоро вчерашние школьники сами выйдут на этот маршрут, а пока… давайте немного потренируемся.

1. Инфинитезимальная геометрия конфигурационного пространства

Необходимым на маршруте будет знание о том, откуда берутся векторные поля и дифференциальные формы. И поскольку мы готовимся к маршруту, проложенному В.И. Арнольдом, то в понимании этих геометрических объектов (а также в том, что такое дифференциальное уравнение) мы будем следовать ему.

2. От второго закона Ньютона к Гамильтоновой механике

Аристотель считал, что движение описывается дифференциальным уравнением первого порядка, возможно именно поэтому древние греки, прекрасно разбиравшиеся в конических сечениях, описывали движение небесных тел с помощью эпициклов. Ньютон описал движение дифференциальным уравнением второго порядка; понижая порядок и переходя от конфигурационного пространства к фазовому, можно представить все в простой и красивой форме.

3. Скобки Пуассона. Интегрируемые системы

Как нас учили на уроках физики в школе, решать задачи удобно через законы сохранения. В самом общем смысле этот принцип может быть сформулирован так: если физическая величина (= некоторая функция на фазовом пространстве) коммутирует с гамильтонианом (= выделенная функция на фазовом пространстве, определяющая движение системы) относительно кососимметрической операции (называемой скобками Пуассона), то эта величина является инвариантом движения и называется интегралом движения.

4. Классические механические системы на компактных фазовых пространствах

Главное отличие подхода В.И. Арнольда к классической механике по сравнению со «стандартными» физическими курсами в том, что он приложим к любому фазовому пространству, в том числе к случаю компактного фазового пространства (некоторые даже приписывают Арнольду обобщение классической механики на компактный случай, хотя очевидно что Дирак вполне разбирался в этом вопросе, вводя свои системы со связями). Этот путь выводит к началу другого маршруту на соседнюю, еще не пройденную вершину — симплектическую топологию.

Тюрин Николай Андреевич

Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, г. Дубна
20-25 июля 2018 г.

Комментарии: 0

Похожее

На сколько частей делят плоскость n прямых?

Владимир Арнольд

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2007 г.
Астроидальная геометрия и топология

Владимир Арнольд

Астроидой называется гипоциклоида с четырьмя остриями. Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению. Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях.
Топология алгебры и гидродинамика арифметики

Владимир Арнольд

Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2003 г.
Cамозаклинивающиеся структуры

Алексей Белов

Известна олимпиадная задача: На плоском столе лежат монеты (выпуклые фигуры). Тогда одну из них можно стащить со стола, не задевая остальных. Долгое время математики пытались доказать пространственный аналог этого утверждения, пока не был построен контрпример! Возникла идея: в малом зерне часто нет трещины, трещина за границу зерна не вырастает, а трещины друг друга держат. Эта идея теоретически позволяет создавать композиты в которых не растут трещины, в частности, броню из керамики.
Теория динамических систем и биллиарды

Александра Скрипченко

Математик Александра Скрипченко о биллиарде как динамической системе, рациональных углах и теореме Пуанкаре.
Двумерные поверхности и конфигурационные пространства

Алексей Сосинский

Один из важнейших понятий механики и теоретической физики — понятие конфигурационного пространства механической системы — почему-то остается неизвестным не только школьникам, но и большинству студентов-математиков. В лекции рассмотрен очень простой, но весьма содержательный класс механических систем — плоские шарнирные механизмы с двумя степенями свободы. Мы обнаружим, что в «общем случае» их конфигурационные пространства суть двумерные поверхности, и постараемся понять — какие именно. (Здесь имеются окончательные результаты десятилетней давности Димы Звонкина.) Далее обсуждаются нерешенные математические задачи, связанные с шарнирными механизмами. (В том числе две гипотезы, а точнее — недоказанные теоремы, американского математика Билла Тёрстона.)
Измерение объективной степени случайности конечного набора точек

Владимир Арнольд

Для случайного распределения k точек на целочисленной окружности длины два «параметра стохастичности» β и λ были определены (независимо друг от друга) А.Н. Колмогоровым в 1933 году и В.И. Арнольдом в 2003 году. На занятиях будет показано, что эти параметры, кажущиеся независимыми характеристиками поля случайных точек, становятся функционально зависимыми, когда их значения усреднены по малым флуктуациям точек поля.
Квадратичные иррациональные числа, их цепные дроби и их палиндромы

Владимир Арнольд

Ж. Л. Лагранж доказал, что последовательность неполных частных (начиная с некоторого места) периодична, если и только если число x — квадратичная иррациональность. Р. О. Кузьмин доказал, что в последовательности неполных частных почти любого вещественного числа доля d_m равных m неполных частных одинакова (для типичных вещественных чисел). Доля d_m убывает при m→∞ как 1/m^2 и её величина была предсказана Гауссом (ничего не доказавшим). В. И. Арнольда высказал (лет 20 назад) гипотезу, что статистика Гаусса–Кузьмина d_m выполняется также для периодов цепных дробей корней квадратных уравнений x^2+px+q=0 (с целыми p и q): если выписать вместе неполные частные, составляющие периоды всех цепных дробей корней таких уравнений с p^2+q^2≤R^2, то доля неполного частного m среди них будет стремиться к числу d_m при R→∞. В. А. Быковский со своими хабаровскими учениками доказали недавно эту давнюю гипотезу. Несмотря на это, вопрос о статистике не букв, а составленных из них слов [a_k+1, a_k+2,…, a_k+T], которые являются периодами цепных дробей каких-либо корней x уравнений x^2+px+q=0 далеко не решён.
Свойства циклоиды

Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора? Против направления движения мотоцикла или по направлению? Как известно, свободное движение тела начинается по касательной к той траектории, по которой оно двигалось. Касательная к циклоиде всегда направлена по направлению движения и проходит через верхнюю точку производящей окружности. По направлению движения полетит и наш камушек. Помните, как Вы катались в детстве по лужам на велосипеде без заднего крыла? Мокрая полоска на вашей спине является житейским подтверждением только что полученного результата.
Во власти сечений

Наталья Карпушина

Как выглядел простейший циркуль? Что такое коники Аполлония? По какой траектории летит пушечное ядро? На что похож параболический циркуль Леонардо да Винчи? Почему живописцы прошлого были неравнодушны к эллипсу?

Далее >>>

∀ x, y, z

Математические методы классической механики В. И. Арнольда

Николай Тюрин

Теги

Похожее