Рассмотрим квадратичную форму Q от двух переменных с целыми коэффициентами и зададимся вопросом, какие значения она может принимать на целочисленной решетке. В частном случае стандартной евклидовой формы это классический вопрос о том, когда заданное натуральное число представляется как сумма двух квадратов, исследованный Гауссом. Около 20 лет назад английский математик Джон Конвей предложил геометрический подход к этому вопросу, используя плоское бинарное дерево. Получаемое описание называется топографом формы. В случае когда форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, они разделяются бесконечным путем на этом дереве, называемым рекой Конвея. Я расскажу, как река Конвея связана с парусом Арнольда из геометрической теории цепных дробей на целочисленной решетке, восходящей к Клейну.

Диаграммы Юнга дают естественный способ параметризовать разбиение натурального числа в сумму невозрастающих слагаемых. Вопросом о количестве диаграмм Юнга с данным числом клеток занимался еще Эйлер.

В 1900 году великий немецкий математик Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые Математические проблемы. В десятой из них он просил найти алгоритм для распознавания наличия решений у произвольных диофантовых уравнений. Семьдесят лет спустя было установлено, что такого алгоритма не существует. Техника, развитая для доказательства этого, позволила получить ещё много интересных результатов, например, построить многочлен с целыми коэффициентами, множество всех положительных значений которого (принимаемых при произвольных целочисленных значениях переменных) есть в точности множество всех простых чисел.

Как известно, ежа нельзя причесать. Иными словами, на двумерной сфере нет касательного векторного поля, нигде не обращающегося в нуль. Трехмерная сфера ведет себя в этом отношении совсем иначе: на ней можно построить три касательных векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Это означает, что трехмерная сфера параллелизуема. Возникает вопрос, для каких n сфера размерности n–1 параллелизуема. С этим вопросом тесно связан другой: для каких n на n-мерном эвклидовом пространстве можно ввести билинейное умножение, при котором произведение любых двух ненулевых векторов ненулевое. Рассматривая вещественные числа, комплексные числа, кватернионы или октонионы, мы видим, что это можно сделать, если n принимает одно из значений 1, 2, 4, 8. Оказывается, что этот список значений и является ответом на оба поставленных выше вопроса. Это трудная теорема. Ее можно доказать методами К-теории. Курс будет посвящен объяснению основных идей доказательства.

ABC-гипотеза была сформулирована в 1985 г. и быстро стала центральной проблемой в теории чисел из-за её связей с другими нерешёнными проблемами, а также из-за того, что многие уже доказанные известные результаты были бы её следствиями. В 2012 году японский математик Мотидзуки выложил доказательство ABC-гипотезы в интернете, но математическое сообщество еще не пришло к единому мнению, правильно ли оно. В курсе мы введём ABC-гипотезу, опишем несколько эквивалентных её вариантов, и проследим ее связи с другими проблемами и теоремами в теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и многочленами над полями.

Мы попытаемся рассказать о криптографии — бурно развивающейся прикладной науке, оказывающей огромное влияние на развитие не только техники, но и математики. Особое внимание будет уделено тому, как важно правильно ставить задачи, а также тому, как можно использовать не только достижения, но и “неудачи” математики на практике. В частности, будет рассказано, что такое криптография с открытым ключом и как можно убедить учителя, что ты знаешь ответ на вопрос, так и не дав этого ответа.

Если разбить натуральный ряд на конечное число частей, то в одной из этих частей содержатся сколь угодно длинные арифметические прогрессии (теорема ван дер Вардена). Теорема Семереди усиливает теорему ван дер Вардена: если некоторые натуральные числа покрашены в зеленый цвет и при этом существуют сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых доля зеленых чисел составляет не менее одного процента (или любой другой положительной константы), то существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из зеленых чисел. Замечательное доказательство теоремы Семереди, предложенное Фюрстенбергом, основано на эргодической теории. Эта теория изучает преобразования, сохраняющие меру, и поведение таких преобразований при итерациях. В курсе будут изложены основные идеи доказательства Фюрстенберга.

Цель данного курса — показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета. 1) Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию. 2) Типичное число простых множителей натурального числа. Пусть w(n) — число различных простых делителей натурального числа n. Выберем n равномерно случайно из {1,2,…,N} для большого N. Чему равно типичное значение w(n)? На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Числа Гурвица были введены А. Гурвицем в конце 19 века. Они перечисляют разветвленные накрытия двумерных поверхностей и имеют множество других проявлений — перечисляют разнообразные классы графов, являются коэффициентами связи в симметрических группах, представляют собой инварианты Громова–Виттена комплексных кривых.

Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. В этом курсе мы узнаем, что такое p-адические числа, и обсудим несколько элементарных применений к задачам алгебры и теории чисел. От слушателей потребуется знакомство с арифметикой вычетов и пополнением метрического пространствa.