Математики о математике

СОДЕРЖАНИЕ

От составителя
Жан Дьёдонне. Абстракция и математическая интуиция
Рихард Курант. Математика в современном мире
Елена Вентцель. Методологические особенности прикладной математики на современном этапе
Мысли о математике

От составителя

Три столетия назад один из создателей математического анализа Г. Лейбниц высказал надежду, что когда-либо все споры в любой области знания будут решаться путём вычислений. В этом нашло отражение мнение о непогрешимости математики, о невозможности каких-либо противоречий в этой науке. За истёкшие столетия точка зрения учёных изменилась. Теперь уже не смотрят на аксиомы как на истины, не требующие доказательства ввиду их очевидности, а понимают, что математика на основе той или иной системы аксиом строит различные модели изучаемых явлений и выводит свойства этих моделей, а уж решение вопроса, какая систем наиболее адекватно отображает свойства реальной действительности, делается совсем из иных соображений.

За истёкшие века обнаружились и глубокие противоречия в области оснований математики — попытка построить всю математику на основе теоретико-множественных понятий привела к таким затруднениям, что, по мнению одного из крупнейших математиков XX века Г. Вейля, «вопрос о последних основах математики и её смысле остаётся открытым; мы не знаем, в каком направлении будет найдено его последнее решение, и даже не знаем, можно ли вообще ожидать объективного ответа на него».

Сейчас многие математики, примыкающие к так называемому интуиционистскому направлению, отрицают доказательства, основанные на принципе исключённого третьего и на аксиоме произвольного выбора, хотя среди этих утверждений есть и классические теоремы математического анализа. Нет единства среди математиков и по вопросу о том, как относиться к доказательствам чисто математических теорем, полученных с помощью ЭВМ (выполняющих непосильные для человека операции перебора многих миллионов возможностей).

Но ещё более глубокие противоречия разделяют учёных по таким вопросам, как определение движущих сил развития математической науки, выяснение причин «непостижимой эффективности» математики в физических науках, прогнозирование дальнейшего развития математики и оценка значимости тех или иных достижений. Одни из них (например, виднейший французский математик А. Вейль) убеждены, что математик утоляет свою жажду непосредственно в источнике знаний, который всегда чист и обилен, а представители других наук вынуждены довольствоваться мутным потоком действительности, что целью математики является прославление человеческого духа. Другие (например, известный французский тополог Р. Том и один из крупнейших специалистов в области дифференциальных уравнений Р. Курант) возражают им, утверждая, что важнейшие математические структуры выступают в качестве фундаментальных данных внешнего мира, а их неисчислимое разнообразие находит единственное оправдание в реальности, что жизненные соки математики поступают в неё из корней, уходящих своими бесчисленными разветвлениями в реальность, что абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции. Мнение же, будто последним оправданием математики является «слава человеческого духа», Курант весьма непочтительно называет «богохульной бессмыслицей».

Такое различие во взглядах на самые существенные проблемы развития математической науки ведёт зачастую к взаимным обвинениям — учёные-прикладники усматривают во многих возникших за последние десятилетия областях математики элементы формализма, схоластики, специалисты же по этим областям математики полагают, что их оппоненты слишком утилитарно смотрят на дело. Надо сказать, что такие споры велись и раньше. Почти две тысячи лет назад Папп Александрийский обвинял некоторых из своих современников (возможно, Диофанта) в том, что они говорят о многомерных объектах, хотя не могут пояснить, что это такое, позднее обвинениям в формализме подвергались алгебраисты, изучавшие комплексные числа (ведь первоначально они не имели никаких приложений), многие математики считали слишком формальной риманову теорию функций комплексного переменного.

С другой стороны, как отмечается в статье Н. Бурбаки «Архитектура математики», в то время когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцветали уродливые математические структуры, полностью лишённые приложений, единственным достоинством которых было то, что с их помощью можно было выяснить значение тех или иных аксиом. Разумеется, и в современной математике имеются такие уродливые, формалистические структуры, однако всегда есть риск, отсекая их, выплеснуть с водой ребёнка. Не следует забывать о том, что некоторые из важных областей современной науки (топология, функциональный анализ и т.д.) в момент зарождения казались чем-то настолько абстрактным, настолько не имеющим отношения к классической математике, что лишь немногие учёные вступали в эти неизведанные области.

Многие из указанных выше проблем обсуждаются в статьях, составляющих содержание данного сборника.

Первым помещён доклад «Абстракция и математическая интуиция», сделанный в 1974 г. видным французским математиком Ж. Дьёдонне (одним из основателей группы «Николя Бурбаки») на происходившем в Люксембурге коллоквиуме «Математика и реальность». Высказываемые им мнения характерны для бурбакистского направления в математике: на первый план выступают математические структуры, большое внимание уделено рассказу о взаимопроникновении алгебры, арифметики и теории функций (ввиду излишней специализации некоторых вопросов в данном сборнике текст несколько сокращён).

Иную точку зрения на математику высказывает Р. Курант в статье «Математика в современном мире» (она взята из сборника под тем же названием, опубликованного в 1964 г. в США и переведённого в 1967 г. на русский язык). Для Куранта абстракция — лишь один из этапов «полёта», важнейшей и неизбежной целью которого является «приземление». Замечательно, однако, что оба автора: одинаково оценивают значение таких достижений математической науки, как создание теории бесконечномерных пространств и теории групп (при этом, разумеется, для Дьёдонне важнее внутриматематические приложения этой теории, а для Куранта — её роль в физике элементарных частиц).

Наконец, третья статья принадлежит известному советскому специалисту в области приложений математики к изучению операций Е. С. Вентцель (первый вариант статьи был опубликован в журнале «Вопросы философии» под хорошо известным ценителям русской прозы, псевдонимом И. Грекова). В этой живо написанной статье обсуждаются проблемы специфики прикладной математики, а также качества, которыми должен обладать исследователь в этой области.

Мы надеемся, что чтение этих статей натолкнёт читателя на размышления по затронутым в них проблемам.

В конце сборника помещены мысли о роли математики и её связях с практикой, принадлежащие некоторым видным учёным.

АБСТРАКЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТУИЦИЯ
Жан Дьёдонне

Par Jean Dieudonné. L'abstraction et l'intuition mathématique. Tiré à part de «Dialectica», Revue international de philosophie de la connaissance. (1975) Vol. 29, № 1 Case postale 1081, 2501 Bienne [Suisse]

Все математики единодушно признают основополагающую роль, которую воображение играет в математическом творчестве. Логика — это необходимый и скучный инструмент (известно, что математики её, вообще говоря, не слишком ценят); ею надо уметь должным образом владеть, так как она позволяет следить за доказательством и проверять его… но не изобретать!

Но как же изобретается доказательство? Этот процесс прекрасно описал А. Пуанкаре на ставших знаменитыми страницах: воображение предоставляет математику, стоящему перед лицом некоторой проблемы, множество всевозможных комбинаций известных фактов, теорем, однако большинство из них никуда не ведёт. Если случайно математик нашёл верный путь, то говорят, что у него хорошая интуиция, которая его удачно направляла. Но как только речь заходит об интуиции, сейчас же возникает недоразумение, проистекающее из того, что это слово уже имеет одно значение — кстати, очень расплывчатое — в разговорной речи, касающейся вполне обыденных вещей и явлений, и это приводит нас прямо в центр проблемы, затронутой на этом коллоквиуме.

Никто, конечно, не думает отрицать, что источником основных математических понятий, таких, как число или пространство, является чувственный опыт. Начиная примерно с 12 лет, если верить профессиональным психологам, небольшие натуральные числа или простые пространственные отношения (положение, величина и т.д.) могут рассматриваться как устойчивые, базирующиеся на опыте понятия, присущие всем нормальным людям и образующие субстрат соответствующих математических понятий. Однако необходимо сразу же отметить одно обстоятельство, которое, на мой взгляд, недостаточно учитывается: математические объекты, претендующие на выражение этих опытных понятий, наделяются математиками такими свойствами, которые явно выходят за пределы опыта. Возьмём, например, произвольное натуральное число: я сомневаюсь, что кто-либо обладает серьёзной интуицией натурального числа, большего, чем 10 (я имею в виду непосредственное восприятие; насколько мне известно, существуют психологические опыты, в которых требуется, не считая, определить количество возникающих на экране точек, и при этом безошибочный ответ даётся лишь тогда, когда число точек не превосходит 7). Понятия неограниченно продолжаемого натурального ряда чисел, бесконечной прямой и т.д. могут служить примерами концепций, не имеющих непосредственного экспериментального обоснования. Существование точной верхней грани, аксиома о вложенных отрезках, говорящая о том, что при неограниченном разбиении отрезков существует общая точка для всех полученных отрезков — всё это, строго говоря, нельзя проверить экспериментально. То же замечание относится и к постулату Евклида.

После двухвекового раздумья над этими вопросами мы теперь знаем, что выбор аксиом производится математиками довольно произвольно иногда из эстетических соображений или, по Пуанкаре, из соображений удобства; они вовсе не навязываются извне некоторыми явлениями или чувственной интуицией, которую мы можем иметь по отношению к ним. Кстати, история показывает, что некоторые аспекты этой чувственной интуиции могут вступать в столкновение, когда встаёт вопрос о выборе между ними. Г. Гирш напоминал в своём выступлении, что пифагорейцы были приведены к рассмотрению не действительной прямой в нашем обычном понимании, а «рациональной» прямой. Почему так произошло? Из-за меры: имеются две длины, и вполне естественно считать, что у них есть общая мера. Это совершенно логично, однако произошло столкновение с другой стороной интуиции: когда захотели измерять отрезки, возникающие в геометрии на плоскости, обнаружили, что существуют длины (например, диагональ единичного квадрата), которые не отвечают этому требованию. И тогда необходимо было выбрать: заниматься ли геометрией на плоскости, в которой диагональ квадрата имеет длину, или считать, что диагональ квадрата длины не имеет. (Кстати, это вполне можно было бы допустить. Геометрия над полем рациональных чисел совершенно разумна, но только некоторые утверждения в этой геометрии становятся ложными.)

Другими словами, имеются причины, связанные с историческим развитием математики, по которым на понятия, возникшие в основном из опыта, стали налагать требования, которые вовсе не имеют такого происхождения, и которые выступают в качестве аксиом, наложенных на понятия, выбранные в качестве основных. После этого, естественно, нет ничего удивительного, хотя это и смущало людей в своё время, что чувственная интуиция рассматриваемых объектов, хотя бы действительных чисел, либо в некоторых случаях совершенно не существовала, либо была недостаточной и обманчивой. Она не существовала в упомянутом выше случае произвольно больших натуральных чисел: если бы имелась мгновенная интуиция произвольно больших натуральных чисел, получение результатов теории чисел не представляло бы труда, в то время как на самом деле это весьма сложное дело и к результатам этой теории приходят путём огромных усилий, использующих всевозможные ресурсы, лежащие вне её. Никто не может сказать, что у него есть интуиция истинности или ложности теоремы Ферма. Иногда интуиция, которой обладают относительно некоторых понятий, начиная с аксиом, даёт идею доказательства. Классическим примером может служить теорема Больцано, говорящая о том, что непрерывная функция не может изменить знак, не обратившись в нуль. Здесь есть достаточно чёткая геометрическая интуиция, которая даёт идею доказательства. Если же попытаться доказать теорему Жордана [1], которая тоже интуитивно очевидна, выясняется, что здесь интуиция обманчива. Имеются и вовсе неинтуитивные объекты, классические чудовища: кривая Пеано, континуум Брауэра, который является общей границей трёх плоских областей, кольцо Антуана, являющееся вполне разрывным множеством, хотя существует кривая, которую нельзя деформировать в точку, не пересекая этого кольца. Кстати, чтобы не заходить в столь далёкие области, можно привести такие примеры ложной интуиции, как знаменитый чертёж, с помощью которого доказывают, что всякий треугольник равнобедренный. Если сделать чертёж так, что точка пересечения перпендикуляра к середине стороны и биссектрисы противолежащего угла окажется внутри треугольника (что, очевидно, невозможно), легко показать, что треугольник равнобедренный. Этот пример хорошо иллюстрирует тот факт, что пространственная интуиция, вырабатываемая в нас элементарной геометрией, может оказаться обманчивой.

Поэтому не надо давать себя обманывать. Даже для понятий, которые кажутся близкими к чувственной интуиции, соответствующие математические объекты, в сущности, очень отличаются от того, что мы о них думаем. В этом факте кроется источник огромного удивления, возникшего у большинства математиков XIX века, полагавших, что понятия, которые они ассоциировали с действительными числами, сами собой разумеются и не могут привести к экстравагантным результатам, подобным кривой Пеано.

Мы больше не удивляемся таким явлениям. Начиная с конца XVIII века математики разрушили классическое представление о числе и пространстве и начали исследовать объекты, не имеющие никакого чувственного эквивалента; Никто никогда не видел группы, кольца, тела, модуля. Геометрии Лобачевского, Римана и все другие геометрии, $p$ -адические числа [2], дифференцируемые многообразия созданы математиками. Как же можно говорить об интуиции для этих объектов? Ответ на этот вопрос, безусловно, трудно, сформулировать, так как речь идёт о явлениях совершенно субъективных. Каждый математик создаёт себе индивидуальный мысленный образ, в чём-то несравнимый с соответствующими образами мыслей других. Поэтому анализ, который я попытаюсь провести, прочно связан с моими собственными образами. Иначе не могло бы и быть, и я, не претендуя на произнесение всеобщих истин, просто попытаюсь прояснить некоторые умственные процессы, которые мне всё же кажутся примерно общими для многих математиков.

Вначале отметим распространённую и совершенно банальную точку зрения: интуиция математического объекта постепенно развивается и зависит прежде всего от степени знакомства с этим объектом. Что делает математик, когда перед ним встаёт совершенно новая для него проблема, которую он никогда не изучал и над которой он только начинает работать? Чаще всего он либо совсем не знает, какие вопросы надо ставить, либо ставит абсурдные вопросы. Здесь типичным примером может служить Анри Пуанкаре (к счастью, Пуанкаре, будучи самым большим математиком своего времени, счёл нужным очень точно описать свои впечатления об исследованиях). Когда Пуанкаре начал работать над автоморфными функциями, как он сам говорит об этом в своей книге, он пытался доказать, что не существует других автоморфных функций, кроме тех, которые были хорошо известны в то время (в том числе модулярных функций). Отсюда видно, до какой степени даже самые крупные математики могут двигаться в совершенно абсурдном направлении. Пуанкаре заметил это сам, и именно в этом проявилась его, как говорят, большая интуиция, потому что, изучая вопрос, понемногу начинают осваиваться в незнакомой стране; привыкая, приходят к умению угадывать, что должно произойти, когда встречают данный математический объект, и какой инструмент нужно применить для его исследования. Постепенно прекращаются нелепые ошибки, допускаемые вначале. В конце концов вырабатывается определённая привычка к теме и, если повезёт, удаётся поставить проблему и решить её.

Это очевидно, и всё-таки банально говорить, что интуиция просто является плодом хорошего знания темы. Я верю, что есть крайние случаи, где нет ничего другого, кроме хорошего знания, ибо речь идёт об объектах совершенно абстрактных, не имеющих никаких связей с другими математическими понятиями. Для меня типичным примером (здесь большую роль играет личное восприятие) является область, в которой я никогда не работал — теория конечных групп. Конечная группа — это объект, который нельзя увидеть, здесь нет никакого рода интуиции. Люди, работающие в этой области, приобретают такое знакомство с предметом, что у них, по-видимому, возникает чутьё к абстрактным понятиям теории групп. Я откровенно признаю, что ни силовская подгруппа, ни таблица характеров ни о чём мне не говорят, в то время как специалисты имеют своё образное чутьё и привычку к этим понятиям, позволяющие им распутывать сложные узлы и получать результаты. То же самое можно сказать по поводу почти всей абстрактной алгебры и многих проблем комбинаторного характера. Среди последних, очевидно, есть случаи, где имеется некоторое ви́дение вещей (графы, например) — их можно точно представить графически, геометрически. Но есть и другие, где интуиция порождается лишь хорошим знанием вопроса.

Идя дальше, можно рассмотреть вопросы комбинаторного типа, связанные с анализом. Например, что могло натолкнуть Эйлера на мысль о том, что для изучения последовательности целых чисел, заданной некоторым арифметическим процессом, полезно рассмотреть ряд Тейлора с коэффициентами, равными членам этой последовательности? Я думаю, что Эйлеру первому пришла мысль о производящей функции. Можно, конечно, сказать, что это одна из форм гармонического анализа, но это лишь переносит вопрос в другую область. В идее, что поведение ряда отражается некоторым образом на функции и обратно, заключается нечто вроде чуда — необыкновенная интуиция, источник которой, на мой взгляд, необъясним. Некоторые математики, однако, обладают, можно так сказать, комбинаторной интуицией: те, которые занимаются теорией групп, делают видимой чистую комбинаторику. Это происходит, вероятно, благодаря знанию вопроса и особенно, может быть, благодаря изучению частных случаев. Я был учеником Пойа, который дружил и сотрудничал с Харди. Первый мне всегда говорил, что Харди советовал своим ученикам, желавшим доказать теорему, зависящую от параметра $n$ , сначала провести доказательство для $n=1$ , а потом для $n=2$ , $n=3$ . К этому моменту они, быть может, начинали понимать, что происходит, и у них могла появиться идея доказательства в общем случае. Этот метод не всегда выручает, но иногда он оказывается полезен.

Вот то, что касается интуиции, которую я бы назвал комбинаторной; это крайний и, думаю, не самый интересный случай. Остальную часть доклада я посвящу другому типу математической интуиции, а именно тому, что я бы назвал переносом интуиции. Этот тип интуиции я считаю основным и являющимся одним из наиболее важных источников математического развития. Сейчас я приведу примеры, которые позволят мне более ясно выразить свою мысль.

Есть несколько видов такого переноса, и я начну говорить о наиболее простых. Существуют, во-первых, переносы, которые можно назвать тривиальными; классическим примером может служить в геометрии переход от пространства [3] $\mathbb{R}^2$ к $\mathbb{R}^n$ . Имеется большое число результатов, которые можно доказать для плоскости, причём это доказательство настолько механично, что нетрудно заметить возможность его проведения таким же образом и для $\mathbb{R}^n$ . Переносят доказательство и одновременно переносят интуицию. Таким вот образом в XIX веке постепенно поняли, что в исчислении с переменными разумно использовать не алгебраический, а геометрический язык. Вместо того чтобы говорить об уравнении $a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$ , говорят о гиперплоскости, задаваемой этим уравнением; строго говоря, с точки зрения математики ничего нового не добавлено, а введено понятие, напоминающее уже известное для случая $n=2$ или $n=3$ , о котором мы имеем геометрическую интуицию. Таким образом, происходит перенос от случая тривиального, элементарного, интуитивного в самом обычном смысле, к случаю, где больше нет чувственной интуиции, но где существует эта перенесённая математическая интуиция.

Рассмотрим несколько более сложный пример, не сводящийся к простым выкладкам: доказательство того, что в пространстве $\mathbb{R}^n$ всякое ортогональное преобразование $u$ есть произведение симметрии. Хорошо известно доказательство этого факта для случая $\mathbb{R}^2$ .

Рассмотрим точку $a \ne O$ . Найдётся симметрия $s$ , такая, что $s(a)=u(a)$ (в качестве оси симметрии следует взять перпендикуляр к отрезку с концами $a$ и $u(a)$ в середине этого отрезка). Но тогда $su(a)=a$ , поэтому ортогональное преобразование $su$ оставляет точку $a$ неподвижной и, следовательно, является либо тождественным преобразованием, либо симметрией относительно прямой $Oa$ .

Для $\mathbb{R}^n$ рассуждают так же: $su$ переводит в себя гиперплоскость $H$ , перпендикулярную к $Oa$ , но $su$ , рассматриваемое лишь на $H$ , можно разложить в произведение симметрий (индукция по $n$ ).

Я бы назвал этот перенос тривиальным. Есть и другие, тоже очень интересные, хотя и менее простые примеры. Предположим, что хотят доказать, что группа вращений является простой над своим центром для $n\ge 5$ . Здесь есть небольшое осложнение, так как это верно для $n=3$ , для $n\ge 5$ и неверно для $n=4$ . Его устанавливают для $n=3$ , затем с помощью некоторых искусственных приёмов перепрыгивают через случай $n=4$ и продолжают доказательство для $n\ge 5$ . Перенос интуиции, несколько менее тривиальный, возникает, когда вместо перехода от пространства $\mathbb{R}^2$ к $\mathbb{R}^n$ переходят от $\mathbb{R}^n$ к $K^n$ , где $K$ — более или менее произвольное поле. При этом возникают определённые трудности, но если сделать о $K$ некоторые разумные гипотезы, то большая часть геометрии переносится на геометрию над почти произвольным полем. Можно пойти значительно дальше, Часть этих свойств остаётся верной и при замене поля на кольцо [4]. Не в обиду Тому, вся линейная или полилинейная алгебра оказывается, таким образом, добавлением к геометрии, в то время как геометрия не является добавлением к линейной или полилинейной алгебре. Для меня это различие не имеет никакого значения; есть теория, которая одновременно является линейной или полилинейной алгеброй и геометрией. Их разъединяет лишь язык, но он же и оказывает огромную помощь, так как позволяет в каждый момент более или менее точно подыскать сходные интуитивно знакомые ситуации и перенести интуицию из этих ситуаций на случаи более сложные. Это не очевидно и надо часто принимать серьёзные предосторожности; но это помощь, которую я лично очень люблю и нахожу настолько важной, что обучение ей мне кажется существеннейшим делом.

Рассмотрим другой тип интуиции, который менее прост. Важнейшим моментом в истории анализа явился переход от конечного к бесконечному. Он берёт начало ещё в XVIII веке, когда Даниил Бернулли пытался вывести уравнение колеблющейся струны. У него возникла идея заменить струну из нити заданной плотности конечным числом материальных точек, расположенных на невесомой нити, и изучить колебания этой системы; затем он перешёл к пределу, устремив число точек к бесконечности и сделав, таким образом, струну однородной, откуда и получил уравнение колеблющейся струны. Фурье поступал аналогичным образом в большом числе других случаев. Этот метод оставался более или менее в тени в течение всего XIX века и вышел на авансцену лишь в конце его в известных работах Вольтерра и Фредгольма об интегральных уравнениях. Их основная идея состоит в рассмотрении интегрального уравнения как предела системы линейных уравнений.

В уравнении

$f(x)+\int_0^1K(x,y)f(y)dy=g(x),\quad(0\le x\le 1)$

придают $x$ значения $n/N \ (0\le n\le N)$ и заменяют интеграл «римановой суммой»

$\dfrac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}K\left(\dfrac{n}{N},\dfrac{m}{M}\right)f\left(\dfrac{m}{M} \right)$ .

Полагая $f_n=f\left(\dfrac{n}{N}\right)$ , $g_n=g\left(\dfrac{n}{N}\right)$ , $K_{nm}=K\left(\dfrac{n}{N},\dfrac{m}{M}\right)$ , получают таким образом систему $N$ линейных уравнений относительно $f_n$ :

$f_n+\sum_{m=0}^{N-1}K_{nm}f_m=g_n,\quad(0\le n\le N-1)$ ,

решаемую с помощью формул Крамера. Затем устремляют $N$ к $+\infty$ и получают формулы Фредгольма.

Несколько позже таким же образом поступил и Гильберт при изучении квадратичных форм. Он исходил из теории квадратичных форм с $n$ переменными и, переходя к пределу, вывел из неё теорию пространств, названных гильбертовыми, и теорию вполне непрерывных симметрических операторов. Идея заключается в том, чтобы в конечном рассмотреть алгебраическое понятие суммы и перейти от конечного к бесконечному двумя способами; конечная сумма становится рядом или интегралом. Так алгебраический процесс приводит к двум процессам математического анализа. Конечные суммы, линейные комбинации принадлежат в основном области классической линейной алгебры, т.е. теории конечномерных пространств; переходя к бесконечности, приходят к функциональным пространствам. От конечной суммы квадратов переходят к интегралу Лебега [5] от квадрата функции, что уже вовсе не тривиально. В это гильбертово бесконечномерное пространство переносят всю евклидову геометрию, принимая, конечно, меры предосторожности. Удивительно, насколько большая часть информации и результатов евклидовой геометрии без малейшего труда переписывается для гильбертова пространства с произвольным числом измерений. Затем, естественно, пошли много дальше и перешли к более сложным пространствам, таким, как банаховы и локально выпуклые пространства. Я повторяю, что, безусловно, необходимо принимать некоторые предосторожности при таких переносах. В действительности в начале XX века математики дали себя увести своей интуиции слишком далеко. Были трудности, которые мы теперь хорошо понимаем, трудности топологического характера, которых не могли увидеть в своё время, например, Пинчерле в Италии, П. Леви и Гато во Франции. Другими словами, необходимо было в некотором смысле приручить эту интуицию, перенесённую из конечного в бесконечное; её нельзя было оставить без изменений, а надо было научиться с нею соответственным образом обращаться. Так возникла общая топология, которая, выявив небольшое число простых понятий, позволила увидеть, что дозволено и что стало недозволено. Случай меры был значительно более сложным, и потребовалось долго ждать, пока возникли понятия, подходящие для достаточно общих пространств. Вот, следовательно, второй пример переноса интуиции, который всё ещё следует в направлении, указанном математической интуицией.

Иначе обстоит дело с третьим типом, к которому я теперь подошёл: алгебраическая топология и дифференциальная топология в пространствах размерности выше трёх. Алгебраическая топология была создана Риманом, но он работал с размерностью 2 (за исключением фрагмента в одном из его писем, где, однако, способ рассуждения не до конца понятен). Рассуждения, содержащиеся в его работах, целиком основаны на пространственной интуиции, относящейся к двухмерному многообразию, хотя речь идёт не об обычном пространстве. Рассматривается не плоскость, а риманова поверхность, более или менее расстеленная на плоскости. Рассуждения носят явно интуитивный характер и не могут считаться доказательными в настоящее время. Этот процесс, который не мог быть сохранён, особенно при переходе к высшим размерностям, был преобразован Пуанкаре и Брауэром в комбинаторные рассуждения. Чрезвычайно удобной оказалась идея, не содержавшая, впрочем, слишком большого новшества и заключающаяся во «впрыскивании» в эту теорию алгебры: Эмми Нётер рассмотрела группы, составленные из произвольных комбинаций симплексов [6], определила с помощью понятия границы симплекса граничные гомоморфизмы [7] этих групп и из них вывела группы гомологии Пуанкаре средствами чисто линейной алгебры (в основном рассматривая факторизацию ядра по образу).

Это вмешательство Эмми Нётер было переносом алгебраической интуиции, полученной в результате владения линейной алгеброй, на вопросы топологии; удивительно, что это получилось и получилось хорошо. Достаточно перечислить имена математиков, введших алгебру в алгебраическую топологию: Гуревич, X. Хопф, Уитни, Стинрод, Эресман, А. Картан, Лерэ, Том, Милнор, Гротендик, Салливан, Уолл, Кирби, Зиберманн и т.д. В их работах проводится в жизнь та же идея — в этом мне не будет возражать Том, введший новый способ произвольно комбинировать объекты в модулях и составлять таким образом новые группы, оказавшиеся очень полезными в развитии теории. Последней появилась и оказалась наиболее удивительной $K$ -теория, введённая прежде всего Гротендиком. Я не буду пытаться её описывать, так как это было бы слишком сложно, отмечу лишь, что теперь она простирается над всей математикой. В действительности здесь имеет место слияние двух типов интуиции. Есть интуиция, исходящая из области линейной алгебры, и, кроме того, без всякого сомнения, геометрическая интуиция; люди, которые успешно изучают эти вопросы, как говорится, «видят» в пространстве, причём не только в обычном пространстве, но и в пространстве произвольной размерности. Это замечательное, но, думаю, не очень распространённое свойство. Несколько позже я буду говорить об обратном воздействии топологии на алгебру, осуществляемом часто теми же людьми.

Вот три типа примеров, которые являются неочевидными переносами, но в некотором смысле более или менее естественными. В подобных случаях есть нечто, толкающее нас переносить идеи на другую математическую теорию. Но, так сказать, встречаются великие переносы, которые можно было бы назвать мутациями и которые — иначе не скажешь — падают с неба. О них создаётся впечатление, что они совершенно ничем не подготовлены. Далее я буду говорить о триединстве, состоящем из теории алгебраических многообразий, теории аналитических многообразий, являющейся старинной теорией комплексных функций с несколькими переменными, и наконец, теории чисел. Начиная с Римана, три теории взаимодействуют друг с другом необычайным образом. Риман исходил из математического анализа и применил его к алгебраической геометрии; при этом произошло создание бирациональной геометрии. Он начал не с геометрических идей, а с теории абелевых [8] интегралов, входящих в математический анализ. Для того чтобы уметь описывать эти функции, он изобрёл сразу двухмерную алгебраическую топологию и поверхности, названные римановыми; в качестве, так сказать, побочного продукта он получил фундаментальные понятия теории алгебраических кривых, в частности, например, род. Итак, исходя из математического анализа, Риман создаёт новую теорию, называемую бирациональной алгебраической геометрией кривых. Две изоморфные римановы поверхности соответствуют двум изоморфным алгебраическим кривым. Но, более того, Риман, обладая таким инструментом, как учение о мероморфных [9] функциях на римановой поверхности, заметил, что эти функции образуют поле и что изучение одной алгебраической кривой является, главным образом, изучением поля рациональных функций. Он пришёл к понятию чистой алгебры — полю рациональных функций кривой, которое является попросту конечным расширением поля рациональных дробей над комплексными числами. Одна из теорем Римана устанавливает, что две римановы поверхности бирационально [10] эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие поля изоморфны. Но тут же вслед за Риманом Дедекинд и Вебер изменили ситуацию и приняли поле в качестве отправной точки. В это время Дедекинд закончил изучение совершенно аналогичной проблемы, а именно теории алгебраических кривых, где поле $C(x)$ рациональных функций было заменено полем рациональных чисел. Для этого он ввёл новые методы, полученные под влиянием работ Куммера, но совершенно от них отличные, — методы линейной алгебры для идеалов. Он построил всю теорию этих полей, исходя, главным образом, из теории алгебраических чисел. Он заметил, что ситуация похожа на риманову в том смысле, что имеет дело с конечным расширением поля $C(x)$ , и у него возникла идея применить к теории алгебраических кривых методы, которые он удачно использовал в теории чисел. Кстати, несложно установить взаимосвязь между этими двумя понятиями: алгебраическая кривая соответствует полю рациональных дробей; точки кривой примерно соответствуют простым идеалам [11] поля $K$ , рассматриваемого как конечное расширение поля $C(x)$ . Итак, в случае алгебраических полей простые идеалы лежали в самом основании теории Дедекинда. Мы имеем здесь перенос интуиции алгебраических теорий: простой идеал становится точкой, чисто алгебраическое понятие преобразуется в геометрическое, даже, если угодно, топологическое. Мы получаем, таким образом, две первые стрелки:

Аналитические многообразия	→	Алгебраические многообразия
		↑
		Алгебраические числа

Далее это триединство продолжает развиваться ещё более неожиданным образом:

Аналитические многообразия	←	Алгебраические многообразия
↑
Алгебраические числа	←	Гармонический анализ

Во-первых, появляются $p$ -адические числа, созданные Гензелем. В этом случае алгебраическая кривая является просто полем комплексных чисел. Для данного многочлена $P$ над комплексными числами можно записать в окрестности точки $x_0$ :

$\dfrac{1}{P(x)}=\dfrac{1}{(x-x_0)^kP_1(x)},\quad P_1(x_0)\ne 0,\quad k\ge 0$

Следовательно, каждая рациональная дробь может быть записана в аналогичном виде:

$R(x)=R_1(x)(x-x_0)^m, \quad m\in\mathbb{Z}, \quad R_1(x_0)\ne 0$

Таким образом, каждой точке плоскости и каждой рациональной дроби приписывается порядок. Но так как рассматривается комплексная плоскость, можно пойти значительно дальше. В нашем распоряжении имеется теория аналитических функций; следовательно (так как $R_1(x_0)\ne 0$ и $R_1$ голоморфна в окрестности $x_0$ ) $R_1$ можно разложить в степенной ряд. Рациональная дробь, т.е. элемент поля, являясь аналитической функцией, имеет в окрестности точки разложение в сходящийся ряд. Но имеются также разложения в ряд, не являющиеся рациональными функциями. Замечательная идея Гензеля заключается в том, что так же обстоит дело и в числовых полях. Другими словами, совершается обратное тому, что было сделано только что; исходя из известных свойств алгебраических кривых, получают нечто новое для теории чисел. Гензель, не колеблясь, продолжает приведённую выше аналогию между идеалом и точкой. Рассмотрим более простой случай — поле комплексных чисел и возьмём в качестве основного поля совокупность рациональных чисел. В теории чисел точке соответствует простой идеал, а в случае рациональных чисел это в точности простое число $p$ . Тогда Гензель изучает $(1-p)^{-1}$ и говорит себе, что он должен иметь право представить это в виде $1 + p + p^2 + \cdots + p^n + \cdots$ , что рассматривалось в своё время как чрезвычайно смелая мысль; тем не менее она была вполне обоснована для тех, кто мыслил арифметически. Сказать, что два числа равны, значит сказать, что их разность равна $0$ . В то же время с точки зрения делимости на $p$ можно считать два числа близкими, если их разность делится на большую степень $p$ , потому что если она делится на произвольную степень $p$ , то она обязательно равна $0$ : это теорема о разложении целого числа на простые множители. Учитывая это, идея Гензеля становится намного более естественной; она попросту означает, что если остановить разложение на некотором шаге, то разность

$\dfrac{1}{1-p}-(1+p+\cdots+p^n)$

делится на $p^{n+1}$ . Это грубая манера представлять вещи, но она позволяет понять аналогию между разложением Тейлора рациональных функций и этим видом асимптотического разложения — в арифметическом смысле — рационального числа по степеням $p$ . Гензель с успехом развил эту идею, и стало возможно говорить об анализе в окрестности простого числа. Идея заключается в том, что элементы поля, т.е. рациональные числа, соответствуют рациональным дробям из аналитического случая или алгебраического случая и что, так же как и рациональная дробь в окрестности точки, они допускают разложение Тейлора (рациональное число имеет $p$ -адическое разложение). Кроме того, имеются $p$ -адические числа, не являющиеся рациональными. Эти наблюдения распространяются на поля алгебраических чисел и значительно дальше на множество аналогичных случаев; в настоящий момент таким способом излагают теорию Дедекинда–Кронекера. Разложение на простые идеалы, являющиеся основной теоремой теории алгебраических чисел, наиболее естественным образом выражается как теория $p$ -адических нормирований. Таким образом, имеется в распоряжении в некотором роде локальная теория аналитических функций, которая преобразовывается в локальную теорию чисел. На этом дело не заканчивается, так как теория аналитических функций — это не только локальная, но и общая теория. Зная аналитическую функцию, мы знаем не только разложение в окрестности одной точки, но и в окрестности всех точек. Возникает, таким образом, проблема обобщения; эта проблема не была поставлена во всех деталях самим Гензелем, а развивалась лишь после работ Шевалье и его последователей в 40-х годах.

Шевалье связал эту теорию с топологическими абелевыми группами. Но ещё в это же время было замечено, что теория Фурье, классический гармонический анализ, развитый для случая действительных чисел или тора, можно почти без изменений переписать для случая локально компактных абелевых групп. Это повлекло за собой новый перенос интуиции (гармонический анализ обогатил теорию чисел) и позволило «на серебряном подносе» получить все теоремы теории алгебраических функций как частные случаи теорем о локально компактных абелевых группах: теорему о разложении простых идеалов, теорему Дирихле о единицах, теорему об ограниченности классов идеалов и даже всю теорию полей классов. Лучшим способом развития теории полей классов, вершины теории алгебраических чисел, является в наши дни использование гармонического анализа — метода, подробнейшим образом разработанного в книге Андре Вейля «Основы теории чисел» [12]. Можно сказать, что теория алгебраических чисел стала одной из глав коммутативного гармонического анализа. Но я должен пойти значительно дальше и сказать, что к теории чисел применяется не только коммутативный гармонический анализ, но также и некоммутативный гармонический анализ. Я должен сказать ещё несколько слов об особенно замечательном обратном воздействии переноса интуиции. Я только что показал, каким образом интуиция линейной алгебры была перенесена на алгебраическую топологию и привела к значительному прогрессу. Самое же замечательное заключается в возвращении этого влияния назад. Математики, работающие над алгебраической топологией, пришли к развитию целой серии специальных или на первый взгляд специальных для их объектов исследования методов. Речь шла о вопросах строго топологических до тех пор, пока в один прекрасный день алгебраисты Эйленберг и Маклейн в 1942 году, Хопф и А. Картан примерно в то же время заметили, что в вопросах чистой алгебры встречаются аналогичные ситуации, и им пришла в голову мысль перенести на задачи чистой алгебры методы, успешно применяемые алгебраическими топологами; успех был совершенно необычайный: гомологическая алгебра явилась рикошетом интуиции чистых алгебраических топологов. Она получила разнообразные применения в коммутативной алгебре, локальной алгебре, теории чисел, теории дискретных групп и т.д.

В заключение я хотел бы отметить, что приведённые примеры, несмотря ни на что, наиболее простые. Чтобы описать современное бурное кипение идей, надо было бы говорить о больших конструкциях, где сливаются не одна-две, а полдюжины интуиций. Упоминавшаяся выше $K$ -теория является тому типичным примером. Она простирается от теории чисел к уравнениям в частных производных и охватывает алгебраическую топологию, дифференциальную топологию, теорию линейных групп и т.д. Она проходит через всю математику, и в ней смешиваются почти все интуиции: современная алгебраическая топология, схемы, топологии Гротендика, приложения к алгебраической геометрии и т.д. Этот факт свидетельствует, во-первых, о жизненности этой теории, а также о том, насколько гибким и изобретательным может быть человеческий разум в построении необычайно разнообразных и плодотворных интуиций.

Первый вывод, который я делаю из вышесказанного, состоит в том, что в математике, безусловно, нет одной интуиции; в ней есть целая серия разнообразных установок, порою неожиданно между собою взаимодействующих. Второй вывод: математические интуиции не постоянны; они непрерывно пополняются новыми вкладами в науку, новыми результатами, новыми идеями. Почти каждый год появляется незаурядный молодой математик, показывающий новый способ перенесения интуиции из одной области в область, совершенно от неё отличную. Наконец, в-третьих, возвращаясь к теме доклада: прогресс интуиции вопреки тому, что можно было бы предположить, идёт рука об руку с прогрессом абстракции. Чем более абстрактно явление, тем больше оно обогащает интуицию. Почему? Потоку что абстракция устраняет из теории всё несущественное. Если вы вводите абстракцию умело и ведомы своим чутьём (интуицией, если угодно), то вы отбрасываете несущественные отношения. Что же осталось? Остался скелет, и в этом скелете вам иногда удаётся обнаружить структуры, которые иначе вам увидеть бы не удалось. Если бы вы не ввели абстракцию, деревья заслонили бы от вас лес, детали помешали бы вам увидеть существенное. Итак, я думаю, что всё сказанное мною должно служить примером тому, что прогресс математической интуиции, которую я попытался определить, всегда сопутствует прогрессу математической абстракции. Возможно, это мучительно для лиц, желающих её постичь, но я не думаю, что кто-то сможет этого избежать. В этом, мне кажется, и заключается сущность математической интуиции.

Перевод с французского Н. Я. Виленкина, Л. Г. Петерсон

Примечания

1. Эта теорема утверждает, что любая замкнутая плоская кривая, не имеющая точек самопересечения, разбивает плоскость на две части.

2. Объекты, применяемые в некоторых вопросах теории чисел и задаваемые бесконечными рядами вида $a_0+a_1p+\cdots+a_np^n+\cdots$ , где $p$ — простое число, и $a_k=0,\,1,\,\dots,\,p-1$ .

3. $\mathbb{R}^n$ — $n$ -мерное пространство, состоящее из «точек» ( $x_1,\dots,x_n$ ), где все $x_k$ — действительные числа.

4. Кольцо — совокупность элементов, для которых определены операции сложения и умножения с «обычными» свойствами (например, кольцо целых чисел); в поле, кроме того, определена операция деления на ненулевые элементы.

5. Интеграл Лебега — обобщение понятия интеграла, позволяющее интегрировать и всюду разрывные функции.

6. Симплекс — простейшая фигура многомерной геометрии; одномерный симплекс — отрезок, двухмерный — треугольник, трёхмерный — тетраэдр.

7. Гомоморфизмы — отображения группы, сохраняющие операции.

8. Особый вид интегралов от алгебраических функций, изученный Абелем.

9. Мероморфными называют функции, не имеющие иных особых точек, кроме полюсов, т.е. точек, в которых они обращаются в бесконечность.

10. Бирациональное отображение, равно как и ему обратное, задаётся рациональными функциями.

11. Идеал — совокупность элементов кольца, содержащая вместе с любыми двумя элементами их сумму, а вместе с каждым элементом — его произведение на любой элемент кольца. В поле рассматриваются идеалы кольца целых элементов. Идеалы разлагаются в произведения простых идеалов. Функции, обращающиеся в $0$ в точке $a$ , образуют простой идеал в кольце непрерывных функций.

12. Русский перевод этой книги вышел в 1972 году в издательстве «Мир».

МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
Рихард Курант

Вступительная статья к сборнику «Математика в современном мире» (М., Мир, 1967).

Возросшая роль математики в современном мире прежде всего сказалась в резком увеличении числа математиков. Математика перестала быть предметом занятий только академической элиты; теперь профессия математика стала одной из наиболее распространённых, привлекая к себе всё большее число одарённых людей. Значительно расширились область математических исследований и программа математического образования. Математический аппарат проник далеко за пределы собственно математики: в физику, новые отрасли техники, биологию и даже в экономику и другие социальные науки. Счётные машины и вычислительная техника способствовали появлению новых областей научных исследований, имеющих, несомненно, чрезвычайно важное (хотя и не полностью ещё осознанное) значение как для самой математики, так и для всех наук, органически связанных с ней.

Роль математики в современной жизни лучше всего можно оценить при поэтапном сравнении успехов её развития. Всего три столетия назад основы математического мышления зиждились на геометрии, унаследованной нами от древних народов и лишь незначительно продвинувшейся за два тысячелетия. Затем началось стремительное и радикальное преобразование математики. Строгий аксиоматический дедуктивный стиль геометрии уступил место интуитивному индуктивному подходу, а чисто геометрические понятия — представлениям о числе и алгебраической операции, воплощённым в аналитической геометрии и математическом анализе, а также в механике. Небольшая группа учёных, относившихся к так называемой математической аристократии, теперь стала ведущей в науке. Ко времени Великой французской революции математические науки достигли такого расцвета, что число людей, активно занимающихся научной деятельностью, значительно возросло. Появилась учебная литература, позволившая ознакомиться с новыми достижениями математики; университеты стали систематически готовить специалистов в области естественных наук и математики. Открылись новые перспективы развития человеческих знаний.

«Классическая»математика, возникшая в XVII веке, и до сей день сохраняет своё огромное значение и ведущее положение. Некоторые из самых плодотворных работ появились в результате уточнения и обобщения двух основных понятий математического анализа: понятия функции (взаимной зависимости двух или более переменных) и понятия предела, вводящего интуитивное представление о непрерывности в жёсткие рамки строгого исследования. В чрезвычайно расширившейся области современной математики мы постоянно сталкиваемся с понятиями математического анализа, в частности с теорией дифференциальных уравнений (как в обычных, так и в частных производных), — этим важнейшим инструментом исследования скорости изменения различных величин.

Для современной математики характерно закрепление достигнутых результатов в духе математической строгости. Такой подход привёл к более интенсивной разработке оснований математики, детальному выяснению структуры самой математики и смысла «существования» объектов математического мышления.

Развитие математической науки неизбежно повлекло за собой специализацию и обособление; математика оказалась под угрозой потери единства и внутренней взаимосвязи. Представители различных отраслей математики стали хуже понимать друг друга, а связь математики, с остальными науками заметно ослабла. Тем не менее благодаря молодым талантам, пользовавшимся решительной поддержкой общества, которое осознало возрастающую роль математики, были достигнуты значительные успехи, а растущий объём математических исследований повлёк за собой лавину публикаций и многочисленные конференции математиков. В связи с этим появилась настоятельная потребность в чётком понимании существа математики, её проблем и целей, а также в отыскании идей, которые смогли бы объединить людей самых различных интересов.

На вопрос «Что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же как нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики ещё в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие её элементы.

Принимая во внимание всё вышесказанное, можно тем не менее дать математике некоторое общее определение. Часто говорят, что цель математики — это последовательное абстрагирование, логически строгая аксиоматическая дедукция и последующее ещё более широкое обобщение. Такая характеристика содержит лишь долю правды, поскольку она ограничивается однобоким, а порой и карикатурным изображением действительности. Прежде всего математика никак не владеет монополией на абстракцию. Понятия массы, скорости, силы, напряжения, тока — всё это абстрактные идеализации физической реальности. Так что такие математические понятия, как «точка», «пространство», «число» и «функция», едва ли много более абстрактны.

Система строгой дедукции из аксиом, принятая Евклидом в его «Началах», столь длительное время оказывавшая влияние на математику, является заманчивой формой, в которую часто выкристаллизовывается конечный продукт математической мысли, поскольку это даёт возможность добиться максимального успеха в осознании и упорядочении математического содержания и в обнажении его структуры. Однако излишнее акцентирование именно этой стороны математики сбивает с правильного пути, если конструктивным элементам, индукции, воображению, а также трудноуловимому процессу мышления, называемому интуицией, отводится лишь второстепенная роль. Правда, дедуктивный метод, отправляющийся от аксиом, на первый взгляд довольно догматических, позволяет при изучении математики быстро овладеть значительными её «территориями». Однако конструктивный метод Сократа, идущий от частного к общему и избегающий догматического подхода, прокладывает независимой творческой мысли несравненно более надёжный путь.

Точно так же как дедукция должна дополняться интуицией, стремление к последовательному обобщению должно сдерживаться и уравновешиваться бережным и любовным отношением к частностям. Отдельные задачи не следует низводить до отдельных иллюстраций величественных общих теорий. В действительности же почти все они возникают из рассмотрения частных проблем, и если такие теории не служат для разъяснения и систематизации более узких частных вопросов, они не имеют смысла.

Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом, логики с воображением — именно они и составляют самую сущность живой математики. Может оказаться, что в основе какого-то конкретного достижения лежит только один из перечисленных аспектов. Однако всякое перспективное достижение, несомненно, содержит все эти аспекты. Проиллюстрируем нашу мысль следующим образным сравнением: мы стартуем с Земли (конкретная задача) и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, где в разреженной атмосфере управление и наблюдение становятся легче. Затем наступает решающее испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели (что происходит снова на Земле, т.е. мы снова рассматриваем конкретную реальность, но теперь уже с новой точки зрения). Иными словами, полёт в область абстрактной общности должен исходить из конкретного и частного и завершаться конкретным и частным.

Эти положения ярко и убедительно показывают пути развития математической науки. Иоганн Кеплер с прозорливостью настоящего диагноста сумел абстрагировать из массы наблюдений Тихо Браге эллиптическую форму планетных орбит. Дальнейшее абстрагирование позволило Исааку Ньютону вывести из этой модели закон всемирного тяготения и дифференциальные уравнения механики. На этом весьма высоком уровне, уже не отягощённом математическими абстракциями, механика обрела неограниченную свободу и, снизойдя до конкретных «земных» задач, продолжала добиваться успеха за успехом в областях, лежащих далеко за пределами небесной механики, откуда она ведёт своё начало.

Подобным образом Майкл Фарадей установил в теории электромагнетизма ряд экспериментальных фактов, которые он связал воедино, дав им собственное остроумное толкование. Это позволило вскоре абстрагировать несколько математических качественных законов электромагнетизма. После того как эти законы были сформулированы для некоторых простых частных случаев, Джеймс Клерк Максвелл открыл весьма общий количественный закон, связывающий магнитные и электрические силы, а также скорости их изменения системой дифференциальных уравнений. Эти уравнения, абстрагированные и освобождённые от всего частного и конкретного, могут вначале показаться слишком недоступными для использования. Однако вскоре становится ясно, что уход Максвелла в высокие сферы абстракции проложил перед наукой путь к дальнейшему развитию по многим направлениям. Раскрытие волновой природы электромагнитных явлений на основе уравнений Максвелла вдохновило Генриха Герца на проведение эксперимента по распространению радиоволн, что, в свою очередь, привело к появлению отрасли техники совершенно нового типа и открыло перед исследователями широкие горизонты. В результате стали возникать новые направления; среди них отметим, например, ныне бурно развивающуюся науку — магнитную гидродинамику.

Нельзя сказать, что уравнение Максвелла — это продукт последовательного дедуктивного мышления. Ещё в меньшей степени его открытие может быть приписано чисто индуктивному сократовскому методу. Вернее всего было бы причислить Максвелла к тем редким умам, которые способны уловить сходство и провести параллели между весьма отдалёнными, внешне, казалось бы, совсем не связанными фактами и встать на новую, более глубокую точку зрения, объединяя явно разнородные элементы в единую систему.

В собственно математике соответствующая линия в развитии — от конкретного и частного через абстракцию снова к конкретному и частному — придаёт теории свой определённый смысл и значение. Чтобы оценить роль этого основополагающего вывода, необходимо помнить, что слова «конкретный», «абстрактный», «частный», «общий» в математике не имеют ни постоянного, ни абсолютного значения. Они относятся главным образом к рамкам нашего мышления, к уровню нашего знания и характеру математического предмета. Например, мы охотно принимаем за «конкретное» то, что уже давно стало привычным. Что же касается слов «обобщение» и «абстракция», то они описывают не статическую ситуацию или конечный результат, а живой, динамический процесс перехода от некоторого конкретного уровня к какому-то другому — «высшему».

Иногда плодотворные открытия в математике возникают совершенно неожиданно, без особых видимых усилий: новые горизонты появляются при абстрагировании от конкретного материала и раскрытии существенных по своей структуре элементов. Аксиоматика безотносительно к её евклидовой форме подразумевает именно этот процесс. Один из последних примеров плодотворного применения абстракции — это обобщение Джоном фон Нейманом и рядом других учёных «спектральной» теории Давида Гильберта, обобщение, которое и привело от частного случая «ограниченных» линейных операторов к «неограниченным» операторам.

Этот далеко идущий результат можно проследить по ряду последовательных операций абстрагирования, начавшихся с основ аналитической геометрии. Известно, что в трёхмерном пространстве с координатами $x_1,\ x_2,\ x_3$ плоскости описываются линейными уравнениями, а поверхности второго порядка (сфера, эллипсоид и пр.) — квадратными уравнениями (т.е. такими, в которые неизвестные входят во второй степени). Например, уравнение, записанное в общем виде как $\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\lambda_3x_3^2=1$ , описывает поверхность второго порядка с центром в начале координат и тремя главными осями, направленными по осям координат. Для эллипсоида «коэффициенты» $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \lambda_3$ должны быть заданы положительными числами и соответственно равны $1/a_1^2,\ 1/a_2^2,\ 1/a_3^2$ — три полуоси эллипсоида. Поверхность эллипсоида составляют те и только те точки, которые удовлетворяют такому уравнению.

Следует отметить, что алгебраизация геометрии позволяет нам без особого труда перейти к пространству более чем трёх измерений, скажем, к пространству $n$ измерений с координатами $x_1,\ x_2,\dots, x_n$ . Как и ранее, плоскости в таком пространстве снова описываются линейными уравнениями, а поверхности второго порядка — уравнениями второго порядка (квадратичными формами) относительно переменных $x_1,\ x_2,\dots, x_n$ . Один из важнейших результатов «линейной алгебры» состоит в том, что поверхности второго порядка могут быть приведены к «каноническому» виду

$\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\cdots+\lambda_nx_n^2=1$

при помощи соответствующего преобразования системы координат (или, что то же самое, при движении рассматриваемой поверхности и фигуры); в результате центр фигуры оказывается в начале координат, а её главные оси направлены по осям координат. Эта теорема является ключевой во многих приложениях, например в теории механических или электрических систем, в которых $n$ материальных точек или $n$ электрических величин могут колебаться относительно положения равновесия.

Некоторые физики, не думая о строгом математическом обосновании, например лорд Рэлей, смело применяли этот вывод и для значительно более общих случаев, когда число измерений становится сколь угодно большим. Такой шаг на пути к дальнейшему обобщению и абстракции элементарной математики оказался весьма полезным при изучении колебательных систем, в которых точечные массы или элементы электрической цепи не заданы конечным числам, а равномерно распределены, скажем, по струне, мембране или линии электрической передачи.

Гильберт, один из величайших математиков старшего поколения, понял, что подобным квадратичным формам от бесконечно большого числа переменных следует предоставить должное место и в общей математической теории. При попытке сделать это он прежде всего обнаружил, что нужно ограничить область переменных требованием, чтобы сумма их квадратов «сходилась», т.е. принимала конечное значение. Это утверждение можно сформулировать, пользуясь также терминами «обобщённой» теоремы Пифагора. Тогда ограничение Гильберта сводилось к требованию, чтобы всякая точка гильбертова пространства была удалена от начала координат на конечное расстояние

$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots}$

Далее Гильберт ввёл квадратичную форму от бесконечно большого числа переменных — бесконечную двойную сумму

$\begin{aligned} a_{11}x_1^2&+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+\cdots+\\ &+a_{22}x_2^2+a_{23}x_2x_3+\cdots+ \end{aligned}$

где индекс первой переменной в каждом слагаемом (т.е. переменной $x_1$ в первой строке, переменной $x_2$ во второй и т.д.) стремится к бесконечности при переходе от одной строки к другой, а индекс второй переменной (т.е. $x_2$ в первом столбце, $x_3$ — во втором и т.д.) стремится к бесконечности вдоль каждой строки. Эта бесконечная сумма подчинена решающему ограничению: она должна сходиться во всякой точке гильбертова пространства.

Оказывается, что в таком пространстве многие понятия из геометрии конечного числа измерений, относящиеся к свойствам плоскостей и поверхностей второго порядка, сохраняют свою силу. Именно так, в частности, обстоит дело с приведением квадратичных форм к каноническому виду (или, как говорят ещё, к главным осям). Гильберт показал, что любая квадратичная форма указанного вида может быть приведена к каноническому виду соответствующим вращением системы координат. По аналогии со случаем конечного числа измерений Гильберт назвал набор значений $\lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3,\,\dots$ , появляющихся в этом каноническом виде, «спектром» квадратичной формы.

Обобщая теорию главных осей обычных квадратичных форм конечного числа переменных на случай их бесконечного числа, Гильберт открыл также много новых явлений, например, возникновение непрерывного «математического спектра». Более того, работы Гильберта сыграли немаловажную роль при возникновении квантовой механики. Его термин «математические спектры» оказался связанным со спектрами энергетических состояний атомов и частиц, их образующих. Правда, гильбертова теория квадратичных форм не совсем подходила для решения проблем квантовой механики; как выяснилось, в этих целях потребовались «неограниченные» формы.

Именно здесь вдохновлённый Эрхардом Шмидтом фон Нейман, который был склонен к абстрагированию больше, чем его предшественники, сделал следующий решающий шаг в этом направлении. Отказавшись от представления Гильберта о квадратичной форме как о чём-то, что может быть выражено в конкретной алгебраической форме (в виде бесконечной алгебраической суммы), фон Нейман взамен нашёл такое абстрактное определение квадратичной формы, что сумел избежать ограничений, налагаемых гильбертовым подходом. Так расширенная гильбертова спектральная теория смогла дать ответ на вполне реальные и конкретные запросы современной физики.

Теория групп, являясь центральной в современной математике, прошла в своём развитии аналогичный путь последовательных обобщений. Эта теория ведёт своё начало от частной проблемы, привлекавшей к себе умы математиков ещё в средние века. Речь идёт об отыскании решений алгебраического уравнения степени выше второй алгебраическим же путём, т.е. с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня. Теория квадратных уравнений была известна ещё в древнем Вавилоне, а решение уравнений третьей и четвёртой степеней в общем виде было получено математиками эпохи Возрождения Джироламо Кардано, Никколо Тарталья и Людовико Феррари. Однако решение уравнений пятой и ещё более высоких степеней натолкнулось на непреодолимые трудности.

В начале XIX века новое решительное наступление на эту крепость повели Луи Лагранж, Паоло Руффини и Нильс Хенрик Абель, а также Эварист Галуа, который использовал наиболее оригинальный метод. Все они исходили из хорошо известных фактов. Во-первых, алгебраическое уравнение $n$ -й степени вида

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$

имеет $n$ корней $r_1,\ r_2,\dots,\ r_n$ и, во-вторых, полный набор этих корней определяет алгебраическое уравнение однозначно. Например, если $1$ и $3$ являются корнями некоего квадратного уравнения, то этим уравнением будет $(x-1)(x-3)=x^2-4x+3=0$ . Коэффициенты такого уравнения представляют собой симметрические функции от его корней, т.е. зависят от всей совокупности этих корней так, что порядок их нумерации безразличен; например, если кубическое уравнение $x^2+ax^2+bx+c$ имеет своими корнями $r_1,\ r_2,\ r_3$ , то его коэффициенты могут быть записаны как

$-a=r_1+r_2+r_3,\quad b=r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1,\quad -c=r_1r_2r_3$

Из этой записи видно, что если поменять нумерацию корней, то на коэффициентах $a,\, b,\, c$ это никак не скажется.

Многолетняя работа над такими уравнениями позволила установить, что ключ к решению задачи выражения корней уравнения через его коэффициенты лежит не только в изучении таких симметрических выражений, но также в исследовании частично симметрических выражений и анализе симметрии, которыми они обладают. Выражение $E=r_1r_2+r_3r_4$ , например, не сохраняется при произвольных перестановках входящих в него символов $r_1,\ r_2,\ r_3,\ r_4$ . Но если произвести замену индекса 1 на 2 и индекса 3 на 4, то выражение $E$ не изменится, или, как говорят в таких случаях, оно инвариантно по отношению к такой перестановке. Если же поменять местами индексы 1 и 3, то полученное при этом выражение будет уже отлично от $E$ . С другой стороны, последовательное осуществление двух перестановок, из которых первая нарушает $E$ , а вторая снова его восстанавливает, может быть принято за новую перестановку, по отношению к которой $E$ инвариантно. Совокупность таких перестановок, названная Галуа «группой», отражает внутреннюю симметрию, присущую выражению $E$ . Раскрытие природы таких групп, по мнению проницательного Галуа, и есть ключ к построению более глубокой теории алгебраических уравнений.

Вскоре математики обнаружили применимость таких групп перестановок и к другим областям математики. Совокупность шести движений, например, превращающих равносторонний треугольник вновь в такой же треугольник, тоже образует группу. Другие группы также оказались существенными элементами большинства областей математики. Чтобы охватить такие группы во всех их видах и проявлениях единым понятием, а также предусмотреть многочисленные скрытые в них возможности, потребовалось сформулировать основополагающее понятие группы в наиболее абстрактной форме.

Это и было сделано; группой стали называть совокупность математических объектов, в которой правило «комбинирования» любых двух из них задавалось бы так, чтобы в результате снова получался бы некоторый элемент $S$ , принадлежащий этой же совокупности. От этого правила требуется, чтобы оно было ассоциативным [т.е. $(ST)U$ должно быть равно $S(TU)$ ]. Далее в совокупность должен входить так называемый единичный элемент $1$ , который в комбинации с любым другим элементом совокупности $S$ снова даст элемент $S$ (т.е. $1\cdot S=S\cdot 1=S$ ). Наконец, для каждого своего элемента $S$ наша совокупность должна содержать ещё и «обратный» элемент $S^{-1}$ такой, что комбинация $SS^{-1}$ даёт единичный элемент ( $SS^{-1} = 1$ ).

Такое абстрактное определение группы оставляет, конечно, полностью открытым вопрос о конкретной «материальной» природе группы. Элементами группы могут быть числа, вращения геометрических тел, деформации пространства (подобного рода деформации могут, например, определяться линейными или какими-либо иными преобразованиями координат) или же, как было упомянуто выше, перестановки $n$ объектов.

Одним из главных достижений последних 150 лет было введение понятия группы: в результате различные разделы математики обрели ясность и единообразие. Много усилий направлялось на вспомогательный, «высший» участок «линии развития» — на анализ структуры абстрактных понятий. Это неизменно способствовало выяснению строения конкретных областей математики, таких, как теория чисел и алгебра. Одно из самых замечательных достижений в этом направлении — знаменитая классификация различных разделов геометрии, предложенная Феликсом Клейном в 1870-х годах. Она основана на инвариантности некоторых определённых геометрических свойств по отношению к различным группам преобразований.

Абстрактная теория групп нашла блестящее применение в решении ещё более конкретных проблем физики элементарных частиц. Здесь возможности теории групп обусловливаются наличием довольно запутанных групп явных и скрытых симметрии во взаиморасположениях и взаимодействиях ядерных частиц. Успех теории групп в систематизации массы экспериментальных данных, а также в предсказании существования новых элементарных частиц, очевидно, свидетельствует о пользе абстракций в поисках вполне реальных истин.

Интуиция, этот неуловимый жизненный элемент, всегда активно присутствует в творческой математике, побуждая и направляя даже самое абстрактное мышление. Её наиболее распространённая форма — геометрическая интуиция — содействовала появлению многих важных достижений математики последнего времени, как относящихся к самой геометрии, так и вытекающих из работ в этой области. Тем не менее существует явная тенденция к подкреплению интуиции точными и строгими рассуждениями.

Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой. Располагая небольшим числом разрозненных, но, безусловно, важных открытий (как, например, открытие односторонней ленты Мёбиуса), составлявших её «основной капитал», топология только в XIX веке предстала как область серьёзных научных исследований. Долгое время в ней почти полностью господствовала геометрическая интуиция. Поверхности разрезались и склеивались для наглядного представления математической сущности топологии как науки о свойствах поверхностей, остающихся неизменными при произвольных непрерывных деформациях. Однако уже на заре развития новой дисциплины Георг Фридрих Бернгард Риман сумел привлечь к ней внимание учёных. В своей сенсационной работе по теории алгебраических функций комплексного переменного (в состав такого переменного входит мнимое число $\sqrt{-1}$ ) он показал, что для подлинного понимания этих функций существенны топологические свойства некоторых специальных поверхностей, называемых теперь римановыми поверхностями.

На протяжении прошлого столетия математики открыли и подвергли систематическому исследованию большое число топологических свойств поверхностей двух, трёх и, наконец, $n$ измерений. В начале XX века Анри Пуанкаре и ряд других математиков построили великолепное здание топологической теории, всё ещё ориентируясь на интуицию. Эта работа была тесно связана с развитием теории групп и нашла применение в других областях математики, а также сыграла свою роль в переходе математической науки на более высокую ступень. Её результаты использованы в небесной механике, в частности при построении орбит планет в пространстве, искривлённом гравитационными полями.

Но теперь учёных-топологов начало одолевать двойственное чувство: с одной стороны, они ощущали потребность заключить геометрическую интуицию в рамки современной математической строгости, с другой — им совсем не хотелось терять убедительности и стройности интуитивных геометрических выводов. В первом десятилетии XX века с этой задачей справился почти в одиночку голландский математик Л. Э. Я. Брауэр. Благодаря его огромным усилиям в топологии теперь подход не менее строгий, чем в геометрии Евклида; и дальнейшее развитие этой области математики происходило на основе логически безупречных рассуждений.

В основе тех трудностей, с которыми столкнулся Брауэр, стояла дилемма, возникшая в связи с понятием непрерывности. Каждый из нас интуитивно имеет твёрдое представление о том, что такое непрерывность (например, мы можем без труда вообразить плавную кривую). Однако каждый, кто начинает изучать дифференциальное исчисление, теряет свою уверенность, как только требуется ввести понятие непрерывности в рамки строгой математической формулировки. В этой задаче невозможно избежать трудностей, так как геометрическая интуиция даёт нам такое представление о непрерывности, которое не совсем согласуется с математически логическим представлением о ней. Строгое определение приводит к появлению множества случаев, которые, с точки зрения нашей интуиции, кажутся парадоксальными. Можно без труда, например, построить непрерывную линию (в точном соответствии с определением), не имеющую конечной длины, не имеющую определённого направления ни в какой точке, или, скажем, линию, которая, находясь внутри квадрата, может виться без самопересечений, подходя сколь угодно близко к любой его точке. Такие необычные построения показывают, что нужно соблюдать большую осторожность при обосновании топологических свойств тех или иных поверхностей или других объектов, подвергающихся сложной непрерывной деформации.

Необходимость в такой осторожной аргументации не всегда становится интуитивно понятной тому, кто не занимается топологией. Примером может служить знаменитая теорема Жордана, утверждающая, что на плоскости всякая непрерывная замкнутая линия без самопересечений разграничивает её на две чёткие области — внутреннюю и внешнюю. Любой научный работник, инженер или студент, исходя из соображений здравого смысла, скажет, что попытка доказать такую теорему представляет собой ненужное упражнение. Тем не менее при написании своего классического учебника анализа Жордан счёл необходимым доказать это утверждение. Сколь же тонкой оказалась эта проблема, если найденное Жорданом доказательство оказалось не безупречным! Равным образом никто не усомнится в том, что размерность двухмерной и трёхмерной геометрической фигуры не меняется при любых непрерывных деформациях. Однако строгое доказательство этого факта, исходящее из общего предположения об абстрактной непрерывности, — одно из главных достижений Брауэра.

Безусловно, можно избежать некоторых трудностей, возникающих при введении понятия непрерывности, если на группу непрерывных преобразований наложить некоторые ограничения (например, потребовать «гладкости» или дифференцируемости вместо чистой непрерывности). Это и было успешно исполнено. Дифференциальная топология (раздел топологии, занимающийся подобными рассмотрениями) достигла за последнее время выдающихся результатов. Изучение преобразований, подчинённых требованиям «разумной» гладкости, привело к установлению классификации топологических структур, существенно отличной от той, которая была получена при условии требования самой общей непрерывности.

Эти достижения поддерживают вполне естественный отход от стремления к не знающим границ обобщениям. Идея таких обобщений стала казаться заманчивой с тех пор, как Георг Кантор получил в конце прошлого века блестящие результаты в теории множеств. Некоторые великие учёные, особенно Пуанкаре, жестоко преследовали эту идею, считая её чуть ли не угрозой всей математике, в частности, потому, что она заводит в дебри неразрешимых парадоксов. И хотя воинствующий критицизм Пуанкаре во многом был чересчур суровым и даже реакционным, тем не менее он оказал известную пользу математикам конструктивного направления, занятым частными и вполне конкретными проблемами.

Математическая деятельность разных людей и даже одного и того же человека определяется различными стимулами. Без сомнения, тесные связи с физической реальностью важных разделов математики, особенно анализа, вдохновляют и стимулируют математическую мысль. То же относится и к другим реальностям. В теории чисел и алгебре раскрывается загадочная реальность мира чисел, прочно связанного с человеческим разумом. Более далёкой от физической реальности представляется нам реальность логических процессов, неотъемлемо входящих в математическое мышление. Тем не менее основные идеи в работах по математической логике, малоизвестных широким кругам, оказались весьма полезными для понимания и даже для конструирования автоматических вычислительных устройств.

Иными словами, конкретные частные факторы должны стимулировать математику внести свой вклад в определённую сферу реальности. Полёт в абстракции должен означать нечто большее, чем просто взлёт; отрыв от земли неотделим от возвращения на землю, даже если один и тот же пилот не в состоянии вести корабль через все фазы полёта. Самые отвлечённые, чисто математические занятия могут быть обусловлены вполне ощутимой физической реальностью. То обстоятельство, что математика — эта чистая эманация человеческого разума — может столь эффективно помочь в понимании и описании физического мира, требует особого разъяснения, и не случайно этот вопрос всегда привлекал внимание философов. Оставляя философские вопросы в стороне, следует признать, что взятые на себя математикой обязательства по решению различных физических проблем или, наоборот, видимое отсутствие таких обязательств не может быть принято за критерий установления различий между теми или иными видами математики или разногласий, существующих между самими математиками.

На самом деле между «чистой» и «прикладной» математикой невозможно провести чёткую грань. Поэтому-то в математике и не должно быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности, удерживающей большинство людей от свободного странствования по необъятным просторам человеческих интересов.

Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть. Существует и другой обходной путь: заново определить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная процедура представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи.

В исследованиях прикладного характера всё выглядит по-иному. Прежде всего поставленную задачу нельзя с такой лёгкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надёжный с общечеловеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов ввести догадки в цепь рассуждений, а также допустить известную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном практического направления, например о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать достоверность используемой математической модели. И наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обойтись при переносе реальных физических процессов на математические модели.

Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда проникает человек в своём стремлении к познанию природы и управлению ею.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
Елена Сергеевна Вентцель

Нашу эпоху принято называть эпохой научно-технической революции. Мы настолько привыкли к этому сочетанию слов, что почти не задумываемся над их смыслом. Так часто бывает со словами, когда они накрепко спаиваются в некие «словесные блоки»: блок воспринимается как целостность, вызывающая не размышления, а скорее ассоциации и эмоции. Такой блок часто окрашен качественно, отмечен знаком «плюс» или «минус». Случается, что эта эмоциональная оценка в ходе времени меняется на противоположную. Скажем, в своё время блок «борьба с природой» был явно отмечен знаком «плюс»; ныне воинственное отношение к природе вышло из моды, и всё более популярным становится блок «охрана окружающей среды». Эмоциональная окраска различных терминов и понятий естественна — нельзя науку и технику полностью отделить от чувств и стремлений, поместить в искусственную, эмоционально стерильную среду. И всё же не вредно иногда задуматься о том, что же всё-таки скрыто под привычными блоками, «разлепить» образующие их слова, подумать о происхождении термина и его смысле.

Меньше всего в таких случаях могут помочь строгие и точные определения. Когда речь идёт о широко известных, часто употребляемых понятиях, точные словесные формулировки, поясняющие их смысл, часто тавтологичны или излишни. Возьмём, например, определение слова «стол» в толковом словаре русского языка: «предмет мебели в виде широкой горизонтальной доски на вертикальных опорах, ножках». Вряд ли оно может уточнить или обогатить представление о «столе» у человека, который изо дня в день пользуется «широкой доской» для разнообразных надобностей. И вообще, содержание понятия, как правило, шире и богаче его сжатого словесного определения. Оно формируется не определением, а всем опытом общественной жизни и практической деятельности людей, всей системой ассоциаций, образов, даже эмоций, связанных с данным понятием. Коротко можно эту систему назвать «ассоциативной базой» понятия.

Разумеется, содержание памяти, запас представлений и ассоциаций у разных людей различны. Поэтому нет и не было двух людей, которые вкладывали бы в одно и то же понятие в точности один и тот же смысл. Речь может идти только о приближённом в общих чертах совпадении смыслов. Такое совпадение наблюдается, когда мы имеем дело с группой людей с примерно одинаковой психологией, культурой, запасом сведений. Если же общей ассоциативной базы нет, то люди могут понимать под одними и теми же словами совсем разные вещи. Да и сами понятия тоже не остаются неизменными: они развиваются, наполняясь новым содержанием, или отмирают. Возьмём, к примеру, понятие «машина» — ясно, что его смысл и содержание для нас совершенно иные, чем для людей прошлого века. То же самое на наших глазах произошло с понятием «космос» — оно вышло из туманных философских глубин и обросло конкретными, земными ассоциациями.

Так в чём же современное содержание понятия «научно-техническая революция», этой словесной триады, которую мы всё время слышим вокруг себя? Думается, что попытки дать строгое, точное и сжатое определение, которое, скажем, студент мог бы выучить наизусть и произнести на экзамене, вряд ли будут успешными. Понятие это слишком широко, многогранно и всепроникающе для лаконичного определения. Мы не только живём в эпоху научно-технической революции, но и дышим ею, проникнуты ею, со всех сторон ею окружены, всё время ощущаем на себе её благодеяния и зуботычины. И всё-таки можно позволить себе поразмышлять на эту тему, развить некоторые ассоциативные связи, в которые это понятие погружено.

Подумаем, почему именно наше время мы называем «эпохой НТР»? В чём тут дело? В неслыханном развитии науки и техники за последние десятилетия? В огромной роли, которую приобрела в наши дни наука? Да, и в этом тоже. Но техника развивалась всегда, на каждом историческом этапе создавая ранее «неслыханные» вещи. И люди всегда воспринимали современные им науку и технику как высочайшие достижения мысли и изобретательства.

Отличие того периода, который мы называем «научно-технической революцией», от всех предшествовавших не только и не столько в совершенстве техники и могуществе науки, как в своеобразном перемещении акцентов. В наше время на первый план выходит не задача создания новых и новых образцов техники, а проблема организации и управления. Управления не только машинами, но и людьми, сложными человеко-машинными системами. Дело в том, что техника и технология сейчас меняются настолько быстро, что не успевают сформироваться опытные люди, умеющие разумно управлять этой техникой, приводить её в действие. Когда-то умение это приобреталось исподволь, обучение шло «методом проб и ошибок», приобретённые навыки закреплялись, передавались от отца к сыну, от учителя к ученику. Теперь традиции просто не успевают образоваться: на протяжении одной человеческой жизни окружающая среда, требования и навыки успевают смениться не один раз.

Человечество приобрело огромные возможности и стало перед лицом огромных опасностей. Старый как мир, испытанный метод «проб и ошибок» в наши дни непригоден — слишком мало времени остаётся для «проб» и слишком катастрофическими могут оказаться «ошибки». Планируются и проводятся огромные мероприятия, превышающие по своим масштабам, стоимости и возможным последствиям всё, что когда-либо проводилось ранее. Разумное управление этими мероприятиями жизненно необходимо с точки зрения интересов и дальнейшей судьбы как отдельной страны, так и человечества в целом. Сегодня меньше, чем когда-либо, допустимы произвольные, так называемые «волевые», решения. Конечно, головотяпы, неразумные и недобросовестные люди существовали и прежде (сам термин «головотяп» восходит к Салтыкову-Щедрину), но разница в масштабе и вредоносности. Головотяп прошлого просто вреден, головотяп эпохи НТР страшен.

Ответственные решения должны приниматься не интуитивно, а на основе предварительных прикидок, математических расчётов. И не случайно именно в наше время отмечается бурный рост математических методов во всех областях практики. Вместо того чтобы «пробовать и ошибаться» на реальных объектах, люди предпочитают делать это на математических моделях. Построение таких моделей, их анализ и вывод рекомендаций — одна из важнейших задач прикладной математики.

Не будем пытаться строго определять само понятие «прикладная математика» — лучше оставить его в лёгком тумане ассоциативной базы. Одно из возможных, но не исчерпывающих определений: «Прикладная математика — это совокупность методов решения математическими средствами задач, возникших вне математики»; её противопоставляют «чистой математике», задачи которой возникают внутри самой математики. Однако резкой демаркационной линии между чистой и прикладной математикой не существует. Многие оспаривают даже право на существование самого термина «прикладная математика», считая, что какой-то раздел математики, будучи применён к решению практической задачи, остаётся самим собой и не переходит из «чистой» в «прикладную». Доля правды в этом рассуждении есть. Разумеется, специальной дисциплины «прикладная математика» не существует. Зато, безусловно, существуют прикладные математики — люди, занимающиеся приложением математических методов к решению задач, возникших не в недрах самой математики, а в реальной жизни. Эти люди — отчасти стихийно, отчасти осознанно, — формируют идеологию прикладной математики, её своеобразную методологию, если хотите, философию. Приступая к решению конкретных задач практики, специалист-математик, воспитанный в «классической» традиции, должен волей-неволей перестраивать свои приёмы, методологические подходы, способы рассуждений и умозаключений [1].

Стало уже общеизвестно, что мы живём в «век математики». Математические методы всё шире внедряются в практику; управляющие алгоритмы и реализующие их ЭВМ становятся буквально в ряд производительных сил. Сегодняшние техника, организация, планирование, немыслимы без математики.

Когда-то математика была эталоном отвлечённости, абстрактности. Сформировался и литературный тип сухаря-математика, которому нет дела до происходящего на этой грешной земле. Вспомним хотя бы «Гимн учёному» Маяковского:

Проходят красноухие, а ему не нудно,
Что растёт человек, глуп и покорён;
Ведь зато он может ежесекундно
Извлекать квадратный корень.

Сегодня, как известно, функция «извлечения квадратного корня» с человека снята: вычислительные машины «ежесекундно» выполняют миллионы арифметических операций. Тем не менее психология «извлекателей корня» ещё не отмерла окончательно. То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе — это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет, привычка к логическому мышлению — хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступать в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести — не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их.

Но для этого нужна специальная тренировка, умение разобраться в неформально поставленной задаче, подобрать для её решения подходящий математический аппарат. Сплошь и рядом — отказаться от полной математической строгости, применить не до конца обоснованные, но оправдавшие себя на практике приёмы. Для прикладной математики характерны не чётко определённые, а «размытые» понятия, категории не чисто качественного, но и не чисто количественного характера; проверка теории с помощью численного расчёта, так называемого «машинного эксперимента» [2].

Приёмы, которыми пользуется современная прикладная математика — всякого рода «эвристические методы», «экспертные оценки» и т.п., настолько резко расходятся с привычными, классическими приёмами, что у профессионального математика «строгой» школы могут вызвать что-то вроде душевной травмы. Конечно, легко объявить, что вся эта «ересь» находится за пределами математики (что часто и делается), но объявить приём недопустимым и ничего не предложить взамен — не лучший выход из положения. Многие задачи просто «не решаются» на уровне должной строгости, а решать их нужно — жизнь не ждёт. Волей-неволей приходится пользоваться всеми доступными на сегодняшний день средствами, в том числе и такими, от которых наши предки-математики, как говорится, перевернулись бы в гробах.

К такой тотальной профанации математических святынь привело, по-видимому, расширение области действия математики, спектра её применений. В наше время она наступает на всех фронтах, вторгается во все области знаний. Помимо традиционных областей её приложений — физики, механики, техники, потребителями математических методов становятся практически все науки: экономика, социология, психология, лингвистика, биология, криминалистика, медицина. Труднее назвать науку, которая до сих пор ещё не пользовалась математикой (если такая и есть, то в ближайшем будущем её, вероятно, постигнет общая участь). Повсюду строятся и анализируются математические модели, применяются математические методы обработки и планирования эксперимента. Математика начинает заниматься такими вопросами, которые от века изучались лишь на гуманитарном уровне: конфликтные ситуации, иерархические отношения в коллективах, дружба, согласие, авторитет, общественное мнение. Появляются такие экзотические науки, как «искусствометрия», «футурология», «информатика» и др. Одним словом, математика со своим аппаратом, своей терминологией и методологией проникает повсюду.

Таким образом размывается и становится почти неуловимой грань между так называемыми точными и гуманитарными науками. Долгое время были привычными их противопоставление, разграничение сфер их влияния и методологии. Разница между ними была ясна.

В самом деле, какие черты были традиционно свойственны так называемым точным наукам? Отчётливость постановки задачи; количественный характер добываемых выводов; логический (точнее формально логический) характер рассуждений; пользование чётко определёнными терминами; широкое применение математического аппарата и в связи с этим некая «непререкаемость» выводов. Вывод верен, если верно выполнены ведущие к нему математические преобразования.

Традиционные черты так называемых гуманитарных наук другие. Для них характерны вербальный (словесный) способ построения исследования, широкое применение аналогий, убедительных рассуждений, пользование «размытыми» понятиями, точное содержание которых не определяется, полемика, научный спор, апелляция к чувству, к воображению.

И вот, на наших глазах это традиционное противопоставление рушится. Грань между точными и гуманитарными науками стирается, разница становится неотчётливой, а то и совсем пропадает. Происходит взаимопроникновение и взаимообогащение этих двух типов наук. Часто (слишком часто!) это взаимодействие расценивается однобоко, как чистая, всепобеждающая математизация всех областей знания. Вроде бы точные науки с развёрнутыми знамёнами наступают на бедные гуманитарные, а этим, последним, остаётся только почтительно сторониться. Математика с её дедуктивными конструкциями, аксиоматическим построением и формальным аппаратом рассматривается как некий идеальный образец, по которому должны равняться все другие науки. Нередко со стороны математиков наблюдается в отношении других наук этакая позиция завоевателя: «Погодите, мол, доберёмся и до вас, до сих пор недосуг было». Всякую науку такой «математик-завоеватель» согласен считать за науку только в той мере, в какой она оснащена формулами, выражена на математическом языке; всё остальное — пустые слова, «сотрясение воздуха».

Эта позиция ложная и вредная. Насильственная математизация чего бы то ни было никогда пользы не приносила; она происходит естественно, когда в ней возникает потребность, обусловленная развитием самой науки. К тому же — это особенно важно! — происходит не одностороннее, а взаимное проникновение двух групп наук. Математика не только проникает в ранее чуждые для неё области, «завоёвывает» их — она при этом и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, приближаясь к наукам гуманитарным.

В самом деле, спросим себя: откуда взялась и чем обусловлена разница между методологиями точных и гуманитарных наук? Почему формальный математический аппарат очень рано стал применяться в сфере точных наук и только совсем недавно (и то на правах подсобного) в гуманитарных? Уж не потому ли, что люди, занимавшиеся гуманитарными науками, были что ли «глупее» занимавшихся точными? Отнюдь нет! Просто явления, составляющие предмет гуманитарных наук, неизмеримо сложнее тех, которыми занимаются точные. Они гораздо труднее (если вообще) поддаются формализации. Для каждого из них гораздо шире спектр причин, от которых оно зависит, в том числе психология живых людей и коллективов, людские пристрастия и антагонизмы. Вербальный способ построения исследования, как это ни парадоксально, здесь оказывается точнее формально-логического.

Значит ли это, что математические методы в области гуманитарных и смежных с ними наук вообще бесполезны? Нет, не значит. Они могут служить мощным вспомогательным средством, позволяющим исследователю глубже вникнуть в существо явления, проследить его закономерности, обнаружить скрытые связи, плохо доступные наблюдению «простым глазом».

Особенно настоятельной становится необходимость построения математических моделей общественных явлений в нашу эпоху НТР, когда (как мы уже указывали выше) в разряд важнейших становится задача управления обширными человеко-машинными системами.

Наука об управлении техническими устройствами — теория автоматического регулирования — существует уже довольно давно и, без всякого сомнения, относится к семье точных наук. А к какой области относятся проблемы управления более сложными системами, включающими не только целые массивы технических устройств, но и человеческие коллективы, средства связи и информации? К точным или гуманитарным наукам? Ни к тем, ни к другим. Вернее, и к тем, и другим. Так называемое исследование операций — наука о предварительном обоснований разумных решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности, — безусловно, занимает промежуточное положение между точными, гуманитарными и опытными науками; она широко пользуется математическим аппаратом, отнюдь не сводясь к нему.

Правило «семь раз примерь — один отрежь» нигде так не справедливо, как в области крупномасштабных, ответственных решений. Для предварительной «примерки» таких решений, для оценки их разумности и эффективности неоценимым средством оказываются математические модели, позволяющие заменить (хотя бы отчасти) трудоёмкий, дорогостоящий и небезопасный натурный эксперимент «математическим экспериментированием» на моделях.

Но для того чтобы математические методы стали полноценным инструментом исследования в нетрадиционных областях, нужно, чтобы и сама математика стала новой, нетрадиционной. Прикладная математика, вступая в новые для себя области, должна соответственно перестроиться, выработать новую, более гибкую тактику, сформировать новую идеологию. И это уже происходит на наших глазах, только не всегда и не везде и не для всех очевидно. Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области прикладной математики нередко приходится встречаться с «псевдоприкладными» работами, где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий математический аппарат работает вхолостую. В таких работах прикладная задача служит только поводом для затейливого математизирования [3].

Какие же черты отличают современную, «рабочую» прикладную математику от традиционной, «классической»? Новая методология, новый набор приёмов, новая структура исследования. В самом деле, как строилось «классическое» исследование с применением математических методов? Схема такова: берётся чёткая постановка задачи, формулируются допущения, а затем поставленная задача решается при помощи безукоризненно точных формальных математических преобразований. Споры, если они возникают, касаются лишь верности произведённых выкладок (если они неверны, работа со смехом отвергается) либо того, самый ли удачный из математических методов выбрал автор. Произвол, неизбежный при постановке задачи (поскольку он целиком уложился в строго сформулированные условия), допускается только один раз и остаётся за пределами обсуждения.

Типичный пример: известная схема задач математической статистики. Однажды назначенный (заметим, произвольно!) уровень доверия (то есть вероятность, при которой событие может рассматриваться как достоверное) в дальнейшем «обсуждению и обжалованию не подлежит». Раз мы договорились считать практически достоверным событие с вероятностью, скажем, 0,99, все дальнейшие выкладки проводятся уже безукоризненно точно и строго, а вопрос о том, откуда взялись эти 0,99, считается как бы даже и неприличным. Интонация рассуждения, грубо говоря, такова: пусть нам кто-то («посторонний дядя») назначил уровень доверия. Откуда он его взял — не наше дело; наше дело — ответить на вопрос: противоречит ли при заданном уровне доверия такая-то гипотеза опытным данным?

Другой пример. Решается задача оптимального управления. Какой-то параметр выбирается в качестве показателя эффективности (целевой функции), а далее уже совершенно строгими методами ищется тот вариант управления, который обращает целевую функцию в максимум (минимум). Откуда и кем назначен именно этот вид функции? А это не наше дело. Назначен — и баста.

Эта классическая схема исследования, разделяющая «заказчика» и «исполнителя», на наших глазах устаревает. Для современной прикладной математики типично другое: личная уния ставящего задачу и решающего её. Современный прикладной математик (или группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач. Не только в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации расчётов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом прикладная математика не должна быть «белоручкой», в таком качестве она попросту никому не нужна.

Внимательное отношение к нуждам практики, готовность вникнуть в подробности реальной ситуации, разобраться в них отличают подлинного прикладного математика. В каком виде получает он задачу от практика, нуждающегося в его помощи? В виде словесного, чаще всего нечёткого описания. Пусть, например, к математику обращается инженер, работающий на заводе. На производстве возникают заминки, «узкие места». Эти «узкие места» желательно ликвидировать (отбросим нетипичный, но довольно частый случай, когда практику надо попросту защитить диссертацию). Как распорядиться наличными ресурсами, за какую «верёвочку» потянуть? Практик обращается к математику с какими-то смутными, неопределёнными жалобами на положение вещей и в этот момент похож на больного, который сам не знает, что с ним. И это естественно: неужели же мы будем требовать от больного, чтобы он приходил к врачу с уже готовым диагнозом? А вот чистые математики классической школы часто требуют у практиков уже готовой, чёткой постановки задачи. Моё, мол, дело не ставить задачи, а решать уже поставленные. Глубоко порочная позиция! Прикладной математик для того и прикладной, чтобы уметь не только решать кем-то уже поставленные задачи, но и самостоятельно ставить их. В прикладных областях правильно поставить задачу — значит более чем наполовину её решить (остальное более или менее вопрос техники — преобразований или вычислений). Настоящий прикладной математик должен уметь распознать в реальной ситуации главное, уметь отделить его от побочного, второстепенного; уметь вычленить из живого тела ситуации её математический скелет; уметь разузнать у практика, что, собственно, ему нужно, иногда растолковать это самому практику. Поддерживая с ним постоянную, оперативную связь, построить математическую модель, руководить расчётами по ней, лично участвовать в анализе полученных данных, в выдаче рекомендаций. Одним словом, работать, засучив рукава, забыв о своей «сословной гордости». Человек, не готовый к тому, чтобы вникать в существо и подробности реальных процессов, не может и не должен заниматься прикладной математикой. Здесь можно вспомнить старинную ирландскую поговорку: «Если у тебя череп, как яичная скорлупа, то не езди на ярмарку в Дублин».

Ещё одна существенная разница между классической и современной прикладной математикой. Для первой традиционным является однократный выбор математической модели и однократная формулировка допущений в самом начале исследования; всё дальнейшее получается путём формальных преобразований. В нетрадиционных областях это не так. Для того чтобы разобраться в сложном явлении, его надо рассмотреть с различных сторон, под разными углами зрения, пробовать, сравнивать результаты, обсуждать их, сопоставлять. Часто бывает полезно вернуться к модели и внести в неё исправления после того, как первый тур расчётов уже произведён. Более того, часто оказывается плодотворным своеобразный спор моделей, когда одно и то же явление описывается не одной, а несколькими моделями. Чрезвычайно важно выявить устойчивость результатов исследования (рекомендаций) по отношению к модели. Если выводы оказываются одними и теми же (приблизительно) при разных моделях, разных методах исследования, — это веское свидетельство в пользу их объективности. К сожалению, такие приёмы пока ещё мало распространены. В науке известно понятие устойчивости по отношению к малым возмущениям, но пока ещё, насколько мне известно, не описана устойчивость по отношению к точке зрения.

А как быть, если не удаётся получить решение, обладающее должной устойчивостью? Это может означать, что вопрос ещё не созрел для научного решения или же что имеющаяся информация недостаточна для его постановки. Но и тут сопоставление результатов и рекомендаций, полученных разными методами, может помочь осмыслению ситуации и формированию в споре приемлемой компромиссной позиции. Методология научного спора («в споре рождается истина»), ранее совершенно чуждая математике, для современной прикладной математики очень характерна. Заметим, что на семинарах и конференциях по прикладным математическим задачам участники почти не спорят о методах решения; споры возникают почти исключительно вокруг постановок задач и нередко приводят к сближению точек зрения.

Часто споры разворачиваются вокруг того, что следует понимать под «оптимальным решением». Классическая математика тоже знает задачи оптимизации, но в идеально чёткой постановке, когда ищется решение, обращающее в максимум (минимум) одну-единственную скалярную величину (целевую функцию). Эта идеальная схема крайне редко встречается в реальных задачах, по крайней мере достаточно сложных. Почти все такие задачи оказываются многокритериальными (задачами с векторной целевой функцией). Одни из критериев желательно обратить в максимум, другие — в минимум (например, валовой объём продукции — в максимум, фонд заработной платы — в минимум, прибыль — в максимум и т.д.). Эти требования, как правило, взаимно противоречивы: не существует решения, удовлетворяющего всем им сразу. Здесь приходится, как при согласовании разных точек зрения, искать форму разумного компромисса (чтобы, так сказать, «и волки были сыты и овцы целы»).

Математические методы оптимизации при всём их совершенстве и изощрённости мало чем могут помочь в такой ситуации. До сих пор в математике полноценной «теории компромисса» не существует. Пока что практически единственной инстанцией, способной быстро и успешно вырабатывать компромиссное решение, является человеческий разум, так называемый здравый смысл. Человек до сей поры — непревзойдённый мастер компромисса, и без его участия решение в многокритериальной задаче (не оптимальное, может быть, ни по одному критерию, но приемлемое по их совокупности) пока что выбрано быть не может. Математика в её современном виде может оперировать только понятиями «больше», «меньше», «равно», но не понятиями типа «приемлемо», «практически равноценно» и т.п., характерными для человеческого мышления. По-видимому, не всякое «лучше–хуже» может быть сведено к «больше–меньше» (или, если может, мы часто не знаем, как это делается). Принимая решение, человек, не вдаваясь в излишние подробности, окидывает общим взглядом ситуацию в целом и выбирает приемлемый вариант. Что касается математики, то её дело в подобных случаях — не выдать окончательное решение, а помочь человеку его выбрать. Дать человеку, принимающему решение, максимум нужной ему информации в выразительной, удобовоспринимаемой форме; показать, к каким последствиям приведёт (по ряду критериев) каждый из возможных вариантов решения, предварительно отбросив все неконкурентоспособные.

Такое математическое моделирование ситуации часто может заменить недостающий человеку опыт (когда речь идёт о ситуациях новых, неизученных, о мероприятиях, опыта проведения которых нет). Кроме того, возможна «передача опыта» от человека (или коллектива), искусного в выборе решений, машине, автомату, постепенно вырабатывающему формализованный алгоритм выбора решения (так называемые адаптивные или обучаемые алгоритмы). К созданию таких алгоритмов могут быть привлечены любые средства (скажем, «экспертные оценки», «механизмы голосования» и т.п.), весьма далёкие от математической традиции. Каждый из таких методов может быть применён, но при одном условии — его не надо фетишизировать, объявлять полученный результат «окончательной истиной в последней инстанции». Любой вывод должен быть всегда готов к пересмотру.

Обратим внимание ещё на одно обстоятельство. В традиционной математике после того как задача поставлена и допущения сформулированы, решение ищется всегда на максимально доступном уровне точности. Для современной прикладной математики, напротив, характерно требование равнопрочности всех элементов исследования. Точность аппарата должна соответствовать точности, с которой нам могут быть известны исходные данные. Если для выполнения расчётов по данной модели необходимо знание параметров и функций, которые в обозримом будущем получены быть не могут, надо отказаться от этой модели и заменить её другой, пусть менее точной, но опирающейся на доступную информацию.

Кстати, к вопросу об информации, которая считается «заданной» в математической модели. Это одно из больных мест тех математических работ, которые претендуют на роль прикладных, а по существу представляют собой абстрактные упражнения. Исследование начинается с классической формулировки: «Пусть заданы…» и далее перечисляются параметры, которые предполагаются «известными». Откуда они известны, из какого источника, с какой точностью? Такой вопрос даже не ставится. Известны — и всё. И вот строятся модели, которые иначе не назовёшь как «информационно уродливыми». Возьмём, например, классическую модель конфликтной ситуации — парную антагонистическую игру. Предполагается, что в такой игре каждая сторона в точности знает все стратегии (способы поведения), которыми может пользоваться противник, и неизвестно только, которую именно из них он выберет в данной партии игры. Слов нет, получается изящная математическая теория, позволяющая дать рекомендации сторонам: в каких пропорциях каждая из них должна применять свои стратегии, чтобы добиться максимальной выгоды. Но позвольте спросить: откуда известен полный набор возможных стратегий? На практике так почти никогда не бывает. Как правило, в условиях конфликтной ситуации разумное поведение состоит в том, чтобы выйти за пределы известных противнику стратегий, а не смешивать их в хитроумно найденных пропорциях. Уж не здесь ли причина того, что игровые модели, за которые вначале с азартом ухватились многие, оказались сравнительно бедны реальными приложениями?

Другой пример: известная задача математической статистики о построении доверительного интервала при малом числе опытов. Для этого разработан довольно тонкий аппарат, основанный на допущении, что нам известен закон распределения признака в генеральной совокупности (нормальный). И опять возникает вопрос: а откуда, собственно, это известно? И с какой точностью? И какова, наконец, практическая ценность самого «продукта» — доверительного интервала? Мало опытов — значит мало информации, и дело наше плохо. А будет ли при этом доверительный интервал немного больше или меньше, не так уж важно (тем более что и доверительная вероятность назначена произвольно). И всё же зачастую этой проблеме уделяется незаслуженно большое внимание. Здесь налицо явное несоответствие между грубостью постановки задачи, малой ценностью выводов и тонкостью аппарата. Вообще, злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб здравому смыслу — беда многих прикладных работ, где математический аппарат — не средство, а цель. На теорию вероятностей нередко смотрят как на своего рода волшебную палочку, позволяющую получать информацию из полного незнания. Нельзя забывать, что это невозможно — теория вероятностей только средство преобразования одной информации в другую.

Применение теории вероятностей в ситуациях, где налицо статистическая устойчивость и имеется нужная информация, вполне оправданно и может давать хорошие результаты. Не так обстоит дело в ситуациях, где вообще никакой информацией о неизвестных факторах мы не располагаем. Такими задачами (выбором решения в условиях полной неопределённости) занимается теория статистических решений. Полностью отрицать пользу этой теории нельзя, кое-какие прикидки она позволяет сделать, но не нужно переоценивать её возможности. Там, где нет информации, решение получается неизбежно плохое, и лучше не корпеть над его обоснованием, а попытаться получить нужную информацию в доступном объёме.

Вообще, никогда не нужно забывать, что отсутствие информации — беда, а не преимущество исследователя, хотя именно в условиях отсутствия информации он имеет случай щегольнуть наиболее изысканными методами. Здраво поставленные задачи должны и решаться сравнительно просто. Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух крайностей: «математика без здравого смысла» и «здравый смысл без математики» предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше, когда работает и то и другое, когда математические расчёты всё время проверяются «на здравый смысл». Но так бывает далеко не всегда. Математический аппарат имеет некое гипнотическое свойство, и исследователи часто склонны безоговорочно верить своим расчётам, и тем больше верить, чем «кудрявее» применённый аппарат, чем больше времени (своего и машинного) потрачено и чем больше бумаги исписано.

При нынешней моде на математику в условиях густого потока информации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное от кажущегося, настоящую науку — от наукообразия. Слишком часто применение математических методов понимают как чистое и абсолютное благо; считается, что любая математизация — шаг вперёд, а если он. сопровождается автоматизацией — тем паче. Взять хотя бы АСУ (автоматизированные системы управления), о которых сейчас так много говорится. Эти слова и связанные с ними понятия уже срослись в один устойчивый блок, над которым стоит большой знак «плюс» (как, скажем, в своё время над блоком «кибернетика» стоял крупный «минус», впоследствии лихорадочно заменённый «плюсом»). Слов нет, есть примеры разумного применения АСУ, но часто они применяются формально, непродуманно, бесплодно. В порывах необузданного энтузиазма АСУ чуть ли не обожествляются: в них видят какую-то панацею от всех бед — от бесхозяйственности, непредусмотрительности, простой глупости. Считается, что введение в процесс управления вычислительной машины само по себе уже великое благо (современная «техническая благодать», заменившая устарелую «благодать божию»). Причём главное внимание в блоке «АСУ» обращается на первую букву «А» (автоматизация).

Создание АСУ нередко начинается с того, что приобретается машина и создаётся для неё обслуживающий штат. А остальное? Остальное приложится. Была бы машина! «Тогда пойдёт уж музыка не та, у нас запляшут лес и горы!» Ну и что же? Машина есть, программисты работают, рулоны бумаги текут, а лес и горы не пляшут!

Надо прямо смотреть в глаза фактам и признать, что применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока явление не освоено на доматематическом, гуманитарном уровне. Вредно тем, что отвлекает внимание от главного к второстепенному, что создаёт почву для очковтирательства. Жадное внимание, уделяемое первой букве в блоке «АСУ», — плод неразумия и поспешности; ведь само по себе «А» никому не нужно; если оно нужно, то только для «У». А многие думают, что главное в проблеме управления — сбор и обработка информации. А так как информации много, то копить и обрабатывать её должна машина. Часто эта подсобная, в сущности, процедура выдвигается на первый план, абсолютизируется. За бортом остаётся главный вопрос: какую именно информацию следует собирать и обрабатывать? Какая нужна, а какая нет? И на каком уровне нужна? Заранее исходят из допущения, что всякая информация — благо, и возможность в любой момент вывести её из машины и представить на обозрение и есть главная задача АСУ. Исключения редки.

«Сбор и обработка информации» — ещё один блок с большим знаком «плюс». А так ли уж это бесспорно? Всякую ли информацию стоит собирать, обрабатывать, хранить? Конечно, нет. Человеческое сознание не в силах охватить и осмыслить сразу большой массив информации; её надо отпрепарировать, отделить важное от неважного, нужное от ненужного, а нужное представить в наиболее выразительной, легко усвояемой форме. И это тоже задача прикладной математики, находящаяся на этот раз на грани психологии, социологии.

Сейчас много говорят и пишут о так называемых больших системах, предлагают разные определения понятия «большая система», ни одно из которых не исчерпывающе. Само по себе отсутствие чёткого определения — ещё не большая беда, и своего рода «тоска по определениям», нередко звучащая в научных исследованиях, — не более чем дань уважения классической математике с её дедуктивным построением, где каждое понятие либо чётко определяется через другие, либо вводится аксиоматически (без определения). Для наук гуманитарных и смежных с ними (а такой, как мы уже говорили, является прикладная математика) характерно пользование нечёткими, размытыми понятиями, каждое из которых вводится не одним-единственным чётким определением, а скорей серией «разговоров по поводу», освещающих объект с разных точек зрения. Так вот, говоря о «больших системах», можно предложить ещё одно (не единственное и не окончательное!) определение: «большая, система» это такая, в которой полная информация обо всех её звеньях в управляющем центре не только не нужна, но и вредна.

Пора перестать молиться на всю и всяческую информацию. Информация бывает разная — нужная, полезная и ненужная, загромождающая, утяжеляющая процесс управления. Необходимо в этом процессе решительно отсекать ненужную, паразитную информацию и оперировать в каждом звене системы управления только той информацией, которая безусловно нужна. Этот важнейший информационный аспект проблемы управления должен быть исследован (пока это не сделано, рано говорить о действительно эффективных АСУ). В таких исследованиях большую пользу могут принести опять-таки математические модели, позволяющие сравнить качество и оперативность управления в более громоздкой системе, переобременённой информацией, с тем, что даёт более простая система, оперирующая только с полезной информацией.

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Имея дело с большой системой, нельзя забывать, что в её состав обычно входят люди и их коллективы. При исследовании таких систем нужно учитывать специфику эксперимента с людьми. Здесь наблюдается нечто вроде «принципа неопределённости» Гейзенберга, когда само по себе наличие эксперимента неизбежно влияет на ход явления. Такого же рода особенности сопровождают и все возможные эксперименты с людьми и людскими коллективами: здесь в принципе нельзя поставить «чистый» эксперимент, ибо сам по себе факт постановки опыта уже влияет на изучаемый процесс, а отсюда возможность необъективных выводов. Примерами могут служить хотя бы опыты с новыми методами обучения (программированное обучение, применение технических средств и т.п.). Покуда это всё является забавным новшеством, привлекающим любопытство учащихся, эффект налицо, но как только это становится рутиной, эффект пропадает. Другой пример — социологическое тестирование, где редко удаётся правильно выбрать «типичную группу» и провести опрос так, чтобы не повлиять на состояние объекта.

Люди, привыкшие к методологии точных наук, зачастую некритически переносят выработанные там приёмы постановки и обработки эксперимента на опыты с людьми, уделяя, в частности, большое внимание «корректному» применению аппарата математической статистики. На самом же деле здесь важен не аппарат (он может быть элементарно простым), а важно здравое и трезвое обсуждение (на хорошем гуманитарном уровне) самой методики эксперимента, а также беспристрастное и осторожное осмысление результатов. В стороне от этих проблем тоже не должен оставаться математик — участник исследования. В ряде случаев социологический опыт полезно провести не один раз, а несколько, меняя методику его постановки и обработки и следя за «устойчивостью» выводов.

Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело применяющая приёмы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если её задача — не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь.

Примечания

1. Об этой перестройке хорошо рассказано в книге Блехмана И.И., Мышкиса А.Д. и Пановко Я.Г. «Прикладная математика. Предмет, логика, особенности подходов». Киев, Наукова думка, 1976.

2. См.: Моисеев Н.Н. «Математика ставит эксперимент». М., Наука, 1979.

3. Термин «математизирование» сформирован здесь по образцу когда-то употребительного термина «музицирование» (это занятие в семейных кругах было очень распространено в эпоху до радио и телевидения).

МЫСЛИ О МАТЕМАТИКЕ

Мысли о роли математики и её связях с практикой, принадлежащие некоторым видным учёным.

… совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. … Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счёту, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры, заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определённую форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал… Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто совершенно безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные a и b, x и y, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума — до мнимых величин.

Ф. Энгельс

Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости.

Г. Beйль

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

Природа воплощает в себе то, на чём теоретически основана математика.

Р. Декарт

Математика, подобно жёрнову, перемалывает то, что под неё засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок.

Т. Гексли

… измерение величин является отправным пунктом всех применений математики.

А. Лебег

… природа формулирует свои законы языком математики.

Г. Галилей

Математика — это наука о связи величин.

Г. Грассман

… геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения.

И. Ньютон

Достоверность математики является тем её преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова, — достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе, — присуща различным её отделам не в одинаковой степени и неодинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т.е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь, в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается и чем более обща и абстрактна та форма, в которой она в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.

Ж. Даламбер

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишённого ошибок и неясностей, т.е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира.

Ж. Фурье

Существует ещё одна причина высокой репутации математики: именно математика даёт точным естественным наукам определённую меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.

А. Эйнштейн

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу.

П. Дирак

Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указаниях наших чувств … Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значения за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

О. Коши

Ничто не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаём легко, что всё в природе подлежит измерению, всё может быть сосчитано.

Н. И. Лобачевский

Оценка математической теории определяется не только её правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть ещё место свободным суждениям человека.

Дж. Буль

… к области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звёзды или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера.

Р. Декарт

Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя всё новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она всё вновь и вновь омолаживается.

Ф. Клейн

В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены.

А. Пуанкаре

Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги… Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным.

И. Кеплер

… между математикой и естественными науками должны быть установлены более глубокие взаимоотношения, чем те, которые имели бы место, если бы, например, физика видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть даже необходимую, а математика рассматривала вопросы, выдвигаемые физиками, только как обильное собрание примеров для своих методов.

… На вопрос … можно ли действительно получить что-либо непосредственно применимое из тех абстрактных теорий, которыми предпочтительно занимаются теперешние математики? — я могу ответить, что греческие математики изучили свойства конических сечений чисто умозрительным путём задолго до того, как кто-либо мог предугадать, что эти кривые представляют собой пути, по которым движутся планеты, и я верю, что будет найдено ещё много функций с такими свойствами, как, например, знаменитые тета-функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса, и, с другой стороны, дают возможность найти истинный закон колебаний маятника.

К. Вейерштрасс

Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и тёмной. Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но ни в коем случае не с эмпирической наукой… Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков … её подстерегают очень серьёзные опасности. Она становится всё более эстетической, всё более приближается к чистому искусству для искусства. Всё это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом. Однако существует серьёзная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унёсшийся от своего источника, разольётся на множество мелких ручьёв и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей. Другими словами, если область математики слишком удалилась от своего эмпирического источника или же подвергается усиленному «абстрактному» близкородственному скрещиванию, возникает опасность вырождения. Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только появляются признаки барокко, промедление становится опасным… Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, т.е. новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям. Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что то же ожидает нас в будущем.

Дж. фон Нейман

Роль математики в различных областях человеческой деятельности и в разное время было существенно различной. Она складывалась исторически, и существенное влияние на неё оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближённым отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. спрогнозировать результаты будущих наблюдений.

А. Н. Тихонов и Д. П. Костомаров

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

А. Пуанкаре

Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения, которое подсказывает, что кажется истинным, ведёт иногда путём аналогий, иногда благодаря эстетическому идеалу, но не основано на твёрдом логическом фундаменте. Лишь когда открытие сделано, вмешивается логика для проведения контроля; она окончательно удостоверяет, истинно или иллюзорно открытие; её роль, таким образом, лишь вспомогательная.

А. Лебег

Чистая математика обладает нечеловеческим свойством звёздного света — сверкающего, яркого, но холодного.

Г. Beйль

Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

М. Стоун

Некоторые математики мыслят абстракциями; математические идеи нуждаются в прогрессирующем абстрактном рафинировании, аксиоматизации, кристаллизации… Однако основные трудности в математике исчезают, если учесть, что математические понятия являются описанием некоторой вещественной реальности.

Жизненные соки нашей науки поступают в неё из корней; эти корни уходят своими бесчисленными разветвлениями в то, что можно назвать реальностью, т.е. в механику, физику, биологические формы, экономическое поведение, геодезию … Абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции. Только взаимодействие между этими силами и их синтез может сохранить математику живой и не дать ей превратиться в высохший скелет… Мы должны отвергнуть богохульную бессмыслицу, что последним оправданием математики является «слава человеческого разума».

Р. Курант

При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперёд высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идёт поверх всякой логики.

В. А. Стеклов

… всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал наивное овладение им.

П. С. Александров

Огромное большинство чисто логических сущностей и понятий, встречающихся на путях логического порядка обычно бесполезны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки.

Н. Н. Лузин

… чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

А. Пуанкаре

Комментарии: 0

Похожее

Об основаниях теории множеств

П. Дж. Коэн

Читатель безусловно ощутит горечь пессимизма в моих заметках. Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в самом себе зерно разрушающего сомнения. К счастью, мы редко останавливаемся, чтобы обозреть положение дел и подумать об этих глубочайших вопросах.
Господь Бог, Гёдель и поиск истины

Отрывок из книги книга Дэвида Дарлинга и Агниджо Банерджи «Эта странная Математика — на краю бесконечности и за ним» о том, как Гедель доказал существование Бога и почему пифагорейцы утопили математика Гиппаса.
Все есть число?

Мир вокруг нас полон математических объектов — чисел, функций, геометрических фигур. Вся современная цивилизация есть продукт развития технологий, немыслимых без точных математических расчетов. Но математика не просто помогает нам совладать с миром. Она проникает в самую суть этого мира. Это удивительное обстоятельство впервые было отмечено Пифагором, одним из наиболее влиятельных мыслителей в истории человечества. Своим девизом «Все есть число» он на тысячи лет предвосхитил как будущую роль математики, так и представления о природе ее объектов. Способом своего существования они кардинально отличаются от предметов, знакомых нам посредством органов чувств. Как многие считают, эта особенность делает математику главным источником веры в существование мира, «населенного» вневременными и сверхчувственными объектами.
Пределы доказуемости

Грегори Чейтин

Из идей сложности и случайности, впервые высказанных Готфридом Лейбницем в его «Рассуждении о метафизике» (1686), и их подтверждения в современной теории информации следует, что невозможно создать «самую общую теорию всего» в математике.
Теория множеств: логика, формализм и кризис

Макар Светлый

Потенциальная и актуальная бесконечность. Наивная теория множеств Кантора. Мощность. Парадоксы теории множеств. Интуиционизм, логицизм, формализм. Теория доказательств. Программа Гильберта. Аксиоматики ZFC, ZFD, NBG. Полнота и непротиворечивость формальных систем, теоремы Геделя. Современное состояние оснований математики.
Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно?

Veritasium

Возможно ли доказать всё, что истинно? Поиски ответа на этот вопрос раскололи математическое сообщество, заставили нас пересмотреть своё представление о бесконечности, помогли выиграть Вторую мировую войну и создать устройство, на котором вы посмотрите это видео. Как именно, расскажет Дерек Маллер в новом видео от Veritasium.
Теорема Гёделя о неполноте

В Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе. И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом: всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.
Математика как форма существования мира идей в нашем сознании

Леон Тахтаджян

Это будут четыре коротеньких рассказика. Начнем мы с чисел, потом поговорим о движении, об изменении, затем мы обсудим формы и размеры, а затем — начало и конец. В таком несколько зашифрованном стиле мы и попробуем посмотреть на математику изнутри и снаружи, причем именно как на предмет. То, о чем математики мыслят и чем живут, — об этом мы с вами сможем поговорить потом. Мы увидим, что некоторые вещи, которые нам кажутся очевидными, таковыми совсем не являются. Простые вещи могут оказаться сложными, а сложные — простыми.
Михаил Цфасман: «Математика — это наука красоты»

Михаил Цфасман

О современной математике рассказывает Михаил Цфасман, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН и Национального центра научных исследований (Франция), проректор по научной работе и профессор Независимого московского университета.
Парадоксы теории множеств и их философская интерпретация

Парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

Далее >>>

∀ x, y, z

Математики о математике

СОДЕРЖАНИЕ

От составителя

АБСТРАКЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТУИЦИЯ
Жан Дьёдонне

Примечания

МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
Рихард Курант

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
Елена Сергеевна Вентцель

Примечания

МЫСЛИ О МАТЕМАТИКЕ

Теги

Похожее

∀ x, y, z

Математики о математике

СОДЕРЖАНИЕ

От составителя

АБСТРАКЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТУИЦИЯ Жан Дьёдонне

Примечания

МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ Рихард Курант

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ Елена Сергеевна Вентцель

Примечания

МЫСЛИ О МАТЕМАТИКЕ

Теги

Похожее

АБСТРАКЦИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНТУИЦИЯ
Жан Дьёдонне

МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
Рихард Курант

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ
Елена Сергеевна Вентцель