Предисловие

Среди сокровищ гробницы Тутанхамона (египетского фараона начала XIV в. до н. э.), которые в 1973 г. экспонировались в московском Музее изобразительных искусств, можно было увидеть игральную доску, разделенную на тридцать квадратов, и стоящие на ней фигурки конической и катушкообразной формы1. Игральные доски находили и в еще более древних захоронениях Месопотамии. Конечно, это - еще не шахматы, а какой-то их дальний родственник, более близкий современным нардам. Однако можно, по-видимому, считать установленным, что игры, связанные с передвижением фигур по расчерченной доске, существуют, по крайней мере, три с половиной - четыре тысячи лет. «И я даже готов утверждать, - пишет Г. Картер, открывший гробницу Тутанхамона, - что современные игры, требующие настоящего умения, такие, как «сига», или шашки, или шахматы, по всей видимости, произошли от азартных игр, подобных тем, которые мы находим время от времени в египетских гробницах…»2

В коллекции Британского музея хранится так называемый Папирус Ринда3, изготовленный египетским писцом Ахмесом около 1550 г. (по другим источникам - около 1700 г.) до н. э. и переписанный с еще более раннего папируса. В нем содержится несколько десятков конкретных математических задач с их решениями; эти задачи относятся к действиям с дробями, вычислениям длин и площадей, определению количества хлебов, которые можно выпечь из данного количества эерна, и т. п. Математические таблицы встречаются среди клинописных текстов Месопотамии, датированных приблизительно 2000 г. до н. э. Таким образом, математическая литература - а вместе с ней и математика как особая область знания, осознающая себя таковой, - также насчитывает не менео трех с половиной - четырех тысяч лет.

Итак, и шахматы, и математика уходят своими корнями в глубокую древность. Разумеется, не в этом основа того сродства между ними, которое интуитивно ощущается всеми и которое ведет к известной конкуренции между этими двумя сферами интеллектуальной деятельности. Сродство это состоит в абстрактном и аксиоматическом характере математики и шахмат.

Подобно тому как математика абстрагируется от конкретности рассматриваемых ею объектов и изучает отношения и формы в чистом виде, так и для шахмат безразлично, из чего сделана доска (в то время как, скажем, для футбола качество травяного покрытия имеет немалое значение), что из себя представляют поля (важно лишь энать, сколько их и какие из них смежны друг с другом) и какого вида шахматные фигуры (существенно лишь, как они ходят). Подобно тому как шахматная партия разворачивается в точном соответствии с правилами игры, не оставляющими сомнения, какой ход возможен, а какой - нет, так и математическая теория развивается на основе своих «правил игры» - аксиом и правил вывода из них; как и шахматный ход, каждый этап математического доказательства должен быть разрешен правилами. Решение шахматной задачи так же неоспоримо, как доказательство математической теоремы: вся шахматная игра целиком укладывается в рамки математики, представляя собой один иэ видов так называемых исчислений. Шахматное исчисление* однако, весьма сложно и пока что не поддается (и неизвестно, поддастся ли когда-нибудь) изучению «до конца» - с тем, скажем, практическим выходом, чтобы уметь указывать наилучшие ходы в различных позициях (хотя такие ходы заведомо существуют и даже в принципе существует алгоритм, указывающий для каждой позиции наилучший ход: этот алгоритм может быть найден, например, путем перебора всех мыслимых партий, которых, как следует из цифр, приведенных в главе 12 этой книги, имеется никак не больпе, чем 21866¹¹⁷⁹⁶).

Таким образом, исчерпывающая монография о связях шахмат с математикой пока еще не может быть написана. Однако можно выделить область таких связей, где появление соответствующей книги давно назрело. Речь идет о жанре, условно называемом «занимательные задачи». Одна из таких задач, уходящая в глубины математического фольклора, связана как раз с легендой о зарождении шахмат; это задача о числе зерен на шахматной доске; с нее начинается и повествование в данной книге. Задачи, так или иначе связанные с шахматами, часто встречаются на математических олимпиадах, на занятиях математических кружков для школьников, на страницах популярных математических журналов, брошюр, задачников. Шахматная тематика нашла свое отражение и в одной из самых замечательных популярных книг по математике - в «Математическом калейдоскопе» Г. Штейнгауза. (Краткий обзор литературы по этой тематике приведен ниже.) Задачами о движении коня и расстановке ферзей занимались великие математики Леонард Эйлер и Карл Гаусс. Тем удивительнее, что после выхода в свет в 1935 г. небольшой (87 страниц) книги Л. Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске», давно уже ставшей довольно редкой (и к тому же явно стоящей намного ближе к алгебре, чем к шахматам), на русском языке не было выпущено ни одной шахматно-математической книги.

Появление книги Е. Я. Гика поэтому совершенно своевременно и уместно. Тем более, что разносторонность ео автора (он - выпускник механико-математического факультета Московского университета, кандидат наук по специальности «техническая кибернетика», мастер спорта СССР по шахматам, член Союза журналистов СССР) дает ему право написать такую книгу.

Рекомендуемая вниманию читателей популярная книга будет интересна и любителям математики, и любителям шахмат. Написанная с должной математической строгостью, она затрагивает и шахматную реальность: достаточно сказать, что в ней рассматриваются (с математической точки зрения) позиция, встретившаяся в партии на первенство мира 1951 г., и трудности, вставшие перед устроителями матча СССР - Югославия в 1970 г.

Первая глава носит вводный характер. В ней излагаются шахматные легенды прошлого (о зарождении шахмат и их связях с магическими квадратами) и настоящего (о создании шахматной машины, которая в конце концов станет чемпионом мира). Предметом последних двух глав служат математические вопросы, возникающие при организации шахматных состязаний - от вычисления так называемых коэффициентов Эло, характеризующих индивидуальную силу шахматиста в данный момент, до построения рациональных расписаний.

В остальных двенадцати главах приведены едва ли не все известные разновидности математических задач на шахматной доске. Автор сумел собрать их из разнообразных, в том числе малодоступных источников, удачно классифицировать и довольно компактно и вместе с тем живо изложить.

Глава вторая посвящена в основном шахматной доске самой по себе, как геометрическому объекту, без участия шахматных фигур. Фигуры появляются в главе третьей, причем наибольшее внимание уделяется длине проходимого ими пути; показывается, как оценка этой длины может принести пользу при анализе шахматных окончаний. Самая популярная шахматная фигура - конь - служит предметом четвертой и пятой глав. Четвертая глава - пример сведения воедино шахматной и математической проблематики: отправляясь от свойства коня менять цвет поля при каждом ходе, автор предлагает основанные на этом свойстве решения как шахматных этюдов, так и математических задач; шахматный термин «ретроградный анализ» соседствует здесь с математическим термином «граф». Пятая глава целиком посвящена знаменитой задаче Эйлера об обходе конем всех полей шахматной доски. В главе шестой излагается ряд комбинаторных и занимательно-шахматных задач, связанных с расстановкой и движением ладей.

Седьмая глава содержит различные задачи о движ ении и расстановке ферзей. Она открывается задачей о доминирующих ферзях, т. е. о таких ферзях, которые в своей совокупности держат под боем все поля доски. В восьмой главе, напротив, исследуется задача о независимых ферзях, т. е. о таких, из которых ни один не бьет другого; эта задача знаменита тем, что ею занимался Гаусс. В девятой главе минимальное число доминирующих фигур и максимальное число независимых фигур вычисляется для королей, ладей, слонов, коней и пешек. Для полноты картины стоило бы, пожалуй, привести позиции с доминирующими и независимыми пешками и для случая, когда этим пешкам разрешается быть разных цветфв (для прочих фигур цвет не играет, разумеется, никакой роли в вопросах независимости и доминирования).

В главе десятой предпринимается попытка выразить в цифрах, причем математически убедительно, сравнительную силу шахматных фигур. Эта проблема не может не занимать и практического шахматиста, и математика, составляющего программу шахматной игры для вычислительной машины. Все знают, конечно, что сила той или иной фигуры зависит от конкретной ситуации на доске и что нетрудно придумать позицию, где конь оказывается сильнее ферзя; но никто не сомневается, вместе с тем, что ферзь все-таки более сильная фигура, нежели конь. Естественно считать фигуру тем сильнее, чем большее число полей она может бить; это число угрожаемых полей зависит от исходной позиции фигуры, и для всех фигур, кроме пешки (которая ходит одним способом, а бьет - другим), совпадает с числом полей, достижимых из данного поля за один ход. Вычисляя число достижимых полей для каждого возможного для данной фигуры исходного поля, складывая эти числа и деля их на число возможных исходных полей, мы получаем количественно выраженную оценку средней силы фигуры. Соответствующие цифры приведены далее. Замечательно, что они не слишком расходятся с шахматной традицией, хотя предложенный способ вычисления, по меньшей мере, по двум причинам может рассматриваться лишь как самое первое приближение к истинной силе фигур (если такое понятие вообще имеет смысл). Во-первых, не совсем ясно, насколько проводимые вычисления отражают силу пешки, поскольку для нее угрожаемые поля не совпадают с достижимыми; кроме того, если вести расчет не на один ход, а, скажем, на два, то пешка, стоящая на предпоследней горизонтали, получает, ввиду превращения, гораздо более широкие возможности движения. Во-вторых, вычисления для каждой фигуры проводятся в искусственной ситуации, когда на доске расположена только эта фигура; число достижимых полей, конечно, изменится, если на доске будут стоять и другие фигуры: ферзь, окруженный со всех сторон фигурами своего цвета, имеет ноль достижимых полей, в то время как конь в том же положении может иметь их восемь. Разумеется, подсчет числа достижимых полей не только для каждого исходного поля (как это сделано в книге), но и для каждой дислокации фигур на остальных полях вызывает колоссальные трудности.

Одиннадцатая глава вновь возвращает читателя к занимательному жанру. Здесь рассматриваются позиции, в которых требуется произвести перестановку фигур, подчиненную тем или иным условиям; излагается остроумный метод «пуговиц и нитей», нередко помогающий при решении подобных головоломок. В двенадцатой главе конструируются партии и позиции, отдельные характеристики которых являются рекордно большими или рекордно малыми - например, самые короткие партии, приводящие к мату, пату или «голым» королям, и позиции с самым большим числом ходов или шахов. Одни из этих рекордов являются абсолютными. - в том смысле, что не могут быть улучшены; другие всего лишь относительными, но зато представляющими тем самым читателю возможность получить улучшенный результат.

В главе тринадцатой рассматриваются некоторые обобщения шахматной игры. К ним относятся как игры на обычной шахматной доско, но с необычными правилами, так и игры на необычных досках. Подобные игры отнюдь не являются только плодом чистого воображения. Так, предложенная Мартином Гарднером игра в «уполовиненные шахматы» (доска 5×5, и у каждой стороны по пять пешек и по одной фигуре каждого вида, причем пешке запрещено ходить на два поля сразу) пользуется популярностью у московских школьников, а знаменитый Капабланка с целью преодолеть казавшуюся ему неотвратимой «ничейную смерть» шахмат играл (и выиграл со счетом 3:1) в 1929 г. матч с венгерским гроссмейстером Мароци на доске 16×12 с удвоенным комплектом фигур (начальный ход пешки возможен сразу на три поля, а для победы достаточно заматовать любого из королей противника). Обе эти игры естественно дополняют перечень, приведенный в главе 13.

Можно надеяться, что «Математика на шахматной доске» доставит читателям несколько часов удовольствия и что в недалеком будущем появится более обстоятельная книга на ту же тему.

Профессор В. А. Успенский

1. «Сокровища гробницы Тутанхамона (Каталог выставки)». М., «Советский художник», 4973, № 46.

2. Г. Картер. Гробница Тутанхамона. М., Изд-во восточной литературы, 1959, стр. 240.

3. Хорошая репродукция фрагмента этого папируса открывает сборник «Математика в современном мире» (М.: «Мир», 1967).