 Открытый учеными 15-й тип пятиугольного паркета
Изображение: Casey Mann |
Математики из Вашингтонского университета в Ботелле открыли новый тип пятиугольных паркетов —
выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость без пробелов и наложений. Ранее
было известно только 14 типов таких пятиугольников, последний из которых был открыт 30 лет назад. Об этом сообщает издание
The Guardian.
Проблема нахождения и классификации паркетных многоугольников является одной из наиболее актуальных в современной
комбинаторной геометрии. Известно, что любым треугольником и выпуклым четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных выполнить такую же задачу.
 Условия, задающие 15-й тип пятиугольного паркета |
Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Математикам в настоящее время не известно точное число типов пятиугольников, способных замостить плоскость.
Первую классификацию таких пятиугольников осуществил к 1918 году математик Карен Рейнхард, описавший пять типов фигур. В период с 1968 по 1985 год четырьмя другими учеными были найдены еще девять типов аналогичных многоугольников. Открытие американскими учеными 15-го типа пятиугольников стало первым за последние 30 лет.
 Известные науке 15 типов пятиугольных паркетов
Изображение: Ed Pegg / Wikipedia |
«Проблема классификации выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, является красивой и достаточно простой математической задачей, доступной для понимания даже детям. Эта проблема уже в течение ста лет не имеет полного решения», — сказал один из открывших 15-й тип выпуклого пятиугольника математик Кейси Манн. Он же отметил связь этой задачи с
18-й проблемой Гильберта.
Манн также отметил, что пока не знает, найдут ли он и его коллеги новые типы пятиугольников, которые могут замостить плоскость. С этой целью математики собираются продолжить свои исследования, представляющие собой перебор на компьютере существующих возможностей.
Как замечает Манн, исследование пятиугольных фигур представляет не только академический, но и практический интерес. «Многие структуры, которые мы видим в природе, например
капсиды вирусов, состоят из специальным образом формирующих свою геометрию и динамику строительных блоков, объединяющихся вместе для формирования структуры большего масштаба», — говорит математик.
Математик Мишель Рудольф-Лилит из Национального центра научных исследований Франции описала особенности окружностей, начерченных в дискретном пространстве, в качестве примера которого ученый рассмотрела пересечения улиц и проспектов Манхэттена — центрального района Нью-Йорка. Оказалось, что можно аналитически описать несколько алгоритмов, следуя которым, гипотетический таксист проедет вдоль линии, максимально приближенной к идеальной окружности, а при достаточно большом ее радиусе можно с хорошей точностью измерить число π.
В школе мы несколько лет подряд прилежно изучаем геометрию. Но не зря ли мы тратим время? Чем может помочь геометрия в жизни? Измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только? Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.
В журнале «Квантик» № 5, 2016 была опубликована задача:«Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал по плоскому полу. Для каждой точки граничной окружности робота можно указать прямую, на которой эта точка оставалась в течение всего времени движения. Обязательно ли и центр робота оставался на некоторой прямой в течение всего времени движения?» Удивительно, но ответ отрицателен — центр мог двигаться не по прямой! Мы дадим несколько решений, начнём издалека, зато узнаем по дороге много интересного.
Эссе Пола Локхарда «Плач математика» о преподавании математики в средней школе. Хотя в сочинении говорится об американской современной средней школе, многие проблемы, идентифицируемые Локхардом, относятся к любой стране мира, за исключением, возможно, Эльдорадо, которой нет. Еще менее привязаны к американской реальности размышления автора о том, что такое математика и как она должна преподаваться. Даже если вы не математик и не имеете отношения к преподаванию, думаю, вы найдете это эссе интересным, а возможно, и сделаете для себя несколько небольших открытий и сломаете кое-какие стереотипы. В конце концов, вы ведь учили математику в школе!
Лекцию читает Арнольд Владимир Игоревич (1937–2010), доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН. Летняя школа «Современная математика», г. Дубна, 20 июля 2007 г.
С точки зрения математики обычный фотоснимок — это изображение на плоскости, полученное путём проектирования его из одной точки. Однако мы хотим отобразить реальность с максимальной достоверностью и поэтому ищем новые средства для демонстрации трёхмерности пространства и окружающих нас предметов.
Почему крышки люков делают круглыми? Что такое фигура постоянной ширины? Какими интересными свойствами обладает треугольник Рело и как его построить? Почему английская 20-пенсовая монета имеет такую необычную форму? Как и чем сверлят квадратные отверстия? Что представляют собой фигуры постоянной ширины в трёхмерном пространстве и какая открытая математическая проблема с ними связана?
Некоторое время назад на сайте препринтов arXiv.org появилось сразу две работы, посвященные задаче о плотнейшей упаковке шаров в пространствах размерности 8 и 24. До настоящего момента аналогичные результаты были известны только для размерностей 1, 2 и 3 (причем тут не все так просто, но об этом ниже). Прорыв — а речь идет про настоящий революционный прорыв — стал возможен благодаря работам Марины Вязовской, математика украинского происхождения, которая сейчас работает в Германии. Мы расскажем историю этого достижения в десяти коротких сюжетах.