Философ Елена Драгалина-Черная о генезисе средневековой и современной логики, «Эрлангенской программе» и критерии Тарского.

Логика ― это теория формально правильных рассуждений. Отец логики ― Аристотель, он же отец гилеморфизма, то есть различения материи и формы в метафизике. Однако отсюда не следует, что Аристотель ― отец логического гилеморфизма, то есть дихотомии материи и формы в логике. Удивительно, но в логических сочинениях Аристотеля, в «Органоне» вообще отсутствуют категории материи и формы. Это объясняется, прежде всего, тем, что Аристотель говорит о форме первичных субстанций («этот человек», «это дерево»), а не о языковых сущностях. Рассуждаем же мы в языке. Кроме того, важно, что Аристотель понимает форму не мереологически, как часть целого, а как принцип организации вещи: то, что делает ее тем, что она есть, суть вещи.

Дихотомию материи и формы распространяют на логику ученики Аристотеля перипатетики ― во всяком случае, Александр Афродисийский, который в II веке до нашей эры возглавляет Ликей и получает у современников почетное звание экзегета. Александр Афродисийский распространяет на логику аристотелевскую метафору отливки, рассматривая как общую матрицу или форму фигуры силлогизма. Но систематически категории материи и формы начинают применяться в логике в Средние века.

Средневековая логика входила, как известно, в тривиум формальных искусств наряду с грамматикой и риторикой. Называлась она диалектикой. Не всегда отношения внутри этого тривиума складывались гармонично. Скажем, в поэме XIII века француза Анри д’Андели описывается битва семи искусств, в которой логика, то есть диалектика, сражается с грамматикой. На стороне логики выступает Париж, который называет грамматиков «писаками и буквоедами», а на стороне грамматики ― Орлеан, который называет, в свою очередь, диалектику «кто-как-лектикой» (quiqueliquique). В итоге победила все-таки логика, которую поддержал квадривиум точных дисциплин. Но когда она посылает парламентеров к грамматике для переговоров о мире, это не получается, потому что она не знает грамматики. Из грамматики в схоластическую логику приходит важное для нее различение логических (синкатегорематических) и нелогических (категорематических) терминов.

Особенностью синкатегорематических терминов является то, что они не обозначают ничего вне ума. Как намного позже скажет Бертран Рассел, если вы хотите объяснить ребенку, кто такой лев, вы поведете его в зоопарк и скажете: «Смотри, вот лев». Но нет такого зоопарка, в котором живут «или», «это», «тем не менее». Значение синкатегорематических, или логических, терминов раскрывается не путем указания на что-то похожее на льва или тигра, а путем выяснения их роли в рассуждении. В Средневековье говорили о консеквенциях. Какие именно консеквенции, выводы признаются формальными ― этот вопрос был дискутируемым в Средние века. Например, для Уильяма Оккама, знаменитого своей «бритвой», формальной является не только силлогистическая консеквенция «всякий человек ― животное, Сократ ― человек, значит, Сократ ― животное», но и несиллогистическая консеквенция «Сократ ― человек, следовательно, Сократ ― животное», поскольку «быть животным» для Оккама ― это часть формы «быть человеком» ― в том смысле, что невозможно создать человека, не создав животное. Невозможно даже для Господа, хотя, конечно, Господь может не создавать вообще ничего: ни человека, ни Сократа, ни животное. Вечная истина «человек есть животное» для Оккама в смысле гипотетической возможности является несотворенной.

Конечно, в истории христианской философии существуют и иные подходы к творению вечных истин. Скажем, Рене Декарт полагал, что вечные истины во всех отношениях зависят от Бога. И Бог может создать человека без животного, гору без долины и может дважды два приравнять к пяти. Вечные истины ограничивает не божественное всемогущество, а наша способность к познанию божественного всемогущего. Само различение возможного и невозможного лежит в области ограниченной человеческой рациональности, и поэтому апеллировать к тому, что возможно и невозможно для Бога при обосновании логики, ― это непродуктивный путь.

На фоне богословствующего Оккама значительно более современным выглядит Жан Буридан, знаменитый своим ослом, которого у него не то чтобы не было, а о котором он даже не упоминает, по крайней мере в сохранившихся сочинениях. Буридан рассматривает формальные консеквенции, сохраняющие значимость при любых постановках нелогических терминов. Скажем, не будет формальной консеквенция «человек ходит, следовательно, животное ходит», поскольку не является значимой консеквенция «лошадь бежит, следовательно, дерево бежит». Но подход Буридана, как, собственно, и всех остальных схоластов, ограничен неуниверсальной силлогистической парадигмой анализа ― делением всех суждений на субъект и предикат. Кроме того, Буридан, как и другие схоласты, не рассматривает логику как формальную дисциплину, поскольку включает в ее предмет не только формальные консеквенции, а любые выводы, любые консеквенции, причем в той мере, в которой они следуют неким правилам.

Формальность как критерий демаркации границ логики применяет Иммануил Кант. Но надо сказать, что Кант характеризует традиционную логику не как формальную, а как общую. Для него формальность логики ― это свойство, производное от универсальности и необходимости общности ее правил. Как известно, в предисловии к «Критике чистого разума» Кант заявил, что со времен Аристотеля логика не сделала ни шагу назад, но и не сделала ни шагу вперед, что она наука завершенная. Как ни странно, это очень хорошо, это совсем не позорно. Это свидетельствует о том, что логика точно определила свои границы и, будучи сосредоточенной на формах и универсальных законах рассудка и разума, вполне раз и навсегда могла установить эти законы. Этот диагноз Канта оказался очень неудачным: его предсказание о том, что логика завершенная и развиваться не будет, было опровергнуто в конце XIX ― начале XX века возникновением математической логики.

В математической логике вопрос о ее формальности ставится совершенно по-новому. Если для античной, средневековой логики центральной проблемой было отграничение ее формальности, абстрактности от обобщающего пафоса риторики, поскольку логика и возникает из аргументативного дискурса, то для математической логики, конечно, центральной задачей становится разграничение ее формальности и абстрактности формальности математики. Известный принцип такого разграничения предложил классик математической логики, создатель теории моделей Альфред Тарский. Речь идет о так называемом принципе инвариантности относительно изоморфных преобразований, предложенном Тарским. Этот принцип распространяет на логику знаменитую «Эрлангенскую программу» ― геометрическую программу Феликса Клейна. В конце XIX века геометрия стала очень разнообразной, разношерстной областью, очень запутанной, и Феликс Клейн предложил унифицировать и классифицировать виды геометрии в зависимости от того, какие они рассматривают типы преобразований, соответственно, инвариантными относительно каких типов преобразований являются их понятия.

Скажем, в евклидовой геометрии рассматриваются свойства объектов, инвариантные относительно преобразований движения без деформации. Соответственно, в евклидовой геометрии будут считаться разными, например, остроугольные и прямоугольные треугольники. Если же мы заменим эти преобразования аффинными преобразованиями и перейдем к аффинной геометрии, то там будут полагаться равными уже все треугольники, то есть аффинная геометрия просто не увидит в мире разные треугольники. Тарский ставит вопрос: а что будет, если мы ослабим требования, накладываемые на неструктурные преобразования, радикально, если мы допустим самый широкий класс неструктурных преобразований, а именно перестановки индивидов в области, то есть изоморфные преобразования области на саму себя. «Какую геометрию в таком случае мы получим?» ― спрашивает Тарский. Никакую. Мы получим логику. Получается, что логика ― это такая самая абстрактная геометрия.

Не случайно Паскаль говорил, что логика ― это геометрия мышления. Почему мы получим логику? Потому что логика вообще не интересуется свойствами индивидов. Она не различает индивидов. Она не только не видит в мире остроугольные и прямоугольные треугольники, не только не видит в мире квадраты и треугольники ― она вообще не видит в мире индивида, не различает людей, треугольники, собак, ни одно свойство индивида не является логическим. Логика является теорией формальных систем, абстрактных систем, объекты которой имеют единственное свойство ― согласовываться со структурой этих систем. Как, однако, показали результаты последних десятилетий, критерий Тарского ― критерий инвариантности относительно изоморфных преобразований для логических понятий ― чрезмерно сближает логику с теорией множеств. В частности, с точки зрения этого критерия полноправной логической теорией является логика второго порядка, которая по характеристике Куайна является не чем иным, как «теорией множеств в овечьей шкуре». Дело в том, что логика второго порядка допускает квантификацию по предикатам, то есть, иначе говоря, по свойствам или, что то же самое, по множествам. Тем самым логика второго порядка нарушает требования, которые Куайн предъявляет логике, а именно требования онтологической нейтральности. Логика, согласно Куайну, не должна вводить онтологические допущения о реальности, в частности допускать существование каких-либо абстрактных объектов реальности. Логика второго порядка это делает, поскольку допускает существование множеств.

Сейчас предпринимаются попытки уточнения критерия Тарского. В частности, вместо изоморфизма предлагают рассматривать гомоморфизм, вводятся разные хитрые морфизмы вроде потенциального изоморфизма. Как бы там ни было, остается открытым вопрос о том, как нам провести границу между математикой и логикой, можно ли провести эту границу неконвенциональным образом и надо ли ее проводить вообще.

Елена Драгалина-Черная, доктор философских наук, профессор школы философии факультета гуманитарных наук НИУ ВШЭ.

ПостНаука