«Грядущим поколениям ХХ век будет памятен лишь благодаря созданию теорий относительности, квантовой механики и хаоса… теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме физических событий, и, наконец, хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем» [1]. Эти слова известного американского историка и популяризатора науки Джеймса Глейка отражают огромную важность вопроса, который лишь вкратце освещается в статье, предлагаемой вниманию читателя. Наш мир возник из хаоса. Однако если бы хаос не подчинялся своим собственным законам, если бы в нем не было особой логики, он ничего не смог бы породить.

Новое — это хорошо забытое старое

Позволю себе еще одну цитату из Глейка:

Ретроспективу подобных воззрений можно обратить гораздо дальше в глубь истории. Один из основных принципов магии — неотъемлемой ступени развития любого общества — состоит в постулате: часть подобна целому. Он проявлялся в таких действиях, как захоронение черепа животного вместо всего животного, модели колесницы вместо самой колесницы и т. д. Сохраняя череп предка, родственники считали, что он продолжает жить рядом с ними и принимать участие в их делах.

Еще древнегреческий философ Анаксагор рассматривал первичные элементы мироздания как частицы, подобные другим частицам целого и самому целому, «бесконечные и по множеству, и по малости». Аристотель характеризовал элементы Анаксагора прилагательным «подобочастные» [2].

А наш современник, американский кибернетик Рон Эглэш, исследуя культуру африканских племен и южноамериканских индейцев, сделал открытие: с древних времен некоторые из них использовали фрактальные принципы построения в орнаментах, узорах, наносимых на одежду и предметы быта, в украшениях, ритуальных обрядах и даже в архитектуре. Так, структура деревень некоторых африканских племен представляет собой круг, в котором находятся маленькие круги — дома, внутри которых еще более мелкие круги — дома духов. У иных племен вместо кругов элементами архитектуры служат другие фигуры, но они также повторяются в разных масштабах, подчиненных единой структуре. Причем эти принципы построения не были простым подражанием природе, но согласовывались с бытующим мировоззрением и социальной организацией [3].

Наша цивилизация, казалось бы, ушла далеко от первобытного существования. Однако мы продолжаем жить в том же мире, нас по-прежнему окружает природа, живущая по своим законам, несмотря на все попытки человека приспособить ее к своим нуждам. Да и сам человек (не будем забывать об этом) остается частью этой природы.

Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности, как-то заметил:

У истоков теории хаоса

Что мы понимаем под хаосом? Невозможность предсказать поведение системы, беспорядочные скачки в разных направлениях, которые никогда не превратятся в упорядоченную последовательность.

Первым исследователем хаоса считается французский математик, физик и философ Анри Пуанкаре. Еще в конце XIX в. при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты, которые постоянно и не удаляются от конкретной точки, и не приближаются к ней.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, основаны на аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, плоскостями, сферами, метрическая и топологическая размерности которых равны между собой. В большинстве случаев свойства исследуемого объекта и его взаимодействие с окружающей средой описываются интегральными термодинамическими характеристиками, что приводит к утрате значительной части информации о системе и к замене ее на более или менее адекватную модель. Чаще всего подобное упрощение вполне оправдано, однако известны многочисленные ситуации, когда применение топологически неадекватных моделей недопустимо. Пример такого несоответствия привел в своей кандидатской диссертации (теперь уже доктор химических наук) Владимир Константинович Иванов: оно обнаруживается при измерении площади развитой (например, пористой) поверхности твердых тел с помощью сорбционных методов, регистрирующих изотермы адсорбции. Оказалось, что величина площади зависит от линейного размера молекул-«измерителей» не квадратично, чего следовало бы ожидать из простейших геометрических соображений, а с показателем степени, иногда вплотную приближающемся к трем [4].

Рис. 1. Аттрактор Лоренца — набор траекторий в фазовом пространстве [5]

Прогнозирование погоды — одна из проблем, над которой человечество бьется с древних времен. Существует известный анекдот на эту тему, где прогноз погоды передается по цепочке от шамана — оленеводу, затем геологу, потом редактору радиопередачи, и наконец круг замыкается, поскольку выясняется, что шаман узнал прогноз по радио. Описание такой сложной системы, как погода, со множеством переменных, невозможно свести к простым моделям. С данной задачи началось использование компьютеров для моделирования нелинейных динамических систем. Один из основоположников теории хаоса, американский метеоролог и математик Эдвард Нортон Лоренц много лет отдал проблеме прогнозирования погоды. Еще в 60-х годах прошлого века, пытаясь понять причины ненадежности прогнозов погоды, он показал, что состояние сложной динамической системы может сильно зависеть от начальных условий: незначительное изменение одного из многих параметров способно кардинально изменить ожидаемый результат. Лоренц назвал эту зависимость эффектом бабочки: «Сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке» [1]. Ему принесла известность работа, посвященная общему круговороту атмосферы. Исследуя описывающую процесс систему уравнений с тремя переменными, Лоренц графически отобразил результаты своего анализа: линии графика представляют собой координаты точек, определяемых решениями в пространстве этих переменных (рис. 1). Полученная двойная спираль, названная аттрактор Лоренца (или «странный аттрактор»), выглядела как нечто бесконечно запутанное, но всегда расположенное в определенных границах и никогда не повторяющееся. Движение в аттракторе абстрактно (переменными могут быть скорость, плотность, температура и др.), и тем не менее оно передает особенности реальных физических явлений, таких как движение водяного колеса, конвекция в замкнутой петле, излучение одномодового лазера, диссипативные гармонические колебания (параметры которых играют роль соответствующих переменных).

Из тысяч публикаций, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем написанная Лоренцем в 1963 г. статья «Детерминистский непериодический поток» [6]. Хотя благодаря компьютерному моделированию уже во времена этой работы предсказание погоды из «искусства превратилось в науку», долгосрочные прогнозы по-прежнему оставались недостоверными и ненадежными. Причина этого заключалась в том самом эффекте бабочки.

В тех же 60-х годах математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета собрал в Беркли исследовательскую группу из молодых единомышленников. Ранее он был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии. Смэйл занимался изучением динамических систем, в частности нелинейных хаотических осцилляторов. Для воспроизведения всей неупорядоченности осциллятора ван дер Поля в фазовом пространстве он создал структуру, известную под названием «подкова» — пример динамической системы, имеющей хаотическую динамику.

«Подкова» (рис. 2) — точный и зримый образ сильной зависимости от начальных условий: никогда не угадаешь, где окажется начальная точка после нескольких итераций. Этот пример послужил толчком к изобретению русским математиком, специалистом по теории динамических систем и дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии Дмитрием Викторовичем Аносовым «диффеоморфизмов Аносова»^*. Позже из этих двух работ выросла теория гиперболических динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты работы Смэйла удостоились внимания представителей других дисциплин. «Когда это все же случилось, физики поняли, что Смэйл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру» [1].

Рис. 2. Подкова Смэйла. Пространство многократно растягивается в одном направлении, сжимается в другом и сворачивается. Такая топологическая трансформация наглядно показывает возникновение «структурированного беспорядка» — хаотичных свойств динамических систем [1]

В 1972 г. математик из Мэрилендского университета Джеймс Йорк прочитал вышеупомянутую статью Лоренца, которая поразила его. Йорк увидел в статье живую физическую модель и посчитал своей святой обязанностью донести до физиков то, чего они не разглядели в работах Лоренца и Смэйла. Он направил копию статьи Лоренца Смэйлу. Тот изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог (Лоренц) десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной, и разослал копии всем своим коллегам.

Биолог Роберт Мэй, друг Йорка, занимался изучением изменений численности популяций животных. Мэй шел по стопам Пьера Ферхлюста, который еще в 1845 г. обратил внимание на непредсказуемость изменения численности животных и пришел к выводу, что коэффициент прироста популяции — величина непостоянная. Иными словами, процесс оказывается нелинейным. Мэй пытался уловить, что случается с популяцией в момент приближения колебаний коэффициента роста к некоторой критической точке (точке бифуркации). Варьируя значения этого нелинейного параметра, он обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего. При определенных условиях периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали.

Йорк математически проанализировал описанные явления в своей работе, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тремя волнами (плавными подъемами и спадами значений какого-либо параметра), то в дальнейшем система начнет демонстрировать как правильные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичные. (Как выяснилось через несколько лет после опубликования статьи на международной конференции в восточном Берлине, советский (украинский) математик Александр Николаевич Шарковский несколько опередил Йорка в своих исследованиях [7]). Йорк написал статью для известного научного издания «Американский математический ежемесячник» [8]. Однако Йорк достиг большего, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, стабилен и структурирован. Он дал повод поверить в то, что сложные системы, традиционно описывающиеся трудными для решения дифференциальными уравнениями, могут быть представлены с помощью наглядных графиков.

Мэй пытался привлечь внимание биологов к тому, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу возникает целый каскад удвоения периодов. Именно в точках бифуркации некоторое увеличение плодовитости особей могло привести, например, к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Американец Митчел Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших такие изменения. Его расчеты показывали, что не имело значения, какова начальная популяция, — она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым удвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Потом происходило следующее умножение периодов, и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число — инвариант, полученный Фейгенбаумом, — позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать этот эффект для сложнейшего аттрактора — в двух, четырех, восьми точках… Говоря языком экологии, он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Так Фейгенбаум открыл в 1976 г. «каскад удвоения периода», опираясь на работу Мэя и свои исследования турбулентности. Его теория отражала естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к хаосу. Йорк, Мэй и Файгенбаум первыми на Западе в полной мере осознали важность удвоения периодов и сумели передать эту идею всему научному сообществу. Мэй заявлял, что хаос необходимо преподавать.

Советские математики и физики продвигались в своих исследованиях независимо от зарубежных коллег. Начало изучению хаоса положили работы А. Н. Колмогорова 50-х годов. Но и идеи зарубежных коллег не оставались без их внимания. Пионерами теории хаоса считаются советские математики Андрей Николаевич Колмогоров и Владимир Игоревич Арнольд и немецкий математик Юрген Мозер, построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова — Арнольда — Мозера). Другой наш выдающийся соотечественник, блестящий физик и математик Яков Григорьевич Синай, применил в термодинамике соображения, аналогичные «подкове Смейла». Едва в 70-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, как она приобрела известность и в СССР. В 1975 г., когда Йорк и Мэй еще прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи организовали в Горьком исследовательскую группу для изучения этой проблемы.

В прошлом веке, когда узкая специализация и разобщение между различными дисциплинами стали в науке нормой, математики, физики, биологи, химики, физиологи, экономисты бились над схожими задачами, не слыша друг друга. Идеи, требующие изменения привычного мировоззрения, всегда с трудом пробивают себе путь. Однако постепенно стало ясно, что такие вещи, как изменение популяций животных, колебания цен на рынке, перемена погоды, распределение небесных тел по размерам и многое, многое другое, — подчиняются одним закономерностям. «Осознание этого факта заставило менеджеров пересмотреть отношение к страховке, астрономов — под другим углом зрения взглянуть на Солнечную систему, политиков — изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов» [1].

К середине 80-х годов ситуация сильно изменилась. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавшими, как их интерпретировать. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории. Графические изображения приобрели первостепенную важность. Новая наука дала миру особый язык, новые понятия: фазовый портрет, аттрактор, бифуркация, сечение фазового пространства, фрактал…

Бенуа Мандельброт, опираясь на идеи и работы предшественников и современников, показал, что такими сложными процессами, как рост дерева, образование облаков, вариации экономических характеристик или численности популяций животных управляют сходные, по сути, законы природы. Это определенные закономерности, по которым живет хаос. С точки зрения природной самоорганизации они намного проще, чем искусственные формы, привычные цивилизованному человеку. Сложными их можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы определяются посредством задания алгоритма, и, следовательно, могут быть описаны с помощью небольшого объема информации.

Фрактальная геометрия природы

Капуста Романеско, родственница хорошо всем знакомой цветной капусты. Фото В. Ц. Бонджоловой

Давайте попробуем разобраться, что же такое фрактал и «с чем его едят». А съесть некоторые из них действительно можно, как, например, типичного представителя, показанного на фотографии.

Слово фрактал происходит от латинского fractus — дробленый, сломанный, разбитый на куски. Под фракталом подразумевается математическое множество, обладающее свойством самоподобия, т. е. масштабной инвариантности.

Термин «фрактал» был придуман Мандельбротом в 1975 г. и получил широкую популярность с выходом в 1977 г. его книги «Фрактальная геометрия природы» [9]. «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» — говорил Мандельброт. Это стремление сделать исследуемые объекты (математические множества) близкими и понятными привело к рождению новых математических терминов, таких как пыль, творог, сыворотка, наглядно демонстрирующих их глубинную связь с природными процессами.

Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким образом, отражает иерархический принцип организации. Конечно, различные ветви дерева, например, не могут быть точно совмещены друг с другом, но их можно считать подобными в статистическом смысле. Точно так же формы облаков, очертания гор, линия морского берега, рисунок пламени, сосудистая система, овраги, молния, рассматриваемые при различных масштабах, выглядят подобными. Хотя эта идеализация и может оказаться упрощением действительности, она существенно увеличивает глубину математического описания природы.

Понятие «природный фрактал» Мандельброт ввел для обозначения естественных структур, которые могут быть описаны с помощью фрактальных множеств. Эти природные объекты включают в себя элемент случайности. Созданная Мандельбротом теория позволяет количественно и качественно описывать все те формы, которые ранее назывались спутанными, волнистыми, шероховатыми и т. д.

Динамические процессы, о которых шла речь выше, так называемые процессы с обратной связью, возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее — конкуренцию нескольких центров (получивших имя «аттракторы») за доминирование на плоскости. То состояние, в котором система оказалась после некоторого числа итераций, зависит от ее «места старта». Поэтому каждому аттрактору соответствует некоторая область начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемое конечное состояние. Таким образом, фазовое пространство системы (абстрактное пространство параметров, ассоциированных с конкретной динамической системой, точки в котором однозначно характеризуют все возможные ее состояния) разбивается на области притяжения аттракторов. Налицо своеобразный возврат к динамике Аристотеля, согласно которой каждое тело стремится к предназначенному ему месту [2]. Простые границы между «сопредельными территориями» в результате такого соперничества возникают редко. Именно в этой пограничной области и происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к хаосу. Общий вид выражения для динамического закона очень прост: . Вся сложность состоит в нелинейной зависимости между начальным значением и результатом. Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения , то результатом его будет последовательность , которая либо будет сходиться к некоторому предельному значению , стремясь к состоянию покоя, либо придет к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь, либо будет все время вести себя беспорядочно и непредсказуемо [5]. Именно такие процессы исследовали еще во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фато.

Изучая множества, открытые ими, Мандельброт в 1979 г. пришел к изображению на комплексной плоскости образа, который является, как будет ясно из дальнейшего, своего рода оглавлением целого класса форм, именующегося множествами Жюлиа. Множество Жюлиа — это множество точек, возникающее в результате итерирования квадратичного преобразования: , динамика в окрестности которых неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. Каждое последовательное значение получается из предыдущего; комплексное число называется управляющим параметром. Поведение последовательности чисел зависит от параметра и начальной точки . Если зафиксировать и изменять в поле комплексных чисел, мы получим множество Жюлиа. Если же зафиксировать = 0 и изменять , получим множество Мандельброта (). Оно подсказывает нам, какого вида множества Жюлиа следует ожидать при конкретном выборе . Каждое комплексное число либо принадлежит области (черной на рис. 3), либо нет. принадлежит тогда и только тогда, когда «критическая точка» не стремится к бесконечности. Множество состоит из всех точек , которые ассоциируются со связными множествами Жюлиа, если же точка лежит вне множества , ассоциированное с ней множество Жюлиа несвязно. Граница множества определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа . Когда параметр покидает , множества Жюлиа теряют свою связность, образно говоря, взрываются и превращаются в пыль. Качественный скачок, происходящий на границе , влияет и на примыкающую к границе область. Сложную динамическую структуру пограничной области можно приближенно показать, окрашивая (условно) в разные цвета зоны с одинаковым временем «убегания в бесконечность начальной точки ». Те значения (один оттенок), при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом , заполняют промежуток между двумя линиями. По мере приближения к границе необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа. Множество Мандельброта воплощает в себе процесс перехода от порядка к хаосу.

Рис. 3. Множество Мандельброта для процесса . Изображенная фигура показывает соответствие различным значениям параметра различных типов множеств Жюлиа. Оттенки цвета соответствуют линиям, отражающим динамику критической точки [5]

Интересно проследить путь, которым Мандельброт шел к своим открытиям. Бенуа родился в Варшаве в 1924 г., в 1936 семья эмигрировала в Париж. Окончив Политехническую школу, а затем и университет в Париже, Мандельброт переехал в США, где отучился еще и в Калифорнийском технологическом институте. В 1958 г. он устроился в научно-исследовательский центр IBM в Йорктауне. Несмотря на чисто прикладную деятельность компании, занимаемая должность позволяла ему вести исследования в самых разных областях. Работая в области экономики, молодой специалист занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более 100 лет). Анализируя симметрию длительных и кратковременных колебаний цен, он заметил, что эти колебания в течение дня казались случайными и непредсказуемыми, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Для решения этой задачи он впервые использовал свои разработки будущей фрактальной теории и графическое отображение исследуемых процессов.

Интересуясь самыми разными областями науки, Мандельброт обратился к математической лингвистике, затем наступил черед теории игр. Он также предложил собственный подход к экономике, указав на упорядоченность масштабов в распространении малых и больших городов. Изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Ричардсона, вышедшую после смерти автора, Мандельброт столкнулся с феноменом береговой линии. В статье «Какова длина береговой линии Великобритании?» [10] он подробно исследует этот вопрос, над которым мало кто задумывался до него, и приходит к неожиданным выводам: длина береговой линии равна… бесконечности! Чем точнее вы стараетесь ее измерить, тем большим получается ее значение!

Для описания подобных явлений Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности. Фрактальная размерность объекта служит количественной характеристикой одной из его особенностей, а именно — заполнения им пространства.

Лес, нарисованный на оконном стекле художником-морозом (дендриты кристаллов льда)

Определение понятия фрактальной размерности восходит к работе Феликса Хаусдорфа, опубликованной в 1919 г., и было окончательно сформулировано Абрамом Самойловичем Безиковичем. Фрактальная размерность — мера детализации, изломанности, неровности фрактального объекта. В евклидовом пространстве топологическая размерность всегда определяется целым числом (размерность точки — 0, линии — 1, плоскости — 2, объемного тела — 3). Если проследить, например, проекцию на плоскость движения броуновской частицы, которая вроде бы должна состоять из отрезков прямой, т. е. иметь размерность 1, очень скоро окажется, что след ее заполняет почти всю плоскость. Но размерность плоскости — 2. Расхождение между этими величинами и дает нам право отнести данную «кривую» к фракталам, а ее промежуточную (дробную) размерность называть фрактальной. Если рассмотреть хаотическое движение частицы в объеме, фрактальная размерность траектории окажется больше 2, но меньше 3. Артерии человека, например, имеют фрактальную размерность примерно 2,7. Упомянутые в начале статьи результаты Иванова, относящиеся к измерению площади пор силикагеля, которые не могут быть истолкованы в рамках обычных евклидовых представлений, при использовании теории фракталов находят разумное объяснение [4].

Итак, с математической точки зрения, фракталом называется множество, для которого размерность Хаусдорфа — Безиковича строго больше его топологической размерности и может быть (а чаще всего и является) дробной.

Необходимо особо подчеркнуть, что фрактальная размерность объекта не описывает его форму, и объекты, имеющие одинаковую размерность, но порожденные различными механизмами образования, зачастую совершенно не похожи друг на друга. Физические фракталы обладают скорее статистическим самоподобием.

Дробное измерение позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости, шероховатости или неустойчивости какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее длины, обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробных измерений объектов окружающей действительности. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, которые встречаются в природе. Закон гласил: степень нестабильности постоянна при различных масштабах.

Особую разновидность фракталов составляют временные фракталы. В 1962 г. Мандельброт столкнулся с задачей по устранению шумов в телефонных линиях, которые вызвали проблемы для компьютерных модемов. Качество передачи сигнала зависит от вероятности возникновения ошибок. Инженеры бились над проблемой уменьшения шумов, придумывая головоломные и дорогостоящие приемы, но не получали впечатляющих результатов. Опираясь на работу основателя теории множеств Георга Кантора, Мандельброт показал, что возникновения шумов — порождения хаоса — невозможно избежать в принципе, поэтому предложенные способы борьбы с ними не принесут результата. В поисках закономерности возникновения шумов он получает «канторову пыль» — фрактальную последовательность событий. Интересно, что тем же закономерностям подчиняется распределение звезд в Галактике:

Хаотические явления, такие как турбулентность атмосферы, подвижность земной коры и т. д., демонстрируют сходное поведение в различных временных масштабах подобно тому, как объекты, обладающие инвариантностью к масштабу, обнаруживают сходные структурные закономерности в различных пространственных масштабах.

В качестве примера приведем несколько характерных ситуаций, где полезно использовать представления о фрактальной структуре. Профессор Колумбийского университета Кристофер Шольц специализировался на изучении формы и строения твердого вещества Земли, он изучал землетрясения. В 1978 г. он прочитал книгу Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность» и попытался применить теорию к описанию, классификации и измерению геофизических объектов. Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Фрактальное измерение ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Металлурги обнаружили то же самое на другом масштабном уровне — применительно к поверхностям различных типов стали. В частности, фрактальное измерение поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Огромное количество фрактальных объектов продуцирует явление кристаллизации. Самый распространенный тип фракталов, возникающих при росте кристаллов, — дендриты, они чрезвычайно широко распространены в живой природе. Ансамбли наночастиц часто демонстрируют реализацию «пыли Леви». Эти ансамбли в сочетании с абсорбированным растворителем образуют прозрачные компакты — стекла Леви, потенциально важные материалы фотоники [11].

Микрофотографии различных веществ, сделанные с помощью электронного микроскопа: фторид иттрия (а), алюмоиттриевый гранат (б), окись магния (в), фторид бария (г). Фото С. В. Лаврищева

Поскольку фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур, понятно, что такая область математики стала развиваться семимильными шагами вместе с появлением и развитием мощных компьютеров. Хаос, в свою очередь, вызвал к жизни новые компьютерные технологии, специальную графическую технику, которая способна воспроизводить удивительные структуры невероятной сложности, порождаемые теми или иными видами беспорядка. В век Интернета и персональных компьютеров то, что представляло значительную сложность во времена Мандельброта, стало легко доступным любому желающему. Но самым важным в его теории стало, разумеется, не создание красивых картинок, а вывод, что данный математический аппарат пригоден для описания сложных природных явлений и процессов, которые раньше не рассматривались в науке вообще. Репертуар алгоритмических элементов неисчерпаем.

В заключение позвольте представить вашему вниманию набор фотографий, иллюстрирующих этот вывод, и фракталов, построенных с помощью компьютерной программы Fractal Explorer. А проблеме использования фракталов в физике кристаллов будет посвящена наша следующая статья.

Фотографии природных объектов, демонстрирующих фрактальное строение, и фракталы, построенные с помощью компьютерной программы Fractal Explorer: вид на Землю с самолета (а, участки земли, расчерченные на многоугольники, береговая линия протоков и рукавов рек, так же, как и облака, демонстрируют статистическое самоподобие); переплетение древесных ветвей (б); завихрения водного потока (в); морозные узоры на стекле (г); колонии водорослей и моллюсков (д); типичные дендриты, часто встречающиеся в природе, здесь — гриб Hericium coralloides (е). Фото автора

Post Scriptum

С 1994 по 2013 г. в пяти томах вышел уникальный труд отечественных ученых «Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов» [13] — не имеющий аналогов источник материалов, который включает в себя данные мониторинга космоса, биосферы, литосферы, атмосферы, гидросферы, социальной и техногенной сфер и сферы, связанной со здоровьем и качеством жизни человека. В тексте подробно приводятся данные и результаты их обработки, сопоставляются особенности динамики временных рядов и их фрагментов. Унифицированное представление результатов дает возможность получить сопоставимые результаты для выявления общих и индивидуальных черт динамики процессов и причинно-следственных связей между ними. На экспериментальном материале показано, что процессы в разных сферах, во-первых, схожи, а во-вторых, в большей или меньшей степени связаны друг с другом.

Итак, атлас обобщил результаты междисциплинарных исследований и представил сравнительный анализ совершенно различных данных в широчайшем диапазоне времени и пространства. Книга показывает, что «протекающие в земных сферах процессы обусловлены большим числом взаимодействующих факторов, которые в разных областях (и в разное время) вызывают разную реакцию», что говорит о «необходимости комплексного подхода к анализу геодинамических, космических, социальных, экономических и медицинских наблюдений». Остается выразить надежду на то, что эти фундаментальные по значимости работы будут продолжены.

^* Диффеоморфизмы Аносова — введенный Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, устойчивой относительно малых возмущений.

Литература

1. Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки. СПб., 2001.
2. Асмус В. Ф. Античная философия. М., 1976.
3. Eglash R. African fractals: modern computing and indigenous design. New Brunswick, 2005.
4. Иванов В. К. Топохимические процессы формирования дисперсных металлооксидов с фрактальными свойствами поверхности: Автореф. дисс. … канд. хим. наук. М., 2003.
5. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. М., 1993.
6. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // J. of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. № 2. P. 130–141.
7. Шарковский А. Н. О циклах и структуре непрерывного отображения // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17. С. 101–111.
8. Li T. Y., Yorke J. A. Period three implies chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. V. 82. P. 985.
9. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.
10. Mandelbrot B. How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension // Science. 1967. V. 155. P. 636–638.
11. Чернова Е. В., Федоров П. П., Лаврищев С. В. Формирование фрактальных структур при образовании моно- и нанокристаллов // Тезисы докладов VII Международной научной конференции «Кинетика и механизм кристаллизации. Кристаллизация и материалы нового поколения». Иваново, 2012. С. 58.
12. Юргенс Х., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки. 1990. № 10. С. 36–44.
13. Атлас временных вариаций природных антропогенных и социальных процессов. Т. 1: Порядок и хаос в литосфере и других сферах. М., 1994; Т. 2: Циклическая динамика в природе и обществе. М., 1998; Т. 3: Природные и социальные сферы как части окружающей среды и как объекты воздействий. М., 2002; Т. 4: Человек и три окружающие его среды. М., 2009. Т. 5: Человек и три окружающие его среды. М., 2013.

«Природа» №5, 2015

Об авторе Елена Владимировна Чернова — ведущий программист Института общей физики им. А. М. Прохорова РАН. Область научных интересов — рост кристаллов, базы данных, обработка изображений.