X. Логицизм против интуиционизма

Открытие парадоксов теории множеств и осознание того, что аналогичные парадоксы могут встретиться и в уже существующей классической математике (хотя пока они и не обнаружены), заставили математиков всерьез заняться проблемой непротиворечивости. Весьма насущным вдруг стал вопрос о том, какой смысл имеет в математике глагол «существовать», поднятый, в частности, в связи с вольным использованием аксиомы выбора. Все более широкое применение бесконечных множеств при перестройке оснований математики и создании ее новых разделов вновь оживило старые разногласия по поводу законности использования актуально бесконечных величин и множеств. Начавшееся в конце XIX в. движение за аксиоматизацию математики все эти кардинальные проблемы просто оставляло в стороне.

Но сколь ни важны были эти и другие вопросы, которых мы коснулись в предыдущей главе, не только они привели к пересмотру оснований собственно математики. Проблемы, о которых идет речь, подобно ветру, раздули тлевшие угли и заставили их вспыхнуть ярким пламенем. Еще до начала XX в. было провозглашено и даже разработано несколько радикально новых подходов к математике. Но поскольку они до времени оставались в тени, большинство математиков не восприняли их всерьез. Однако в первые десятилетия XX в. в битву за новые подходы к математике вступили гиганты. Они разделились на враждующие лагери и вступили в открытое противоборство.

Одно из направлений получило название «логистическая школа». Если не вдаваться в подробности, то основной тезис логицистов сводился к утверждению, что математика полностью может быть выведена из логики. В начале XX в. большинство математиков видели в законах логики незыблемые, вечные истины. Но если законы логики истинны, рассуждали логицисты, то истинна и математика. А поскольку истина непротиворечива, продолжали они, то математика также должна быть непротиворечивой.

Как и обычно, когда речь идет о создании нового большого направления в науке, прежде чем логистика обрела строгую форму и привлекла широкое внимание, потребовались значительные усилия многих ученых. Мысль о том, что математика выводима из логики, восходит по меньшей мере к Лейбницу. Лейбниц различал истины основания (или необходимые истины) и истины факта (или случайные истины) (гл. VIII). Суть этого различия он пояснил в письме к своему другу Косте. Истина именуется необходимой, если противоположное утверждение приводит к противоречию. Если же истина не является необходимой, то она называется случайной. Утверждения о том, что бог существует^{109}, что все прямые углы равны между собой и т.д., — необходимые истины. Утверждения о том, что я сам существую, или о том, что в природе встречаются тела, в которых можно указать углы, в точности равные 90°, — случайные истины. Эти утверждения могут быть как истинными, так и ложными — и в том и в другом случае Вселенная не перестанет существовать. Господь бог, по мнению Лейбница, выбрал из бесконечно многих возможностей ту, которую счел наиболее подходящей. Поскольку математические истины необходимы, они должны быть выводимы из логики, принципы которой также необходимы и незыблемо истинны во всех возможных мирах.

Лейбниц не осуществил программу вывода математики из логики, как не осуществили ее в течение последующих почти двухсот лет все те, кто высказывал аналогичные убеждения. Так, Рихард Дедекинд голословно утверждал, что число невыводимо из интуитивных представлений о пространстве и времени, а является «непосредственной эманацией законов чистого разума». По мнению Дедекинда, из числа мы выводим точные понятия пространства и времени. Дедекинд начал развивать свой тезис, но не особенно преуспел в этом [47].

Наконец, за осуществление основного тезиса логицизма принялся находившийся под влиянием идей Дедекинда Готлоб Фреге, который внес немалый вклад в развитие математической логики (гл. VIII). Фреге относил математические законы к числу так называемых аналитических суждений. Такие суждения утверждают не более того, что неявно заложено в принципах логики, являющихся априорными истинами. Математические теоремы и их доказательства позволяют нам выявить это неявное. Не вся математика применима к реальному миру, но вся математика заведомо состоит из необходимых истин. Построив в своей работе «Исчисление понятий» (1879) логику на основе явно сформулированных аксиом, Фреге в «Основаниях арифметики» (1884) и в двухтомном сочинении «Основные законы арифметики» (1893-1903) приступил к выводу из логических посылок арифметических понятий, определений и правил. В свою очередь из законов арифметики можно вывести алгебру, математический анализ и даже геометрию, так как аналитическая геометрия позволяет выразить геометрические понятия и свойства геометрических фигур на языке алгебры. К сожалению, символика Фреге была чрезвычайно сложной и непривычной для математиков, в силу чего работы Фреге оказали слабое влияние на современников. Известна история о том, что как раз в то время, когда Фреге завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» (1902), он получил (такова ирония судьбы!) письмо от Бертрана Рассела. В этом письме Рассел писал, что, к сожалению, Фреге использовал в своем труде понятие (множество всех множеств), применение которого недопустимо, ибо оно приводит к противоречию. В конце второго тома Фреге отметил: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была почти закончена». Фреге ничего не знал о парадоксах, обнаруженных за то время, пока он писал свою книгу.

Бертран Рассел независимо наметил ту же программу и, работая над ее осуществлением, узнал о работах Фреге. В своей «Автобиографии» (1951) Рассел признает также, что на него оказали влияние взгляды Пеано, с которым он встретился на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г.:

В «Принципах математики» (1-е изд. — 1903) Рассел говорит прямо: «Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, — величайшее открытие нашего века».

В начале XX в. Рассел, как и Фреге, надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными — и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена. В книге «Мое философское развитие» (1959) Рассел писал, что стремился прийти к «совершенной математике, не оставляющей места для сомнений».

Разумеется, Расселу было известно, что Пеано вывел свойства вещественных чисел из аксиом для целых чисел. Знал он и о том, что Гильберт предложил систему аксиом для всей системы вещественных чисел. Однако во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел заметил по поводу аналогичного подхода Дедекинда: «Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом». В действительности Рассел был озабочен тем, что постулирование десяти или пятнадцати аксиом о числах отнюдь не гарантирует их непротиворечивость и истинность. По выражению Рассела, постулируя, мы излишне полагаемся на счастливый случай. В то время как Рассел в начале XX в. не сомневался, что принципы логики — истины и поэтому они непротиворечивы, Уайтхед в 1907 г. предостерегал: «Невозможно формально доказать непротиворечивость самих логических посылок».

Многие годы Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Свою позицию Рассел ясно изложил в книге «Проблемы философии» (1912).

Когда дело касалось проблемы истины в математике, Рассел готов был пойти еще дальше, чем Фреге. В юности Рассел был убежден, что математика служит источником истин о реальном мире. Рассел не мог указать, какая из конфликтующих геометрий (евклидова или неевклидова) истинна, — тем более что обе соответствуют реальному миру (гл. IV), — но в «Очерке оснований геометрии» (1898) ему удалось найти несколько математических законов (например, закон, согласно которому физическое пространство должно быть однородно, т.е. должно всюду обладать одинаковыми свойствами), являющихся, по его мнению, истинами. В то же время трехмерность пространства Рассел считал эмпирическим фактом. Тем не менее существует объективный реальный мир, о котором мы можем получать точные знания. Поэтому-то Рассел и пытался найти математические законы, которые вместе с тем должны быть физическими истинами. Эти математические законы должны были следовать из логических принципов.

В «Принципах математики» Рассел обобщил свои взгляды в отношении физической истинности математики. По его словам, «все утверждения относительно всего реально существующего, например пространства, в котором мы живем, относятся к экспериментальной или эмпирической науке, а не к математике; утверждения, относящиеся к прикладной математике, возникают в тех случаях, когда в утверждениях, относящихся к чистой математике, одно или несколько переменных полагают равными некоторым константам…» Даже в этом варианте Рассел продолжал верить, что какие-то основополагающие физические истины содержатся в математике, выводимой из логики, В ответ на замечания скептиков, утверждавших, что абсолютных истин не существует, Рассел заявил: «Математика служит вечным укором подобному скептицизму, ибо ее здание, возведенное из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма».

Идеи, в общих чертах намеченные Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с Алфредом Hopтом Уайтхедом^{110} (1861-1947) в трехтомном труде «Основания математики» (Principia Mathematica [95]*, 1-е изд. — 1910-1913 гг.). Так как именно в этом фундаментальном труде содержался окончательный вариант изложения позиции логистической школы, ознакомимся хотя бы бегло с его содержанием.

Авторы начинают с построения самой логики. Они тщательно формулируют аксиомы логики и выводят из них теоремы, используемые в последующих рассуждениях. Как и подобает любой аксиоматической теории (гл. VIII), построение логики начинается с неопределяемых понятий. Назовем некоторые из них: понятие элементарного высказывания, присвоение элементарному высказыванию значения истинности, отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция двух высказываний, понятие пропозициональной функции.

Рассел и Уайтхед снабдили неопределяемые понятия пояснениями, хотя и подчеркнули, что эти пояснения не входят в логическое построение теории. Под высказыванием и пропозициональной функцией они понимали то же, что и Пирс. Например, «Джон — человек» — высказывание, «x — человек» — пропозициональная функция. Под отрицанием понималось высказывание «Неверно, что …», в котором многоточием обозначено отрицаемое высказывание; так, если p есть высказывание «Джон — человек», то под его отрицанием, обозначаемым символом ~p, понимается высказывание «Неверно, что Джон — человек» или «Джон не человек». Под конъюнкцией двух высказываний p и q, обозначаемой p′q, Рассел и Уайтхед понимали составное высказывание «p и q», а под дизъюнкцией p и q, обозначаемой p\/q, — составное высказывание «p или q». Смысл связки «или» здесь такой же, как в объявлении «Обращаться по телефону 22-22-38 или 22-22-39», означающем, что обращаться можно либо по телефону 22-22-38, либо по телефону 22-22-39, но можно и по тому, и по другому (неисключающее «или»). В предложении «Это лицо — мужчина или женщина» связка «или» имеет иной, более привычный, смысл: либо мужчина, либо женщина, но, разумеется, никак не мужчина и женщина одновременно (исключающее «или»). Математики используют «или» в первом (неисключающем) смысле, хотя иногда «или» употребляется только во втором смысле.^{111} Например, в предложении «Треугольник ABC — равнобедренный или четырехугольник PQRS — параллелограмм» связка «или», как правило, неисключающая, а в предложении «Каждое отличное от нуля вещественное число положительно или отрицательно» связка «или» исключающая — ведь имеющиеся у нас дополнительные сведения о положительных и отрицательных числах говорят нам, что одно и то же число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Итак, в «Основаниях математики» высказывание «p или q» означает, что p и q оба истинны, или что p ложно, a q истинно, или что p истинно, a q ложно.

Наиболее важное отношение между высказываниями — отношение следования, или импликация, означающая, что из истинности одного элементарного высказывания вытекает истинность другого.^{112} В работе Рассела и Уайтхеда импликация обозначается символом ⊃; при этом под записью (импликацией) p ⊃ q («p влечет q» или «из p следует q») они понимают примерно то же, что Фреге понимал под материальной импликацией (гл. VIII): утверждение «p влечет q» (из p следует q) означает, что если p истинно, то и q обязано быть истинным, а если p ложно, то q может быть истинно или ложно, т.е. из ложного высказывания следует все что угодно. Такое понятие следования (импликации) высказываний, по крайней мере в некоторых случаях, представляется вполне естественным. Например, если верно, что a — четное число, то и число 2a должно быть четным. Но если не верно, что a — четное число, то 2a может быть как четным, так и нечетным (в случае, если a не целое, скажем дробное, число). Иначе говоря, если высказывание «a — четное число» ложно, то из него может следовать любое заключение.

Разумеется, для того чтобы выводить логические теоремы, необходимо перечислить аксиомы логики. Приведем примеры нескольких таких аксиом:

Сформулировав аксиомы, Рассел и Уайтхед приступили к выводу теорем логики. Обычные правила силлогистики Аристотеля (см., например, [58] и [59]) вошли в систему «Оснований математики» как теоремы.

Чтобы лучше понять, каким образом логика была формализована и сделана дедуктивной, рассмотрим несколько первых теорем из «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда. Одна из теорем утверждает: если из предположения об истинности высказывания p следует, что p ложно, то p ложно. Это не что иное, как принцип reductio ad absurdum (приведения к абсурду, основа доказательства от противного). Другая теорема гласит: если r следует из q, то при условии, что q следует из p, r следует из p. (Это один из силлогизмов Аристотеля.) Основная теорема начальной части «Оснований математики» — принцип исключенного третьего: если p — любое высказывание, то p либо истинно, либо ложно.

Построив логику высказываний, авторы приступили к пропозициональным функциям. Последние представляют собой классы, или множества: вместо того чтобы называть элементы класса «поштучно», пропозициональная функция указывает их отличительное свойство. Например, пропозициональная функция «x красный» задает множество всех красных предметов. Такой способ задания класса позволяет определять бесконечные множества с такой же легкостью, как и конечные. Определение класса по отличительному признаку называется интенсиональным (или дискретным) в отличие от экстенсиональных (прямых) определений, перечисляющих элементы множества.

Рассел и Уайтхед, разумеется, стремились избежать парадоксов, возникающих в тех случаях, когда определяемое множество содержит само себя в качестве элемента. Эту проблему они разрешили, введя требование: «То, что содержит все элементы множества, не должно быть элементом того же множества». Чтобы удовлетворить этому требованию, Рассел и Уайтхед ввели теорию типов.

Хотя сама теория типов довольно сложна, в основе ее лежит простая идея. Индивидуумы, например Джон или какая-то вполне конкретная книга, имеют тип 0. Любое утверждение о свойстве индивидуума имеет тип 1. Всякое утверждение о свойстве свойства индивидуума имеет тип 2 и т.д. Каждое утверждение принадлежит более высокому типу, чем те, о которых в нем что-то утверждается. На языке теории множеств суть теории типов можно было бы сформулировать так: индивидуальные объекты принадлежат типу 0, множество индивидуальных объектов — типу 1, множество множеств индивидуумов — типу 2 и т.д. Так, если a принадлежит b, то b должно быть более высокого типа, чем a. Кроме того, нельзя говорить о множестве, принадлежащем самому себе. При переходе к пропозициональным функциям теория типов становится несколько сложнее. Ни один из аргументов пропозициональной функции (ни одно из значений входящих в нее переменных) не должен определяться через саму функцию. Если это требование соблюдено, то функция считается принадлежащей к более высокому типу, чем входящие в нее переменные. Рассмотрев на основе теории типов все известные парадоксы, Рассел и Уайтхед показали, что теория типов позволяет их избегать.

Это несомненное достоинство теории типов (то, что она позволяет избегать противоречий) станет более наглядным, если воспользоваться следующим нематематическим примером. Рассмотрим парадокс, связанный с высказыванием «Из всех правил есть исключения» (гл. IX). Это высказывание относится ко всякого рода конкретным правилам, например к правилу «Во всех книгах имеются опечатки». При обычной интерпретации высказывание «Из всех правил есть исключения» применимо и к самому высказыванию, вследствие чего возникает противоречие. Но в теории типов общее правило принадлежит к более высокому типу, и все, что в нем утверждается о конкретных правилах, к нему самому неприменимо. Следовательно, из общего правила исключений может не быть.

Аналогичным образом гетерологический парадокс (слово называется гетерологическим, если оно неприменимо к самому себе) есть не что иное, как определение всех гетерологических слов, и поэтому принадлежит к более высокому типу, чем любое гетерологическое слово. Следовательно, вопрос о том, гетерологично ли само прилагательное «гетерологический», попросту неправомерен.

В рамках теории типов находит свое решение и парадокс лжеца. Рассел излагает это решение следующим образом. Высказывание «Я лгу» означает «Существует утверждение, которое я высказываю, и оно ложно», или «Я высказываю утверждение p, и p ложно». Если p принадлежит к n-му типу, то утверждение относительно p принадлежит к более высокому типу. Следовательно, если утверждение относительно p истинно, то само p ложно, и если утверждение относительно p ложно, то p истинно. Никакого противоречия не возникает. Аналогичным образом теория типов разрешает и парадокс Ришара: суть решения сводится к тому, что высказывание более высокого типа содержит некое утверждение о высказывании более низкого типа.

Ясно, что теория типов предполагает тщательную классификацию высказываний по типам. Но если попытаться положить теорию типов в основу строгого обоснования математики, то все построения становятся чрезвычайно сложными. Например, в «Основаниях математики» Рассела и Уайтхеда два предмета a и b считаются равными, если любое высказывание или любая пропозициональная функция, применимые к a (или истинные для a), применимы к b и наоборот. Но различные высказывания принадлежат, вообще говоря, к различным типам. Следовательно, понятие равенства становится необычайно сложным. Аналогичные трудности возникают и в связи с понятием числа: так как иррациональные числа определяются через рациональные, а рациональные — через положительные целые числа, то иррациональные числа принадлежат к более высокому типу, чем рациональные, а те в свою очередь — к более высокому типу, чем целые числа. Система вещественных чисел оказывается состоящей из чисел различных типов. Следовательно, вместо того чтобы сформулировать одну теорему для всех вещественных чисел, мы должны формулировать теоремы для каждого типа в отдельности, поскольку теорема, применимая к одному типу, автоматически на другой тип не переносится.

Теория типов вносит осложнение и в понятие наименьшей верхней границы ограниченного множества вещественных чисел (гл. IX). Наименьшая верхняя граница, по определению, есть минимальная из всех верхних границ. Мы видим, что в определении наименьшей верхней границы фигурирует множество вещественных чисел, и поэтому наименьшая верхняя граница должна принадлежать к более высокому типу, чем вещественные числа, а значит, сама она вещественным числом не является.

Чтобы избежать подобных осложнений, Рассел и Уайтхед ввели весьма тонкую аксиому сводимости (или аксиому редукции). Аксиома сводимости для высказываний гласит: любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа. Аксиома сводимости для пропозициональных функций утверждает, что любая функция одного переменного или двух переменных эквивалентна некоторой функции типа 1 от того же числа переменных, к какому бы типу ни принадлежали переменные. Аксиома сводимости была необходима Расселу и Уайтхеду и для обоснования используемой в их «Основаниях математики» математической индукции.

Рассмотрев пропозициональные функции, авторы переходят к теории отношений. Отношения представимы с помощью пропозициональных функций двух или большего числа переменных. Так, пропозициональная функция «x любит y» выражает отношение. После теории отношений Рассел и Уайтхед излагают явную теорию классов, или множеств, определяемых с помощью пропозициональных функций. Теперь уже все готово к введению понятия натурального (целого положительного) числа.

Определение натурального числа представляет значительный интерес. Оно зависит от введенного ранее отношения взаимно-однозначного соответствия между классами. Два класса называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Все эквивалентные классы обладают одним общим свойством — числом, отвечающим этим классам (т.е. числом их элементов). Но возможно, что эквивалентные классы обладают и более чем одним общим свойством. Рассел и Уайтхед обошли эту трудность так же, как Фреге, — определив отвечающее классу число как класс всех классов, эквивалентных данному классу. Например, число 3 — это класс всех классов, содержащих по 3 элемента. Все такие классы обозначаются символом {x, у, z}, где x ≠ y ≠ z. Поскольку определение числа предполагает понятие взаимно-однозначного соответствия (обратите внимание на выражение «однозначное»!), может показаться, что здесь мы попадаем в порочный круг. Но отношение между элементами является взаимно-однозначным, если из того, что x и x' находятся в рассматриваемом отношении к y, следует, что, x и x' совпадают, а из того, что x находится в этом отношении и к у, и к у', вытекает, что совпадают y и у'. Следовательно, несмотря на употребленное в названии этого понятия выражение, реально взаимно-однозначное соответствие не определяется без апелляции к числу 1.

Имея натуральные числа, можно построить системы вещественных и комплексных чисел, теорию функций и весь математический анализ. Используя координаты и уравнения кривых, можно через арифметику ввести геометрию. Но для этого Расселу и Уайтхеду понадобились две дополнительные аксиомы. Программа состояла в том, чтобы сначала определить (с помощью пропозициональных функций) натуральные числа, а затем последовательно ввести более сложные рациональные и иррациональные числа. Чтобы включить в эту схему трансфинитные числа, Рассел и Уайтхед ввели аксиому существования бесконечных классов (классов, надлежащим образом определенных с точки зрения логики) и аксиому выбора (гл. IX), необходимую для теории типов.

Такова была грандиозная программа логистической школы. Долго рассказывать о том, что значила эта программа для самой логики, — мы ограничимся здесь лишь беглым перечислением основных пунктов программы. Для математики же (и это необходимо подчеркнуть особо) логистическая программа сводилась к тезису о построении (или возможности построения) всей математической науки на фундаменте логики. Математика становилась не более чем естественным продолжением логических законов и предмета логики.

Логистический подход к математике подвергся резкой критике. Сильные возражения вызвала аксиома сводимости, которая многим математикам казалась совершенно произвольной. Некоторые считали ее счастливой случайностью, а не логической необходимостью. Френк Пламптон Рамсей, сочувственно относившийся к логицизму, так охарактеризовал аксиому сводимости: «Такой аксиоме не место в математике, и все, что не может быть доказано без нее, вообще не должно считаться доказанным». Другие ученые называли аксиому сводимости «жертвоприношением, в котором роль жертвы отведена разуму». Безоговорочно отвергал аксиому сводимости Герман Вейль. Иные критики утверждали, что она снова вводит в обращение непредикативные определения. Наиболее важными были вопросы о том, является ли аксиома сводимости аксиомой логики и, следовательно, подкрепляет ли она тезис о том, что математика выводима из логики.

Пуанкаре заявил в 1909 г., что аксиома сводимости более спорна и менее ясна, чем доказываемый с ее помощью принцип математической индукции. Аксиома сводимости, по его словам, представляет собой замаскированную форму математической индукции. Итак, с одной стороны, математическая индукция — это составная часть математики, а с другой стороны, она оказывается необходимой для обоснования математики. Следовательно, мы не можем доказать непротиворечивость математики.

В первом издании «Оснований математики» (1910) Рассел и Уайтхед обосновывали аксиому сводимости ссылкой на то, что она необходима для доказательства некоторых результатов. Аксиома их явно беспокоила. В защиту ее они приводили следующие доводы:

В последующие годы применение аксиомы сводимости вызывало у Рассела все большую озабоченность. Во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел был вынужден признать:

Во втором издании «Оснований математики» (1926) Рассел сформулировал аксиому сводимости иначе. Но и в новой формулировке она порождала немало трудностей: запрет на бесконечности высоких порядков, вынужденный отказ от теоремы о наименьшей верхней границе, трудности при использовании математической индукции. Во втором издании «Оснований математики» Рассел так же, как и в первом, выразил надежду вывести аксиому сводимости из более наглядных аксиом и снова назвал ее логическим дефектом. По словам авторов «Оснований математики», «эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование. Она приводит к желаемым и ни к каким другим результатам. В то же время ясно, что она не принадлежит к такого рода аксиомам, на которые можно спокойно положиться». Рассел и Уайтхед понимали, что ссылка на правильность выводов, получаемых с помощью аксиомы сводимости, не является убедительным аргументом. Были предприняты различные попытки свести математику к логике без столь спорной аксиомы, но никому в этом отношении не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко, а некоторые попытки подверглись суровой критике, так как они основывались на неверных доказательствах.

Другое направление в критике логистической школы было связано с аксиомой бесконечности. По общему убеждению, структура всей арифметики существенно зависела от этой аксиомы, в то время как не было ни малейших оснований считать ее истинной и, что еще хуже, не было способа, позволившего бы установить, истинна ли она или нет. Оставался открытым и вопрос о том, является ли эта аксиома аксиомой логики.

Справедливости ради заметим, что Рассел и Уайтхед испытывали сомнения относительно того, включать или не включать аксиому бесконечности в число аксиом логики. Их беспокоило, что содержание аксиомы выглядит «фактообразно». Сомнения возникали не только по поводу принадлежности аксиомы к логике, но и относительно ее истинности. Согласно одной из интерпретаций термина «индивидуум», предложенной Расселом и Уайтхедом, под «индивидуумами» понимались мельчайшие частицы, или элементы, составляющие Вселенную. Создавалось впечатление, что, хотя аксиома бесконечности сформулирована на языке логики, она по существу сводится к вопросу о том, конечно или бесконечно число мельчайших частиц во Вселенной, т.е. к вопросу, ответ на который может дать только физика, но никак не математика и не логика. Но если мы хотим рассматривать бесконечные множества или показать, что математические теоремы, при выводе которых была использована аксиома бесконечности, принадлежат к числу теорем логики, то нам, по-видимому, не остается ничего другого, как считать аксиому бесконечности аксиомой логики. Короче говоря, если мы хотим «свести» математику к логике, то логика, очевидно, должна включать в себя аксиому бесконечности.

Рассел и Уайтхед использовали также аксиому выбора (гл. IX), которую они называли мультипликативной аксиомой: если задан класс непересекающихся (взаимно исключающих) классов, ни один из которых не является нулевым (или пустым), то существует класс, содержащий ровно по одному элементу из каждого класса и не содержащий других элементов. Как мы знаем, аксиома выбора породила больше дискуссий и споров, чем любая другая аксиома, за исключением, может быть, аксиомы Евклида о параллельных. Аксиома выбора вызывала сомнения и у Рассела и Уайтхеда, которые так и не смогли убедить самих себя признать ее логической истиной наравне с другими аксиомами логики. Тем не менее если мы хотим свести к логике те разделы классической математики, для построения которых необходима аксиома выбора, то эту аксиому, вероятно, также необходимо счесть составной частью логики.

Использование этих трех аксиом (сводимости, бесконечности и выбора) поставило под сомнение основной тезис логицизма о возможности вывести всю математику из логики. Где провести границу между логикой и математикой? Сторонники логистического тезиса утверждали, что логика, используемая Расселом и Уайтхедом, была «чистой», или «очищенной». Другие, памятуя о трех спорных аксиомах, ставили под сомнение «чистоту» этой логики. Тем самым они отрицали, что вся математика или даже какая-то важная часть ее может быть сведена к логике. Некоторые математики и логики были склонны расширить термин «логика» так, чтобы он охватывал аксиомы сводимости, бесконечности и выбора.

Рассел, отстаивавший логистический тезис, по-прежнему защищал все, что было сделано им и Уайтхедом в первом издании «Оснований математики». В работе «Введение в математическую философию» ([79]*, 1919) он приводил следующие доводы:

Разногласия по поводу теории Кантора и аксиом выбора и бесконечности достигли в начале XX в. столь большой остроты, что Рассел и Уайтхед не стали включать две последние аксиомы в число аксиом своей системы, хотя и использовали их (во втором издании, 1926) при доказательстве некоторых теорем, каждый раз особо оговаривая, что вывод теорем опирается на «посторонние» аксиомы. Но аксиомы выбора и бесконечности оказались необходимыми для вывода значительной части классической математики. Во втором издании своих «Принципов математики» ([81]*, 1937) Расселу пришлось пойти на еще большие уступки. По его собственному признанию, «весь вопрос о том, что считать принципами логики, становится в значительной степени произвольным». Аксиомы бесконечности и выбора «можно доказывать или опровергать, лишь исходя из эмпирических данных». Тем не менее Рассел продолжал настаивать на единстве логики и математики.

Но и подобные признания не смогли заставить критику умолкнуть. В своей книге «Философия математики и естественных наук» ([93]*, 1949) Герман Вейль писал о том, что Рассел и Уайтхед возвели математику на основе

Критика логицизма имела и другой характер. Хотя в трех томах «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда не нашлось места для последовательного построения геометрии, ни у кого не вызывало сомнений, что такое построение вполне осуществимо, если воспользоваться, как об этом уже говорилось, аналитической геометрией. Тем не менее иные критики утверждали, что авторы, сведя к логике систему аксиом целых чисел, тем самым свели к логике арифметику, алгебру и математический анализ, но не свели к логике «неарифметические» разделы математики, например геометрию, топологию и абстрактную алгебру. Такого мнения придерживался, в частности, логик Карл Гемпель, считавший, что хотя в случае арифметики неопределяемым, или первичным, понятиям оказалось возможным придать обычный смысл с помощью «чисто логических понятий», «аналогичная процедура неприменима к тем математическим дисциплинам, которые обязаны своим появлением на свет не арифметике». Коллега Гемпеля Уиллард Ван Орман Куайн, по мнению которого «вся математика сводится к логике», считал, что для геометрии существует «готовый метод, позволяющий свести ее к логике» и что топология и абстрактная алгебра «укладываются в общую структуру логики». Сам Рассел сомневался, что всю геометрию удастся вывести только из логики.

Философы также подвергли логистическое направление серьезной критике, суть которой сводилась к следующему. Если основной тезис логицизма верен, то вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной наукой, теоремы которой следуют из законов мышления. Казалось необъяснимым, каким образом с помощью дедуктивного вывода одни лишь законы мышления могут привести к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы, к различным применениям чисел, геометрии пространства, акустике, электромагнетизму и механике. Именно так и следует понимать критическое замечание Вейля: «Из ничего и следует ничто».

Пуанкаре, со взглядами которого мы познакомимся подробнее в дальнейшем, также критически относился к тому, что считал бесплодными манипуляциями логическими символами. В работе «Наука и метод» (1906), опубликованной в то время, когда Рассел и Гильберт уже успели неоднократно изложить свои программы, Пуанкаре утверждал по поводу логицизма:

В той же книге (с. 397) Пуанкаре говорил:

Другое серьезное критическое замечание по поводу логистической программы состояло в том, что в процессе развития математики новые понятия, как выводимые, так и не выводимые непосредственно из опыта, формируются на основе чувственной или образной интуиции. Впрочем, как же иначе может возникать новое знание? Между тем в «Основаниях математики» все понятия сводятся к логическим. Формализация не дает сколько-нибудь реального представления о математике: это лишь шелуха, а не зерно. Высказывание Рассела: «Математика — такой предмет, в котором мы никогда не знаем ни того, о чем говорим, ни насколько верно то, что мы говорим» — вполне может быть адресовано логицизму.

На вопросы о том, каким образом могут входить в математику новые идеи и как математика может описывать реальный мир, если ее содержание целиком выводимо из логики, ответить нелегко, и Рассел и Уайтхед не дали на них никакого ответа. Один из возможных ответов состоял в том, что логицизм не ставит своей задачей объяснить, почему математика применима к реальному миру. На это можно было бы возразить, что математика применима к наиболее фундаментальным физическим принципам. По отношению к реальности их можно рассматривать как логические посылки. Математические методы позволяют извлекать из этих посылок такие заключения, как, например, pV = const (закон Бойля — Мариотта) или F = ma (второй закон Ньютона). Но эти заключения применимы к реальному миру. Возникает проблема соответствия реального мира «математической вселенной», базирующейся не на эмпирических фактах, а на дедуктивных выводах.^{114} К этому вопросу мы вернемся в дальнейшем (гл. XV).

Рассел продолжал размышлять над логистической программой и после выхода в свет второго издания «Оснований математики». В книге «Мое философское развитие» (1959) он признавал, что эта программа заключалась в постепенном отходе от «евклидианства» в сочетании с намерением по возможности сохранить максимум определенности. Критика логистической философии, несомненно, сказалась на позиции, занятой Расселом в конце 20-х годов XX в. Приступая к работе над «Основаниями математики» в самом начале XX в., Рассел считал аксиомы логики истинами. В издании «Принципов математики» 1937 г. он отказался от таких взглядов. Теперь уже Рассел не был убежден, что принципы логики являются априорными истинами. Следовательно, выводимую из логики математику также нельзя считать априори истинной.

Но если аксиомы логики не принадлежат к числу истин, то логицизм оставляет без ответа фундаментальный вопрос о непротиворечивости математики. Еще в большей степени непротиворечивость ставится под угрозу сомнительной аксиомой сводимости. Использование аксиомы сводимости в первом и во втором изданиях «Оснований математики» Рассел оправдывал неубедительной ссылкой на то, что, во-первых, «из нее следует много высказываний, истинность которых почти не вызывает сомнений», и, во-вторых, «если бы эта аксиома была ложной, не существовало бы столь же правдоподобного объяснения, почему истинны выведенные из нее высказывания и почему из нее не следует ни одного высказывания, которое было бы ложным». Принятая в «Основаниях математики» (и во многих других логических системах) материальная импликация может быть истинной, даже если ее первый член ложен. Следовательно, если бы в число аксиом входило ложное высказывание p и импликация «если p, то q» была бы истинной, то и высказывание q могло бы быть истинным. Поэтому ссылка на то, что из аксиомы сводимости следуют высказывания, истинность которых не вызывает сомнений, не достигает цели, так как в логической системе «Оснований математики» любое «бесспорно истинное» высказывание вполне может следовать из ложной аксиомы.^{115}

Работу Рассела и Уайтхеда критиковали и по многим другим причинам, которые мы не затрагивали. Как обнаружилось в дальнейшем, иерархия типов оказалась разумной и полезной, но, по-видимому, все же не полностью соответствующей своему назначению. Типы были введены как предохранительная мера против антиномий, и они действительно помогли разрешить антиномии теории множеств и логики. Однако не исключено, что возникнут новые антиномии, против которых иерархия типов окажется бессильной.

Тем не менее некоторые выдающиеся логики и математики, например Уиллард Ван Орман Куайн и Алонсо Черч, по-прежнему выступают в защиту логицизма, хотя в его современном состоянии относятся к нему критически. Многие авторы трудятся над восполнением тех или иных изъянов логицизма. Некоторые логики и математики, разделяющие не все тезисы логицизма, настаивают на том, что логика и, следовательно, математика аналитичны, т.е. представляют собой обобщенные варианты того, что утверждается в аксиомах. Итак, у логической программы имеются убежденные сторонники, стремящиеся ликвидировать причины возражений и сделать менее громоздкими некоторые построения. Другие ученые склонны видеть в логицизме несбыточную мечту. Находятся и такие, которые, как мы увидим, выступают с резкой критикой, считая логицизм абсолютно ложной концепцией математики. В целом, если учесть спорные аксиомы и длительное, сложное развитие, нельзя не признать, что у критиков были все основания утверждать, что логицизм выводит заранее известные заключения из необоснованных посылок.

Своим фундаментальным трудом Рассел и Уайтхед способствовали прогрессу еще одного направления математической мысли. Математизация логики началась в конце XIX в. (гл. VIII). Рассел и Уайтхед осуществили всю аксиоматизацию в чисто символическом виде, тем самым значительно продвинув развитие математической логики.

По-видимому, последнее слово о логицизме было сказано Расселом в его книге «Портреты по памяти» (1958):

В книге «Мое философское развитие» (1959) Рассел признавался: «Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно». Трагедия постигла не только Рассела.

Еще в то время, когда логицизм переживал период становления, группа математиков, называвших себя интуиционистами, предложила совершенно иной подход к математике, диаметрально противоположный логицизму. Один из интереснейших парадоксов в истории математики состоял в том, что в то время как логицисты в поисках надежных оснований математики все более полагались на изощренную логику, их основные соперники отворачивались от логики и даже в каком-то отношении отказались от нее (ср., впрочем, ниже). Но цель, которую преследовали логицисты и интуиционисты, была единой. В конце XIX в. математика утратила свои претензии на истинность как выражение законов, присущих структуре реального мира. Логики, главным образом Фреге и Рассел, первоначально считали, что логика является сводом незыблемых истин и поэтому основанная на логике математика также будет собранием истин; однако впоследствии они отошли от исходной позиции к логическим принципам, имевшим лишь прагматическое обоснование. Интуиционисты также пытались обосновать истинность собственно математики, ссылаясь непосредственно на человеческий разум. Выводы из логических принципов интуиционисты считали менее надежными, чем непосредственно интуитивные соображения. Открытие парадоксов не только укрепило недоверие к логическим принципам, но и ускорило процесс формулировки основных представлений интуиционизма.

Интуиционизм в широком смысле слова восходит по крайней мере к Декарту и Паскалю. Так, в «Правилах для руководства ума» Декарта говорится следующее:^{116}

Паскаль также глубоко верил в интуицию и в своих математических работах опирался в основном на интуицию. Он предвидел важные результаты, высказывал великолепные догадки и находил изящные, неожиданные решения. С годами Паскаль стал отдавать интуиции явное предпочтение как источнику истины. Некоторые из его высказываний на эту тему получили широкую известность: «У сердца — свои причины, о которых не знает разум»; «Логика — медленный и мучительный метод, позволяющий тем, кто не знает истины, открывать ее»; «Смири гордыню, бессильный разум».

Многие положения интуиционизма были предвосхищены Иммануилом Кантом. Будучи прежде всего философом, Кант тем не менее в 1755-1770 гг. преподавал математику и физику в Кёнигсбергском университете. Он считал, что свои ощущения мы получаем из предполагаемого внешнего мира, однако эти ощущения (или восприятия) не дают существенного знания. Все восприятия включают в качестве необходимого звена взаимодействие между тем, кто воспринимает, и воспринимаемым объектом. Разум организует восприятия, и эти организации являются интуитивными представлениями о пространстве и времени. Пространство и время не существуют сами по себе, а являются творениями нашего разума. Разум применяет свое понимание пространства и времени к данным опыта, которые лишь пробуждают разум. Знание может начинаться с опыта, но в действительности не опыт является источником знания. Знание берется из разума. Математика дает нам блестящий пример того, как далеко мы можем продвинуться в априорном (истинном) знании независимо от опыта. Математические теоремы Кант относит к разряду так называемых синтетических суждений, т.е. суждений, доставляющих нам новое знание и тем отличающихся от аналитических суждений типа, например, предложения «Все тела протяженны», не содержащих ничего нового, так как в силу самой природы тел протяженность является их неотъемлемым свойством (примером синтетического суждения может служить, скажем, утверждение о том, что отрезок прямой есть кратчайшее расстояние между двумя точками).

Хотя Кант заблуждался, приписывая евклидовой геометрии априорный синтетический характер, аналогичное заблуждение разделяли почти все философы и математики того времени. Эта ошибка дискредитировала философию Канта в глазах философов и математиков последующих поколений. Однако проведенный Кантом анализ времени как одной из форм интуиции и его общий тезис о том, что разум служит источником основных истин, имели непреходящее значение.

Если бы математики были лучше знакомы со взглядами таких мыслителей, как Декарт, Паскаль и Кант, то интуиционистское направление в основаниях математики, считавшееся, по крайней мере в первые годы после его возникновения, весьма радикальным, шокировало бы их гораздо меньше. Но, разумеется, ни Декарт, ни Паскаль, ни Кант не имели в виду интуиционистский подход ко всей математике. Как направление в основаниях математики интуиционизм — порождение нашей эпохи.

Непосредственным предшественником современного интуиционизма был Леопольд Кронекер. Широко известно его высказывание: «Господь бог создал целые числа; все остальное — дело рук человеческих». Сложную логическую концепцию целого числа Кантора и Дедекинда, базирующуюся на теоретико-множественной основе, Кронекер считал менее надежной, чем непосредственное принятие целых чисел. По мнению Кронекера, целые числа интуитивно понятны и не нуждаются в более строгом обосновании.^{117} Все остальные математические понятия следовало строить так, чтобы их смысл был интуитивно понятен. Кронекер выступал за построение системы вещественных чисел на основе целых чисел и методов, позволяющих не только доказывать общие теоремы существования, но и вычислять значения соответствующих чисел. Так, Кронекер считал вполне приемлемыми иррациональные числа, являющиеся корнями многочленов, лишь в том случае, если соответствующие корни могут быть вычислены с любой степенью точности.

Кантор доказал, что существуют трансцендентные иррациональные числа, не являющиеся корнями никаких алгебраических уравнений [с целыми коэффициентами]^{118}, и в 1882 г. Фердинанд Линдеман (1852-1939) доказал, что π — трансцендентное число. По поводу этой работы Кронекер заявил Линдеману: «Что толку от вашей прекрасной работы о числе π? Стоит ли браться за исследование подобных проблем, если подобные иррациональные числа вообще не существуют?» Возражение Кронекера относилось не вообще к иррациональным числам, а к доказательствам, не позволяющим вычислять те числа, о которых идет речь. Предложенное Линдеманом доказательство трансцендентности числа π не было конструктивным. С помощью разложения в ряд значение π можно было вычислить с любой степенью точности — но Кронекер считал неприемлемым само использование такого (бесконечного!) ряда.

Бесконечные множества и трансфинитные числа Кронекер полностью отвергал, так как считал возможным иметь дело только с потенциальной бесконечностью. С точки зрения Кронекера, все, что сделал в этой области Кантор, было не математикой, а мистикой. Классический анализ Кронекер назвал игрой в слова. Он мог бы с успехом добавить, что если у бога есть несколько математик, то ему следовало бы оставить их при себе. Однако Кронекер лишь высказывал подобные взгляды, но не развивал их. Возможно, он и сам относился к своим столь радикальным воззрениям не слишком серьезно.

Борель, Бэр и Лебег, с чьими возражениями против аксиомы выбора мы уже познакомились, были «полуинтуиционистами». Основание всей математики они усматривали в системе вещественных чисел. Подробное изложение их взглядов представляет лишь исторический интерес, так как и эти математики, в полемике которых речь шла о специальных вопросах, последовательной философии не создали. Пуанкаре, как и Кронекер, считал, что не следует давать определения целым числам или выводить их свойства на аксиоматической основе. Наша интуиция предшествует такому выводу. Пуанкаре также считал, что математическая индукция является общим принципом, допускающим получение новых результатов. При всей своей кажущейся интуитивности метод математической индукции к логике, по его мнению, не сводится.

Сущность метода математической индукции, каким его видел Пуанкаре, заслуживает изучения, поскольку она и поныне вызывает споры. Следуя методу математической индукции, тот, кто хочет доказать, например, что при всех целых положительных n имеет место равенство

должен сначала установить, что оно выполняется при n = 1, а затем доказать, что если оно выполняется при каком-то целом n = k, то выполняется и при следующем значении n = k + 1. Следовательно, считал Пуанкаре, метод математической индукции апеллирует к бесконечному множеству аргументов: мы утверждаем, что так как равенство (1) выполняется при n = 1, то оно выполняется и при n = 2, а так как оно выполняется при n = 2, то оно выполняется и при n = 3 и т.д. при всех положительных целых n. Но ни один логический принцип не охватывает бесконечно много аргументов. Следовательно, метод математической индукции не следует из логических принципов. Тем самым, по мнению Пуанкаре, непротиворечивость математики не может быть доказана сведением математики к логике, как предлагали логицисты.

По поводу бесконечных множеств Пуанкаре утверждал: «Актуальной бесконечности не существует. То, что мы называем бесконечностью, представляет собой неограниченную возможность создания новых объектов независимо от того, сколько объектов уже существует».

Пуанкаре резко отрицательно относился к громоздким обозначениям логицистов, и в его «Науке и методе» по поводу логицизма отчетливо звучат саркастические ноты. Так, говоря о подходе к понятию целого числа, избранном Бурали-Форти в работе 1897 г., где число 1 определяется с помощью сложного лабиринта буквенных символов, Пуанкаре замечает:

Затем Пуанкаре обращается к определению нуля, предложенному одним из первых сторонников логицизма Луи Кутюра (1868-1914). Нуль, по Кутюра, — это «число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента» ([1], с. 377). Далее Кутюра «усовершенствует» свое определение, переводя его на язык символических обозначений. Пуанкаре дает обратный перевод: «Нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется. Но так как «никогда» означает «ни в одном случае», то я не вижу значительного успеха в этой замене» ([1], с. 377).

Пуанкаре критикует далее предложенное Кутюра определение числа 1: «Один, утверждает Кутюра, в сущности есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны… Боюсь, что если спросить у Кутюра, что такое «два», то он должен будет в ответ воспользоваться словом «один» ([1], с. 377-378).^{119}

Предшественники интуиционизма Кронекер, Борель, Лебег, Пуанкаре и Бэр — созвездие блистательных имен! — высказывали критические замечания по поводу стандартных математических рассуждений и логического подхода, но их собственный вклад в развитие интуиционизма был фрагментарным и случайным. Их идеи вошли в окончательную версию, разработанную голландским математиком, основоположником философии интуиционизма Лейтценом Эгбертом Яном Брауэром (1881-1966). Изложение философии интуиционизма Брауэр начал в своей докторской диссертации «Об основаниях математики» (1907). Обобщенный вариант своих взглядов Брауэр изложил в серии статей, опубликованных, начиная с 1918 г., в различных журналах.

Интуиционистская позиция Брауэра в математике проистекает из его общефилософских взглядов. Математика, считает Брауэр, — это человеческая деятельность, которая начинается и протекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует. Следовательно, заключает Брауэр, математика не зависит от реального мира. Разум непосредственно постигает основные, ясные и понятные, интуитивные представления. Они являются не чувственными или эмпирическими, а непосредственно данными, достоверными представлениями о некоторых математических понятиях. К таким понятиям относятся целые числа. Фундаментальное интуитивное представление — постижение различных событий в хронологической последовательности. «Математика возникает тогда, когда сущность двойки [числа «два»], возникающая вследствие хода времени, абстрагируется от всего частного. Остающаяся пустая форма общего содержания всех двоек становится исходным интуитивным представлением математики и, повторяемая неограниченно, создает новые математические сущности». Под неограниченным повторением Брауэр понимает образование последовательных натуральных чисел. Идею о том, что понятие целого числа является производным от интуитивного представления о времени, высказывали также И. Кант, Уильям Р. Гамильтон (в статье «Алгебра как наука о времени») и философ Артур Шопенгауэр.

Математическое мышление, по Брауэру, представляет собой процесс мысленного построения, создающего свой собственный мир, не зависящий от опыта и ограниченный лишь тем, что в основе его должна лежать фундаментальная математическая интуиция. Это фундаментальное интуитивное понятие следует представлять себе не как нечто сходное по природе с неопределяемыми понятиями, встречающимися в аксиоматических теориях. Наоборот, через него должны постигаться разумом все неопределяемые идеи, используемые в различных математических системах, если они действительно призваны служить математическому мышлению. Кроме того, математика по своей природе синтетична. Она занимается составлением истин, а не выводит их из логики.

Брауэр был убежден в том, что «в этом конструктивном процессе, ограниченном непременной обязанностью отмечать по мере возникновения новых идей и повышения культуры мышления, какие тезисы приемлемы для интуиции, самоочевидны для разума, а какие неприемлемы, — единственное возможное основание, которое стремится обрести математика». Интуиция (а не опыт или логика) определяет, согласно Брауэру, правильность и приемлемость идей. Следует помнить, подчеркивал он, что это отнюдь не отрицает той исторической роли, которую сыграл опыт.

Помимо натуральных чисел Брауэр считал интуитивно ясными сложение, умножение и математическую индукцию. Кроме того, получив натуральные числа 1, 2, 3, …, разум, используя возможность неограниченного повторения «пустой формы» — шаги от n к n + 1, — создает бесконечные множества. Однако такие множества лишь потенциально бесконечны в том смысле, что к любому заданному конечному множеству чисел всегда можно прибавить еще большее число. Брауэр отвергал актуально бесконечные множества Кантора, все элементы которых были представлены «в готовом виде», и тем самым отрицал теорию трансфинитных чисел, аксиому выбора Цермело и те разделы анализа, которые используют актуально бесконечные множества. В докладе, прочитанном в 1912 г., Брауэр признал ординальные числа вплоть до ω и счетные множества. Он также допускал существование иррациональных чисел, определяемых последовательностями рациональных чисел без какого бы то ни было закона образования последовательности — «последовательностями свободного выбора». Сколь ни расплывчато это определение, оно все же делало возможным появление несчетного множества вещественных чисел. В то же время геометрия включает понятие пространства и поэтому в отличие от понятия числа не полностью контролируется нашим разумом. Синтетическая геометрия относится к физическим наукам.

В связи с интуиционистским понятием бесконечного множества интуиционист Вейль^{120} писал в статье 1946 г.:

Брауэр подверг критическому анализу отношение математики к языку. Математика — полностью автономный, находящий основание в самом себе вид человеческой деятельности. Она не зависит от языка. Слова или словесные связки используются в математике только для передачи истин. Математические идеи уходят своими корнями в человеческий разум глубже, чем в язык. Мир интуитивных математических представлений противостоит миру восприятий. К последнему, а не к математике, принадлежит язык, служащий для повседневного общения. Язык с помощью букв и звуков пробуждает в человеческом разуме копии идей. Различие между идеями и их копиями такое же, как между восхождением на гору и его словесным описанием. Но математические идеи не зависят от словесного одеяния, в которое их облекает язык, и в действительности гораздо богаче. Мысли никогда невозможно выразить полностью даже на математическом языке, в том числе и на языке символов. Кроме того, язык вносит отклонения от предмета собственно математики.

Еще более решительную позицию, резко контрастирующую с логицизмом, интуиционизм занимает в отношении логики. Логика принадлежит языку. Она дает систему правил, позволяющих осуществлять дедуктивный вывод новых словесных связок, предназначаемых, по предположению, для того, чтобы передавать истины. Однако эти истины не относятся к числу постигаемых непосредственно и даже постигаемых вообще. Логика не является надежным инструментом для открытия истин и не может открыть истины, не получаемые каким-то другим путем. Логические принципы — это закономерности, наблюдаемые апостериорно в языке. Их можно назвать удобным инструментом для манипулирования языком или считать, что они образуют теорию представлений языка. Логика — это наделенное внутренней структурой словесное построение, и не более того. Самые значительные успехи в математике достигнуты не за счет усовершенствования логической формы, а в результате изменений основной теории. Логика строится на математике, а не математика на логике. Логика обладает гораздо меньшей определенностью, чем наши интуитивные представления, и поэтому математика не нуждается в поддержке со стороны логики. Если посмотреть исторически, то принципы логики сначала были абстрагированы из опыта, накопленного в обращении с конечными множествами, после чего их объявили обладающими априорной справедливостью и в дополнение ко всему распространили на бесконечные множества.

Не признавая никаких априори обязательных логических принципов, Брауэр тем самым отвергал математическую задачу вывода заключений из аксиом. Следовательно, наряду с логицизмом Брауэр отвергал и аксиоматизацию математики, предпринятую в конце XIX в. Математика отнюдь не обязана почтительно относиться к правилам логики. Знание математики не требует знания формальных доказательств, и поэтому парадоксы несущественны, даже если бы мы приняли те математические понятия и построения, которые приводят к парадоксам. Парадоксы являются дефектом логики, а не собственно математики. Следовательно, непротиворечивость — это своего рода привидение. Она лишена плоти. Непротиворечивость возникает как следствие правильных размышлений, а о правильности размышлений мы судим интуитивно.

Но в логике существуют некоторые ясные, интуитивно приемлемые логические принципы или методы, которые можно использовать для вывода новых теорем из старых. Эти принципы входят составными частями в фундаментальную математическую интуицию. Не все из обычных логических принципов приемлемы для фундаментальной интуиции, и следует критически относиться к тому, что считалось приемлемым со времен Аристотеля. Поскольку математики излишне свободно применяли ограниченные законы Аристотеля, те породили антиномии. Что же допустимого или надежного, спрашивали интуиционисты, в математических построениях, если математики временно предали забвению интуицию и работают лишь со словесной структурой?

Итак, интуиционисты принялись анализировать логические принципы, намереваясь установить, какие из них можно принять, чтобы обычная логика соответствовала и надлежащим образом выражала правильные интуитивные представления. В качестве примера логического принципа, применявшегося излишне свободно, Брауэр привел закон исключенного третьего. Этот принцип, утверждающий, что каждое осмысленное высказывание либо истинно, либо ложно, исторически возник в рассуждениях, проводимых применительно к конечным множествам, и был абстрагирован из них. Затем закон исключенного третьего был принят как независимый и априорный принцип и необоснованно распространен на бесконечные множества. Но если для конечного множества мы можем решить, все ли его элементы обладают некоторым свойством, проверяя один за другим все элементы множества, то для бесконечного множества такая проверка становится невозможной. Может случиться так, что мы заведомо будем знать, что некий элемент бесконечного множества не обладает интересующим нас свойством, или по определению нам будет известно (или мы сумеем это доказать), что каждый элемент множества обладает требуемым свойством. Однако установить с помощью закона исключенного третьего, что каждый элемент множества обладает нужным свойством, нам не удастся никогда, ибо это потребовало бы бесконечного числа проверок.

Так, если доказано, что не все элементы бесконечного множества целых чисел четны, то заключение о существовании (а что означает сам термин «существование») среди них по крайней мере одного нечетного целого числа Брауэр отверг как основанное на применении к бесконечным множествам закона исключенного третьего. Но рассуждения такого типа широко используются в математике для доказательства существования различных сущностей, например для доказательства того, что каждое алгебраическое уравнение имеет корень (гл. IX). Следовательно, многие математические доказательства неприемлемы для интуиционистов. По их утверждениям, такие доказательства слишком неопределенны в отношении тех математических объектов, существование которых они должны доказывать. Закон исключенного третьего может быть использован лишь в тех случаях, когда множество содержит конечное число элементов. Например, если бы мы, рассматривая конечный набор целых чисел, доказали, что они не все четны, то отсюда действительно следовало бы, что по крайней мере одно из чисел нечетно.

Вейль, говоря об интуиционистском взгляде на логику, утверждал:

Несколько позднее Вейль добавил: «Принцип исключенного третьего может быть верным для господа бога, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики».

В работе 1923 г. Брауэр привел примеры теорем, которые нельзя считать доказанными, если отрицать применение закона исключенного третьего к бесконечным множествам.^{121} В частности, не доказана ни теорема Больцано — Вейерштрасса, утверждающая, что каждое ограниченное бесконечное множество имеет предельную точку, ни теорема о существовании максимума непрерывной функции на замкнутом отрезке. Отвергнутой оказалась и лемма Гейне — Бореля, согласно которой из любого множества отрезков, покрывающих отрезок (взятый вместе с его концами) можно выделить конечную подсистему отрезков, также покрывающих этот отрезок. Разумеется, следствия из всех этих теорем интуиционисты также не считают приемлемыми.

Однако интуиционисты не только отказались от неограниченного использования закона исключенного третьего для доказательства существования математических объектов, но и выдвинули еще одно требование. Они сочли неприемлемым задавать множество свойством, присущим всем его элементам (например, множество, задаваемое признаком «красный», присущим всем элементам этого множества). По мнению интуиционистов, математическому рассмотрению подлежат только конструктивные понятия и объекты, только о них имеет смысл утверждать, что они существуют. Иначе говоря, необходимо указывать метод, позволяющий построить объект или объекты за конечное число шагов (или вычислить с любой требуемой степенью точности).^{122} Так, число π, с точки зрения интуиционистов, вполне приемлемо, так как возможно выписать любое число верных знаков его десятичной записи. Если бы нам удалось доказать, что при некотором n > 2 существуют целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению xⁿ + yⁿ = zⁿ (т.е. доказать великую теорему Ферма), но мы не могли бы при этом указать конкретные значения чисел n, x, y и z, то интуиционист не принял бы такого доказательства.^{123} С другой стороны, определение простого числа конструктивно, так как можно указать метод, позволяющий за конечное число шагов установить, является ли то или иное число простым.

Рассмотрим еще один пример. Числами-близнецами называют простые числа вида l − 2 и l, например 5 и 7, 11 и 13. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно количество пар чисел-близнецов. Пусть теперь l — наибольшее простое число, такое, что l − 2 также простое число, если этому нашему определению отвечает какое-то значение l или же l = 1, если l, описываемое первым условием, не существует. Классицист сочтет число l вполне определенным независимо от того, известно или не известно, что последняя пара чисел-близнецов существует, так как по закону исключенного третьего такая пара чисел либо имеется, либо нет, — и, значит, l определено либо первым, либо вторым (l = 1) способом. То, что реально мы не в состоянии вычислить l, для неинтуиционистов несущественно. Интуиционист же будет считать приведенное выше «определение» числа l лишенным смысла до тех пор, пока число l нельзя будет вычислить, т.е. пока не будет решена проблема конечности или бесконечности числа пар чисел-близнецов. Требование конструктивности относится, в частности, и к определению бесконечных множеств. Бесконечные множества, построенные с помощью аксиомы выбора, неприемлемы с точки зрения интуиционистов. Как показывают приведенные выше примеры, некоторые из доказательств существования неконструктивны. Следовательно, их необходимо отвергнуть не только потому, что в них может использоваться закон исключенного третьего, но и по другой причине.

По выражению Германа Вейля, неконструктивные доказательства существования извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом его местонахождение, т.е. не позволяя это сокровище использовать. Такие доказательства не могут заменить построение — подмена конструктивного доказательства неконструктивным влечет утрату смысла и значения самого понятия «доказательство». Вейль указал, что приверженцы философии интуиционизма вынуждены отказаться от наиболее важных теорем существования классического анализа. Канторовскую иерархию трансфинитных чисел Вейль считал очень запутанной. Классический анализ, писал Вейль в книге «Континуум» (1918), — это дом, построенный на песке. Уверенным можно быть только в том, что доказано интуиционистскими методами.

Отрицание закона исключенного третьего приводит к возможности появления новых типов неразрешимых высказываний. В бесконечных множествах, как утверждают интуиционисты, возможна третья ситуация: могут существовать высказывания, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Интуиционисты приводили пример такого высказывания. Пусть, по определению, число k характеризуется условием, согласно которому k-e положение в десятичном разложении числа π занимает первый нуль, такой, что за ним по порядку следуют цифры от 1 до 9. По логике Аристотеля, k либо существует, либо не существует, и математики, следуя Аристотелю, исходили в своих рассуждениях лишь из этих двух возможностей. Брауэр и интуиционисты отвергли все рассуждения подобного типа на том основании, что неизвестно, удастся ли нам вообще когда-либо доказать, существует ли число k или не существует. Иначе говоря, по мнению интуиционистов, существуют вполне осмысленные и важные математические проблемы, которые могут оказаться неразрешимыми, какое бы обоснование мы ни подводили под математику.^{124} Эти вопросы могут казаться нам разрешимыми только потому, что они касаются понятий и проблем, сходных с теми, которые нам уже приходилось решать в прошлом.

С точки зрения интуиционистов неприемлемы классическое и логическое (аксиоматическое) построения системы вещественных чисел, математический анализ, современная теория функций вещественного переменного, интеграл Лебега и многие другие понятия и теории. Брауэр и его сторонники не ограничивались критикой и пытались построить математику на конструктивной основе. Им удалось спасти некоторые разделы перечисленных выше теорий, но конструктивные варианты отличались такой сложностью, что даже разделявший философию интуиционизма Вейль сетовал по поводу невыносимой громоздкости конструктивных доказательств. Среди прочего интуиционистам удалось перестроить на конструктивной основе элементарные разделы алгебры и геометрии.

Тем не менее перестройка происходила чрезвычайно медленно. И в 1927 г. в статье «Обоснования математики» ([50], с. 365-388; ср. также [50], с. 389-399) Гильберт с полным правом заявил: «Какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты, которые были выработаны интуиционистами по сравнению с могущественным размахом современной математики!» ([50], с. 383). Разумеется, в 1927 г. интуиционистам, по их же собственным меркам, не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко в осуществлении своей программы перестройки классической математики. К сожалению, интуиционисты, как и логицисты, не смогли прийти к единому мнению относительно того, на какой основе производить эту перестройку. Одни считали необходимым исключить все общие теоретико-множественные понятия и ограничиться лишь теми понятиями, которые допускают эффективное определение или построение. Менее экстремистскую позицию занимали конструктивисты, не ставившие под сомнение классическую логику, а стремившиеся как можно полнее использовать ее.^{125} Некоторые выделяли определенный класс математических объектов, а затем вводили конструктивные методы. Немало было и тех, кто допускал по крайней мере тот или иной класс вещественных чисел (не охватывавший весь континуум вещественных чисел). Другие допускали лишь целые числа, а из остальных чисел и функций признавали лишь вычислимые. При этом различные группы понимали вычислимость по-разному. Например, число считалось вычислимым, если к нему можно было приближаться со все возрастающей точностью (эффективно определяя точность приближения!), используя допустимые числа из некоторого множества, по аналогии с тем, как к обычным иррациональным числам можно все более точно приближаться с помощью конечных десятичных дробей.

К сожалению, понятие «конструктивность» отнюдь не является ни четким, ни однозначным. Рассмотрим число N, определенное следующим образом:

На время положим p = 3. Тогда N = 1 − 0,001 = 0,999. С другой стороны, если p = 2, то N = 1,01. Пусть теперь p — первый знак в десятичном разложении числа π, следующий после группы цифр 123456789, идущих друг за другом именно в этом порядке; если же такое p вообще не существует, то положим, что N, по определению, равно 1. Если число p существует и четно, то N = 1,000… (на p-м месте после запятой стоит 1). Если число p нечетно, то N = 0,999… (p девяток после запятой). Однако мы не знаем, существует ли определенное выше число p. Если оно не существует, то N = 1. Если же p существует, но не встречается, например, среди первой тысячи знаков десятичного разложения числа π, то мы не можем даже начать выписывать N. Тем не менее N определено, и его даже можно записать с любой степенью точности. Но разве определение N конструктивно?

Разумеется, доказательства существования, использующие аксиому выбора или гипотезу континуума, не конструктивны; они неприемлемы не только для интуиционистов, но и для многих математиков, не разделяющих идей интуиционистов.

Хотя разные группы интуиционистов и конструктивистов в чем-то расходились между собой, им все же удалось перестроить значительную часть классической математики. Некоторые из перестроенных на конструктивной основе теоремы оказались более узкими, чем их неконструктивные прототипы. Когда интуиционистам указывали на это, они отвечали, что классический анализ при всей своей несомненной полезности по математической истинности уступает конструктивному анализу. Резюмируя, можно сказать, что конструктивистам удалось добиться лишь весьма ограниченных успехов и что перспективы распространить конструктивистский подход на всю современную математику нельзя считать обнадеживающими. Имея в виду медленный прогресс конструктивистского направления, математики из школы Бурбаки, о которой у нас пойдет речь в дальнейшем, заметили: «Интуиционистская школа, о которой математики вспоминают как о своего рода историческом курьезе, во всяком случае, оказала услугу математике тем, что заставила своих противников, т.е. подавляющее большинство математиков, яснее осознать причины (одни — логического порядка, другие — психологического) их веры в математику» ([68], с. 53).^{126} Критики интуиционизма вполне могли бы процитировать четверостишие Сэмуэля Хоффенштейна:

Чтобы гарантировать надежность оснований математики, интуиционисты готовы даже пожертвовать какими-то разделами классической математики и не считают слишком высокой ценой отказ от «рая» канторовской теории трансфинитных чисел.

Хотя противники интуиционизма иногда излишне бесцеремонно и догматически требовали отказа от интуиционистской философии, критические замечания в адрес интуиционизма высказывали и сочувствующие ему люди — и к этим замечаниям нельзя не отнестись серьезно. В частности, одно из критических замечаний состояло в том, что теоремы, которые интуиционисты столь лихорадочно стремились перестроить в соответствии со своими принципами, не были подсказаны интуицией и вряд ли подкреплялись ею. Открытию этих теорем в равной мере способствовали все известные математические методы, всевозможные рассуждения, догадки, обобщения частных случаев и внезапные, не поддающиеся рациональному объяснению озарения. Следовательно, на практике интуиционисты не менее других зависят от обычных методов, принятых в математике, и даже от классической логики, хотя и пытаются реконструировать доказательства в соответствии со своими принципами. В ответ на подобное замечание интуиционисты могли бы возразить, что когда новые результаты устанавливаются традиционными методами, сами результаты вполне могут оказаться интуитивно приемлемыми. Не отрицая важности других утверждений интуиционизма, нельзя не отметить, что многие теоремы, даже приемлемые для интуиционистов, содержат столь тонкие и далекие от интуиции утверждения, что трудно представить, как может человеческий разум непосредственно воспринимать их истинность.

Тезис о важной роли обычных приемов математического творчества, а также идеализации и абстракции выдвинули Феликс Клейн и Мориц Паш. Разве интуиция могла бы открыть непрерывную (нигде не дифференцируемую) функцию^{127} или кривую, покрывающую квадрат (кривую Пеано)? Такого рода «патологические» математические объекты, даже если их существование подсказано интуицией, подлежат «очищению», которое производится путем идеализации и абстракции. По выражению Клейна, примитивная интуиция не точна, а утонченная интуиция вообще не является интуицией, а возникает в результате логического вывода из аксиом. В ответ на требование полагаться на надежность логического вывода из аксиом Брауэр возразил, что непротиворечивость системы аксиом доказывается с помощью интерпретаций или моделей (гл. VIII), относительно которых должно быть известно, что они непротиворечивы. Всегда ли мы, справедливо заметил Брауэр, располагаем такими моделями, и не полагаемся ли мы на интуицию, объявляя их непротиворечивыми?

Вейль также оспаривал утверждение о том, что традиционные способы построения новых математических объектов и доказательства якобы обладают большей силой по сравнению с конструктивными. В книге «Разум и природа» (1934) он писал: «Приятно утешать себя надеждой, что сознанию откроются истины более глубокие по своей природе, чем те, которые доступны непосредственно интуиции».

Некоторые из противников интуиционизма, вполне признавая, что математика — это творение человека, тем не менее считали, что правильность или неправильность может быть установлена объективно, тогда как интуиционисты ставили решение этих вопросов в зависимость от человеческого разума, склонного заблуждаться. В этом, как писали Гильберт и Пауль Бернайс (1888-1978) в первом издании своего труда [75] по основаниям математики, мы усматриваем легко уязвимое место интуиционистский философии. На какие понятия и рассуждения мы можем положиться, если правильность понимается как очевидность для человеческого разума? Где же истина, объективно существующая для всех людей?

Другое критическое замечание в адрес интуиционизма состояло в том, что он совсем не касается вопросов о приложимости математики к исследованию природы. Интуиционизм не связывает математику с восприятием. Брауэр признавал, что интуиционистская математика бесполезна для практических приложений. Более того, Брауэр отрицал господство человека над природой. Несмотря на всевозможные критические замечания в адрес интуиционизма, Вейль заявил в 1951 г.: «Думаю, что всякому, кто хотел бы по-прежнему верить в истинность математических утверждений, в истинность, основанную на опыте, придется принять критику, которой подверг основания математики Брауэр».

Доктрины интуиционизма затронули и еще один вопрос, тесно связанный с их основными установками. Как мы уже знаем, интуиционисты утверждали, что здравые и приемлемые идеи могут восприниматься и воспринимаются человеческим разумом. Эти идеи не рождаются в словесной форме. Язык не более чем несовершенное устройство для передачи идей. Вопрос, породивший долгие споры и обсуждения, состоял в следующем: могут ли мысли существовать в бессловесной форме? С одной стороны, в Евангелии от Иоанна говорится: «В начале было Слово». Хотя св. Иоанн, разумеется, не имел в виду математику, процитированное высказывание согласуется с позицией древнегреческих философов и взглядами некоторых современных психологов. С другой стороны, епископ Беркли считал, что слова — это помеха для мышления.

Эйлер затронул эту проблему в «Письмах к немецкой принцессе» (1768-1772; адресатом писем была принцесса Ангальт-Дессау, племянница Фридриха Великого):

В книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» (1945) Жак Адамар занялся изучением вопроса о том, как мыслит математик, и обнаружил, что в процессе творчества почти все математики избегают пользоваться языком. Они мыслят смутными образами, визуальными или тактильными. Именно о таком характере мышления говорится в письме Эйнштейна к Адамару, приведенном в названной книге:

Разумеется, визуализация играет главную роль в творческом акте. Образ бесконечных прямых, делящих евклидову плоскость на две части, берет начало из визуализации. Вопрос сводится к следующему: «верит» ли разум фактам (независимо от того, каким образом они получены) настолько, что, как утверждают интуиционисты, необходимость в точной словесной формулировке и логическом доказательстве отпадает?

В 1930 г. Аренд Гейтинг (р. 1898), наиболее выдающийся представитель интуиционизма после Брауэра, опубликовал работу с изложением формальных правил интуиционистской логики высказываний^{128}; это явилось своего рода символическим выражением намерения наладить отношения с формальными логиками. Логика высказываний охватывала лишь часть классической формальной логики. Например, в логике Гейтинга из истинности высказывания p следует: неверно, что p ложно. Но из утверждения «неверно, что p ложно» еще не следует, что p истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным. Закон исключенного третьего (утверждение «p или не p всегда истинно») в логике Гейтинга не используется. Но если из высказывания p следует высказывание q, то из отрицания q следует, что p ложно. Сами интуиционисты не придали особого значения предпринятой Гейтингом попытке формализации логики. Она не позволяла полностью представить идеи. Кроме того, формализация Гейтинга не была единственной: среди интуиционистов не существовало единого мнения по поводу того, какие логические принципы считать приемлемыми.

Несмотря на ограничения, наложенные интуиционистами на математику, и на критику интуиционистской философии представителями других направлений, в целом интуиционизм пошел математике на пользу. Он выдвинул на первый план вопрос «Что означает в математике существование?», впервые серьезно обсуждавшийся в связи с аксиомой выбора. Перефразируя Вейля, можно сказать; много ли проку от того, что мы знаем о существовании числа, обладающего теми или иными свойствами, если у нас нет возможности реализовать или вычислить его? Неограниченное, наивное использование закона исключенного третьего явно нуждается в пересмотре. Особенно важно, по-видимому, то, что интуиционизм отстаивал непременную вычислимость чисел и функций, существование которых доказано лишь тем, что предположение об их несуществовании приводит к противоречию. Узнать эти числа непосредственно — это то же самое, что жить рядом с другом, но это означает совсем иное, чем просто знать, что где-то в мире у тебя есть друг.

Противоборство логицистов и интуиционистов было лишь первой схваткой в разгоравшейся битве за обоснование математики. В борьбу вступали все новые участники, о которых речь еще впереди.

108. Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983, c. 400.

109. Мы уже указывали на своеобразный характер религиозности Лейбница, для которого бог играл роль гаранта истинности логики, но, «создав однажды» Вселенную, далее никак не вмешивался в ее функционирование. (Разумеется, Лейбниц и не подозревал, что возможных логических систем существует много; осознание этого обстоятельства заставило бы его полностью пересмотреть всю свою религиозно-философскую систему.)

110. Рассчитанное на самого широкого читателя изложение взглядов А. Уайтхеда (а частично и Б. Рассела) на математику можно найти в (к сожалению, сейчас уже труднодоступной) книге [57].

111. Создатель современной алгебраической структуры математической логики Дж. Буль в качестве основных операций над высказываниями использовал конъюнкцию и исключающую дизъюнкцию (которую сегодня чаще называют «симметрической разностью» высказываний p и q).

112. Здесь терминология (и символика) авторов «Оснований математики» несколько расходится с принятой в нашей литературе. Следует различать (бинарное) отношение следования между высказываниями, которое может иметь или не иметь место (в абстрактной форме — подмножество декартова квадрата Ρ×Ρ, где Ρ — множество высказываний; отношение «из p следует q» записывают как p ⊃  q, но иногда и наоборот — как p ⊂ q), и импликацию — (бинарную) операцию алгебры высказываний, сопоставляющую двум высказываниям p и q третье высказывание p ⇒ q, которое, как и любое, высказывание, может быть истинным или ложным; при этом истинность импликации p ⇒ q равносильна тому, что (в обозначениях Рассела — Уайтхеда) p ⊃ q.

113. Под «истинным элементарным высказыванием» здесь понимается то, что у нас часто называют «тождественно истинным высказыванием», т.е. такое высказывание, которое ни в каком случае не может быть ложным.

114. По этому поводу см. статьи выдающихся физиков, лауреатов Нобелевской премии Е.П. Вигнера [96]*, Ч. Янга [60] и В. Гейзенберга [61]; цитируемые в гл. XV высказывания А. Эйнштейна и названные там его статьи, а также [4].

115. Разумеется, из (ложной!) «аксиомы» 2×2 = 100 следует (истинная!) теорема «2×2 — четное число» (как, впрочем, и теорема «2×2 — нечетное число», если только следование предложений понимать в соответствии с определением материальной импликации).

116. По поводу современных взглядов на роль интуиции и дедукции в понимании мира см., например [32], а также [62].

117. Предложенное (почти одновременно и, по видимому, независимо) Р. Дедекиндом и Дж. Пеано аксиоматическое описание целых (или целых положительных — натуральных) чисел хронологически почти совпало со смертью Кронекера (основополагающая работа Пеано вышла в свет в год смерти Кронекера); поэтому он уже не мог высказать свое мнение по поводу этой новой теории.

118. Предшествующее Кантору доказательство существования трансцендентных чисел принадлежит французскому математику Жозефу Лиувиллю (1809-1882), построившему конкретные примеры таких чисел (1851); Кантор же доказал, что в определенном смысле «почти все» вещественные числа являются трансцендентными (причем его доказательство было существенно «неконструктивным», т.е. не позволяло указать ни одного такого числа).

119. По поводу полемики между Пуанкаре и Кутюра см. [63].

120. Интуиционистскую платформу Вейля достаточно выразительно характеризует сборник его более ранних статей [64].

121. Нам нет необходимости вдаваться в технические детали этих теорем. Мы упоминаем их лишь для того, чтобы привести конкретные примеры. [Отметим также, что отказ интуиционистов от закона исключенного третьего не означал еще полного отказа от какого бы то ни было логического аппарата — речь шла лишь о пересмотре фундаментальных законов логики, из числа которых отбрасывался закон исключенного третьего (ср. ниже). — Прим. ред.]

122. Несколько иначе подходил к понятию «существования» математического объекта Пуанкаре. Для него, как для формалистов (гл. XI), понятие было приемлемым, если оно не приводило к противоречиям.

123. В настоящей, не рассчитанной на математиков, книге автор иногда позволяет себе пренебречь точностью ради большей выразительности. В частности, приведенный в книге пример «истинные интуиционисты», пожалуй, и не приняли бы [менее яркий, но более корректный пример: задача об отыскании максимума функции переменных]. Дело в том, что множество всевозможных четверок (x, y, z, n) целых (или натуральных) чисел счетно, т.е. его можно упорядочить наподобие ряда натуральных чисел (где n > 2). Поэтому доказательство существования решения уравнения Ферма одновременно устанавливает, что решение может быть найдено в процессе, конечного (хоть и неопределенно длинного — это неважно!) перебора четверок (x, y, z, n) и проверки выполнимости равенства xⁿ + yⁿ = zⁿ для каждой из них, а такой конечный перебор, разумеется, является вполне эффективной процедурой.

124. Ср. с обсуждением в гл. XII современного положения с канторовской проблемой континуума.

125. Дальнейшее развитие идей интуиционизма привело к созданию так называемого конструкционизма (или даже нескольких различных конструктивистских школ), признававшего только те математические объекты, которые допускают прямое построение; в частности, большое развитие получала ленинградская (а позднее московская) конструктивистская группа, возглавляемая А.А. Марковым-мл. (1903-1980); по этому поводу см. [65] и [66], а также примечания А.А. Маркова к русскому переводу книги [67].

126. Критику интуиционизма главой советской конструктивистской школы математиков А.А. Марковым см. на с. 5 книги [67].

127. Не останавливаясь подробно, упомянем лишь о методологических установках яркой и пользующейся известностью книги Б. Мандельброта [69], которые кратко (и не совсем точно) можно охарактеризовать как утверждение о том, что в реальном мире мы чаще всего встречаемся именно с нигде не дифференцируемыми («изломанными») функциями, а «гладкие» функции представляют собой не более чем идеализированное описание негладких.

128. В разработке интуиционистской логики приняли участие также московские математики В.И. Главенко (1897-1940; работы 1928-1929) и особенно А.Н. Колмогоров (р. 1903; работы 1925, 1932). Ср. также [71].