V. Главенствующая роль математики в физической науке

Развивая шаг за шагом нашу главную тему — о роли математики в познании реального мира, мы узнали о том, что гелиоцентрическая система мира получила признание по математическим соображениям. Не имей эта теория математических преимуществ перед геоцентрической системой Птолемея, она вряд ли бы выжила, особенно если учесть противодействие со стороны церкви. Но гелиоцентрическая теория восторжествовала, как и многие другие теории (о них пойдет речь в дальнейшем), которые либо противоречили нашему чувственному опыту, либо вынуждали нас признавать физические реалии, не воспринимаемые нашими органами чувств. На наш взгляд, важную роль в этом сыграла математика, которая начиная с XVII в. заняла ведущее место в физической науке и, согласно распространенным в ту эпоху убеждениям, почиталась за истину. Но чтобы лучше понять, как математика стала воплощением истины и наиболее эффективным инструментом исследования реального мира, нам придется несколько уклониться от главной цели книги — попытки объяснить, каким образом математика позволяет нам получить знание о реальном мире.

Исаак Ньютон сказал однажды, что он стоял на плечах гигантов. Крупнейшими из них были Рене Декарт и Галилео Галилей. Современная математика обязана своими выдающимися достижениями не только возросшему вниманию к ней как к науке, но и новой методологии, начало которой было положено в трудах этих двух величайших мыслителей XVII в. Попытаемся оценить хотя бы в общих чертах вклад каждого из них.

До XVII в. система научной мысли и самый характер научной деятельности находились под сильным влиянием Аристотеля. Основной особенностью его подхода к природе был поиск материальных или качественных объяснений. Последователи Аристотеля пытались объяснить земные явления, пользуясь теми качествами, которые они считали первичными, например такими понятиями, как горячее и холодное, влажное и сухое. Предполагалось, что в соответствующей комбинации такие качества порождают четыре элемента: землю, воздух, огонь и воду. Так, горячее и сухое в сочетании порождают огонь, горячее и влажное — воздух и т.д. Каждому из четырех элементов присущ особый, свойственный только ему вид движения. Огонь как самый легкий из элементов стремится подняться к небу, земная субстанция тяготеет к центру Земли. Аристотель рассматривал также и вынужденное движение, которое возникает, когда одно тело соударяется с другим и толкает его.

Твердые тела, жидкости и газы Аристотель рассматривал как три различные субстанции, наделенные различными фундаментальными качествами, а не как различные состояния одной и той же субстанции. Переход из жидкости в газ греки толковали как утрату одного качества и приобретение другого. Различие между объектами объяснялось отличием их основных качеств. Так, древние греки полагали, что для превращения ртути в золото необходимо лишить ее качества текучести, заменив его качеством твердости. Представление о неких фундаментальных качествах сохранялось и на первых этапах развития современной химии. Считалось, например, что сера содержит субстанцию горючести, которая получила особое название — флогистон, соль — субстанцию растворимости, а металлы — основную субстанцию ртути. Тепло вплоть до XIX в. считалось проявлением особой калорической субстанции: при нагревании количество этой субстанции в теле увеличивается, при охлаждении — уменьшается.

Аристотелианцы стремились классифицировать объекты по качествам или по содержащимся в них основным субстанциям. Более того, именно в классификации — этот метод и поныне доминирует в биологии — они видели свою основную задачу. Пытаясь объяснить, каким образом одно событие вызывает другое, Аристотель построил сложную схему причинно-следственных связей, в которой все сущее проистекает из четырех основных начал, или причин: формы (сущности), материи (или субстрата), источника движения (или «говорящего» начала) и цели («того, ради чего»). Чтобы разобраться в этих началах, проследим за тем, как скульптор ваяет статую. Материя в данном случае — это мрамор и инструменты скульптора, форма — образ статуи, существующий в воображении скульптора, источник движения — сам процесс создания статуи, а цель — намерение украсить статуей какое-то помещение. Наиболее важной в этом процессе была цель, или телеологическая причина, так как именно она придавала смысл всей деятельности. Какое место занимала в этой схеме математика? Поскольку математика для греков сводилась в основном к геометрии, а геометрия занималась главным образом изучением фигур, математика находила применение только при описании формы, т.е. ее роль здесь была весьма ограниченной.

В силу ряда обстоятельств аристотелевский подход к изучению природы сохранял господствующее положение и в средние века, и в эпоху Возрождения. Сочинения Аристотеля были поистине всеобъемлющими и получили более широкое распространение, чем работы других греческих авторов. Более того, учение Аристотеля о конечной цели вошло в догматы католической теологии. Конечной целью человеческой жизни на Земле провозглашалась подготовка к грядущей жизни в царстве небесном, а во всех земных явлениях церковь усматривала промысел божий.

В наши намерения, разумеется, не входит подробный рассказ об эпохе Возрождения; скажем только, что к началу XVII в. европейские ученые, несомненно, осознали важную роль математики в изучении природы. Убедительное подтверждение тому — готовность Коперника и Кеплера опрокинуть традиционную астрономию, механику и религиозные догмы во имя теории, которая по представлениям того времени обладала всего лишь одним преимуществом — математической четкостью и простотой.

Почему начиная с XVII в. наука оказалась столь результативной? Может быть, главные ее творцы — Декарт, Галилей, Ньютон, Гюйгенс и Лейбниц — были мыслителями более высокого ранга, чем их далекие предшественники? Вряд ли. Может быть, причину следует искать в более широком использовании наблюдения, эксперимента и индукции — методов, на необходимость которых указывали Роджер Бэкон и Фрэнсис Бэкон? Явно нет. Поворот к наблюдению и экспериментированию мог казаться новшеством в эпоху Возрождения, но как метод экспериментально-наблюдательный подход был известен еще древним грекам. Само по себе применение математики в физических исследованиях также не объясняет поразительных свершений современной науки: хотя ученый XVII в. и видел цель своей деятельности в выявлении математических соотношений, скрытых в многообразии явлений, поиск этих соотношений в природе не был для физики чем-то новым.

Замечательные успехи современной науки и мощный импульс к развитию новой математики, полученный от науки XVII-XIX вв., проистекли не от неукоснительного следования по стопам прошлого. В XVII в. Декарт и Галилей как бы реформировали саму природу научной деятельности. Они критически пересмотрели понятия, которыми должна оперировать наука, по-новому определили цели и задачи научной деятельности и даже изменили саму методологию науки. Новые цели и новая методология не только придали естествознанию небывалую силу, но и провозгласили нерасторжимый союз с математикой. Декарт и Галилей практически свели теоретическую физику к математике. Чтобы понять, чем вдохновлялось развитие математики начиная с XVII в., нам следует познакомиться с некоторыми идеями Декарта.

Еще в школьные годы, проведенные в школе Ла Флеш, Декарт немало размышлял о том, как человечеству удалось познать столь много истин. Декарт жил в эпоху, когда представления о мироздании, господствовавшие в Европе на протяжении тысячелетия, стали обнаруживать свою несостоятельность; обладая острым, критическим умом, он не мог довольствоваться догматическими принципами, которые столь яростно отстаивали его учителя и церковные авторитеты. Декарт еще более укрепился в своих сомнениях, когда понял, что является учеником, причем далеко не худшим, одной из наиболее известных школ Европы. К концу учебы Декарт пришел к выводу, что вообще не существует области знания, которую нельзя было бы подвергнуть сомнению.

Но все же Декарт ценил школьные занятия, признавая, например, что «красноречие обладает несравненной силой и красотой, поэзия имеет пленительные тонкости и сладости» ([15], с. 12), хотя полагал, что то и другое является скорее природным дарованием, нежели плодом учения. Почитая богословие, ибо оно учит, как достичь небес (а Декарт не менее чем кто-либо другой надеялся обрести путь к небу), он вместе с тем узнал «как вещь вполне достоверную, что путь этот открыт одинаково как для несведующих, так и для ученнейших, и что полученные путем откровения истины, которые к нему ведут, выше нашего разумения» [15] с. 14). Не осмеливаясь подвергать эти истины своему слабому суждению, он вместе с тем полагал, что для успешного их исследования необходимо заручиться помощью свыше и быть более чем человеком. Философия, по признанию Декарта, позволяет рассуждать о видимости истины любых материй и даже снискать восхищение людей более простодушных. Но, хотя она и разрабатывается в течение многих веков превосходнейшими умами, «в ней доныне нет положения, которое не служило бы предметом споров и, следовательно, не было бы сомнительным» ([15], с. 15). Подвергнув критике другие занятия, в том числе касающиеся юриспруденции, медицины и морали, Декарт пришел к выводу, что только математика обеспечивает надежный путь к истине.

Убежденный в том, что именно математика составляет сущность всей науки, Декарт заявляет, что «не приемлет и не надеется найти в физике каких-либо принципов, отличных от тех, которые существуют в Геометрии или абстрактной Математике, потому что они позволяют объяснить все явления природы и привести доказательства, не оставляющие сомнений» ([13], с. 56). Объективный мир, по Декарту, — это застывшее пространство, воплощенное в геометрии, и поэтому свойства его должны быть выводимы из первых принципов геометрии.

Декарт пытался объяснить, почему реальный мир вообще подвластен математическому описанию. По его мнению, наиболее глубокими и надежными свойствами материи являются форма, протяженность в пространстве и движение в пространстве и времени. Так как форма сводится к протяженности, Декарт относил к числу основных, или фундаментальных, реальностей только протяженность и движение. Свою мысль он выразил в максиме: «Дайте мне протяженность и движение, и я построю Вселенную».

Применять математический метод для установления истины, по мнению Декарта, надлежит потому, что подобный подход не скован рамками предмета исследования: «Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального» ([13], с. 212). В том же духе выдержан и следующий отрывок из декартовых «Правил для руководства ума» (правило IV):

Вывод, к которому приходит Декарт, состоит в следующем:

Исследуя математический метод, Декарт в своем «Рассуждении о методе» выделяет следующие четыре правила, которые гарантируют возможность получения точного знания.

Способность разума к непосредственному постижению основных ясных и четких истин, его острая интуиция и дедукция следствий — в этом суть философии знания Декарта. Возникает вопрос: как отличить интуитивно постижимые истины от истин, интуитивно непостижимых? Ключ к ответу следует искать в словах «ясных и четких». В третьем из «Правил для руководства ума» Декарт дает следующий ответ на свой вопрос:

По Декарту существуют только два акта мышления, позволяющие нам достигать знания без опасения впасть в ошибку: интуиция и дедукция. Оба акта он определяет в приводимом ниже отрывке — еще одном примере того, сколь действительно неоценимы «Правила» для ясного понимания метода Декарта:

Свой вывод о том, что именно математический метод открывает перед человеком путь к постижению законов природы, Декарт обосновал в «Рассуждении о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637). Поскольку Бог не стал бы обманывать нас и вводить в заблуждение, считает Декарт, мы можем быть уверены, что истины, ясно и четко познаваемые нашим рассудком, и дедуктивные умозаключения, выводимые из этих истин путем чисто логических построений, действительно применимы к реальному миру.

У Декарта не было ни малейших сомнений в том, что математический метод вполне достаточен для исследования реального мира! В «Принципах философии» мы читаем:

Восхваляя на все лады математический метод и полагая возможным свести всю науку к математике, Декарт, однако, удивительно мало использовал математику в своих работах. Если не считать отдельных результатов, о которых он упоминал в переписке со своими корреспондентами, Декарт написал только одно небольшое сочинение по математике — знаменитую «Геометрию», в которой независимо от Ферма заложил основы аналитической геометрии. «Геометрия» вышла как одно из трех приложений к фундаментальному философскому трактату Декарта «Рассуждение о методе». В письме к теологу отцу Марену Мерсенну от 27 июля 1638 г. Декарт писал:

Близкие по духу соображения Декарт высказывают и в «Рассуждении о методе»:

Об интересе Декарта к прикладным проблемам свидетельствует одно из трех приложений к его «Рассуждению о методе» — «Диоптрика». Там он высказывал соображения по поводу усовершенствования телескопа и микроскопа. Декарт занимался также биологией и, хотя в своих трудах он всячески превозносил способность разума интуитивно постигать истину, ставил некоторые эксперименты.

Окружающий нас мир Декарт представлял состоящим только из движущейся материи. Как же он объяснял различные ощущения: вкус, запах, цвет, гармонию или диссонансы слышимых нами звуков? В этих вопросах Декарт придерживался взглядов древних греков, а именно существовавшего в античную эпоху учения о первичных и вторичных свойствах. Как утверждал Демокрит, «сладкое и горькое, холодное и теплое, равно как и все цвета, все это существует только во мнении, но не в реальности; реальны же только неизменяемые частицы, атомы и их движение в пустом пространстве». Первичные качества — материя и движение — существуют в реальном мире, вторичные качества — вкус, запах, цвет, теплота, прятность или резкость звука — не более чем эффекты, вызываемые первичными качествами в органах чувств людей при соударении внешних атомов с этими органами.

Различие между первичными и вторичными качествами Декарт иллюстрирует на примере кусочка пчелиного воска. Такой кусочек сладок на вкус, обладает запахом, цветом, формой, размером; он тверд и холоден. Если по нему ударить, то раздается звук. Предположим теперь, что мы положили его возле огня: он утратит свой вкус и запах, изменит цвет и форму, размеры его увеличатся и он станет жидким и горячим. Если по нему ударить, то никакого звука он более не издает. Иначе говоря, все свойства кусочка воска изменятся, и тем не менее перед нами все тот же пчелиный воск. Что же позволяет рассматривать его как один и тот же объект? Разум, выходя за пределы чувственного опыта, признает протяженность и движение воска за основные качества.

Таким образом, согласно Декарту, имеются как бы два мира: огромная математическая машина, существующая в пространстве, и мир мыслящих умов. Воздействие элементов первого мира на второй порождает нематериальные, или вторичные, свойства. Реальный мир — это совокупность поддающихся математическому описанию движений тел в пространстве и времени, и вся Вселенная есть не что иное, как огромная, гармоничная машина, построенная на основе математических принципов.

Даже причину и следствие Декарт объяснял исключительно с точки зрения математики. Причинно-следственная связь для Декарта — не более чем теорема, выводимая из ранее доказанных теорем и аксиом. Новая теорема (следствие) выводится из старой (причины) по схеме, предустановленной аксиомами. Causa sive ratio (причина есть не что иное, как разум). Согласно нашим ощущениям, причина должна по времени предшествовать следствию, и нам кажется, будто причина каким-то образом влечет за собой следствие. Но такое временное упорядочение причины и следствия — не более чем видимость, оно лишь кажется нам, равно как и то, что следствие физически необходимо: и то и другое обусловлено ограниченностью наших чувственных восприятий.

Встав на подобную точку зрения, Декарт был вынужден заняться поиском простых, ясных и отчетливых истин, которые играли бы в его философии такую же роль, какая отводится в математике аксиомам. Результаты его поиска широко известны. Из единственно надежного источника, устоявшего перед сокрушительным натиском скептицизма, — сознания собственного «я» — Декарт извлек суждения, ставшие краеугольными камнями его философии: (а) я мыслю, следовательно, существую; (б) каждое явление должно иметь свою причину; (в) следствие не может предвосхищать причину и (г) идеи совершенства, пространства, времени и движения изначально (врожденно) присущи разуму.

Поскольку люди столь многое подвергают сомнению и так мало знают, они — существа несовершенные. Но из аксиомы (г) следует, что человеческий разум обладает идеей совершенства, в частности идеей всесведущего, всемогущего, вечного и совершенного существа. Откуда берутся такие идеи? Согласно аксиоме (в), идея совершенного существа не может быть выведена логическим путем или измышлена несовершенным человеческим разумом. Источником ее может быть только само существование такого совершенного существа, которое есть Бог. Следовательно, Бог существует.

Совершенный Бог не стал бы вводить нас в заблуждение, поэтому наша интуиция заслуживает доверия: она может служить источником истин. Например, аксиомы математики как суждения, наиболее ясные для нашего разума, должны быть истинами. Теоремы также должны быть истинами, но по другой причине: Бог в силу своего совершенства не допустил бы, что при доказательстве теорем мы впадали в ошибку.

Знание природы, убежден Декарт, надлежит использовать на благо человечеству. Тем, кто утверждает, что математика открывает простор для развития способностей к неординарному мышлению и приносит удовлетворение изобретательностью, проявленной при решении трудных вопросов, Декарт возражал, ссылаясь на новый алгебраический метод (так Декарт называл аналитическую геометрию, созданную независимо им и Пьером Ферма), позволяющий низводить математику до чисто механического искусства, овладеть которым под силу каждому желающему.

Хотя философские и естественнонаучные взгляды Декарта подрывали традиции Аристотеля и схоластику, сам Декарт оставался схоластом в том смысле, что суждения о природе бытия и реальности он черпал исключительно из разума. Декарт верил в существование априорных истин и в то, что человеческий разум способен сам по себе достичь полного без изъянов знания всего сущего. Например, на основании лишь априорных суждений Декарт сформулировал законы движения. И все же именно Декарт стал провозвестником общей и последовательной системы философских взглядов, развеявшей безраздельное господство схоластики и открывшей новые пути перед человеческой мыслью. Сводя явления природы к чисто физическим процессам, Декарт способствовал избавлению от мистицизма и веры в потусторонние силы. Развивая смелые, поистине новаторские идеи и методы приобретении почти всех научных проблем своего времени, Декарт стимулировал создание новых научных теорий. Сочинения Декарта пользовались необычайной популярностью во второй половине XVII в. Под влиянием дедуктивной последовательной философии Декарта многие его современники и в первую очередь Ньютон осознали важность движения как физического явления. Изящно переплетенные томики философских сочинений Декарта украшали туалетные столики знатных дам.

Всесилие человеческого разума, неизменность законов природы, учение о протяженности и движении как сущностях физических объектов, различие между телом и духом, между качествами, реально присущими объектам, и качествами, лишь кажущимися, а в действительности рожденными реакцией разума на чувственные данные, — все эти идеи, подробно развитые в сочинениях Декарта, оказали влияние на формирование современного мышления.

Мы не ставим себе целью во всех деталях прослеживать эволюцию философских взглядов Декарта, хотя сами по себе они, несомненно, заслуживают этого. Для нас важно лишь подчеркнуть, что математические истины и математический метод послужили великому мыслителю путеводной нитью, позволив проложить свой путь через интеллектуальные бури и штормы XVII в. Философию Декарта с полным основанием можно назвать математической. В ней несравненно меньше мистики, метафизики, теологии и больше рационального, чем в философии предшественников Декарта, как средневековых, так и эпохи Возрождения. Тщательно анализируя смысл и логику каждого шага своих математических построений, Декарт научил нас полагаться на собственные силы в поисках истины, а не трепетать по-ученически перед суждениями античных мудрецов и прочих авторитетов. Декарт положил начало бесповоротному расколу между философией и теологией.

Галилей, которого мы уже упоминали как одного из самых выдающихся приверженцев гелиоцентрической теории, также предложил свою философию естествознания. Она имела немало общего с философией Декарта, но оказалась более радикальным и эффективным руководством к действию. Выдвинутый Галилеем грандиозный план прочтения «книги природы» провозгласил совершенно новую концепцию целей научного исследования и определил роль математики в достижении этих целей. Именно с предложенного Галилеем плана исследования и постижения природы берет начало современная математическая физика.

Что привело Галилея к поистине революционному пересмотру методологии науки, остается неясным. Галилей знал, что Птолемей называл свою геоцентрическую теорию всего лишь удобной математической схемой. Он был осведомлен и о том, что Коперник, отстаивая созданную им гелиоцентрическую теорию, ссылался прежде всего на ее математическую простоту. (Аналогичные доводы приводил и Кеплер, но Галилей не знал о его работах.) Галилей разделял мнение Коперника и Птолемея о том, что природа сотворена по математическому плану. В небольшом, ныне довольно известном сочинении «Пробирных дел мастер» (1623) Галилей писал:

Природа проста и в высшей степени упорядочена, все ее явления регулярны и необходимы. Она действует в полном соответствии с совершенными и незыблемыми математическими законами. Божественный разум — источник рационального в природе. При сотворении мира Бог вложил в него строгую математическую необходимость, которую представители человеческого рода, хотя их разум создан по образу и подобию божьему, постигают лишь ценой значительных усилий. Математическое знание не только абсолютно истинно, но и священно, как священна любая строка Библии. Более того, математическое знание превосходит Священное писание, ибо по поводу последнего существует много разногласий и споров, тогда как математические истины бесспорны. Исследование природы — занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии: «То, как Господь Бог предстает перед нами в явлениях природы, достойно восхищения ничуть не в меньшей степени, чем его дух в священных строках Библии».

Хотя Декарт предпринял первые шаги к изучению законов движения, он не пытался всерьез заняться проблемами, возникшими в связи с утверждением гелиоцентрической теории. Согласно этой теории, Земля, вращаясь вокруг своей оси, одновременно обращается вокруг Солнца. Почему тела не срываются с движущейся Земли? Почему брошенные тела должны падать на Землю, если она не является центром Вселенной? Более того, все тела, в частности свободно брошенное тело, движутся так, будто Земля покоится. Чтобы объяснить все эти земные явления, требовались какие-то новые принципы движения.

Дерзкий новаторский подход Галилея, развитый его последователями, состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Поясним на примере. Представим себе простую ситуацию: мяч, выпущенный из руки, падает на землю. Почему он падает? В объяснение этого можно приводить бесчисленное множества гипотез. Галилей рекомендует поступить иначе. По мере того как время, отсчитываемое от начала падения, увеличивается, растет и расстояние, пройденное мячом от начальной точки. На математическом языке и расстояние, проходимое мячом при свободном падении, и время, отсчитываемое от начала падения, называются переменными, ибо в процессе падения и то и другое изменяется. Галилей попытался найти математическое соотношение между этими переменными. Полученный им результат нетрудно записать с помощью принятой в современной науке «стенографии» — в виде формулы. Формула, о которой идет речь, имеет вид s = gt²/2 = 4,9t² (где g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли). Она означает, что расстояние (в метрах), проходимое падающим мячом за t секунд, в 4,9 раза больше квадрата числа секунд. Например, за 3 с мяч пройдет при свободном падении 4,9×3² = 44,1 м, за 4 с: 4,9×4² = 78,4 м и т.д.

Отметим, что формула компактна, точна и отличается количественной полнотой. При любом значении одной переменной (в нашем примере — времени) формула позволяет точно вычислить соответствующее значение другой переменной (расстояния). Эти вычисления могут быть выполнены при любом (в действительности неограниченном) числе значений временной переменной, поэтому простая формула s = 4,9t² в действительности содержит в себе бесконечно много информации.

Следует подчеркнуть, однако, одно важное обстоятельство: эта математическая формула описывает то, что происходит, не объясняя причинной связи, т.е. ничего не говорит о том, почему мяч падает. Она лишь дает нам количественную информацию о том, как происходит падение мяча. Обычно ученый пытается установить математическую зависимость (выражаемую формулой) между переменными, которые, как он надеется, имеют причинно-следственную связь. Но для успешного решения этой задачи — установления математической зависимости между переменными — ученому вовсе не обязательно исследовать или понимать причинную зависимость. И это отчетливо понимал Галилей, отстаивая приоритет математического описания перед менее успешным качественным исследованием и поиском причинных связей в природе.

Галилей решительно отдавал предпочтение поиску математических формул, описывающих явления природы. Сама по себе эта идея, как и большинство идей, рожденных гениями, поначалу не производит особого впечатления. Много ли проку в «голых» математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке, не допускающем недомолвок и иносказаний. Тем не менее именно формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе. Как мы увидим в дальнейшем, поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механическим объяснениям причин наблюдаемых явлений.

В «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей вкладывает в уста одного из участников диалога (Сальвиати) такие слова:

Итак, положительное физическое знание следует отделять от вопросов о причинной зависимости, а всякого рода предположения о физических причинах оставить в стороне. Галилей настоятельно советовал естествоиспытателям: не рассуждайте о том, почему происходит какое-то явление — описывайте его количественно.

Первая реакция на эту основополагающую идею Галилея, судя по всему, была отрицательной. В описаниях явлений с помощью формул большинство ученых видели лишь первый шаг. Истинную же задачу науки, по их убеждению, точно сформулировали последователи Аристотеля: пытаться найти физические объяснения наблюдаемых явлений. Даже у Декарта решение Галилея заняться поиском описательных формул вызвало протест: «Все, что Галилей говорит о телах, свободно падающих в пустоте, лишено всякого основания; ему следовало бы сначала определить природу тяготения». По мнению Декарта, Галилею следовало бы поразмыслить о первопричинах наблюдаемых явлений. Ныне, в свете последующего развития науки, мы понимаем, что стремление Галилея сосредоточить все усилия на количественном описании явлений было весьма глубокой и плодотворной идеей научной методологии. Смысл ее, по-настоящему уясненный лишь позднее, состоял в том, чтобы науку о природе как можно теснее связать с математикой.

Поиск формул, описывающих явления, в свою очередь вызывает вопрос: какие величины должны быть связаны формулами? Формула устанавливает взаимосвязь между численными значениями переменных физических величин. Значит, эти величины должны быть измеримыми. Еще один принцип, которому столь же неукоснительно следовал Галилей, заключался в том, чтобы измерять измеримое и делать измеримым то, что не поддается непосредственному измерению. Перед Галилеем встала проблема: как распознать те аспекты явлений природы, которые наиболее важны и могут быть измерены?

Декарт, как мы уже говорили, рассматривал материю, движущуюся в пространстве и времени, как наиболее фундаментальное явление природы. Следуя ему, Галилей попытался выделить те характеристики движущейся материи, которые можно измерить, а затем установить между ними зависимости, выражаемые математическими законами. Анализируя явления природы, Галилей пришел к необходимости сосредоточить внимание на таких понятиях, как пространство, время, тяготение, скорость, ускорение, инерция, сила и импульс. В выборе этих понятий еще раз проявился гений Галилея, ибо важность их отнюдь не была очевидной, а соответствующие физические величины не всегда доступны прямому измерению. Такие свойства материи, например инерция, были настолько «скрытыми», что возникали даже сомнения в том, обладает ли ими материя. В существовании других можно было удостовериться только косвенно, на основании наблюдений. Другие понятия, например импульс, предстояло еще придумать. Но как бы то ни-было, введенные Галилеем понятия сыграли важную роль в раскрытии многих тайн природы.

Еще один аспект подхода Галилея к естествознанию оказался впоследствии не менее важным: исследуя природу, естествоиспытатель должен следовать какой-то математической модели. Галилей и его ближайшие последователи не сомневались, что им удастся найти законы природы, истинность которых будет казаться столь же неоспоримой, как аксиома Евклида о том, что «от всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую линию» ([17], с. 14). Открытию таких аксиом физики должно было способствовать созерцание, экспериментирование, наблюдение, но коль скоро эти аксиомы познаны, истинность их должна быть интуитивно очевидной. Из таких интуитивно постигаемых аксиом Галилей, следуя в этом Декарту, надеялся логическим путем вывести ряд других истин, подобно тому как Евклид выводил теоремы из своих аксиом.

Однако в том, что касается метода выявления первых принципов, Галилей радикально расходился с древними греками, средневековыми мыслителями и даже с Декартом. До Галилея было принято считать (и это мнение разделял Декарт), что наиболее фундаментальным принципам мы обязаны нашему разуму. Задумавшись над тем или иным классом явлений, человеческий разум непосредственно постигает фундаментальные истины, о чем со всей очевидностью свидетельствует математика. Такие аксиомы, как «если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны» ([17], с. 15) или «от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию» ([17], с. 14), мысль рождает сама по себе, достаточно лишь задуматься о числах или геометрических фигурах и истинность такого рода аксиом неоспорима. Греческие мыслители придерживались и некоторых физических принципов. Например, неоспоримым фактом считалось, что у всех объектов в мире должно быть свое естественное место. Состояние покоя казалось им более естественным, чем состояние движения. Так как небесные тела считались совершенными и повторяли свои движения через определенные промежутки времени, а окружность рассматривалась как совершеннейшая из кривых и допускала периодическое повторение движений, древние греки не сомневались, что небесные тела должны двигаться по круговым орбитам или в худшем случае по орбитам, представляющим собой комбинации окружностей. Убеждение в том, что фундаментальные принципы формируются разумом, не отрицало роли наблюдений в процессе выработки этих принципов, но наблюдения должны служить как бы толчком к постижению правильных принципов, подобно тому как созерцание знакомого лица заставляет нас вспоминать различные факты из жизни этого человека.

Галилей настойчиво подчеркивал, что если мы хотим установить правильные основополагающие принципы, то необходимо прислушиваться к «голосу» природы, а не следовать тому, что кажется предпочтительным нашему разуму. Галилей открыто критиковал естествоиспытателей и философов, принимавших те или иные принципы на том лишь основании, что они согласуются с их априорными представлениями о явлениях природы. По мнению Галилея, природа не сотворила сначала человеческий мозг, а потом остальной мир, сделав его приемлемым для человеческого разума. Критикуя средневековых схоластов, повторявших изречения Аристотеля и занимавшихся их толкованием, Галилей отмечал, что знание берется из наблюдения, а не из книг. Толкование Аристотеля — занятие бесполезное. Тех же, кто с упоением предавался этому занятию, Галилей называл бумажными учеными, полагающими, будто науку можно изучать, как «Энеиду», «Одиссею» или путем надергивания цитат из различных текстов. Природа создает свои творения, как ей заблагорассудится, человеческому разуму надлежит напрягать все свои силы, чтобы понять ее. «Природу не интересует, доступны ли ее трудно постижимые причины и способы действия пониманию людей… Когда мы имеем дело с «декретами» природы, авторитет бессилен».

Против засилья схоластики возвышали свой голос и многие предшественники Галилея. Леонардо да Винчи утверждал, что науки, которые берут начало и обретают конец в человеческом разуме, не рождают истин, ибо в умопостроение не входит опыт, а без него не может быть уверенности в истинности того или иного умозаключения: «Если не опираться на прочный фундамент природы, то труд принесет мало чести и еще меньше пользы». Современник Галилея Фрэнсис Бэкон обрушился с резкой критикой на различного рода идолов, заполнивших человеческий разум и мешавших людям видеть истину. Но до Галилея экспериментирование в поисках основополагающих принципов велось наощупь и не имело четкой направленности.

Однако современник Галилея Декарт не видел мудрости в том, чтобы прибегать к экспериментированию в поиске истины. По мнению Декарта, чувственный опыт способен лишь вводить в заблуждение. Разум же развеивает подобные заблуждения. Исходя из общих принципов, от рождения присущих нашему разуму, мы можем вывести логическим путем те или иные частные явления природы и понять их. И хотя во многих естественнонаучных работах Декарт экспериментировал и неукоснительно следил за тем, чтобы теория соответствовала фактам, но в философии настойчиво отстаивал мысль, что истины рождаются лишь разумом.

Хотя Галилей производил эксперименты вполне обдуманно и планомерно, не следует думать, что экспериментирование тогда велось в широких масштабах и стало новой решающей силой в науке. Перелом в пользу экспериментального подхода наступил лишь в XIX в. Разумеется, и в XVII в. были выдающиеся экспериментаторы: физик Роберт Гук, химик Роберт Бойль, математик и физик Христиан Гюйгенс, не говоря уже о самом Галилее или Исааке Ньютоне. Что касается Галилея, то он отнюдь не был чистым экспериментатором, как его нередко пытаются представить. И Галилей, и даже Ньютон полагали, что небольшого числа решающих экспериментов и тонких наблюдений вполне достаточно для нащупывания правильных основополагающих принципов. Ньютон всячески подчеркивал свою приверженность математике, признаваясь, что прибегать к эксперименту его вынуждает лишь необходимость придать физический смысл своим результатам и убедить в их правильности «простолюдина». Многие из так называемых экспериментов Галилея в действительности есть не что иное, как мысленные опыты, иначе говоря, Галилей прибегал к эксперименту лишь мысленно, пытаясь представить, каким мог бы быть исход опыта, если бы тот был поставлен, и на основании своих умозаключений делал вывод с такой уверенностью, словно эксперимент действительно произведен. В своих сочинениях он зачастую описывал эксперименты, которые никогда не проводил. Галилей отстаивал гелиоцентрическую теорию, хотя в том виде, как ее разработал Коперник, она отнюдь не давала хорошего согласия с наблюдениями. Описывая некоторые свои опыты, связанные с изучением движения по наклонной плоскости, Галилей не приводит фактических данных, а утверждает лишь, будто полученные им результаты дают великолепное согласие с теорией: это весьма сомнительно, если принять во внимание несовершенство часовых механизмов того времени. Основу метода Галилея составляли небольшое число фундаментальных принципов, почерпнутых из наблюдения природы, и широкое использование математических рассуждений. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей описывает опыт с бросанием свинцового шара с вершины мачты движущегося корабля. На вопрос одного из участников диалога Симпличио: «Как же это, не проделав ни ста испытаний, ни даже одного, вы выступаете столь решительным образом?», другой собеседник, Сальвиати, выражая взгляды самого Галилея, отвечает: «Я и без опыта уверен, что результат будет такой, какой я вам говорю, так как необходимо, чтобы он последовал; более того, я скажу, что вы и сами также знаете, что не может быть иначе, хотя притворяетесь или делает вид, будто не знаете этого» ([12], т. 1, с. 243). Далее Сальвиати признается, что прибегает к эксперименту лишь изредка и главным образом для того, чтобы опровергнуть мнения тех, кто не желает следовать математическому методу.

У Галилея было несколько априорных представлений о природе, которые вселяли в него уверенность, что и небольшого числа экспериментов достаточно для выявления первых принципов. Например, когда Галилей занялся исследованием ускоренного движения, т.е. движения с переменной скоростью, он исходил из простейшего принципа, согласно которому приращения скорости за одинаковые интервалы времени равны. Такое движение Галилей назвал равномерно ускоренным. Дедуктивная математическая часть естественнонаучного исследования имела для Галилея несравненно большее значение, чем экспериментальная. Обилием теорем, выведенных логическим путем из одного-единственного принципа, Галилей гордился больше, чем открытием самого принципа. Перед нами со всей отчетливостью проступает общая закономерность: мыслители, стоящие у истоков современной науки, к числу которых мы можем причислить Декарта, Галилея, Гюйгенса, Ньютона, а также Коперника и Кеплера, подходили к исследованию природы как математики, будь то избранный ими общий метод или конкретные исследования. Будучи мыслителями абстрактно-теоретического толка, они надеялись постичь широкие, глубокие, но вместе с тем простые, ясные и незыблемые математические принципы либо с помощью интуитивных прозрений, либо путем решающих наблюдений и экспериментов, а затем вывести из этих фундаментальных истин новые законы точно таким же образом, каким в самой математике строится геометрия. Научная деятельность, по их мнению, должна в основном сводиться к дедуктивным рассуждениям, и именно дедуктивным путем надлежит строить все системы умозаключений.

Галилей надеялся, что с помощью немногочисленных решающих экспериментов удастся открыть первые принципы, и это вполне понятно. Все названные ученые, глубоко убежденные в том, что план, лежащий в основе природы, построен на математических началах, не видели причины, почему бы им при изучении природы не следовать математике. Подобную мысль мы находим в книге Джона Германа Рэндалла «Становление современного разума»:

Тем не менее мысль Галилея о том, что физические принципы должны опираться на практический опыт и эксперименты, была революционной по своей сути и имела решающее значение. Сам Галилей не сомневался в возможности доискаться до истинных первооснов природы (тех принципов, на которых Бог сотворил мир), но, подчеркивая роль опыта, он незаметно для самого себя посеял и зерно сомнения. Ибо если основные принципы физики должны выводиться из повседневного опыта, то почему то же самое нельзя сказать и об аксиомах математики? Этот вопрос не беспокоил ни самого Галилея, ни его последователей до начала XIX в. И вплоть до этого времени математика вкушала все радости привилегированного положения.

Пытаясь проникнуть в самую суть явлений, Галилей выковал и неоднократно использовал еще один принцип — идеализацию. Под идеализацией Галилей понимал необходимость игнорирования тривиальных и второстепенных деталей. Например, шар, падающий на землю, встречает сопротивление воздуха, но при падении с высоты 10-20 м сопротивление воздуха невелико, и в большинстве случаев им можно пренебречь. Еще один пример идеализации. Всякий достаточно компактный предмет обладает определенными размерами и формой, однако по существу вполне допустимо рассматривать его как материальную точку, т.е. считать, что вся масса тела сосредоточена в одной точке. Галилей также исключал из рассмотрения такие вторичные качества, как вкус, цвет и запах, в отличие от размеров, формы, количества и движения. Иначе говоря, Галилей разделял философское учение, проводившее различие между первичными и вторичными свойствами материи. В своем сочинении «Пробирных дел мастер» Галилей высказал это явно:

Форма (фигура), количество (размеры) и движение — первичные, или физически основополагающие, свойства материи. Они реальны и внешни по отношению к чувственному восприятию человека.

Суть идеализации, необходимость которой отстаивал Галилей, сводилась к пренебрежению случайными или второстепенными эффектами. В выделении главного он начал с наблюдений, а затем мысленно представил себе, что произошло бы, если устранить всякое сопротивление, т.е. если бы тела падали в пустоте, и пришел к заключению, в котором распознал общий принцип: в пустоте все тела падают по одному и тому же закону. Заметив, что сопротивление воздуха слабо сказывается на колебаниях маятника, Галилей провел опыты с маятниками, подтвердив установленные им принципы. Заподозрив, что трение также относится к числу вторичных эффектов, Галилей осуществил серию экспериментов с гладкими шарами, скатывающимися по гладкой наклонной плоскости, пытаясь вывести законы, в соответствии с которыми двигались бы тела в отсутствие трения. Таким образом, Галилей не просто ставил опыты и на основе полученных данных делал выводы — при интерпретации экспериментов он заранее исключал все несущественное. Величие Галилея проявилось, в частности, в том, что он ставил правильные вопросы относительно природы.

Разумеется, реальные тела падают в среде, обладающей сопротивлением. Что мог сказать Галилей о таких движениях? Его ответ гласил:

Пренебрегая сопротивлением воздуха и трением, пытаясь найти законы движения в пустоте, Галилей вступал в противоречие с Аристотелем и даже с Декартом, мысленно представляя тела, движущиеся в пустом пространстве, а также использовал метод идеализации, или абстрагирования от второстепенных свойств. Именно так поступают математики, изучая реальные фигуры. Математик абстрагируется от молекулярной структуры, цвета и толщины линий, чтобы дойти до некоторых фундаментальных свойств, а затем сосредоточивает все внимание на изучении этих свойств. Аналогичным образом действовал и Галилей, пытаясь за внешним разнообразием явлений разглядеть физические факторы, лежащие в основе явления. Математический метод идеализации, несомненно, следует рассматривать как шаг, уводящий нас от реальности, но, как ни парадоксально, именно этот шаг позволяет нам приблизиться к реальности в гораздо большей степени, чем учет всех имеющихся на лицо факторов.

Мудрость Галилея проявилась и в еще одном тактическом ходе. Он не пытался, как это делали естествоиспытатели и философы до него, охватить все явления природы, а выбрав несколько наиболее существенных явлений, принялся упорно и последовательно их изучать. Галилей счел разумным действовать осторожно и осмотрительно, продемонстрировав сдержанность, достойную мастера.

Выношенный Галилеем план изучения природы включал четыре пункта. Во-первых, получить количественные описания физических явлений и облечь их в математические формулы. Во-вторых, выделить и измерить наиболее фундаментальные свойства явлений. Эти допускающие количественное выражение свойства надлежало принять за переменные в формулах. В-третьих, построить физику дедуктивно на основе фундаментальных физических принципов. В-четвертых, при изучении явления непременно прибегать к его идеализации.

Чтобы претворить этот план в жизнь, Галилею было необходимо выявить фундаментальные законы. Можно, например, получить формулу, устанавливающую зависимость между числом браков в Таиланде и ценой на подковы для лошадей в Нью-Йорке, поскольку и та, и другая величина меняются из года в год. Но такая формула не имела бы научной ценности, ибо не содержала бы, ни прямо, ни косвенно, никакой полезной информации. Поиск фундаментальных законов был еще одной грандиозной задачей, поскольку и в этом Галилей резко расходился со своими предшественниками. При избранном им подходе к изучению движущейся материи нельзя было не принимать во внимание Землю, движущуюся в пространстве и одновременно вращающуюся вокруг своей оси, и уже одно это в значительной мере обесценивало ту единственную заслуживающую внимания систему механики, которой обладал мир в эпоху Возрождения, — механику Аристотеля.

Сначала Галилей был склонен принять гипотезу Аристотеля, согласно которой тяжелые тела падают на землю быстрее, чем легкие. Затем Галилей задался вопросом: «Предположим, я разделю тяжелое тело на две части. Будут ли они падать как два легких тела? А что если снова соединить или склеить их? Будут они вести себя как две части или как одно целое?» И после подобных размышлений Галилей пришел к выводу, что, если пренебречь сопротивлением воздуха, все тела падают с одинаковой скоростью.

Как утверждал Аристотель, чтобы тело двигалось, к нему должна быть приложена сила. Следовательно, чтобы автомашина или шар двигались даже по очень гладкой поверхности, необходима какая-то толкающая сила. Галилей глубже проник в суть этого явления, чем Аристотель. Катящийся шар или едущий автомобиль испытывают сопротивление воздуха и тормозятся вследствие трения между ними и поверхностью, по которой движутся. Не будь сопротивления воздуха или трения, для того чтобы шар катился, а автомобиль ехал, не нужно было бы никакой толкающей силы. Они бы двигались с постоянной скоростью неограниченно долго, причем двигались прямолинейно. Этот фундаментальный закон. движения, гласящий, что тело, свободное от действия сил, движется равномерно и прямолинейно в течение сколь угодно большого промежутка времени, был впервые замечен Галилеем (и сформулирован также Декартом); ныне он известен как первый закон Ньютона, который придал ему четкую математическую формулировку. Этот закон утверждает, что тело изменяет скорость только в том случае, если на него действует сила. Таким образом, тела обладают свойством сопротивляться изменению скорости. Это свойство тела, обусловливающее его способность сопротивляться изменению скорости, называется инерциальной массой, или просто массой.

Как видим, уже самый первый принцип физики Галилея противоречит аналогичному принципу физики Аристотеля. Означает ли это, что Аристотель допустил грубые ошибки или что его наблюдения были слишком примитивны и малочисленны, чтобы привести к открытию правильного принципа? Отнюдь. Аристотель был реалистом и учил тому, что подсказывали наблюдения. Метод Галилея был более утонченным и поэтому более успешным. Галилей подошел к решению проблемы как математик. Он идеализировал явление, игнорируя одни факты и подчеркивая другие, подобно тому как математик идеализирует натянутую струну или край линейки, сосредоточивая внимание на одних пропорциях и игнорируя другие. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха и предполагая, что движение происходит в абсолютно пустом евклидовом пространстве, Галилей открыл правильный фундаментальный принцип.

А что можно сказать о движении тела, на которое действует какая-нибудь сила? Пытаясь ответить на этот вопрос, Галилей совершил второе фундаментальное открытие: постоянно действующая сила вынуждает тело либо увеличивать, либо уменьшать скорость. Назовем увеличение или убыль скорости за единицу времени ускорением. Если скорость тела каждую секунду возрастает или уменьшается на 9 м/с, то мы скажем, что его ускорение составляет 9 м/с за секунду, или кратко 9 м/с².

Например, постоянное сопротивление воздуха вызывает непрерывное уменьшение скорости; именно этим объясняется, что скорость предмета, катящегося или скользящего по гладкому полу, постепенно убывает до нуля. И наоборот, чтобы предмет двигался с ускорением, на него должна действовать какая-то сила. Предмет, падающий с высоты на землю, движется ускоренно. Во времена Галилея мысль о том, что этой силой должно быть земное тяготение, уже начала проникать в сознание людей, и Галилей, не теряя времени на размышления о силе тяготения, исследовал свободное падение тел с количественной стороны.

Он обнаружил, что если пренебречь сопротивлением воздуха, то все падающие на поверхность Земли тела, имеют одинаковое ускорение g, т.е. их скорость возрастает в одном и том же темпе: на 9,8 м/с за секунду, т.е.

Если тело падает свободно, например скатившись с ладони, то его начальная скорость равна нулю. Следовательно, к концу первой секунды оно достигнет скорости 9,8 м/с, к концу второй секунды — скорости 2×9,8 = 19,6 м/с и т.д. По истечении t секунд скорость тела

Эта формула содержит точную информацию о том, как возрастает со временем скорость свободно падающего тела. Она сообщает нам, что чем дольше падает тело, тем больше его скорость. Это хорошо известный факт, ибо большинству из нас приходилось видеть, что тело, сброшенное с большей высоты, ударяется о землю с большей скоростью, чем тело, сброшенное с меньшей высоты.

Чтобы определить путь, пройденный за данный промежуток времени свободно падающим телом, недостаточно просто умножить скорость на время. Произведение скорости на время дало бы правильное значение пути только в том случае, если бы тело двигалось с постоянной скоростью, т.е. равномерно. Галилей доказал, что в случае свободного падения тел правильная формула, связывающая пройденный путь s с продолжительностью падения имеет вид

где s — расстояние в метрах, пройденное телом при свободном падении, t — продолжительность падения (в секундах). Например, за 3 с свободно падающее тело проходит расстояние 4,9×3² = 44,1 м.

Если обе части формулы (3) разделить на 4,9, а затем извлечь из них квадратные корни, то окажется, что время t, за которое свободно падающее тело проходит путь s, задается формулой t = √(s/4,9). Обратите внимание на то, что масса падающего тела в эту формулу не входит. Таким образом, мы видим, что все свободно падающие тела за равное время проходят одинаковое расстояние. Считается, что к такому заключению Галилей пришел, сбрасывая тела различной массы с Пизанской башни. Однако многие люди до сих пор с трудом верят в то, что кусочек свинца и легкое перышко, если их сбросить с одинаковой высоты в откачанном до глубокого вакуума баллоне, одновременно упадут на дно.

Ускорение 9,8 м/с², с которым на Земле движутся все свободно падающие тела, обусловлено силой земного тяготения, или гравитацией. Когда говорят о силе тяжести (точнее ее численной величине) применительно к предметам, находящимся вблизи поверхности Земли, ее обычно называют весом. Хотя сам Галилей не связывал между собой вес и массу, следует заметить, что вес P любого тела на Земле пропорционален его массе m. Численное значение коэффициента пропорциональности g зависит от выбора единиц. Таким образом, вес P и масса m любого тела на Земле связаны между собой соотношением

Как видим, два различных свойства тела — вес и масса — связаны между собой очень просто: вес P в g раз больше массы m. Простота и неизменность соотношения (4) приводят к тому, что мы часто путаем эти два свойства, хотя вес и массу тела необходимо четко различать. Масса — это свойство тел сопротивляться изменению скорости как по величине, так и по направлению, вес — численное значение силы, с которой Земля притягивает данное тело. Если тело покоится на гладкой горизонтальной поверхности, то поверхность противодействует силе тяжести. Следовательно, если рассматривать движение тела по поверхности (без трения), то его вес особой роли не играет. Но масса тела весьма существенна. В следующей главе мы увидим, сколь важно проводить различие между массой и весом.

Декарту, философу глубокому и весьма авторитетному, мы обязаны тем, что начиная с XVII в. математика вышла на передний край науки, и это позволило человечеству открыть особенности многих явлений природы, которые, не будь математики, так и остались бы неизвестными.

Мы могли бы рассказать о многих конкретных математических достижениях Галилея, например о предложенном им математическом описании движения свободно падающего тела, но для нас наибольший интерес представляет его методология. Своей работой «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей направил физическую науку по математическому пути, заложил основы современной механики и создал прообраз современной научной мысли. Как мы далее увидим, Ньютон, восприняв методологию Галилея, дал непревзойденные доказательства ее эффективности.