Я давно хотела попасть в Летнюю школу «Современная математика» возле Дубны, которую вот уже 12-й год проводят Московский центр непрерывного изучения математики и Математический институт РАН. Как-то не получалось. В 2009 году я собрала отклики преподавателей и организаторов о Школе [1], которые говорили о том, как там здорово и интересно. Меня туда приглашал один из ее организаторов, человек, без сомнения, бывший душой Школы — Владимир Игоревич Арнольд. В письмах, в которых он критиковал нашу редакцию за некоторые неточности в текстах, а также рассказывал о своих новых научно-популярных книгах или поэтических штудиях [2], он повествовал и о покорении Волги там, где в нее впадает река Дубна. В этом году я решила, что надо, наконец, посмотреть, где же математики проводят лучшую часть лета, и, может быть, найти то место, где находится часть души Арнольда.

Бродя по берегу Волги, я говорила: «Здравствуйте, Владимир Игоревич!», а по реке плыл огромный белый пароход. У завсегдатаев школы я пыталась узнать, где же именно Арнольд плавал. «Нет, в Дубне он не плавал, как все смертные. Он на Волгу ходил», — отвечали мне. Летняя школа поразила душевностью, семейной теплотой, концентрацией топ-математиков на 1 м², а также голыми ступнями многих участников. Без обуви дети и взрослые шли не только купаться в реке Дубна, но и приходили на лекции и семинары.

Владимир Успенский (младший) и Иван Панин

Поначалу я дергалась с непривычки от вида голых ног на асфальте или бетонном полу. Многие преподаватели приехали на Школу со своими детьми, и было непривычно видеть директора МЦНМО Ивана Ященко, прогуливавшегося с детской коляской или азартно сражающегося за мяч в футбольной битве между преподавателями и школьниками, а его зама, главного организатора Школы, строгого, но доброго внутри Виталия Арнольда, переплывающим с маленькой дочкой реку Дубну.

Вечером после занятий школьники, студенты и преподаватели собирались на литературные и прочие вечера. На поэтическом вечере каждый мог прочесть любимые стихи, и такое чтение длилось более трех-четырех часов нон-стоп, очень мягко и бережно поддерживаемое организатором многих мероприятий в Школе этого года, знатоком поэзии, ведущим научным сотрудником МИАН Александром Буфетовым.

По вечерам участники Школы устраивали поэтические и прочие вечера

Кто-то сидел и просто слушал, а кто-то снова и снова читал дорогие его сердцу тексты. Было непривычно видеть, когда стихи читались не только по памяти, но и со смартфона или электронной книги. Больше всего запомнилось, как длинноволосый юноша просто, без всякого пафоса читал знаменитые строки Пастернака:

В последний день Школы мне, наконец, удалось с ним познакомиться. Им оказался Александр Щербина, студент 1 курса Физтеха. В своем комментарии он сказал, что выбрал стихотворение Пастернака именно потому, что оно больше всего отвечало той атмосфере, которая была на вечере, и людям, которые там собрались. Он был очень доволен пребыванием в Школе. «Строгости здесь ровно столько, сколько ее должно быть, ее почти нет, и у всех и каждого есть своя голова на плечах, это огромный плюс по сравнению с другими лагерями или заведениями». Он собирается приехать в Дубну следующим летом.

Александр Щербина, студент Физтеха

К сожалению, у Школы есть ограничение, сюда приглашают учеников 10–11 классов и студентов 1–2 курсов, а студент 3 курса приехать уже не сможет. В одном из разговоров студентки МГУ очень переживали, что не смогут больше приехать на Школу, так как «выросли».

«Что же делать, увы, мы не можем вместить всех талантливых ребят, — сказал мне Алексей Брониславович Сосинский, председатель программного комитета Летней школы, в ответ на мой вопрос, нельзя ли изменить такой порядок. — Однако через несколько лет некоторые наши слушатели смогут приехать к нам уже в качестве лекторов».

«Основной недостаток этой школы совпадает с ее основным достоинством, — отметил он и пояснил, что имеет в виду. — Здесь очень много великолепных преподавателей. Их слишком много. Мы бы, конечно, работали гораздо лучше, если бы не было параллельных лекций и их было бы не пять в день, а три или четыре максимум, но очень трудно отказать великолепному лектору, который несколько раз был в Школе. Мы знаем, что он хорошо преподает, что он светило в международном масштабе как ученый. Разве мы напишем ему «Нет»? Вот так и возникает эта дикая перегрузка в расписании занятий».

Как составляется программа лекций? «Программа у нас составляется более-менее случайно. В зависимости от того, кто свои курсы предложил, — отмечает Сосинский. — Когда кто-то подает заявку, что он хочет преподавать в Школе, мы требуем, чтобы он немедленно прислал программу и анонсы. Иногда, особенно когда речь идет о молодых преподавателях, мы говорим, что не стоит читать курс на эту тему, будет кто-то другой, или на близкую тему, и просим их выбрать другую тему. Как правило, наши преподаватели — люди широко образованные, это свойство российской математической школы в целом, хотя есть и узкие специалисты.

…Никакого систематического деления математики на все разделы и распределение преподавателей по этим разделам не делается, — продолжает Алексей Брониславович. — Но иногда получается, как на этой Школе, что в ее самом начале выступили пять математических логиков. Вообще математическая логика — особая часть математики, она находится от нее немножко сбоку, при том что все пятеро — люди с мировым именем. И это было очень хорошо, потому что, в конце концов, логика лежит в основе математики, и наша Школа началась с того, что школьники получили эти основы.

В. А. Успенский принял участие и в лингвистической, и математической школах

…Кроме того, по совершенно случайным причинам получилось, что в этой школе оказалось три курса по теории узлов. Естественно, три лектора между собой договорились и разделили, что они будут делать, и, по-моему, очень удачно друг друга дополнили, — заметил Сосинский. — В этом году, после трехлетнего перерыва, у нас читал лекции профессор Пенсильванского университета (США) Александр Александрович Кириллов. Это характеризует высокий научный уровень Школы, он пытался серьезным образом объяснить, что такое геометрическое квантование, эту очень трудную тему он постарался так рассказать, чтобы даже школьники поняли, о чем речь».

Александр Александрович Кириллов отвечает на вопросы юных математиков после лекции

* * *

Алексей Брониславович вместе с его женой Еленой Николаевной Ефимовой, выпускницей мехмата МГУ, и с А .А. Кирилловым пригласил меня на чай. «Выжимку» беседы, в которой было много сказано о целях Школы и ее истории, я публикую ниже.

Александр Сосинский: Большинство наших учащихся на этой Школе либо будущие, либо настоящие чемпионы различных математических олимпиад, и они думают, что исследовательская математика — это то же самое, что олимпиада, с двумя различиями. Первое различие — то, что время на решение задачи не ограничено, а второе — что эту задачу еще никто не решил. Страшное заблуждение, которое загубило многих талантливых людей. Математика — это совсем не то.

Наталия Демина: А что такое математика?

А.С.: Спросите у Сан Саныча, он ответит на этот вопрос гораздо лучше, я не знаю, что такое математика (смеется).

А. Б. Сосинский всегда энергичен, бодр и неизменно доброжелателен

— А в чем ошибка таких рассуждений о математике?

А.С.: Скажу следующее: прежде чем решить задачу, нужно, чтобы она была поставлена, а на самом деле часть математического творчества (а некоторые говорят, самая главная часть) состоит в том, чтобы правильно поставить задачу. Первое. А второе — то, что очень часто развитие математики состоит не из решения задачи, а из создания некой теории. Эта теория может создаваться, имея целью решения конкретной, прикладной или теоретической задачи, но она может еще и просто исходить из кончика пера. Какой-то вопрос математику показался интересным, он стал думать и рассуждать на эту тему, просто так, непонятно зачем.

— Как поступить в Летнюю школу?

А.С.: Мы принимаем в нее по анкетам, которые нам присылают. Некоторое количество победителей олимпиад высокого уровня мы принимаем сразу, у нас есть два уровня приема — платный и бесплатный. Некоторых мы принимаем бесплатно, другие оплачивают часть стоимости пребывания в Школе, далеко не всю. Кроме того, мы принимаем ребят «с улицы». Любой человек, который нашел в Интернете информацию о Школе, заполняет анкету и присылает ее нам.

Там содержится много разных вопросов. Например, стандартные вопросы: в какой школе учился, какие оценки, какой любимый учитель по математике. Еще вопрос: «Расскажите, какую книгу или брошюру по математике вы в последнее время прочитали?» или «Изложите, с вашей точки зрения, одно или два самых красивых доказательства, которые вы встречали» и еще пара вопросов такого рода.

Зачем мы задаем такие вопросы, чего боимся? Если бы знания Эйнштейна или Гильберта проверялись только на физической или математической олимпиаде, то первый никогда бы не стал физиком, а второй — математиком, потому что оба были «тупыми» и медлительными. И что было бы? Эйнштейн довольно плохо играл бы на скрипке… Он был «обыкновенным гениальным ребенком», как говорили в одной музыкальной школе Одессы. Оба остановились бы на этапе олимпиад. Одна из функций Школы — спасать для математики тех людей, которые не обладают олимпиадным типом мышления.

Александр Кириллов: Кстати, я в детстве ходил на математические олимпиады, а на кружок не ходил, потому что стеснялся, а на олимпиаде меня никто ни о чем не спрашивал, я сижу и пишу, решаю задачи. У меня не было любимого учителя в школе, как порой рассказывают. У меня не было и у многих не было, потому что стандартный учитель — плохой учитель. Я не могу сказать, что у меня была плохая учительница, она была обыкновенная. Не обыкновенная гениальная, а просто обыкновенная (смеется). И я уже в 6 классе знал, что я намного больше ее знаю и всегда буду знать больше нее.

А.С.: В моей жизни был аналогичный опыт, когда мне было 13–14 лет, я открыл для себя математику, «сошел с ума», только об этом думал и только этим занимался. К тому же я был стеснительным ребенком, и для самоутверждения мне надо было делать что-то такое, что не требовало публичности. Я решал задачи быстрее всех, лучше всех и делал вид, что я это делаю одной левой, а на самом деле много трудился.

При поиске ребят в Школу нам очень помогает то, что во многих городах страны работают замечательные учителя математики, особенно в спецклассах и спецшколах. Они к нам направляют ребят, которые не тянут на олимпиадах. Мы обращаем большое внимание на рекомендацию учителя. Куча олимпиадных чемпионов потом стали крупными математиками. Один из них — Александр Кириллов. То же самое — Владимир Игоревич Арнольд. А Юрий Иванович Манин вообще никогда не участвовал в олимпиадах.

А.К.: Я не знаю, почему. То ли потому, что он учился в Симферополе, то ли ему это было неинтересно, то ли еще что.

— Вам кажется, что олимпиадное движение дает талантливых математиков?

А.К.: Не дает, но выявляет. Дает природа, они рождаются сами по себе…

— Много ли пропадает талантов, которые не участвуют в олимпиадах?

А.С.: Это очень трудно оценить. Кроме олимпиадного способа, нет простых способов выявления людей, талантливых в математике.

А.К.: Мне очень помогали книжки из серии «Библиотека школьного математического кружка», которые как раз тогда начали выходить и стоили 10–12 копеек. Любой мог купить. Я закончил школу в 1954 году, то есть читал их в начале 1950-х годов.

— Андрей Окуньков рассказывал, что понял, что математика — его призвание, только когда он уже учился на экономическом факультете МГУ.

А.С.: Окуньков — очень нетипичный пример, он сначала отслужил в армии, ни в каких олимпиадах никогда не участвовал. Саша [Кириллов] его хорошо знает, ибо он является его учителем вместе с Григорием [Ольшанским].

А.К.: Его открыл Игорь Кострикин, который преподавал на экономическом факультете.

А.С.: Потом он попал к тебе, а от тебя перешел к Грише Ольшанскому.

— Вам сказали, что есть такой талантливый студент?

А.К.: Да, Игорь сказал моей коллеге, с которой мы вместе работали, а она сказала: «Пусть он придет на наш семинар», он пришел, понравился.

— Сразу, не владея основами математики?

А.К.: На 1 курсе владеть особенно нечем, и он этим владел (смеется).

А.С.: В отличие от его сверстников, которые заканчивали всякие 2-ю, 7-ю и 57-ю школы, которые ходили гоголем и на него смотрели свысока, он трудился как сумасшедший.

Елена Ефимова: Часто ранний успех в науке может повредить. Это хорошо, если вы при этом оказались в атмосфере, которая была когда-то на мехмате МГУ…

А.К.: Конечно, нам повезло!

Е.Е.: А если этой атмосферы нет, то талант может и не раскрыться.

А.К.: Это старинный спор о том, тяжела ли судьба вундеркинда. Как правило, тяжела.

А.С.: Есть яркое противоречие, например Карл Гаусс. Он учился в школе, они там решали задачи. Как это происходило? У них была маленькая доска, на которой мелом они писали решение задачи. У них был очень противный учитель, ему было лень возиться с учениками, и он им дал такую задачу: сложить числа 1+2+3+… +99+100. Там были дети разных возрастов, это была какая-то деревенская школа, мало народу. Прошло одна-две минуты, маленький Гаусс поднимает руку, за что сразу же получает розгами. Но он стал объяснять: «Ответ-то у меня правильный!». (Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 50 х 101 = 5050.)

А.К.: Это мне напоминает известную байку про фон Ноймана, противоположного свойства. Есть старинная задача, такая: два велосипедиста едут навстречу друг другу, из одного пункта выезжает один, из другого — другой и едут, пока не встретятся. Предположим, что они едут со скоростью 10 км/час и едут ровно 1 час. Между ними летает муха со скоростью 50 км/час, летает от носа первого велосипедиста до носа второго и назад, туда-сюда, пока велосипедисты не встретятся. Спрашивается, какое расстояние пролетела муха?

Эту задачу можно решать двумя способами. Можно, зная скорость велосипедов и мухи, сосчитать, какой путь она проделает первый раз, второй, …, найти общую закономерность, затем сложить все эти числа и получить ответ. Получается бесконечный ряд, но, тем не менее, сосчитать можно. Способ, который предполагает некий элемент гениальности, заключается вот в чем. Велосипедисты едут час. Муха летает тот же самый час, надо умножить час на скорость мухи, и получится 50 км. Человек, который решает задачу первым способом, потратит на подсчет минут 10, а вторым — потратит минуту, чтобы додуматься до этого способа. Когда эту задачу дали фон Нойману, он ее решил за 30 секунд. Спрашивается, как он делал? Он суммировал ряд, но быстро (все смеются).

А.С.: Я сильно подозреваю, что фон Нойман нагло врал (смеются).

А.К.: Это же байка. Но он же действительно считал быстро.

А.С.: Он считал фантастически быстро. Но, в отличие от Арнольда, который также считал очень быстро, он никогда не говорил, что считает быстрее компьютера (смеются).

— А изменилась ли Школа после смерти Владимира Игоревича?

А.С.: Школа стала другой после того, как не стало Димы.

— А что он вносил необычного? Есть такой социолог Владимир Александрович Ядов; когда он участвует в конференциях или на семинарах, то неизменно привлекает внимание, задает необычные вопросы, часто во всё вмешивается… Но без него скучно.

А.С.: Во-первых, Арнольд традиционно читал самую первую лекцию, и все первые лекции были шедеврами. Этим сразу задавалась возвышенная атмосфера.

Е.Е.: Здесь можно использовать театральную метафору. Бывает много замечательных актеров, они все разные, ничего общего между ними нет. В театре есть такая вещь, как эффект присутствия. У Димы была очень сильная энергетика…

А.С.: Я должен сказать, что одним из самых сильных моих театральных впечатлений (я вообще не театрал, в театр хожу редко) было то, что я видел живьем Лоренса Оливье, исполняющего роль Гамлета. И это было фантастическое зрелище! Человек выходил на сцену, еще ничего не делал, но все на него смотрели. Другие говорили…, а он входил, и все внимание переключалось на него. В этом была какая-то магия. Арнольд этим обладал, конечно, не в такой степени, как Оливье, но обладал.

Академик РАН Виктор Васильев рассказывает, какой дополнительной литературой стоит воспользоваться

* * *

Студент 2 курса факультета математики ВШЭ, неоднократный победитель Всероссийской олимпиады по математике среди школьников Даниил Макаров был участником Летней школы уже 2 раза. Я задала ему несколько вопросов о Дубне.

— А. Б. Сосинский мне сказал, что у Школы две главные цели. Помочь школьникам понять, интересна ли им исследовательская математика, и познакомить их с современной математикой. Удается ли Школе выполнить эти задачи, на Ваш взгляд?

— Мне кажется, что решить эти две задачи почти невозможно, но, пожалуй, Школа справляется с ними лучше, чем система олимпиад или математических классов. Сюда стараются приглашать работающих математиков, которые рассказывают о чем-то близком к тому, чем они занимаются. Соответственно это ближе к современной математике, чем олимпиадные задачи, которые придумываются специально для школьников.

— Много ли курсов удалось послушать на этот раз?

— Я стараюсь посещать много курсов, но не уверен, что это правильно. Кто-то скажет, что лучше послушать несколько и всё понять, а я думаю, что лучше послушать много чего, расширить свой кругозор и ничего не понять.

Репортаж Наталии Деминой, фото автора

Примечания:
1. Отклики преподавателей и организаторов Школы 2009 года: В. Арнольда, С. Анисова, А. Вершика, Ю. Ильяшенко С. Ландо, В. Клепцына, А. Райгородского, А. Сосинского.
2. Владимир Арнольд о задачах и поэзии (2009).
3. Список курсов, видеозаписи лекций преподавателей Летней школы-2012 (19–30 июля 2012 года).

Наталия Демина
«Троицкий вариант» №19(113), 25 сентября 2012 года