Александр Костинский: Сегодня мы будем говорить о преподавании математики студентам гуманитарных специальностей вузов. Какую роль играет математика в образовании психологов или филологов? Не является ли она ненужной, дополнительной нагрузкой или, напротив, математика помогает по-другому посмотреть на гуманитарные дисциплины и увидеть в них красоту и строгость? В студии Радио Свобода: Ольга Митина, кандидат психологических наук, старший научный сотрудник факультета психологии МГУ и Владимир Успенский, доктор физико-математических наук, профессор мехмата МГУ.

Первый мой вопрос Владимиру Андреевичу Успенскому. Вы полвека преподаете математику лингвистам, зачем она им нужна, с вашей точки зрения?

Владимир Успенский: Именно с моей точки зрения. Дело в том, что я, конечно, предпочел бы, чтобы на этот вопрос ответили сами лингвисты. Может быть, они как раз считают, что она им совершенно не нужна. Я испытываю некоторое смущение от того, что я — математик — должен навязывать свою точку зрения. Естественно, я как математик считаю, что математика всем нужна, но я понимаю некоторую ущербность своей позиции в этом вопросе. Когда встает вопрос о преподавании чего-нибудь кому-нибудь, то сперва надо поставить вопрос о конечной цели, зачем все это нужно. Университетское обучение имеет как бы две цели на выходе — подготовка к профессии и получение образования. Это немножко разные вещи. Если говорить о подготовке к профессии, для современно лингвиста необходима некоторая грамотность в области математики, в области математической логики, в области математической статистики, теории вероятности, теории информации и так далее. Более сорока лет назад этот вопрос обсуждался в кабинете ректора московского университета — им был Иван Георгиевич Петровский, совершенно замечательный ректор. И великий российский ученый Андрей Николаевич Колмогоров сформулировал, какая математика нужна лингвистам в их профессии. Во-первых, сказал Колмогоров, это то, что нужно для понимания и использования акустики, во-вторых, математическая логика, в-третьих, теория вероятности, статистика и теория информации. Другой вопрос — это получение образования. Тут надо сказать, что математика является значительной, очень важной частью общечеловеческой культуры. Как часть человеческой культуры она, по-моему, нужна всем, в том числе, и гуманитариям. Я мог бы сказать более конкретно о том, какие качества и умения должна, на мой взгляд, выработать математика у гуманитария.

Александр Костинский: Тот же самый вопрос мы задаем Ольге Валентиновне Митиной. Она тоже преподает гуманитариям, но уже на психологическом факультете.

Ольга Митина: В отличие от Владимира Андреевича, мне немножко легче говорить, потому что я являюсь не только математиком, но и психологом, и поэтому изнутри знаю, что нужно психологам. Во-первых, математика — это новый язык, который расширяет видение. Как владение иностранными языками расширяет картину мира любого человека, так и пользование языка математики расширяет картину мира ученого-гуманитария. И позволяет смотреть без страха на то, что делается в других дисциплинах — в физике или химии, и заимствовать модели, проводить аналогии и так далее. То есть быть открытым к новому опыту, тому который дают другие науки. Это еще один язык, еще одна степень свободы, которая позволят ученому чувствовать себя более устойчиво в океане науки. Кроме того, конечно, есть прагматические вещи, например, математическая статистика. Знание правописания позволяет писать грамотно, так есть и некоторые вещи, связанные со статистической грамотностью, с анализом и обработкой результатов. И здесь есть некоторый минимум, который профессионально необходим. Вот это две вещи, на которые стоит обращать внимание ученым и будущим ученым, и преподавателям, и студентам.

Александр Костинский: Теперь мы попробуем обсудить более конкретно, какой математике нужно учить гуманитариев. Владимир Андреевич, как вы считаете, какие знания должны обязательно получить студенты?

Владимир Успенский: Слово "конкретно" тоже можно понимать в двух смыслах. Можно просто перечислить дисциплины, так сказать программу и почасовой объем. Но, я думаю, что это не та конкретность, которую от меня хотел услышать Александр Юльевич Костинский и радиослушатели. Как мне кажется, главная цель обучения математике — психологическая. Задача, конечно, не том, чтобы изменить психологию, но, может быть, создать некую новую психологию, как бы параллельную обычной гуманитарной. Я бы назвал четыре такие цели. Первое — это дисциплина мышления; второе — умение отличать истину от лжи; третье — умение отличать смысл от бессмыслицы; и четвертое — умение отличать понятное от непонятного. Насчет дисциплины мышления я бы позволил привести такой пример. Известно, что всех военных учат так называемой строевой подготовке, ружейным приемам, поворот направо, налево, кругом. Вряд ли во время реальных боевых действий все эти ружейные артикулы, повороты и строевой шаг применяются. Но совершенно справедливо, что во всех армиях мира строевая подготовка считается необходимой частью общей подготовки, потому что это приучает к дисциплине движений, физических движений и выполнению бессмысленных приказов. Как было очень правильно написано в одной из методических книг по математике: сначала ты пойми, что я тебе говорю, а потом я тебе объясню, зачем это нужно. Это правильная идея. Роль математики аналогична строевой подготовке или парусной. Я не знаю, как сейчас, но в дни моей молодости всех моряков, которые плавают на реальных судах, учили обязательно на парусных судах, хотя парусные суда реально не применяются. Это считалось необходимой частью морской подготовки, это был необходимый тренинг. Так вот таким же тренингом мышления, наведением порядка в мозговых извилинах является и математика. Второе: умение отличать истину от лжи. Очень часто для студента бывает новостью сама мысль о том, что нужно четко понимать, какое утверждение истинно, а какое — ложно. Еще более важно уметь отличать смысл от бессмыслицы. Когда я начинал свои контакты с лингвистами несколько десятилетий назад, можно было ужаснуться, сколько в лингвистической литературе было бессмысленных утверждений. Не истинных, не ложных — а именно бессмысленных. Сейчас их кажется гораздо меньше. К этому очень близко умение отличать понятное от непонятного. Когда я преподаю, мне часто приходится спрашивать студентов: а вы сами понимаете, что вы говорите? Вдумайтесь в то, что вы сказали. Честные студенты в некоторой растерянности говорят: "Нет, я не понимаю, что я говорю". Непонятность бессмысленного высказывания довольно очевидна, а вот чтобы утверждать ложность какого-либо высказывания, нужно иногда сделать героические усилия. Ну, как же так, уважаемый человек что-то умное говорит, а ты возражаешь, что это все неверно. Поэтому мы не всегда способны констатировать ложность того, что нам сообщается. Все эти вещи: понятность и непонятность, ложность и истинность, осмысленность и бессмысленность, они иногда перетекают друг в друга, и четкое различение одного и другого, мне кажется, очень важно.

Александр Костинский: Математика, с вашей точки зрения, лучший тренажер для воспитания мышления. Эти качества можно воспитывать и на других науках, но математика...

Владимир Успенский: Математика наилучший тренажер и наиболее демократичный предмет. Хорошо известен такой факт — он часто воспроизводится в разных учебниках. Это рассказывают иногда про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, или про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь выразил желание изучать геометрию, и математик начал его обучать. Царь довольно быстро заметил, что дети, которых обучают математике, обучаются тем же самым понятиям и теоремам в той же последовательности. Он выразил неудовольствие. Как же так, он же все-таки царь, его надо учить по-другому. И тогда математик по преданию ответил: "Нету царского пути в геометрии". Оттого что в математике нет царского пути и математика демократична, может случиться так, что школьник говорит верно, а академик неверно. И это очевидно всем. В гуманитарных науках невозможно себе представить, чтобы кто-то признал высказывание гуманитарного академика неверным, потому что критерий истины и лжи, к сожалению, немножко другой, скажем так несколько более слабый. И мы, математики, хотели бы этот критерий истины для гуманитариев укрепить.

Александр Костинский: Честно говоря, когда некоторых политиков видишь по телевизору, складывается такое впечатление, что они тоже не совсем понимают, что они говорят. Мой вопрос Ольге Валентиновне Митиной: может ли математика гуманитарию дать нечто такое, что может продвинуть его от чисто качественных методов к точным? Есть ли такие необходимые психологу инструменты, которые заставили бы его продираться через довольно сложную математику?

Ольга Митина: Во-первых, это в российской традиции психология — это сугубо гуманитарная наука, а именно науку нематематическая. Но если мы обратимся к западной традиции американской, западноевропейской, то там психология — это наука, скорее, естественная. И даже существует такая отрасль — численная психология, связанная с измерениями в психологии, математическим моделированием и тому подобными вещами. У нас нет даже такого раздела психологии. Поэтому говорить о том, что все математические знания в некотором смысле абстрактны и не нужны психологам, не совсем верно. А вообще-то хорошему психологу нужно знать так много математики, что уже освоение этих знаний само по себе жесткий тренаж. И если будущий психолог освоит все эти знания, то можно говорить, что он хорошо потренируется во всем в том, о чем говорил Владимир Андреевич. Безусловно, это весь курс теории вероятности и статистики. Смею сказать, что та математическая статистика, которой учат на мехмате, это, мягко говоря, не совсем то, а, более точно, совсем не то, что нужно прикладным ученым. Когда я после мехмата пришла на психологический факультет, все знания, которые мне понадобились пришлось добирать самой. На мехмате учат совсем другому. Там учат математической статистике, доказывают центральную предельную теорему для случая N. Но N — общее, абстрактное, все такое математическое. А прикладным людям нужно не абстрактное N, а конкретные — 1, 2, 3, 20. У психолога выборка сто человек, и он должен понимать, куда это сто вместо N поставить. Это первое — нужно знать адаптированную статистику. Кроме этого нужна линейная алгебра, что тоже не есть просто. Кроме того, нужен математический анализ.

Александр Костинский: Тот самый классический, который раньше называли "высшая математика"?

Ольга Митина: Да. Простейший какой-то курс дифференциальных уравнений и топологии, и какую-то часть высшей геометрии, все это тоже нужно, особенно сейчас, когда параллельно развиваются новые методы в естественных науках, и известно, что этот же аппарат может работать и в гуманитарных науках. Тут я упомяну такое умное и модное сейчас слово "синергетика". Это заимствование различных феноменов из физики, из химии и попытка перенести их в гуманитарные науки. И это оказывается, работает! Но для их использования не на метафорическом уровне, а на уровне операциональном нужно знание математики. И если человек отказывается от этого, то он отказывается от многих возможностей продвижения своих идей.

Александр Костинский: Владимир Андреевич, Ольга Валентиновна уже затронула вопрос, что учить психологов математике нужно по-другому. Вы учите лингвистов. Очень часто, когда смотришь учебник для экономистов или лингвистов по математике — это тот же курс, который читается математикам на мехмате только пропущена часть теорем, но не меняется структура подачи материала. Как вы думаете, нужно что-то тут делать?

Владимир Успенский: Нужно, хотя очень трудно. Скажем так, для математика, конечно, самое главное уметь решать задачу. Поэтому все понятия, все это носит для него вспомогательный характер, всего лишь помогает решить задачу. Для лингвиста гораздо важнее сам понятийный аппарат. Я приведу такой пример. Я спрашиваю очень часто студентов: в чем состоит аксиома о параллельных, которой, кстати, учат в школе? Как правило, ответ: аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Тогда я спрашиваю: а что такое параллельные прямые? Тогда они говорят: это те прямые, которые не пересекаются. Тогда я говорю: в чем же состоит аксиома? Параллельные прямые называются параллельными, когда они не пересекаются, а аксиома состоит, что эти прямые не пересекаются? Тогда они сами начинают удивляться, я бы сказал так. Вопрос мой не для испытания памяти, не на то, что помнят ли они из школы, а на то, чтобы они понимали, что у этой аксиома должен быть какой-то другой смысл. Пусть они неправильную аксиому скажут, но пусть они понимают, что если параллельные прямые это такие, которые не пересекаются, то не может аксиома о параллельных состоять в том, что параллельные прямые не пересекаются. Равным образом как она не может состоять и в том, что параллельные прямые пересекаются. Потому что когда их спрашиваешь: а что же доказал Лобачевский, что сделал Лобачевский, в чем вклад Лобачевского? Очень часто отвечают так: а Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. Тогда я их опять спрашиваю: а что такое параллельные прямые? Это те, которые не пересекаются. Цель обучения лингвистов, в отличие от математиков, прежде всего, чтобы они понимали эту связь понятий и слов и определений друг с другом. Вот это главное.

Александр Костинский: То есть аксиоматический подход строгий.

Владимир Успенский: Не аксиоматический, я бы сказал, лингвистический.

Александр Костинский: То есть математика как язык.

Владимир Успенский: Как язык. Моя точка зрения, что под видом математики мы на самом деле преподаем им русский язык, но со смыслом, с семантикой. В школе учат грамматику, морфологию, синтаксис, а семантике не учат. Не учат не потому, что ее нет, а потому что это очень трудно.

Александр Костинский: Чарльз Сноу, известный психолог, написал достаточно давно, наверное, полвека статью "Две культуры", где он постарался показать, что существует некая культура естествоиспытателей, то есть естественников, физиков, математиков, химиков, и культура, которая принадлежит гуманитариям. И что между этими культурами есть разрыв. В свое время в советское время, еще в начале 60-х была такая дискуссия между физиками и лириками. Скажите, пожалуйста, действительно ли есть это различие и нужно ли его преодолевать?

Владимир Успенский: Я полагаю, что различие, к сожалению, есть. А нужно ли его преодолевать — это вопрос философский, на который я боюсь ответить. С моей точки зрения, нужно. Но я готов согласиться с точкой зрения, что, наоборот, надо его усугублять. Нужно ли преодолевать раскол в обществе или, наоборот, не надо? Мне кажется, очевидно, если каждый человек владеет двумя культурами, то это как бы его обогащает. Но допускаю, что возможны и другие точки зрения.

Александр Костинский: Понятно, что отношение к математике складывается с первого класса, арифметике учат уже в первом классе. Люди учатся считать, и все это объединено единым понятием — математика. И не возникает ли некая проблема преподавания в вузе с тем, что плохо устроено преподавание математики в школе?

Владимир Успенский: Разумеется, возникает. Я сейчас скажу вещь очень резкую и неприятную, основанную на собственном школьном опыте. Хотя, я считаю, что учился в хорошей школе. Из моих личных наблюдений над разными школьниками и школами у меня сложилось ощущение, что, конечно, это не та цель, которую ставит перед собой средняя школа, но это та цель, которой в значительной степени добиваются: обучение любому предмету вызывает острую ненависть к этому предмету. Это касается не только математики, это касается, на мой взгляд, и литературы, и чего угодно. То есть результат обучения математике в школе это — ненависть к предмету.

Александр Костинский: И вы должны возродить любовь?

Владимир Успенский: Да. Я вижу, что Ольга Валентиновна качает отрицательно головой, она с этим не согласна.

Ольга Митина: Я училась в очень хорошей математической школе, и математика была моим любимым предметом.

Владимир Успенский: Дорогая Ольга Валентиновна, в математических школах, конечно, не так. И в биологической школе, конечно, все люди любят биологию, и эта любовь возрастает.

Ольга Митина: Любовь возрастает, а не уменьшается.

Владимир Успенский: Согласен. К сожалению, математику в школе учат плохо. И не потому, что учителя плохие, а потому что нет единой точки зрения у нас в обществе, на то чему же надо вообще учить и как учить в школе математике? Это очень сложный вопрос, который выходит за рамки нашей беседы. Я уже ссылался на мнение Андрея Николаевича Колмогорова, которое он высказывал несколько десятилетий назад. Он тогда решительно высказался за то, чтобы математике в обязательном порядке учили всех лингвистов университета. Но этого, к сожалению, не происходит и учат только на специальном отделении, которое иногда грубо называется отделение математической лингвистики, а юридически оно называется отделение теоретической и прикладной лингвистики. Между нами говоря, какая еще другая бывает лингвистика? А лингвисты, которые учатся на романо-германском отделении, на русском...

Александр Костинский: Они там математику не учат?

Владимир Успенский: А там не учат. А тот, кто поступил на отделение теоретической и прикладной лингвистики, он ведь уже сдал вступительный экзамен по математике, и поэтому знал, на что шел. Даже если он и не очень любит математику, он понимал, что математика все пять лет их будет его преследовать. Преследовать или, наоборот, радовать. Мы стараемся, чтобы радовала, но это не всегда получается, к сожалению. Но если взять нормальных людей, которые идут в гуманитарные вузы, таких я тоже встречал и с таким мне приходилось преподавать математику, они, конечно, очень не любят математику.

Александр Костинский: Математика, она как пропуск, как дверь во все остальные естественные науки. А человек, который испугался математики в младших классах называется гуманитарием. Как в одной из наших передач сказал очень хороший психолог Вадим Ротенберг: возникает обученная беспомощность. Человек уже забыл элементарные преобразования, он плохо знает таблицу умножения и, в конце концов, как только появляются формулы и символы, человек все это отталкивает — я гуманитарий. Здесь и происходит разделение. Может быть, математику надо учить, чтобы не бояться естественных наук?

Владимир Успенский: Если правильно учить. Я совершенно с вами согласен, Александр Юльевич. Очень простая мысль (но всякая глубокая мысль и должна быть простой), которую я впервые услышал от Ольги Валентиновны, что деление на физиков и лириков, если оно существует, оно как раз и происходит в школе по этому критерию. Воспринимает человек математику или не воспринимает. Если воспринимает, он при этом грубом делении — физик, естественник. А если он не воспринимает, то идет в гуманитарии. Кстати, это тоже интересный вопрос, который выходит за рамки нашей темы: относится математика к естественным наукам или нет? Один из самых крупных математиков современности академик Владимир Арнольд категорически утверждает и считает, и пропагандирует, что математика является частью физики. Математика — это естественная наука, которая описывает физический мир. Но есть и другая точка зрения, несколько более неожиданная. Я впервые столкнулся с ней много лет назад, когда некоторые мои коллеги возвращались с международных общих научных конференций из Индии. На конгрессах индийских ученых, при грубом делении на две большие секции естественных наук и гуманитарных, математика относилась к гуманитарным наукам. И математики, мои коллеги, с удивлением обнаруживали, что они сидят рядом с искусствоведами. При всем моем уважении и к Владимиру Игоревичу, и к индийской культуре, я думаю, что я равным образом уважаю оба феномена. Я думаю, что математика имеет черты и того, и другого. И это тоже очень существенная вещь. Я не думаю, что она выполняет эту роль, но могла бы выполнять роль объединения этих двух культур. Очень надеюсь, что в будущем будет выполнять.

Александр Костинский: Послушаем звонок из Петербурга.

Слушатель: В начале 90 годов в Московском университете, видимо, математическими лингвистами разрабатывались программы для работы компьютера со звуком, что для слепых полезно и нужно. И потом этот проект, видимо, заглох. Неизвестно ли вам, как это в настоящий момент?

Владимир Успенский: Вы знаете, я не очень знаю, честно говоря, что происходит сейчас, но я присутствовал лично при экспериментах, когда машина произносила написанный текст, достаточно разборчиво говорила и, более того, могла наоборот с голоса записывать тексты. Я абсолютно уверен, что эта программа существует. И я думаю, что если вы обратитесь на кафедру теоретической и прикладной лингвистики филологического факультета Московского университета, там вам дадут полный ответ, потому что там есть коллектив, мне известный лично, который этим занимается в течение многих лет и, насколько я знаю, они достигли больших успехов.

Ведущие: Владимир Губайловский, Александр Костинский
22 сентябрь 2004
«Радио Свобода»