Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XVI + 664 с.

Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XIV + 794 с.

Университетский учебник в двух томах для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).

Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Во вторую часть учебника включены следующие разделы: Многомерный интеграл. Дифференциальные формы и их интегрирование. Ряды и интегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды и преобразования Фурье, а также асимптотические разложения).

Скачать:

Часть I: (pdf 15,6 MB), (djvu 5,8 MB)

Часть II: (pdf 25,8 MB), (djvu 7,3 MB)

Содержание

Часть I

• Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
  • § 1. Логическая символика
    • 1. Связки и скобки.
    • 2. Замечания о доказательствах.
    • 3. Некоторые специальные обозначения.
    • 4. Заключительные замечания.
  • § 2. Множество и элементарные операции над множествами
    • 1. Понятие множества.
    • 2. Отношение включения.
    • 3. Простейшие операции над множествами.
  • § 3. Функция
    • 1. Понятие функции (отображения).
    • 2. Простейшая классификация отображений.
    • 3. Композиция функций взаимно обратные отображения.
    • 4. Функция как отношение. График функции.
  • § 4. Некоторые дополнения
    • 1. Мощность множества (кардинальные числа).
    • 2. Об аксиоматике теории множеств.
    • 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
• Глава II. Действительные (вещественные) числа
  • § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
    • 1. Определение множества действительных чисел.
    • 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
    • 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества.
  • § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
    • 1. Натуральные числа и принцип математической индукции.
    • 2. Рациональные и иррациональные числа.
    • 3. Принцип Архимеда.
    • 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами.
  • § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
    • 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).
    • 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега.
    • 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса).
  • § 4. Счетные и несчетные множества
    • 1. Счетные множества.
    • 2. Мощность континуума.
• Глава III. Предел
  • § 1. Предел последовательности
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела последовательности.
    • 3. Вопросы существования предела последовательности.
    • 4. Начальные сведения о рядах.
  • § 2. Предел функции
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела функции.
    • 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
    • 4. Во просы существования предела функции.
• Глава IV. Непрерывные функции
  • § 1. Основные определения и примеры
    • 1. Непрерывность функции в точке.
    • 2. Точки разрыва.
  • § 2. Свойства непрерывных функций
    • 1. Локальные свойства.
    • 2. Глобальные свойства непрерывных функций.
• Глава V. Дифференциальное исчисление
  • § 1. Дифференцируемая функция
    • 1. Задача и наводящие соображения.
    • 2. Функция, дифференцируемая в точке.
    • 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
    • 4. Роль системы координат.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 2. Основные правила дифференцирования
    • 1. Дифференцирование и арифметические операции.
    • 2. Дифференцирование композиции функций.
    • 3. Дифференцирование обратной функции.
    • 4. Таблица производных основных элементарных функций.
    • 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
    • 6. Производные высших порядков.
  • § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
    • 1. Лемма Ферма и теорема Ролля.
    • 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
    • 3. Формула Тейлора.
  • § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
    • 1. Условия монотонности функции.
    • 2. Условия внутреннего экстремума функции.
    • 3. Условия выпуклости функции.
    • 4. Правило Лопиталя.
    • 5. Построение графика функции.
  • § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2
    • 1. Комплексные числа.
    • 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
    • 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
    • 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
    • 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
  • § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
    • 1. Движение тела переменной массы.
    • 2. Барометрическая формула.
    • 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
    • 4. Падение тел в атмосфере.
    • 5. Еще раз о числе е и функции.
    • 6. Колебания.
  • § 7. Первообразная
    • 1. Первообразная и неопределенный интеграл.
    • 2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
    • 3. Первообразные рациональных функций.
    • 4. Первообразные вида.
    • 5. Первообразные вида.
• Глава VI. Интеграл
  • § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
    • 1. Задача и наводящие соображения.
    • 2. Определение интеграла Римана.
    • 3. Множество интегрируемых функций.
  • § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
    • 1. Интеграл как линейная функция на пространстве.
    • 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
    • 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем.
  • § 3. Интеграл и производная
    • 1. Интеграл и первообразная.
    • 2. Формула Ньютона-Лейбница.
    • 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора.
    • 4. Замена переменной в интеграле.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 4. Некоторые приложения интеграла
    • 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл.
    • 2. Длина пути.
    • 3. Площадь криволинейной трапеции.
    • 4. Объем тела вращения.
    • 5. Работа и энергия.
  • § 5. Несобственный интеграл
    • 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов.
    • 2. Исследование сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
• Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность
  • § 1. Пространство R^m и важнейшие классы его подмножеств
    • 1. Множество R^m и расстояние в нем.
    • 2. Открытые и замкнутые множества в R^m.
    • 3. Компакты в R^m.
    • Задачи и упражнения.
  • § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
    • 1. Предел функции.
    • 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
• Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  • § 1. Линейная структура в R^m
    • 1. R^m как векторное пространство.
    • 2. Линейные отображения.
    • 3. Норма в R^m.
    • 4. Евклидова структура в R^m.
  • § 2. Дифференциал функции многих переменных
    • 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке.
    • 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
    • 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
    • 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
  • § 3. Основные законы дифференцирования
    • 1. Линейность операции дифференцирования.
    • 2. Дифференцирование композиции отображений.
    • 3. Дифференцирование обратного отображения.
  • § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
    • 1. Теорема о среднем.
    • 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.
    • 3. Частные производные высшего порядка.
    • 4. Формула Тейлора.
    • 5. Экстремумы функций многих переменных.
    • 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных.
  • § 5. Теорема о неявной функции
    • 1. Постановка вопроса и наводящие соображения.
    • 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
    • 3. Переход к случаю зависимости F(x₁, …, х_n, у) = 0.
    • 4. Теорема о неявной функции.
  • § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
    • 1. Теорема об обратной функции.
    • 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
    • 3. Зависимость функций.
    • 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
    • 5. Лемма Морса.
  • § 7. Поверхность в Rⁿ и теория условного экстремума
    • 1. Поверхность размерности к в Rⁿ.
    • 2. Касательное пространство.
    • 3. Условный экстремум.
• Некоторые задачи коллоквиумов
• Вопросы к экзамену
• Литература
• Алфавитный указатель

Часть II

• Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)
  • § 1. Метрическое пространство
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.
    • 3. Подпространство метрического пространства.
    • 4. Прямое произведение метрических пространств.
  • § 2. Топологическое пространство
    • 1. Основные определения.
    • 2. Подпространство топологического пространства.
    • 3. Прямое произведение топологических пространств.
  • § 3. Компакты
    • 1. Определение и общие свойства компакта.
    • 2. Метрические компакты.
  • § 4. Связные топологические пространства
  • § 5. Полные метрические пространства
    • 1. Основные определения и примеры.
    • 2. Пополнение метрического пространства.
  • § 6. Непрерывные отображения топологических пространств
    • 1. Предел отображения.
    • 2. Непрерывные отображения.
  • § 7. Принцип сжимающих отображений
• Глава Х. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения
  • § 1. Линейное нормированное пространство
    • 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа.
    • 2. Норма в векторном пространстве.
    • 3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
  • § 2. Линейные и полилинейные операторы
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Норма оператора.
    • 3. Пространство непрерывных операторов.
  • § 3. Дифференциал отображения
    • 1. Отображение, дифференцируемое в точке.
    • 2. Общие законы дифференцирования.
    • 3. Некоторые примеры.
    • 4. Частные производные отображения.
  • § 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
    • 1. Теорема о конечном приращении.
    • 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.
  • § 5. Производные отображения высших порядков
    • 1. Определение n-го дифференциала.
    • 2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала.
    • 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.
    • 4. Некоторые замечания.
  • § 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
    • 1. Формула Тейлора для отображений.
    • 2. Исследование внутренних экстремумов.
    • 3. Некоторые примеры.
  • § 7. Общая теорема о неявной функции
• Глава XI. Кратные интегралы
  • § 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
    • 1. Определение интеграла.
    • 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рнману.
    • 3. Критерий Дарбу.
  • § 2. Интеграл по множеству
    • 1. Допустимые множества.
    • 2. Интеграл по множеству.
    • 3. Мера (объем) допустимого множества.
  • § 3. Общие свойства интеграла
    • 1. Интеграл как линейный функционал.
    • 2. Аддитивность интеграла.
    • 3. Оценки интеграла.
  • § 4. Сведение кратного интеграла к повторному
    • 1. Теорема Фубини.
    • 2. Некоторые следствия.
  • § 5. Замена переменных в кратном интеграле 139
    • 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы - замены переменных.
    • 2. Измеримые множества и гладкие отображения.
    • 3. Одномерный случай.
    • 4. Случай простейшего диффеоморфизма в Rⁿ.
    • 5. Композиция отображений и формула замены переменных.
    • 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.
    • 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах.
  • § 6. Несобственные кратные интегралы
    • 1. Основные определения.
    • 2. Мажорантный призивк сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Замена переменных в несобственном интеграле.
• Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в Rⁿ
  • § 1. Поверхности в Rⁿ
  • § 2. Ориентация поверхности
  • § 3. Край поверхности и его ориентация
    • 1. Поверхность с краем.
    • 2. Согласование ориентации поверхности и края.
  • § 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
  • § 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
    • 1. Дифференциальная форма, определение и примеры.
    • 2. Координатная запись дифференциальной формы.
    • 3. Внешний дифференциал формы.
    • 4. Перенос векторов и форм при отображениях.
    • 5. Формы на поверхностях.
• Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
  • § 1. Интеграл от дифференциальной формы
    • 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры.
    • 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности.
  • § 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
    • 1. Масса материальной поверхности.
    • 2. Плбщадь поверхности как интеграл от формы.
    • 3. Форма объема.
    • 4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
    • 5. Интегралы первого и второго рода.
  • § 3. Основные интегральные формулы анализа
    • 1. Формула Грина.
    • 2. Формула Гаусса-Остроградского.
    • 3. Формула Стокса в R³.
    • 4. Общая формула Стокса.
• Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля
  • § 1. Дифференциальные Ъперации векторного анализа
    • 1. Скалярные и векторные поля
    • 2. Векторные поля и формы в R³.
    • 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V.
    • 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа.
    • 5. Векторные операции в криволинейных координатах.
  • § 2. Интегральные формулы теории поля
    • 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях.
    • 2. Физическая интерпретация.
    • 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы.
  • § 3. Потенциальные поля
    • 1. Потенциал векторного поля.
    • 2. Необходимое условие потенциальности.
    • 3. Критерий потенциальности векторного поля.
    • 4. Топологическая структура области и потенциал.
    • 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы.
  • § 4. Примеры приложений
    • 1. Уравнение теплопроводности.
    • 2. Уравнение неразрыв ности.
    • 3. Основные уравнения динамики сплошной среды.
    • 4. Волновое уравнение.
• Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305
  • § 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
    • 1. Алгебра форм.
    • 2. Алгебра кососимметрических форм.
    • 3. Линейные отображения линейных пространств, и сопряженные отображения сопряженных пространств. Задачи и упражнения
  • § 2. Многообразие.
    • 1. Определение многообразия.
    • 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения.
    • 3. Ориентация, многообразия и, его края.
    • 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в Rⁿ.
  • § 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
    • 1. Касательное пространство к многообразию в точке.
    • 2. Дифференциальная форма на многообразии.
    • 3. Внешний дифференциал.
    • 4. Интеграл от формы по многообразию.
    • 5. Формула Стокса.
  • § 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
    • 1. Теорема Пуанкаре.
    • 2. Гомологии и когомологви.
• Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций
  • § 1. Поточечная и равномерная сходимость
    • 1. Поточечная сходимость.
    • 2. Постановка основных вопросов.
    • 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящвх от параметра.
    • 4. Критерий Коши равномерной сходимости.
  • § 2. Равномерная сходимость рядов функций
    • 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда.
    • 2. Признак Вейергатрасса равномерной сходимости ряда.
    • 3. Признак Абеля-Дирихле.
  • § 3. Функциональные свойства предельной функции
    • 1. Конкретизация задачи.
    • 2. Условия коммутнрованвя двух предельных переходов.
    • 3. Непрерывность и предельный переход.
    • 4. Интегрирование и предельный переход.
    • 5. Дифференцирование и предельный переход.
  • § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
    • 1. Теорема Арцела-Асколи.
    • 2. Метрическое пространство.
    • 3. Теорема Стоуна.
• Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра
  • § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
    • 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
    • 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
  • § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра.
    • 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
    • 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
  • § 3. Эйлеровы интегралы
    • 1. Бета-функция.
    • 2. Гамма-функция.
    • 3. Связь между функциями В и Г.
    • 4. Некоторые примеры.
  • § 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
    • 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения).
    • 2. Некоторые общие свойства свертки.
    • 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимациониая теорема Вейерштрасса.
    • 4. Начальные представления о распределениях.
  • § 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью.
    • 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае.
• Глава XVIII Рид Фурье и преобразование Фурье
  • § 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
    • 1. Ортогональные системы функций.
    • 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье.
    • 3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе.
  • § 2. Тригонометрический ряд Фурье
    • 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье.
    • 2. Исследование поточечной схвдимости тригонометрического ряда Фурье.
    • 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье.
    • 4. Полнота тригонометрической системы.
  • § 3. Преобразование Фурье
    • 1. Представление функции интегралом Фурье.
    • 2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
    • 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье.
    • 4. Примеры приложений.
• Глава XIX. Асимптотические разложения
  • § 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
    • 1. Основные определения.
    • 2. Общие сведения об асимптотических рядах.
    • 3. Степенные асимптотические ряды.
  • § 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
    • 1. Идея метода Лапласа.
    • 2. Принцип локализации дли интеграла Лапласа.
    • 3. Канонические интегралы и их асимптотика.
    • 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа.
    • 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа.
• Задачи и упражнения
• Литература
• Указатель основных обозначений
• Алфавитный указатель